4.5 一次函数的应用 暑假巩固练习2024-2025学年 湘教版八年级数学下册

湘教版八年级下册 4.5 一次函数的应用 暑假巩固 一、行程问题 1.在今年新的龟兔跑步比赛中，乌龟趁兔子睡着时率先出发1分钟，兔子醒来之后全力追赶，最后比乌龟提前2分钟到达终点．比赛中龟兔两者的时间与路程的关系如图所示，那么兔子出发后第（　　）分钟追上了乌龟． A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 2.甲、乙两人相约同时从某地出发同向骑行，甲骑行的速度为每小时18千米，乙骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　） A.当0≤t≤0.2时，则s＝15t B.当t＞0.2时，则s＝20t﹣1 C.当t＝0.5时，甲、乙两人在骑行的途中相遇 D.当甲、乙两人在骑行的途中相距0.2km时，此时或t＝0.4 3.某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后行驶了100km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km，油箱中剩油量为yL，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（　　） A.y＝0.1x，x＞0 B.y＝50﹣0.1x，x＞0 C.y＝0.1x，0≤x≤500 D.y＝50﹣0.1x，0≤x≤500 4.小胜参加2023年的高考，到达考点时发现没有带身份证，求助交警后，交警驱车载小胜迅速回到离考点2千米的家取身份证，并立即返回考场，小胜离考点行驶路程y（米）与时间x（分钟）之间的变化关系如图所示，根据图象中的数据，写出y与x（0≤x≤6）之间的函数表达式 　    　． 5.如图，图中的折线OABC反映了圆圆从家到学校所走的路程S（m）与时间t（min）的函数关系，其中，OA所在直线的表达式为y＝k1x（k1≠0），BC所在直线的表达式为y＝k2x+b（k2≠0），则k2﹣k1＝　    　． 6.小西外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．从山脚出发后小西所走路程s（米）和所用时间t（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）小西中途休息用了 　  　分钟；小西休息后爬山的平均速度是 　  　米/分钟； （2）求直线BC的函数表达式； （3）当小西出发20分钟时，求他所走的路程． 7.甲、乙两人同时从A地前往相距5千米的B地．甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，甲行驶的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示；乙慢跑所行的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数解析式为s＝t（0≤t≤60）． （1）在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图象；（不必写结论） （2）乙慢跑的速度是每分钟 　   　千米； （3）甲修车后行驶的速度是每分钟 　   　千米． 二、两直线的交点与二元一次方程组的解 1.如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（　　） A. B. C. D. 2.我们规定：当，为常数，，，时，一次函数与互为交换函数，例如：的交换函数为．一次函数与它的交换函数图象的交点横坐标为（    ） A. B. C. D. 3.一次函数和的图象如图所示，则方程组的解为（    ）    A. B. C. D. 4.如图，已知函数和图象交于点，点的横坐标为，则关于的方程组的解是                             ．    5.定义：我们把直线 与直线 的交点称为直线 的“不动点”． 例如的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为． 若直线 的“不动点”为 ，则          ，              ． 6.如图所示，已知直线：与y轴交于点A，且和直线：交于点，根据以上信息解答下列问题： (1)求a的值，判断直线：是否也经过点P并说明理由； (2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解； (3)若当直线，表示的两个一次函数的函数值都大于0时，恰好，求直线的函数表达式． 7.（1）已知直线：和直线：，请在下面的坐标系中作出这两条直线，并直接写出方程组的解______； （2）直线：与轴，轴的交点分别为A，，第一象限内有一点的坐标为，且与的面积相等，求点坐标； （3）在（2）的条件下，若线段与一次函数的图像有交点． ①一次函数的图像必过某个定点，则该定点的坐标为______； ②一次函数中的取值范围是______．      三、根据一次函数的图象求不等式的解集 1.