11.2一元一次不等式(知识精讲+典题精练)-2024-2025学年七年级下册数学暑假培优讲义（人教版2024）

11.2一元一次不等式 板块一：知识精讲 1．在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 2．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 3．一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 4．由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 5．一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 板块二：典题精练 一、单选题 1．为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗（注：饭碗的大小形状都一样，下同）摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为20cm，李老师家的碗橱每格的高度为31cm，则里面一摞碗最多只能放（　　） A．16只 B．15只 C．14只 D．13只 2．某学校食堂窗口销售烤肠、汉堡、可乐和盒饭四个品种的食品，每个品种的单价均为整数，其中，汉堡的单价比烤肠的单价多3元，可乐的单价比烤肠的单价高，盒饭的单价是汉堡单价的4倍与可乐单价的差．某日，烤肠和汉堡一共销售了120份，且烤肠的销售大于40份，盒饭与烤肠的销售量之和不超过400份，而可乐的销售量为60份．当日这四种食物的平均售价是汉堡单价的倍，则四种食物当日销售总量的最大值为（    ） A．504 B．506 C．534 D．536 3．不等式的非负整数解是（    ） A．2，1 B．2，1，0 C．1，0 D．，0 4．不等式的解集为，则的值为（    ） A．1 B． C．4 D． 5．若关于x的不等式mx﹣m﹣n＞0的解集是x＜，则关于x的不等式3（m+n）＞m（x+1）的解集是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜﹣ D．x＞﹣ 6．已知方程组的解满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A．   B．   C．   D．   二、填空题 8．某公交车每月的利润（元）与乘客人数（人）之间的关系式为，该公交车为使每月不亏损，则每月乘客量至少需达到 人． 9．不等式的解集是 ． 10．已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是 ． 11．某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元，这批电话手表至少有 块． 12．不等式3x﹣1＜7的最大整数解是 ． 13．的值不大于的值，的取值范围是 ． 三、解答题 14．解不等式：5x-12≤2（4x-3） 15．解不等式，并将解集在数轴上表示出来． 16．解不等式，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来． 17．解不等式：，并把解集表示在数轴上． 18．某学校为迎接“校园读书节”，计划购进甲、乙两种图书作为奖品已知甲种图书的单价比乙种图书的单价多10元；且购买3本甲种图书和2本乙种图书共需花费130元 （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ （2）学校计划购买这两种图书共40本，且投入总经费不超过980元，则最多可以购买甲种图书多少本？ 19．某工厂为了扩大生产，决定购买6台机器用于生产零件，现有甲、乙两种机器可供选择．其中甲型机器每日生产零件106个，乙型机器每日生产零件60个，经调查，购买3台甲型机器和2台乙型机器共需要31万元，购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多2万元． (1)求甲、乙两型机器每台各多少万元？ (2)如果该工厂买机器的预算资金不超过34万元，那么你认为该工厂有哪几种购买方案？ (3)在(2)的条件下，如果要求该工厂购进的6台机器的日产量能力不能低于380个，那么为了节约资金，应该选择哪种方案？ 20．对于任意实数a，b，约定关于“※”的一种运算如下：a※b＝2a+b．例如5※4＝2×5+4＝14，6※（﹣3）＝2×6﹣3＝9． （1）3※（﹣5）的值等于 　 　． （2）若x满足（x+2）※3＞2※x，求x的取值范围； （3）若x※（﹣y）＝5，且2y※x＝7，求x+y的值． 21．已知在纸面上有一数轴如图，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)如图，A点表示的数是，图中的点B与点A两点之间的距离是15，则B点所表示的数是________； (2)折叠纸面，使上图中数轴上表示的点与4表示的点重合，回答：若数轴上M、N两点的距离为（M在的左侧），且、两点经折叠后重合，则、两点表示的数是 ． (3)若有一只小虫甲从上图中A点出发，以每秒3个单位向右运动，同时另一只小虫乙从B出发，以每秒4个单位向左运动，求经过多长时间，两只小虫在数轴上相距4个单位？ (4)若一只玩具蚂蚁作如下移动：它从上图中数轴上A点出发，第一次向右移6个单位到点；第二次向左移12个单位到点；第三次向右移18个单位到点；第四次向左移24个单位到点；⋯⋯，按这种规律移动，第n次移到，与原点的距离不小于50，则n的最小值是__________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】设碗底的高度为x cm，碗身的高度为y cm，由碗的高度和碗的个数的关系式为高度=个数×碗底高度+碗身高度，根据6只饭碗摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为20cm，列方程组求解，再根据碗橱每格的高度为31cm，列不等式求解． 