10.3 实际问题与二元一次方程组 同步练习 2024-2025学年人教版数学七年级下册

第10章 10.3 实际问题与二元一次方程组 （同步练习） 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 一、选择题 1．若甲数为x，乙数为y，则“甲数的3倍比乙数的一半少2”，列成方程是（　　） A．3x y=2 B． =2 C．3x =2 D． +2=3x 2． 今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求2年前哥哥和妹妹的年龄，设2年前哥哥x岁，妹妹y岁，依题意，得到的方程组是（　　） A． B． C． D． 3．有一个两位数，十位上的数与个位上的数之和为5.这样的两位数（正整数）有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．无数个 4． 地至 地的航线长 ，一架飞机从 地顺风飞往 地需 ， 它逆风飞行同样的航线要 ， 则飞机在无风时的平均速度是（　　） A． B． C． D． 5．一条铁路线A，B，C三个车站的位置如图所示，已知B，C两车站之间相距500千米．火车从B站出发，向C站方向行驶，经过30分钟，距A站130千米；经过2小时，距A站280千米．火车从B站开出多少时间后可到达C站？（　　） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 6．某班为奖励在数学课堂中表现优异的同学，用48元购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元。购买方案的种数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．某超市以同样的价格卖出同款的铅笔和橡皮，以下是4天的记录：第1天，卖出12支铅笔和7块橡皮，收入50元；第2天，出8支铅笔和11块橡皮，收入46元；第3天，卖出13支铅笔和15块橡皮，收入72元；第4天，出9支铅笔和11块橡皮，收入49元，小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（　　） A．第 1天 B．第 2天 C．第 3天 D．第 4天 8．用如图 1 中的长方形和正方形纸板作侧面和底面， 做成如图 2 的坚式和横式的两种无盖纸盒． 现有 张正方形纸板和 张长方形纸板． 如果做两种纸盒若干个， 恰好将纸板用完， 则 的值可能是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 9．鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一，大约在 1500 年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上上面数，有 35 个头；从下面数，有 94 只脚 ．求笼中各有几只鸡和兔？经计算可得（　　） A．鸡 20 只，兔 15 只 B．鸡 12 只，兔 23 只 C．鸡 15 只，兔 20 只 D．鸡 23 只，兔 12 只 10．我国古代数学巨著《孙子算经》中的“鸡兔同笼”题为：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉兔各几何”，正确答案是（　　） A．鸡24只，兔11只 B．鸡23只，兔12只 C．鸡11只，兔24只 D．鸡12只，兔23只 11．已知关于，的二元一次方程组给出下列结论中正确的是（　　） ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 12． 已知关于x，y的方程组，k为常数，下列结论中成立的是（　　） A．当时， B．当时， C．不论k取什么实数，的值始终不变 D．当时，方程组的解也是方程的解 二、填空题 13．在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组的解为　 　． 14．《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去160里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了4小时，则戴宗在无风时的平均速度为　 　里/小时． 15．首届“安海校园杯”足球赛火热进行中，足球是用黑白两种颜色的皮块缝制而成，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．一般一个足球上共有黑白皮块共32块，请你计算一下，黑色皮块有　 　块． 16．商店里，小明买了3个笔记本，5支铅笔，老板少要1元，只要10元；小红买了6个笔记本，8支铅笔，老板九折优惠，只要18元。设笔记本每个 元，铅笔每支 元，请列出方程组为　 　 17．如右上图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一个果冻的质量是　 　g． 18．五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为　 　． 19．有一道古代数学问题：有大、小两种盛酒的桶，已知5个大桶和1个小桶可以盛酒3斛(hú，是古代一种容量单位)，1个大桶和5个小桶可以盛酒2斛，则1个大桶和1个小桶可以盛酒　 　斛. 20．把四张完全相同的长方形纸片（阴影）和两本完全相同的长方形课本（空白）按如图方式摆放．根据图中标注尺寸，可得长方形纸片的长与宽之差为　 　. 21． 几个人一起购买一件物品： 若每人出 8 元， 则盈余 3 元； 若每人出 7 元， 则还差 4 元． 此物品的价格为　 　元． 22．某校七年级有甲、乙、丙三个班，甲班比乙班多4名女姓，乙班比丙班多1名女姓．如果把甲班的第一组调到乙班，乙班的第一组调到丙班，丙班的第一组调到甲班，那么三个班的女生人数恰好相等．已知丙班第一组共有2名女生，则甲班第一组有　 　名女生，乙班第一组有　 　名女生． 23．在学完书中例题后，小聪想用现有的硬纸板裁成如图①的长方形和正方形作为侧面与底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒.已知一张硬纸板的裁剪方式有两种（均有余料）），方式一：裁成3个长方形与一个正方形：方式二：裁成2个长方形与2个正方形.现小聪将m张硬纸板用方式一裁剪，n张硬纸板用方式二裁剪，则： （1）两种方式共裁出长方形 　 　张，正方形 　 　张（用m、n的代数式表示）； （2）当10＜m＜15时，所裁得的长方形与正方形纸板恰好用完，做成的两种无盖纸盒一共可能是 　 　个. 三、解答题 24．如图，某工厂与两地有公路和铁路相连．这家工厂从地购买原料运回工厂，制成产品运到地．已知公路的运价为元/（吨），铁路的运价为元/（吨）． （1）设一批原料有吨，生产成的产品有吨．填写下表（结果用含的代数式表示）； 　 地 地 公路运费（元） 　 　 铁路运费（元） 　 　 　 　 （2）第一批货购买了500吨原料，生产了300吨产品，原料从地运回工厂运费67500元，制成产品运到地运费39000元．求的值． （3）工厂从地购买原料的单价为每吨1000元，产品售往地的价格为每吨8000元．