在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法错误的是（   ） A.当时， B.方程的解是 C.当时， D.不等式的解集是 2.如图，一次函数图象与x轴交于点，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 3.已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 4.已知一次函数的图象经过二、三、四象限，且与x轴交于，则关于x的不等式的解集为____________． 5.如图，一次函数的图像经过两点，则关于的不等式的解集是           ． 6.设一次函数，且函数y的图象过原点． (1)求的值． (2)点，点都在函数y的图象上，比较，的大小． (3)若函数值，求自变量x的取值范围． 7.如图，函数和的图象相交于点． (1)求m，a的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 四、根据两条直线的交点求不等式组的解集 1.如图，在同一个平面直角坐标系中作出一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线交于点C．已知点，，，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，下列说法不正确的是（    ）    A.关于x的方程的解集是 B.关于x的不等式的解集是 C.关于x的不等式的解集是 D.关于x的不等式组的解集是 2.如图，直线经过点和点，直线过点A，则不等式组的解集为（    ） A. B. C. D. 3.如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，则关于x的不等式组的解集为（　　）    A. B. C. D. 4.如图，已知一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象经过点，则关于的不等式组的解集为        ． 5.如图，函数与的图象交于点，则关于的不等式组的解集为                 ．    6.已知，一次函数（，k，b为常数）的图象如图1，在图2中正比例函数（，m是常数）的图象与一次函数的图象交于点， (1)观察图象（图1），写出方程 的解和不等式的解集．    (2)观察图象（图2），把不等式组：中两个不等式的解集表示在同一数轴上，并最终确定该不等式组的解集．    7.在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点． (1)求出两条直线的函数表达式，并在坐标系中画出这两条直线； (2)直接写出方程组解是________；不等式组的解集是________； (3)已知点，过点作平行于轴的直线，分别交直线于点，交直线于点，求出两条直线与直线围成的三角形的面积． 五、图象法解二元一次方程组 1.小亮在用作函数图象的方法解二元一次方程组时，在同一坐标系中作出如图所示的图象，他解的这个方程组可能是（     ） A. B. C. D. 2.用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（    ）． A. B. C. D. 3.以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线（ ） A.有一个交点 B.有无数个交点 C.没有交点 D.以上都有可能 4.如图，图中两条直线的交点坐标的是方程组             的解． 5.一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为     ，     ． 6.如图，直线与直线相交于点． 的值为________； 不解关于，的方程组，请你直接写出它的解：________； 当时，求直线、直线与轴所围成的三角形的面积． 7.图象法解方程组. 六、利用一次函数的图象解一元一次方程 1.数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图像可知，关于的方程的解是（ ）    A. B. C. D. 2.如图所示，已知点A(﹣1，2)是一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上的一点，则下列判断中正确的是（　　）      A.y随x的增大而减小 B.k＞0，b＜0 C.当x＜0时，y＜0 D.方程kx+b＝2的解是x＝﹣1 3.直线的图象如图所示，则方程的解为 A. B. C.2 D.0 4.如图，直线与直线交于点，则根据图象可得关于x的方程的解是      ． 5.如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是           ． 6.请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法解决下列问题：    (1)在平面直角坐标系中，画出函数的图象： ①列表填空： ②描点、连线，画出的图象； (2)结合所画函数图象，写出两条性质； (3)结合所画函数图象，请直接写出方程的解． 7.