【详解】解：设碗底的高度为xcm，碗身的高度为ycm， 由题意得：， 解得：， 设李老师一摞碗能放a只碗， 由题意得：5+a≤31， 解得：a≤， 则一摞碗最多只能放15只， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是根据题意，找出合适的等量关系，列方程组和不等式求解． 2．D 【分析】本题考查了不等式组的应用，设烤肠单价为元，则汉堡单价为元，可乐为元，盒饭为元，从而得出日这四种食物的平均售价为元，设总销售量为份，其中烤肠份，从而表示出，再由得出，即，推出，再代入值进行计算即可，正确列出不等式进行计算是解此题的关键． 【详解】解：设烤肠单价为元，则汉堡单价为元，可乐为元，盒饭为元， 当日这四种食物的平均售价是汉堡单价的倍， 当日这四种食物的平均售价为元， 设总销售量为份，其中烤肠份， 由题意可得： ， 整理得：， ，可知，当不变时，随的增大而增大， ， ， ，即， ∵， ∴, ，，为整数，且是的倍数， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 综上所述，销售量最大为， 故选：D． 3．C 【分析】先求出不等式的解集，进而求出其非负整数解即可． 【详解】解：， 解得：， ∴不等式的非负整数解是1，0； 故选C． 【点睛】本题考查求不等式的整数解，正确的求出不等式的解集，是解题的关键． 4．C 【分析】先根据一元一次不等式的解法求解不等式，然后根据不等式的解集为x＞1，得出9-2m=1，求出m的值． 【详解】解：(x－m)＞3－m， 去分母得：x-m＞3（3-m）， 去括号得：x-m＞9-3m， 移项，合并同类项得：x＞9-2m， ∵此不等式的解集为x＞1， ∴9-2m=1， 解得：m=4． 故选C. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，关键是掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 5．D 【分析】先求出关于x的不等式mx﹣m﹣n＞0的解集，得出，再把所求不等式变形后代入求解即可． 【详解】解：mx﹣m﹣n＞0， mx＞m+n， ∵于x的不等式mx﹣m﹣n＞0的解集是x＜， ∴m＜0且， ∴3（m+n）＞m（x+1） ， 即， 解得x＞﹣． 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．B 【分析】将两个方程相减，即可得到，根据即可求解． 【详解】 ①-②，得， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组以及解一元一次不等式的知识，通过两个方程相减得到是解答本题的关键． 7．A 【分析】先求出不等式组的解集，进而可求解． 【详解】解：对于不等式组， ∵解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示不等式组的解集如图所示： ， 故选A． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，正确求出不等式组的解集是解答的关键，注意对应端点是空心点还是实心点． 8．2400 【分析】根据题意，列一元一次不等式，求出解集，即可求出答案． 【详解】解：公交车为使每月不亏损， ， ， ． 乘客人数为正整数， 每月乘客量至少需达到2400人． 故答案为：2400． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式，解题的关键在于熟练掌握一元一次不等式的解法． 9． 【分析】先移项，再化系数为1，注意，移项要变号，不等式两边同除以一个正数，不等号的方向不改变． 【详解】解： 移项得：， 化系数为1得： 不等式的解集是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 10．a＜2 【分析】由于在求不等式（2a-4）x＞3解集的时候，不等号的方向发生了改变，可以判定2a-4＜0，即可解得a的取值． 【详解】解：∵不等式（2a-4）x＞3的解集为x＜， ∴2a-4＜0， 即a<2， 故答案为a<2． 【点睛】本题考查了不等式的性质，本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，改变不等号的方向． 11．105 【详解】设这批手表有x块， 550×60+500(x−60)>55000， 解得x>104. 故这批电话手表至少有105块， 故答案为105. 12．x=2 【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式的解集求出符合的整数解即可． 【详解】3x﹣1＜7， 3x＜7+1， 3x＜8， x＜， 即不等式3x﹣1＜7的最大整数解是2， 故答案为x=2 【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，不等式的整数解的应用，解此题的关键是求出不等式的解集． 13． 【分析】根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】由题意，得： 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是理解不大于即小于或等于． 14．x≥-2 【分析】按照去括号、移项合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集 【详解】解：去括号5x–12≤8x-6 移项合并同类项–3x≤6 系数化为1得x≥-2 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 15．