7.2平行线 (知识精讲+典题精练)-2024-2025学年七年级下册数学暑假培优讲义（人教版2024）

7.2平行线 板块一：知识精讲 1．平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 2．平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4） 辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 板块二：典题精练 一、单选题 1．如图，已知AB//CD，∠1＝140°，则∠D为（   ） A．40° B．50° C．60° D．70° 2．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中、两点分别落在直线，上，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．有下列语句中，真命题的个数是(    ) ①画直线AB垂直于CD；②若|x|＝|y|，则x2＝y2；③两直线平行，同旁内角相等；④直线a、b相交于点O；⑤等角的余角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．在平行四边形中，，则的度数为 （ ） A． B． C． D． 5．如图，已知，射线平分交于点，，则的度数是（    ） A．80° B．85° C．70° D．75° 6．如图，已知AB∥CD∥EF，若∠ABC=α，∠CEF=β，则∠BCE的度数为（　　） A．α+β B．β﹣α C．180°﹣β+α D．180°﹣α+β 7．如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，OG⊥CD，∠CDO＝50°，则下列结论：① OG⊥AB；② OF平分∠BOD ；③∠AOE＝65°；④∠GOE＝∠DOF ，其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，已知∠1=∠2=∠3=∠4，则图形中平行的是(     ) A．AB∥CD∥EF B．CD∥EF C．AB∥EF D．AB∥CD∥EF，BC∥DE 9．如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，．图中与不一定相等的角是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，两直线AB与CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= °. 11．如图，已知AB∥CD，∠A＝20°，∠C＝30°，则∠AEC＝ ． 12．如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为 °． 13．如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO＝28°，则∠MON＝ ． 14．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=，∠2=480 ，则∠3= ° 15．如图，直线，若，，则 ． 三、解答题 16．已知：如图所示，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A＋∠1=74º， 求：∠D的度数． 17．把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为，分别在的位置上，若，求和的度数. 18．如图，已知，，请说明的理由． 解：因为（已知） 所以（_______________） 所以（_______________） 因为（已知） 所以_______（_____________） 即___________ 所以（______________） 所以（______________） 19．按下列要求画图并填空．    (1)过点B画直线的垂线，交直线于点D， (2)过点B画直线的平行线； (3)直线和直线的距离是线段_______的长； (4)若平分且，则_______． 20．如图，已知平分，过点A作交于点C，点D为角平分线上的一点，连接．    (1)若，求证：． (2)在的条件下，，求的度数． 21．填空，完成下列说理过程： 已知：如图，点E，F分别在线段AB，CD上，，． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴（______）． ∵（已知）， ∴（______）． ∴____________（______）． ∴（______）． 22．如图1，已知直线，且和，分别相交于，两点，和，分别交于，两点，点在线段上． (1)若，，则________； (2)试找出，，之间的等量关系，并说明理由； (3)应用（2）中的结论解答下列问题； 已知，点，在上，点，在上，连接，．，分别是，的平分线，， ①如图2，当点在点的右侧时，求的度数； ②如图3，当点在点的左侧时，直接写出的度数． 23．阅读下面的推理过程，将空白部分补充完整． 解：因为（已知）， 所以______， 又因为（已知）， 所以______（等量代换）． 所以（       ） 所以________（       ） 24．（1）如图1，已知直线且分别交、于点A、B，分别交、于点C、D，点P在线段上，连接、，试确定之间的数量关系，并说明理由； （2）在图2中，小刀的刀片是上下平行的，刀柄外形是一个直角梯形（下面挖去一个小的半圆），求的度数．      试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】由图先算出的邻补角，再有两直线平行，内错角相等，得到答案． 【详解】解：如下图： ∵， ∴ 又∵ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查邻补角和两直线平行的性质，根据内容解题是切入点． 2．D 【分析】由平行线的性质可知，，计算求解即可 【详解】解：直线， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质．熟练掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 3．A 【分析】根据真命题的概念逐一进行判断即可. 【详解】解：①不是命题，所以也不是真命题；②由条件能推出结论，故②是真命题；③两直线平行，同旁内角互补， 故③是假命题；④不是命题，故也不是真命题；⑤是真命题. 所以②⑤为真命题． 故选A. 【点睛】本题考查了真命题的概念，掌握相关性质，是解题的关键. 4．B 【分析】根据平行四边形的性质及内角比可得，设每份为，则，解得，进而可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，且， ， 设每份为，则， 解得， 则． 