小航结合学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究，下面是小航的探索过程，请补充完整： (1)列表： 表格中________； (2)根据列表，在给出的平面直角坐标系中描点，画出的函数图象，求的最大值； (3)如图，已知直线l的表达式为，根据图像直接写出的解____________ 湘教版八年级下册 4.5 一次函数的应用 暑假巩固（参考答案） 一、行程问题 1.在今年新的龟兔跑步比赛中，乌龟趁兔子睡着时率先出发1分钟，兔子醒来之后全力追赶，最后比乌龟提前2分钟到达终点．比赛中龟兔两者的时间与路程的关系如图所示，那么兔子出发后第（　　）分钟追上了乌龟． A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 【答案】A 【解析】设比赛的路程为m，利用待定系数法即可分别求得兔子和乌龟的函数解析式，进而作答即可． 设比赛的路程为m， 根据图像，设乌龟的函数解析式为y1＝k1x， 根据题意得m＝6k1， 解得k1＝， ∴函数解析式为：y1＝x， 根据图像，设兔子的函数解析式为y2＝k2x+b， 根据题意得， 解得， ∴函数解析式为：y2＝x﹣， ∵x＝x﹣， ∴x＝2， 兔子晚乌龟一分钟出发，2﹣1＝1（分钟）， 故选：A． 2.甲、乙两人相约同时从某地出发同向骑行，甲骑行的速度为每小时18千米，乙骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　） A.当0≤t≤0.2时，则s＝15t B.当t＞0.2时，则s＝20t﹣1 C.当t＝0.5时，甲、乙两人在骑行的途中相遇 D.当甲、乙两人在骑行的途中相距0.2km时，此时或t＝0.4 【答案】D 【解析】根据图象分段设出函数解析式，在用待定系数法求出函数解析式即可判断A，B；甲乙同时出发，设t小时乙后追上甲，根据题意得20t﹣1＝18t，求出t的值，可以判断C；分两种情况，根据甲、乙两人的距离为0.2km列方程，求出t即可判断D． 当0≤t≤0.2时，设s＝at， 把（0.2，3）代入解析式得，0.2a＝3， 解得：a＝15， ∴s＝15t， 故A正确，不符合题意； 当t＞0.2时，设s＝kt+b， 把（0.2，3）和（0.5，9）代入解析式，得： ， 解得：， ∴s＝20t﹣1， 故B正确，不符合题意； ∵甲乙同时出发， 设t小时乙后追上甲， 根据题意得：20t﹣1＝18t， 解得：t＝0.5， 故C正确，不符合题意； 当0≤t≤0.2时， 18t﹣15t＝0.2， 解得t＝； 当t＞0.2时，20t﹣1﹣18t＝0.2， 解得：t＝0.6． ∴当甲、乙两人在骑行的途中相距0.2km时，此时或t＝0.6， 故D错误，符合题意， 故选：D． 3.某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后行驶了100km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km，油箱中剩油量为yL，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（　　） A.y＝0.1x，x＞0 B.y＝50﹣0.1x，x＞0 C.y＝0.1x，0≤x≤500 D.y＝50﹣0.1x，0≤x≤500 【答案】D 【解析】根据加满汽油后开了100km时，油箱中的汽油大约消耗了五分之一，可以计算出每千米的耗油量，然后即可写出y与x之间的函数解析式，再令y＝0求出相应的x的值，即可得到x的取值范围． 由题意可得， y＝50﹣x＝50﹣0.1x， 当y＝0时，0＝50﹣0.1x，解得x＝500， 即y与x之间的函数解析式是y＝50﹣0.1x（0≤x≤500）， 故选：D． 4.小胜参加2023年的高考，到达考点时发现没有带身份证，求助交警后，交警驱车载小胜迅速回到离考点2千米的家取身份证，并立即返回考场，小胜离考点行驶路程y（米）与时间x（分钟）之间的变化关系如图所示，根据图象中的数据，写出y与x（0≤x≤6）之间的函数表达式 　    　． 【答案】y＝． 【解析】当0≤x≤6时，函数图象过原点，为正比例函数．设y与x的函数表达式为y＝kx．将（6，2000）代入，得到关于k的一元一次方程，解得k值，代回y＝kx即可． 当0≤x≤6时，函数图象过原点，为正比例函数．设y与x的函数表达式为y＝kx．将（6，2000）代入， 得6k＝2000，解得． ∴当0≤x≤6时，y＝． 故答案为：y＝． 5.如图，图中的折线OABC反映了圆圆从家到学校所走的路程S（m）与时间t（min）的函数关系，其中，OA所在直线的表达式为y＝k1x（k1≠0），BC所在直线的表达式为y＝k2x+b（k2≠0），则k2﹣k1＝　    　． 【答案】50． 【解析】用待定系数法求出k1，k2即可． 把（12，600）代入y＝k1x得：k1＝＝50； 把（20，600），（28，1400）代入y＝k2x+b得： ， 解得， ∴k2﹣k1＝100﹣50＝50． 故答案为：50． 6.小西外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．