因需要需增补第二批货物，已知第二批货物的销售款比原料费多260000元，运输单价与第一批货物相同，运输总费用为13300元，问第二批货物的原料是多少吨？与第一批货物从原料到产品的成品率相比，成品率是提高了还是降低了？ 25． 随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大. 某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成. 若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成. （1）求甲、乙两个车间参与生产的工人数. （2）根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案： 甲车间 乙车间 新增费用 方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元 方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每天需支付费用150元 若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由. 26． 某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走.在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒. （1） 求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ （2） 已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 27．综合与实践. 【素材1】某工厂计划日生产290件零件. 【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下： 工种 初级工 高级工 日生产量（件/人） 10 16 日薪酬（元/人） 150 480 【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划。 【问题】 （1）若工厂指派10名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？ （2）该工厂每日计划支付薪酬7950元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？ （3）为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案。 28．某旅游公司需报废更新部分车辆，选购A，B两款新能源汽车若干辆（两者都要）。若买10辆A款和5辆B款需付款160万元，若买5辆A款和10辆B款需付款170万元。设A款的单价为x万元，B款的单价为y万元. （1）求x和y的值. （2）若购买A款和B款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案. （3）根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元。已知该公司总计付款318万元，B款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则A款中享受国补的有　 　辆。 29．如图1，点，，且，满足． （1）求点和点的坐标； （2）如图2，点在线段上，且满足，点在轴负半轴上，连交轴的负半轴于点，且，求点的坐标； （3）平移直线，交轴正半轴于，交轴于，为直线上第三象限内的点，过作轴于，若，且，求点的坐标． 参考答案 1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B 11．C 12．C 13． 14．60 15．12 16． 17．30 18．​​​​​​​ 19． 20．5 21．53 22．5；4 23．（1）3m+2n；m+2n （2）12 24．（1）；； （2）解：由题意得：， 解得：． （3）解：设第二批货物的原料有吨，产品有吨，由题意得： ， 解得：， ∵第一批成品率： 第二批成品率： ∴第二批成品率提高了． 答：第二批货物的原料是60吨，成品率提高了． 25．（1）解：设甲车间m人，乙车间n人， 根据题意得， 解得. 答：甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人 （2）解：方案一费用：甲车间共30人，每人每天平均生产15组电池，因此甲车间一天生产30×15=450（组）电池 乙车间共50人，每人每天平均生产20×（1+55%）=31（组）电池，因此乙车间一天生产50×31=1550（组）电池 共有58000组电池，需要58000÷（450+1550）=29（天）完成任务 新增费用为1200×29+1400=36200（元） 方案二费用：设方案二调整到甲车间x人， ∵方案一比方案二多用了4天时间完成 ∴方案二需要29-4=25（天） 根据题意得 解得. 新增费用为（元） ∴选方案一更节省 26．（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要0.8秒，B型机器人走一步需要0.75秒. （2）解：设 A 型机器人走了 m 步，B 型机器人走了 n 步 由题意可得 因为 m、n 为正整数，n 为 15 的整数倍， 当 完成接力任务的时间为 秒 当 完成接力任务的时间为 秒 当 完成接力任务的时间为 秒 答：完成接力任务的时间可能为 32.85 秒，33.7 秒，34.55 秒. 27．（1）解：（290－16×10）÷10＝13（名） （2）解：设安排初级工x人，高级工y人. ，解得 答：需要安排初级工5人，高级工15人. （3）解：设参与生产的初级工x人，参与生产的高级工z人. 则 10x＋16z＝290，化简得 x= 由x，z均为非负整数，可知为整数，即z为5的倍数 ∴ 注意z为参与生产的高级工人数，本题还需要有不生产但进行指导的高级工人，由此可列下表： z 0 5 10 15 x 29 21 13 5 指导的高级工人数 8 11 14 17 费用 8190 8430 8670 8910 对费用进行比较可知，应安排初级工29名，高级工8名. ∴应安排初级工29名，高级工8名. 28．（1）解： 设A款的单价为x万元，B款的单价为y万元 ， 由题意得， 解得 答：x的值为10，y的值为12 （2）解：设购买a辆A款新能源汽车，b辆B款新能源汽车， 根据题意得：10a+12b=150， ∴a=15 又∵a，b均为正整数， ∴或 ∴共有2种购买方案， 方案1：购买9辆A款新能源汽车，5辆B款新能源汽车； 方案2：购买3辆A款新能源汽车，10辆B款新能源汽车 （3）1或7 29．（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：如图1，连接，作轴于，轴于， ∵， ∴， ∴ 联立方程组，解得， ∴， ∵，∴， 而， ∴， ∴ （3）解：如图2，∵， ∴， ∴，即， ∴，∴， ∵， ∴，∴，即， 连接，则， ∴， ∴，∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$