x＞2，见解析 【分析】先去分母，再移项、合并同类项，把x的系数化为1即可解不等式，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：去分母，得：1+x＜3x﹣3， 移项，得：x﹣3x＜﹣3﹣1， 合并同类项，得：﹣2x＜﹣4， 系数化为1，得：x＞2， 将解集表示在数轴上如图： 【点睛】本题考查解一元一次不等式并在数轴上表示其解集，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤是解本题的关键． 16．，数轴见解析 【分析】先解不等式，再将不等式的解集表示在数轴上，不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 【详解】解： 将解集表示在数轴上如图， 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键． 17．，画图见解析 【分析】不等式左右两边同时乘以6去分母后，去括号合并整理，将系数化为1，求出不等式的解集，将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 在数轴上表示如下： 【点睛】本题主要考查求一元一次不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，能准确求出不等式的解集是关键． 18．（1）甲、乙两种图书的单价分别为30元、20元；（2）最多可以购买甲种图书18本. 【分析】(1)设甲、乙两种图书的单价分别为元、元，根据甲种图书的单价比乙种图书的单价多10元；且购买3本甲种图书和2本乙种图书共需花费130元列方程组求解即可； （2）设可以购买甲种图书本，根据投入总经费不超过980元列不等式求解即可. 【详解】解：(1)设甲、乙两种图书的单价分别为元、元， ， 解得， ∴甲、乙两种图书的单价分别为30元、20元； (2)解：设可以购买甲种图书本， ， 解得， ∴最多可以购买甲种图书18本. 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程和不等式，再求解． 19．（1）甲型机器每台7万元，乙型机器每台5万元；（2）见解析；（3）购买甲型机器1台，乙型机器5台满足条件． 【详解】解：（1）设甲种机器每台x万元，乙种机器每台y万元． 由题意， 解得， 答：甲种机器每台7万元，乙种机器每台5万元． （2）设购买甲种机器a台，乙种机器（6﹣a）台． 由题意7a+5（6﹣a）≤34， 解得a≤2， ∵a是整数，a≥0 ∴a=0或1或2， ∴有三种购买方案， ①购买甲种机器0台，乙种机器6台， ②购买甲种机器1台，乙种机器5台， ③购买甲种机器2台，乙种机器4台， （3）①费用6×5=30万元，日产量能力360个， ②费用7+5×5=32万元，日产量能力406个， ③费用为2×7+4×5=34万元，日产量能力452个， 综上所述，购买甲种机器1台，乙种机器5台满足条件． 20．（1）1；（2）x＞-3；（3）4 【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值； （2）不等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的范围； （3）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出所求． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得：原式=6-5=1； 故答案为：1； （2）不等式利用题中的新定义化简得：2（x+2）+3＞4+x， 去括号得：2x+4+3＞4+x， 解得：x＞-3； （3）已知等式整理得：， ①+②得：3x+3y=12， 则x+y=4． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，实数的运算，以及解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键． 21．(1)10 (2)M：，N：1012 (3)或秒 (4)16 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据题意得折痕与数轴交点表示的数是，设M表示的数是x，则N表示的数是，利用中点公式求解即可； （3）根据数轴上两点间的距离公式得，然后求解即可； （4）依次表示出移动的各个点的坐标，然后列出代数式，分n是奇数与偶数进行讨论，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：B点所表示的数是， 故答案为：10； （2）∵数轴上表示的点与4表示的点重合， ∴折痕与数轴交点表示的数是， 设M表示的数是x，则N表示的数是， ∴， 解得， ∴， ∴M表示的数是，N表示的数是1012， 故答案为：，1012； （3）根据题意得：， ∴或， 解得或 ∴经过秒或秒，两只小虫在数轴上相距4个单位长度； （4）第1次点A向右移动6个单位长度到达点，则表示的数是； 第2次点向左移动12个单位长度到达点，则表示的数是； 第3次点向右移动18个单位长度到达点，则表示的数是； 第4次点向左移动24个单位长度到达点，则表示的数是； 第5次点向右移动30个单位长度到达点，则表示的数是-； 第6次点向左移动36个单位长度到达点，则表示的数是； 同理得：表示的数是19， 表示的数是， 表示的数是25， 表示的数是，⋯ ∴点表示的数为：n为奇数时表示的数为； n为偶数时表示的数为， ∵与原点的距离不小于50， ∴当n是奇数时，， 解得：， ∵n为奇数， ∴此时n最小取19， 当n是偶数时，， 解得：， ∵n是偶数， ∴此时n最小取16， 综上所述，n的最小值是16， 故答案为：16． 【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离及一元一次方程与不等式的应用，理解题意，进行分类讨论是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$