【第五章 直角三角形 01讲 直角三角形的性质定理】【三大知识点+三大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版湘教版专用）

第五章 直角三角形 01讲 直角三角形的性质定理 题型归纳 【题型1. 直角三角形的两个锐角互余】……………………………………………… 2 【题型2. 斜边的中线等于斜边的一半】……………………………………………… 7 【题型3. 含30°角的直角三角形】…………………………………………………… 11 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 18 知识清单 知识点1 直角三角形的性质1 1.性质1：直角三角形的两个锐角互余. 【提示】 “直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是“有两个角互余的三角形是直角三角形”； “有两个角互余的三角形是直角三角形”是真命题. 知识点2 直角三角形的性质2A B C D 1.性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.符号语言：如图，∵ AD是Rt△ABC斜边BC上的中线 ∴ AD=BD=CD= 知识点3 直角三角形的性质3 1.性质3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.A B C 2.符号语言：如图，∵ 在Rt△ABC中∠C=30° ∴ AB= 【提示】 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 题型专练 题型1. 直角三角形的两个锐角互余 【例1】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，中，，是高，则与（    ） A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角的关系写出即可． 根据直角等于写出关系式，然后根据同角的余角相等即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是高， ∴， ∴． 故选：C． 【例2】（2025·河南驻马店·三模）如图，在一个建筑工地有两根平行的钢梁和，它们分别固定在建筑物的不同位置，用于支撑结构．工人师傅需要在钢梁上安装两根互相垂直的支架，，以确保钢梁的稳定性和安全性．经测量发现，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了平行线的性质，先根据垂直的定义得到，再根据平行线的性质即可得解．熟记性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，中，，垂足为D，点E在边上，连接，且 (1)求证：； 在括号内填写相应的依据． 证明：，垂足为D， （___________）， 在中，（___________）， ， （___________）， （___________）； (2)若，，求，的度数． 【分析】（1）由垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，内错角相等，两直线平行求证即可得到答案； （2）由平行线的性质得到，数形结合即可得到，再由代值求解即可得到，在中，由三角形内角和定理代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：，垂足为D， （垂直的定义）， 在中，（直角三角形的两个锐角互余）， ， （同角的余角相等）， （内错角相等，两直线平行）； （2）解：，， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查垂直定义、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、平行线的判定与性质、三角形内角和定理等知识．熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·广东珠海·期末）下列命题的逆命题正确的是（　　） A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的周长相等 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．如果，那么 【分析】本题考查了求一个命题的逆命题，判断命题的真假，熟练掌握求一个命题的逆命题及判断命题的真假是解题的关键．分别写出各选项的逆命题，并判断其真假即可． 【详解】解：A. 原命题：全等三角形面积相等；逆命题：面积相等的三角形全等；面积相等不一定全等，所以逆命题错误，选项A不符合题意； B. 原命题：全等三角形周长相等；逆命题：周长相等的三角形全等；周长相等不一定全等，所以逆命题错误，选项B不符合题意； C. 原命题：直角三角形的两个锐角互余；逆命题：两个锐角互余的三角形是直角三角形；逆命题正确，所以选项C符合题意； D. 原命题：如果，那么；逆命题：如果，那么；逆命题错误，所以选项D不符合题意． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·广东揭阳·期中）如图．中，是的高．．求的长． 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．根据含角的直角三角形的三边特征，即可解答． 【详解】解：，， ，， 是高， ， ， ． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【分析】本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形性的判定与性质等知识，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中三角形全等得到，在中，，从而在中，求得即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， 即， 在和中， ， ， ；. （2）证明：由（1）知，， ， 在中，， 在中，． 题型2. 斜边的中线等于斜边的一半 【例1】（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，已知，，E为的中点．求证：． 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．由直角三角形斜边中线的性质推出，，即可证明． 【详解】证明：，， ， 为的中点， ，， ． 【例3】（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中， ，是边上的中线，于点，交的延长线于点，若 ，求的度数． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据垂线的定义得到，再由直角三角形两锐角互余得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则由等边对等角得到 ，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：， ． ， ． ，是边上的中线， ， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，则的长为（　　） A．3 B．6 C．7 D． 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质． 