从山脚出发后小西所走路程s（米）和所用时间t（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）小西中途休息用了 　  　分钟；小西休息后爬山的平均速度是 　  　米/分钟； （2）求直线BC的函数表达式； （3）当小西出发20分钟时，求他所走的路程． 【答案】解：（1）根据题意得：小西中途休息用了15﹣10＝5（分钟）； 小西休息后爬山的平均速度是（450﹣300）÷（25﹣15）＝15（米/分钟）． 故答案为：5，15； （2）设直线BC的函数表达式为s＝kt+b（k≠0）， 将B（15，300），C（25，450）代入s＝kt+b得：， 解得：， ∴直线BC的函数表达式为s＝15t+75； （3）当t＝20时，s＝15×20+75＝375． 答：当小西出发20分钟时，他所走的路程为375米． 7.甲、乙两人同时从A地前往相距5千米的B地．甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，甲行驶的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示；乙慢跑所行的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数解析式为s＝t（0≤t≤60）． （1）在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图象；（不必写结论） （2）乙慢跑的速度是每分钟 　   　千米； （3）甲修车后行驶的速度是每分钟 　   　千米． 【答案】解：（1）∵乙慢跑所行的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数解析式为s＝t（0≤t≤60）． 当t＝60时，s＝×60＝5， ∴函数过原点，并过点（60，5）， 所画图形如下所示： （2）乙慢跑的速度为， 5÷60＝（千米/分钟）， 故答案为：； （3）甲修车后行驶20min，所形路程为3km， 故甲修车后行驶的速度为：3÷20＝（千米/分钟）， 故答案为：． 二、两直线的交点与二元一次方程组的解 1.如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点的横纵坐标即为对应的方程组的解，即可得出结果． ∵直线与交点的横坐标为1， 把代入，可得， 故关于x、y的二元一次方程组的解为， 故选：C． 2.我们规定：当，为常数，，，时，一次函数与互为交换函数，例如：的交换函数为．一次函数与它的交换函数图象的交点横坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查的知识点是新定义函数、一次函数的交点问题，解题关键是理解题意求得交换函数解析式． 先求交换函数解析式，再根据两函数有交点得到即可求解． 依题得：一次函数的交换函数为，且， 两函数有交点，则， ， ， ， 即一次函数与它的交换函数图象的交点横坐标为 故选：． 3.一次函数和的图象如图所示，则方程组的解为（    ）    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】此题主要考查二元一次方程组和一次函数的关系，一个一次函数解析式可以看作是一个二元一次方程，两个一次函数解析式可以组合成一个二元一次方程组，方程组的解就是两函数图象的交点，因此找出两图象的交点即可． 一次函数和交点的横坐标为， 将代入，得， ∴一次函数和图象的交点是， 方程组的解为． 故选A． 4.如图，已知函数和图象交于点，点的横坐标为，则关于的方程组的解是                             ．    【答案】 【解析】本题考查了一次函数与二元一次方程，数形结合的思想是解题的关键，把点的坐标求得后即可确定方程组的解． 函数可通过移项得到： 函数可通过移项得到： 关于的方程组的解即为两函数的交点 点是函数与函数的交点，且点的横坐标为 点的纵坐标为 点的坐标为 方程组的解为： 故答案为： 5.定义：我们把直线 与直线 的交点称为直线 的“不动点”． 例如的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为． 若直线 的“不动点”为 ，则          ，              ． 【答案】． 【解析】本题考查一次函数的综合应用，根据不动点的定义，得到是直线与直线的交点，进而求出的值，再把点代入一次函数解析式求出的值即可． 由题意，得：是直线与直线的交点， ∴， ∴， ∴点为， ∴， ∴； 故答案为：． 6.如图所示，已知直线：与y轴交于点A，且和直线：交于点，根据以上信息解答下列问题： (1)求a的值，判断直线：是否也经过点P并说明理由； (2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解； (3)若当直线，表示的两个一次函数的函数值都大于0时，恰好，求直线的函数表达式． 【答案】解：（1）因为点在直线上， 所以当时，． 直线也经过点P．理由如下： 由（1）知点， 将点 代入，得：， 再将点P的横坐标代入， 结果与P的纵坐标一致， 所以直线l3也经过点P． （2）方程组的解即直线和的交点坐标P， 即方程组的解为． （3）∵当直线和表示的两个一次函数的函数值都大于0时，恰好， 所以直线过点． 