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 5．A 【分析】先根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得 ，进而求得 的度数． 【详解】∵，， ∴， ∵DE平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 6．C 【分析】直接利用平行线的性质分别得出∠ABC=∠BCD=α，∠ECD=180°-β进而得出答案． 【详解】∵AB∥CD∥EF， ∴∠ABC=∠BCD=α，∠CEF+∠ECD=180°， ∴∠ECD=180°-β， 则∠BCE的度数为：∠BCD+∠ECD=α+180°-β． 故选C． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠ECD=180°-β是解题关键． 7．D 【分析】由平行线的性质结合角平分线的定义，再结合垂直的定义，可分别求得∠AOE、∠GOE、∠DOF、∠BOD，可判定结论，得出正确答案． 由CD∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BOD的度数，∠AOE的度数；又由OF⊥OE，即可求得∠BOF的度数，得到OF平分∠BOD；又由OG⊥CD，即可求得∠GOE与∠DOF的度数． 【详解】解： ∵AB∥CD，OG⊥CD， ∴OG⊥AB；故①正确； ∵AB∥CD， ∴∠BOD=∠CDO=50°， ∴∠AOD=180°-50°=130°， 又OE平分∠AOD， ∴∠AOE=∠AOD=65°， 故③正确； ∵OG⊥CD， ∴∠GOA=∠DGO=90°， ∴∠GOD=40°，∠GOE=90°-∠AOE=25°， ∴∠EOG+∠GOD=65°， 又OE⊥OF，∴∠FOE=90° ∴∠DOF=25°， ∴∠BOF=∠DOF， ∴OF平分∠BOD，∠GOE=∠DOF， 故②④正确； ∴正确的结论有4个， 故选D． 【点睛】此题考查了平行线的性质、垂线的定义以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 8．D 【详解】解：， ∴AB∥CD， CD∥EF， ∴AB∥CD∥EF， ， ． 故选D． 9．C 【分析】由DEBA，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠CED=∠A；由DFCA，利用“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，内错角相等”可得出∠DFB=∠A，∠EDF=∠CED=∠A，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：∵DEBA， ∴∠CED＝∠A； ∵DFCA， ∴∠BFD＝∠A，∠EDF＝∠CED＝∠A． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是牢记各平行线的性质定理． 10．900 【详解】试题解析：分别过E点，F点，G点，H点作 平行于AB， 利用内错角和同旁内角，把这六个角转化一下，可得有5个180°的角， ∴180×5=900°． 11．50° 【分析】过点P作作EF∥AB，根据平行公理可得EF∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF，再根据∠AEC＝∠AEF+∠CEF计算即可得解． 【详解】解：如图，作EF∥AB． ∵AB∥EF，AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF， ∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠C＝20°+30°＝50°， 故答案为50°． 【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键在于作辅助线. 12．50 【分析】过点C作FG∥AB，根据平行线的传递性得到FG∥DE，根据平行线的性质得到∠B＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝80°，由等式性质得到∠DCF＝30°，于是得到结论． 【详解】解：如图，过点C作FG∥AB， 因为FG∥AB，AB∥DE， 所以 FG∥DE， 所以∠B＝∠BCF，（两直线平行，内错角相等 ） ∠CDE+∠DCF＝180°，（两直线平行，同旁内角互补） 又因为∠B＝80°，∠CDE＝150°， 所以∠BCF＝80°，（等量代换） ∠DCF＝30°，（等式性质） 所以∠BCD＝50°． 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系． 13．56° 【分析】先根据平行线的性质得出∠NOE＝∠FEO，由角平分线的性质求得答案． 【详解】解：∵FE∥ON，∠FEO＝28°， ∴∠NOE＝∠FEO＝28°， ∵OE平分∠MON， ∠MON＝2∠NOE＝2∠FEO＝56°． 故答案为56°． 【点睛】本题考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 14．18 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠2的同位角，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】如图，∵∠2=48°，并且是直尺， ∴∠4＝∠2＝48°（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1＝30°， ∴∠3＝∠4−∠1＝48°−30°＝18°． 故填：18. 【点睛】本题主要考查了两直线平行，同位角相等的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 15． 【分析】根据已知条件及两直线平行，同旁内角互补，解得，再由对顶角相等，解得． 【详解】如图： 直线， ， 又 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16．53° 【详解】解：∵AB∥CD, ∴∠A=∠1， ∵∠A+∠1=74° ∴∠A=∠1=37°， ∵∠1=∠ECD, ∴∠1=∠ECD=37° ∵DE⊥AE ∴∠D+∠ECD=90° ∴∠D=90°-37° =53° 17．∠1=64°，∠2=116° 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠EFG，再根据翻折的性质和平角的定义列式计算即可求出∠1，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可求出∠2． 