由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，，点D为边的中点， , 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在四边形中，，连接，且．点、分别为、的中点，连接．证明：． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理．先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由三角形中位线定理得到，根据，即可证明． 【详解】证明：∵，是的中点． ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴． 【变式3】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，，，，． 【阅读填空】 （1）点是的中点，连接，则_____（用含a或b或c的式子表示，下同）；点是的中点，连接，则______； （2）点是的中点，连接，则______；点是的中点，连接，则______； （3）点是的中点，连接，则______；点是的中点，连接，则______； 以此类推，…… 【猜想】点是的中点，连接，则______；点是的中点，连接，则______．（不用说理） 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边中线的性质．根据三角形中位线定理以及直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：（1）点是的中点，连接，则（用含a或b或c的式子表示，下同）；点是的中点，连接，则； （2）点是的中点，连接，则；点是的中点，连接，则； （3）点是的中点，连接，则；点是的中点，连接，则； 以此类推，…… 猜想：点是的中点，连接，则；点是的中点，连接，则． 故答案为：（1）；；（2）；；（3）；；猜想：；． 题型3. 含30°角的直角三角形 【例1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 在中， ， ，的垂直平分线交于点D， 交于点 E，若， 则等于 （    ） A．10 B．12 C．16 D．18 【分析】本题考查垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质得为等腰三角形是解决本题的关键 ． 根据为的垂直平分线，即线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，可得为等腰三角形，即可求解的度数，再结合的直角三角形的性质即可求解 ． 【详解】解：因为的垂直平分线交于点D， 所以可得，即为等腰三角形， 所以， 又因为 ， 所以， 又因为， 所以， 所以， 则在中，， 所以 ． 故选：B ． 【例2】（2025·广东珠海·三模）如图，在中，． (1)尺规作图：过点C作斜边边上的高，垂足为D；（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键： （1）根据尺规作垂线的方法，作图即可； （2）根据同角的余角相等，结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【例3】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，交于点D， (1)求证：． (2)若，求的面积． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质， （1）根据等腰三角形的性质得，再求出，进而得出，然后根据直角三角形的性质得，则答案可得；   （2）作，根据直角三角形的性质得，再由（1）得，然后根据得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵交于点D， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ∴； （2）解：过点A作于点E， ∴． ∵， ∴， 由（1）可知， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·广西来宾·阶段练习）如图，一辆货车为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握所对直角边是斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．      (1)求证：； (2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长． 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可证明； （2）由，，得出为直角三角形，，再根据，得出，进而求出的长，进而求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴为直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为：． 【变式3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题情境】 在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线，为背景开展数学活动．如图，已知两直线且，在中，，． 【解决问题】 （1）如图1，若，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，当的度数不变时，创新小组的同学把直线向上平移，求的度数； 【拓展应用】 （3）创意小组将图形继续变化得到图3，若平分，求的度数． 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，直角三角形的性质，角平分线的定义， 对于（1），根据平角定义求出，再根据“两直线平行，同位角相等”得出答案； 对于（2），作，先根据平行线的性质求出，进而求出，再根据“两直线平行同旁内角互补”得出答案； 对于（3），先根据角平分线的定义求出，再作，根据“两直线平行内错角相等”得，进而求出，然后根据平行线的性质得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴． ∵， ∴； （2）如图，过点B作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （3）∵，平分， ∴． 如图所示，作， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，若于点F，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，直角三角形的性质，角平分线的定义， 对于（1），根据平角定义求出，再根据“两直线平行，同位角相等”得出答案； 对于（2），作，先根据平行线的性质求出，进而求出，再根据“两直线平行同旁内角互补”得出答案； 对于（3），先根据角平分线的定义求出，再作，根据“两直线平行内错角相等”得，进而求出，然后根据平行线的性质得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴． ∵， ∴； （2）如图，过点B作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （3）∵，平分， ∴． 如图所示，作， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）在中，，是的中点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．据此解答即可． 【详解】解：∵在中，，是的中点，且， ∴， 即的长为． 