又因为直线过点， 所以 解得 所以直线的函数表达式为． 7.（1）已知直线：和直线：，请在下面的坐标系中作出这两条直线，并直接写出方程组的解______； （2）直线：与轴，轴的交点分别为A，，第一象限内有一点的坐标为，且与的面积相等，求点坐标； （3）在（2）的条件下，若线段与一次函数的图像有交点． ①一次函数的图像必过某个定点，则该定点的坐标为______； ②一次函数中的取值范围是______．      【答案】解：（1）∵直线：，直线：， ∴直线与x的交点坐标为，与y轴的交点坐标为；直线过点、， 如图：在方格纸中描点、连线画出直线、，观察可知其交点坐标为，则方程组的解为；    故答案为：． （2）∵与的面积相等， ∴点C在过原点O且平行于直线的直线上，即， ∵点在直线上， '∴，解得：， ∴； （3）①∵， ∴次函数的图像必过定点； ②当直线经过点A时，则有：，解得：， 当直线经过点B时，则有：，解得：， ∴线段与一次函数的图像有交点，    ∴k的取值范围是或． 故答案为: ①； ②或． 三、根据一次函数的图象求不等式的解集 1.在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法错误的是（   ） A.当时， B.方程的解是 C.当时， D.不等式的解集是 【答案】C 【解析】本题考查了一次函数的图象，根据函数的图象直接进行解答即可判断求解，利用数形结合求解是解题的关键． 一次函数的图象与轴，轴的交点为，， 当时，，故A正确，不符合题意； 方程的解是，故B正确，不符合题意； 当时，，故C错误，符合题意； 不等式的解集是，故D正确，不符合题意； 故选：C． 2.如图，一次函数图象与x轴交于点，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据图象即可求出答案． ∵一次函数图象与x轴交于点， ∴由图象知的解集为， 故选：B． 3.已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据一次函数的平移结合函数图象得出经过，进而即可求解． ∵经过， ∴经过， ∴不等式的解集是， 故选：C． 4.已知一次函数的图象经过二、三、四象限，且与x轴交于，则关于x的不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】此题考查了一次函数的图象与不等式的关系．的解集即为一次函数的图象x轴上方部分的自变量取值范围，根据图象直接解答． ∵一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴的解集即为一次函数的图象x轴上方部分的自变量取值范围， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 5.如图，一次函数的图像经过两点，则关于的不等式的解集是           ． 【答案】 【解析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．直接根据图象解答即可． 由图象可知，关于的不等式的解集是． 故答案为：． 6.设一次函数，且函数y的图象过原点． (1)求的值． (2)点，点都在函数y的图象上，比较，的大小． (3)若函数值，求自变量x的取值范围． 【答案】解：（1）由题意，得， 解得． （2）∵ ∴ ∵点，点都在函数上 因为，所以y随x的增大而减小， 因为，所以． （3）由题意，得， 解得． 7.如图，函数和的图象相交于点． (1)求m，a的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）解：把代入得，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∵函数的图象经过点A， ∴， 解得：； （2）由图象得，不等式的解集为：． 四、根据两条直线的交点求不等式组的解集 1.如图，在同一个平面直角坐标系中作出一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线交于点C．已知点，，，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，下列说法不正确的是（    ）    A.关于x的方程的解集是 B.关于x的不等式的解集是 C.关于x的不等式的解集是 D.关于x的不等式组的解集是 【答案】C 【解析】分别根据两直线与坐标轴的交点，两直线的交点坐标，结合方程和不等式的形式，结合图像得出答案，即可判断． A. 关于x的方程的解集是，故正确，不合题意； B. 关于x的不等式的解集是，故正确，不合题意； C. 关于x的不等式的解集是，故错误，符合题意； D. 关于x的不等式组的解集是，故正确，不合题意； 故选C． 2.如图，直线经过点和点，直线过点A，则不等式组的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．