【详解】∵长方形对边AD∥BC， ∴∠3=∠EFG=58°， 由翻折的性质得，∠3=∠MEF， ∴∠1=180°-58°×2=64°， ∵AD∥BC， ∴∠2=180°-∠1=180°-64°=116°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 18．同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等式的性质；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定可得，最后根据平行线的性质即可得． 【详解】解：因为（已知）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 所以（等式的性质）， 即， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 19．(1)见解析； (2)见解析； (3)； (4)． 【分析】（1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据平行线的定义画出图形； （3）根据平行线之间的距离，判断即可； （4）利用平行线的性质以及三角形内角和定理求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：直线和直线的距离是线段的长． 故答案为：；    （4）解：， ， 平分， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，垂线，平行线之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．(1)见解析 (2) 【分析】 （1）利用等角的余角相等得出，从而判断出； （2）利用求得，进一步推导出，，从而得解． 【详解】（1） 证明：∵， ∴即， ∵， ∴， ∴． （2） 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵BD平分， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，掌握其性质定理是解答此题的关键． 21．两直线平行，内错角相等；等量代换；AF；ED；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】根据平行线的性质与判定，即可解答 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；AF；ED；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握和运用平行线的性质与判定是解决本题的关键． 22．(1) (2)，理由见解析 (3)①∠AEC=53°；②∠AEC=143° 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，再根据在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，即可得到∠3=∠1+∠2=57°； （2）根据l1l2，可得∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，再根据在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，即可得到∠1+∠2=∠3； （3）①利用平行线的定义结合角平分线的定义得出∠ECD以及∠AEF的度数即可得出答案； ②利用平行线的性质结合角平分线的定义得出∠BAE以及∠AEF的度数即可得出答案． 【详解】（1））∵l1l2， ∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°， 在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°， ∴∠3=∠1+∠2=23°+34°=57°； 故答案为：57°； （2）∠1+∠2=∠3， 理由：∵l1l2， ∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°， 在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°， ∴∠1+∠2=∠3； （3）①过点E作EFl1， ∵l1l2， ∴EFl2， ∵l1l2， ∴∠BCD=∠α， ∵∠α=74°， ∴∠BCD=74°， ∵CE是∠BCD的角平分线， ∴∠ECD=×70°=37°， ∵EFl2， ∴∠FEC=∠ECD=37°， 同理可求∠AEF=16°， ∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=53°； ②过点E作EFl1， ∵l1l2， ∴EFl2， ∵l1l2， ∴∠BCD=∠α， ∵∠α=74°， ∴∠BCD=74°， ∵CE是∠BCD的角平分线， ∴∠ECD=×70°=37°， ∵EFl2， ∴∠FEC=∠ECD=37°， ∵l1l2， ∴∠BAD+∠β=180°， ∵∠β=32°， ∴∠BAD=148°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=×148°=74°， ∵EFl1， ∴∠BAE+∠AEF=180°， ∴∠AEF=106°， ∴∠AEC=106°+37°=143°． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键． 23．；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补 【分析】根据平行线的判定和性质，即可得到答案． 【详解】解：因为（已知）， 所以 又因为（已知）， 所以 （等量代换）， 所以BC∥DE（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质定理，是解题的关键． 24．（1），理由见解析；（2） 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． （1）如图所示，过点P作，则，根据平行线的性质可得 ，再由可得； （2）过点M作，则，根据平行线的性质可得． 【详解】解：（1），理由如下： 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；    （2）如图所示，过点M作， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴的度数是．    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$