故选：C． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，过点作，分别交、于点，若，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，先证明为等边三角形，，为等边三角形，再进一步求解即可. 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选：D 4．（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图1是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（    ） A．62 B．54 C．64 D．74 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．过作于，过作于，则可和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：如图所示，过作于，过作于， ， 则中，()， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 通过闸机的物体的最大宽度为()， 故选：A． 5．（2025·河北邯郸·三模）如图，，，交于点E，M为斜边的中点，若，．对于和之间的数量关系，三位同学给出了不同的猜测：甲：，乙：，丙：，其中正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙都有可能 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 根据题意可得，，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证，继而证明，解得，最后根据三角形内角和定理，分别解得和的关系，整理即可解题． 【详解】解：， ， M为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故甲正确，乙丙都不正确， 故选A． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，在四边形中，，平分交于点E，连接，点F为上方一点，连接，点M、N分别是延长线上的点，已知，．下列结论错误的是（   ） A．与为内错角 B． C． D．平分 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的判定和性质．根据三角形内角和定理，平行线的判定和性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：根据题意得：与为内错角，故A选项正确，不符合题意； ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； ∴， ∵， ∴，故B选项错误，符合题意； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分，故D选项正确，不符合题意； 故选：B 7．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图方法，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，由作图可知垂直平分，则，，由直角三角形斜边中线等于斜边一半的可知，再求出，最后通过等边对等角和三角形内角和定理即可求解，正确理解线段垂直平分线的作图是解题的关键． 【详解】解：由作图可知垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8．（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，那么下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是根据特殊三角形中边和角之间的关系，判断三角形中角之间的关系． 【详解】解：A选项：在中，， ， ， ， ， ， 故A选项一定成立； B选项：在中，，是边上的中线， ， ， 由A选项可知， ， 故B选项一定成立； C选项：是的外角， ， 由B选项可知， ， ， 故C选项一定成立； D选项：当时，是等边三角形， ， 平分， 则有， 若，则不成立， 故D选项不一定成立． 故选：D． 9．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，将含有角的直角三角尺（）绕顶点A逆时针旋转到的位置，使点B的对应点D落在BC边上，连接EB、EC，则下列结论：①；②；③为的垂直平分线；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，中垂线的判定，含30度角的直角三角形的性质，根据旋转得到，，推出为等边三角形，进而推出，得到，推出为等边三角形，进而得到，推出为的垂直平分线，三线合一推出，得到，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵旋转， ∴，，，故①正确； ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴为的垂直平分线，故③正确； ∴， ∵， ∴；故④正确； 故选A． 10．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（   ） ①是的平分线；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、含30度角的直角三角形，由作图过程可知，射线为的平分线，即是的平分线；由题意得，由角平分线的定义得，则；根据，可得；过点D作于点E，由角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，进而可得，则，即可得出答案． 【详解】解：由作图过程可知，射线为的平分线， 即是的平分线， 故①正确，符合题意； ∵， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 过点D作于点E， ∵是的平分线，， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， 故④不正确，不符合题意． 综上所述，正确的个数是3． 故选：C． 二、填空题 11．（2025·新疆伊犁·模拟预测）如图，在中，，，，，分别为边，上的任意一点，且．连接．若是直角三角形，则 ． 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，分，两种情况分析，分别画出图形，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：当时， ∵，， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴， 当时， 如图 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：或． 12．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，则的长为 ． 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，直角三角形斜边中线等于斜边一半．根据数轴上两点之间的距离得到，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：由题意可得， ，点为的中点， ， 故答案为：8． 13．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若的长为米，则乘电梯从点到点上升的高度为 米． 