根据题意可得解不等式组的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分的自变量的取值范围． ∵直线过点， ∴， ∴点， 根据题意得：与交点为， 解不等式组的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分， 又， 此时自变量x的取值范围是． 即不等式组的解集为：． 故选：B． 3.如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，则关于x的不等式组的解集为（　　）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】图象法解不等式组即可． 由图象可知：不等式组的解集为； 故选D． 4.如图，已知一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象经过点，则关于的不等式组的解集为        ． 【答案】 【解析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．利用函数图象，写出在轴上方且函数的函数值小于函数的函数值对应的自变量的范围即可． 当时，； 当时，， 所以不等式组的解集为． 故答案为：：． 5.如图，函数与的图象交于点，则关于的不等式组的解集为                 ．    【答案】 【解析】首先求出点A坐标，再利用待定系数法求出，然后求出与x轴的交点坐标，进而根据函数图象得出不等式组的解集． 把点代入得：， ∴， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， 当时， 解得：， ∴与x轴交于， 由函数图象得，关于的不等式组的解集为， 故答案为：． 6.已知，一次函数（，k，b为常数）的图象如图1，在图2中正比例函数（，m是常数）的图象与一次函数的图象交于点， (1)观察图象（图1），写出方程 的解和不等式的解集．    (2)观察图象（图2），把不等式组：中两个不等式的解集表示在同一数轴上，并最终确定该不等式组的解集．    【答案】解：（1）观察函数图象可得时，； 所以方程的解为； 当时，，即， 所以不等式的解集为； （2）观察函数图象，当时，函数和都在x轴上方， 在数轴上表示，如图：  ． ∴该不等式组的解集是：． 7.在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点． (1)求出两条直线的函数表达式，并在坐标系中画出这两条直线； (2)直接写出方程组解是________；不等式组的解集是________； (3)已知点，过点作平行于轴的直线，分别交直线于点，交直线于点，求出两条直线与直线围成的三角形的面积． 【答案】解：（1）将分别代入和得，和， 解得，， 所以两直线的函数表达式为，． 图象如图所示 （2）由图象可知，方程组 的解是； 不等式组的解集是； 故答案为：，； （3）把分别代入，得，， ， ． 五、图象法解二元一次方程组 1.小亮在用作函数图象的方法解二元一次方程组时，在同一坐标系中作出如图所示的图象，他解的这个方程组可能是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据图象的位置，得出k、b的符号，从而排除A、C，把代入B、C即可得到结论． 根据函数图象可知：两个函数的k都小于0，一个b大于0，另一个b小于0，由此可排除A、C． 当x=2时，-2-1=-3≠-2， ∴（2，-2）不在直线y=-x-1上， ∴B错误， 当x=2时，－2×2+2=－2，=－2，满足方程组． 故选D． 2.用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（    ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由图易知两条直线分别经过（1，1）、（0，-1）两点和（0，2）、（1，1）两点，设出两个函数的解析式，然后利用待定系数法求出解析式，再根据所求的解析式写出对应的二元一次方程，然后组成方程组便可解答此题. 由图知，设经过（1，1）、（0，-1）的直线解析式为y=ax+b（a≠0）. 将（1，1）、（0，-1）两点坐标代入解析式中，解得 故过（1，1）、（0，-1）的直线解析式y=2x-1，对应的二元一次方程为2x-y-1=0. 设经过（0，2）、（1，1）的直线解析式为y=kx+h（k≠0）. 将（0，2）、（1，1）两点代入解析式中，解得 ， 故过（0，2）、（1，1）的直线解析式为y=-x+2，对应的二元一次方程为x+y-2=0. 因此两个函数所对应的二元一次方程组是 故选：D. 3.以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线（ ） A.有一个交点 B.有无数个交点 C.没有交点 D.以上都有可能 【答案】D 【解析】二元一次方程组中的两个方程的解的个数可能有一个，或两个方程有无数个解，或无解，因而以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线有一个交点或有无数个交点或没有交点． 由于方程组的解即为两个函数的交点坐标，而方程组的解有三种可能： ①方程组无解； ②有一个解； ③有无数个解（此时两直线重合）； 所以，，的情况都有可能． 故选． 4.