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，掌握添加合理的辅助线，构造直角三角形，运用含角的直角三角形的性质是解题的关键．根据题意，过点作延长线于点，则，可得，运用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴点到点上升的高度米， 故答案为： ． 14．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，平分，，，，则 ． 【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义，直角三角形两锐角互余的性质是解题的关键．由三角形内角和定理得到，由平分，，得到，，即可得到，即可得到，最后根据直角三角形两锐角互余求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 15．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，点A、B的对应点分别为点，，连接，若点，B，A在同一条直线上，则的长为 ． 【分析】本题考查了图形旋转的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握图形旋转的性质、直角三角形的性质及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 根据图形旋转的性质，得到，即得，然后根据直角三角形的性质可逐步求得，，再根据等腰三角形的判定求得，即可求得答案． 【详解】解：绕点C逆时针旋转得到， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：3． 16．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱分别垂直于横梁，若，则立柱的长为 ．    【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得，再利用等腰三角形的性质得，然后由含度的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 17．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，正三角形的面积是2，O为三角形的中心（三条中线的交点），点D、E分别在边、上，且，则阴影部分的面积为 ． 【分析】连接， ，延长交于Ｆ点，则可得， 且，，由四边形内角和等于可得 ，进而可得，由可得，进而可得． 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的做辅助线，将阴影部分的面积转化成的面积是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，延长交于Ｆ点 ∵O为正三角形的中心， ，， 且，， ， ∵四边形中，， ， ， 又， ， 在和中 ， ， ， ， ∵，， ， ， ． 故答案为： 18．（2025·内蒙古包头·三模）如图，在中，，D是上一点，点E在的延长线上，且，连接交于F，过点D作，垂足为G，连接．若，，则 ． 【分析】作交于H，如图，利用等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，则，所以，加上，所以，于是可根据“”可证明，得到，则为斜边上的中线，所以，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可求出． 【详解】解：如图，作交于H． ， ， ， ，， ， ， 又 ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是斜边上的中线， ， ， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了含30度的直角三角形三边的关系． 19．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为 ． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，线段最短问题，解题的关键是掌握相关知识，并正确作出辅助线．延长到点，使得，连接，，由，，，可得：，，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接，， ，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 20．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，直线l上摆放着两个大小相同的和，，，将沿直线l向左平移得到；使点落在AB上，与AC交于点P．有下列结论： ①； ②； ③和的周长之和大于的周长； ④图中阴影部分的面积之和等于的面积，其中正确的是 ．（填序号） 【分析】本题考查平移的性质，三角形面积的计算，掌握平移的性质，掌握三角形、平行四边形、长方形面积的计算方法是正确解答的关键． 根据平移的性质，三角形面积、平行四边形、长方形面积之间的关系进行判断即可． 【详解】解：∵两个大小相同的和， ，， ，，，， 由平移的性质可知，，，， ， ， 因此①正确； ，， ， ， 因此②正确； 和的周长之和为 ′， 即与的周长相等，而与形状大小完全一样， 和的周长之和等于的周长， 因此③不正确； ， ， 因此④正确； 综上所述，正确的结论有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题 21．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，，求证：． 【分析】本题考查了垂直的定义，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，则，再通过等角的余角相等得出． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在等边中，是角平分线，作，垂足为F，作，垂足为若等边的边长为16，求的长． 【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，由等边三角形的性质得到，，由含30度角的直角三角形的性质推出，，即可求出BH的长． 【详解】解：是等边三角形，是角平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 23．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E．过点D作，交的延长线于点F，求的度数． 【分析】此题考查三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的性质，根据三角形外角性质求出的度数，由角平分线得到的度数，进而求出，再根据平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴． 24．（24-25九年级上·江西宜春·期末）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边对等角，结合等角的余角相等，对顶角相等，得到即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，证明为等边三角形，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，，， ∴，为等边三角形， ∴， ∴． 25．