如图，图中两条直线的交点坐标的是方程组             的解． 【答案】 【解析】根据题中给出的点的坐标，用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两直线解析式所组成的方程组即为所求的方程组． 根据题意可知，所经过的点的坐标：，， 所经过的点的坐标：，， ∴设解析式为， 则有：， 解之得： ∴解析式为， 设解析式为， 则有：， 解之得：， ∴解析式为， 因此所求的二元一次方程组是． 故答案是：． 5.一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为     ，     ． 【答案】1 3 【解析】利用表中的对应值得到时，，则可判断一次函数的图象和的图象的交点坐标为，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 由表中数据得到时，， 所以一次函数的图象和的图象的交点坐标为， 所以方程组的解为，． 故答案为：1，3． 6.如图，直线与直线相交于点． 的值为________； 不解关于，的方程组，请你直接写出它的解：________； 当时，求直线、直线与轴所围成的三角形的面积． 【答案】∵在直线上， ∴当时，． 故答案为：． ∵直线与直线相交于点； 当时，代入方程得； ∴方程组的解是， 故答案为：． ， 当时，即与轴交点坐标为； ：且； 将代入得； 当时，y=4，即与轴交点坐标为； 又； ∴，与轴围成三角形面积． 7.图象法解方程组. 【答案】解：画出函数x+2y=6和2x-y=2的图象，如图， 它们的交点的坐标为（2，2）， 所以方程组的解为． 六、利用一次函数的图象解一元一次方程 1.数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图像可知，关于的方程的解是（ ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由直线与直线相交于点即可得出方程的解． 直线与直线相交于点， 关于的方程的解是， 故选：B． 2.如图所示，已知点A(﹣1，2)是一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上的一点，则下列判断中正确的是（　　）      A.y随x的增大而减小 B.k＞0，b＜0 C.当x＜0时，y＜0 D.方程kx+b＝2的解是x＝﹣1 【答案】D 【解析】根据一次函数的性质判断即可． 由图象可得： A、y随x的增大而增大； B、k＞0，b＞0； C、当x＜0时，y＞0或y＜0； D、方程kx+b＝2的解是x＝﹣1， 故选：D． 3.直线的图象如图所示，则方程的解为 A. B. C.2 D.0 【答案】D 【解析】直接利用待定系数法求出b的值，解方程即可． ∵直线y=2x+b的图象经过（-1，-5）， ∴-2+b=-5， 解得：b=-3， ∴方程2x+b=-3为：2x-3=-3， 解得：x=0． 故选D． 4.如图，直线与直线交于点，则根据图象可得关于x的方程的解是      ． 【答案】. 【解析】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，根据图象解出方程，即可得到答案． 根据题意，∵直线与直线交于点， ∴根据图象可得关于x的方程的解是：， 故答案为：． 5.如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是           ． 【答案】 【解析】根据方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值解答即可． ∵直线与相交于点， ∴方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值， ∴方程的解为， 故答案为：． 6.请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法解决下列问题：    (1)在平面直角坐标系中，画出函数的图象： ①列表填空： ②描点、连线，画出的图象； (2)结合所画函数图象，写出两条性质； (3)结合所画函数图象，请直接写出方程的解． 【答案】解：（1）①填表如下 ②的图象    （2）①的图象位于第一、二象限，在第一象限y随x的增大而增大，在第二象限y随x的增大而减小；②函数有最小值，最小值为0． （3），当时，解得．当时，得得，不符合题意； ∴方程的解为：． 7.小航结合学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究，下面是小航的探索过程，请补充完整： (1)列表： 表格中________； (2)根据列表，在给出的平面直角坐标系中描点，画出的函数图象，求的最大值； (3)如图，已知直线l的表达式为，根据图像直接写出的解____________ 【答案】解：（1）当时，， 故答案为：1； （2）描点连线，函数图象如下： 由图象可知，的最大值是4， 故答案为：4； （3）由图象可知，函数与函数的交点为和， 解集为或， 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$