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1，是的角平分线，E为射线上一点，过点E作，垂足为点F． (1)若，且点E在线段上． ①_______，理由是________； ②若平分交于点H，求证：； (2)如图2，若点E在线段的延长线上，平分交的延长线于点I，用等式表示与的数量关系，并证明． 【分析】（1）①根据直角三角形的两个锐角互余即可得到结论； ②先证明，再利用三角形外角的性质证明，进而可证； （2）设，，由三角形外角的性质得出，，消去x，y即可求解． 【详解】（1）①∵， ∴，理由是直角三角形的两个锐角互余． 故答案为：90，直角三角形的两个锐角互余； ②证明：平分， ， ，， ，， ， 又， ， ． 平分， ， ， ． （2），理由如下： ，分别平分，， 设，， ， 即，① ， 即，② 由①②，得， 即． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键． 26．（24-25七年级下·安徽池州·期末）把一块含角的直角三角尺（其中，）按下图所示的方式摆放在两条平行线，之间． (1)如图1，若三角形的角的顶点落在上，且，求的度数． (2)如图2，若把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上，与的数量如何？说明理由． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，从而可得，再，进行计算即可得到答案； （2）由平行的性质可得，从而得到，再由，从而得到，进而即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2）． 理由如下： ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ． 27．（24-25八年级下·江苏常州·期末）某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图1所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的圆弧翼，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 ； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【分析】本题考查了直角三角形的应用，分式方程的应用； （1）连接，并向两方延长，分别交于，根据题意得到，再根据直角三角形的性质得到，，代入计算即可； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：连接，并向两方延长，分别交于， 由点在同一条水平线上，均垂直于地面可知，， 所以的长度就是与之间的距离， 在中，，， ∴， 同理可得， ∴， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的根， 当时，， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人． 28．（24-25七年级下·四川成都·期末）在中，． (1)当时， ①如图1，作边的垂直平分线，交于点D，交于点E．若，求的长； ②如图2，为的角平分线，在边上取一点G，使得，求的度数； (2)如图3，作于点H，平分，交于点M，点N在边上，连接，若，，试探究与的数量关系并说明理由． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）①直接根据含30度角的直角三角形的性质可得答案；②过点F作于E，求出；证明，得到，再证明，得到，则； （2）过点C作交的延长线于T，则，根据，可证明；过点M作交于D，则，，证明，得到，由三线合一定理得到；证明，得到，则，据此可得． 【详解】（1）解：①∵在中，，， ∴； ②如图所示，过点F作于E， ∴， ∵在中，，， ∴； ∵为的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，过点C作交的延长线于T， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； 如图所示，过点M作交于D， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．（24-25七年级下·北京·期末）乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千．乐乐坐在秋千上的起始位置是A处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2 m 高的处接住她，妈妈用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离分别为 和． (1)与全等吗？ 请说明理由； (2)爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解答本题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长则可得出答案； 【详解】（1）解：．理由如下： ， ， ； ， ； （2）解：∵， ； ∵分别为和， ， ； ∵妈妈在距地面 高的处，且， ∴爸爸在距离地面高的地方接住乐乐． 30．（24-25八年级下·山东青岛·期中）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则，， ∴ 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，，则 ______； (2)如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______，______； (3)如图③，在中，，分别是和边上的点，若，，，则______． (4)在中，，，是边上的高． 求：①与的面积之比； ②若，求和的具体值． 【分析】本题主要考查了等高三角形的定义、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． （1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． （4）①设，利用含30度角的直角三角形的性质分别求得，，然后根据“等高三角形”的面积关系可得结论； ②根据①中面积关系求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于E， 则，， ∴； （2）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴； （3）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． （4）解：如图，设， ∵在中，，，是边上的高， ∴，， ∴， ∴，则， ∵与是等高三角形， ∴； ②∵，， ∴， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 直角三角形 01讲 直角三角形的性质定理 题型归纳 【题型1. 直角三角形的两个锐角互余】……………………………………………… 2 【题型2. 斜边的中线等于斜边的一半】……………………………………………… 4 【题型3. 含30°角的直角三角形】…………………………………………………… 6 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 9 知识清单 知识点1 直角三角形的性质1 1.性质1：直角三角形的两个锐角互余. 【提示】 “直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是“有两个角互余的三角形是直角三角形”； “有两个角互余的三角形是直角三角形”是真命题. 知识点2 直角三角形的性质2A B C D 1.性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.符号语言：如图，∵ AD是Rt△ABC斜边BC上的中线 ∴ AD=BD=CD= 知识点3 直角三角形的性质3 1.性质3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.A B C 2.符号语言：如图，∵ 在Rt△ABC中∠C=30° ∴ AB= 【提示】 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 题型专练 题型1. 直角三角形的两个锐角互余 【例1】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，中，，是高，则与（    ） A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系 【例2】（2025·河南驻马店·三模）如图，在一个建筑工地有两根平行的钢梁和，它们分别固定在建筑物的不同位置，用于支撑结构．工人师傅需要在钢梁上安装两根互相垂直的支架，，以确保钢梁的稳定性和安全性．经测量发现，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，中，，垂足为D，点E在边上，连接，且 (1)求证：； 在括号内填写相应的依据． 证明：，垂足为D， （___________）， 在中，（___________）， ， （___________）， （___________）； (2)若，，求，的度数． 【变式1】（24-25八年级下·广东珠海·期末）下列命题的逆命题正确的是（　　） A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的周长相等 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．如果，那么 【变式2】（23-24八年级下·广东揭阳·期中）如图．中，是的高．．求的长． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 题型2. 斜边的中线等于斜边的一半 【例1】（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，已知，，E为的中点．求证：． 【例3】（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中， ，是边上的中线，于点，交的延长线于点，若 ，求的度数． 【变式1】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，则的长为（　　） A．3 B．6 C．7 D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在四边形中，，连接，且．点、分别为、的中点，连接．证明：． 【变式3】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，，，，． 【阅读填空】 （1）点是的中点，连接，则_____（用含a或b或c的式子表示，下同）；点是的中点，连接，则______； （2）点是的中点，连接，则______；点是的中点，连接，则______； （3）点是的中点，连接，则______；点是的中点，连接，则______； 以此类推，…… 【猜想】点是的中点，连接，则______；点是的中点，连接，则______．（不用说理） 题型3. 含30°角的直角三角形 【例1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 在中， ， ，的垂直平分线交于点D， 交于点 E，若， 则等于 （    ） A．10 B．12 C．16 D．18 【例2】（2025·广东珠海·三模）如图，在中，． (1)尺规作图：过点C作斜边边上的高，垂足为D；（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【例3】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，交于点D， (1)求证：． (2)若，求的面积． 【变式1】（24-25八年级下·广西来宾·阶段练习）如图，一辆货车为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．      (1)求证：； (2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长． 【变式3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题情境】 在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线，为背景开展数学活动．如图，已知两直线且，在中，，． 【解决问题】 （1）如图1，若，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，当的度数不变时，创新小组的同学把直线向上平移，求的度数； 【拓展应用】 （3）创意小组将图形继续变化得到图3，若平分，求的度数． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，若于点F，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）在中，，是的中点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，过点作，分别交、于点，若，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 4．（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图1是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（    ） A．62 B．54 C．64 D．74 5．（2025·河北邯郸·三模）如图，，，交于点E，M为斜边的中点，若，．对于和之间的数量关系，三位同学给出了不同的猜测：甲：，乙：，丙：，其中正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙都有可能 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，在四边形中，，平分交于点E，连接，点F为上方一点，连接，点M、N分别是延长线上的点，已知，．下列结论错误的是（   ） A．与为内错角 B． C． D．平分 7．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，那么下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，将含有角的直角三角尺（）绕顶点A逆时针旋转到的位置，使点B的对应点D落在BC边上，连接EB、EC，则下列结论：①；②；③为的垂直平分线；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 10．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（   ） ①是的平分线；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．（2025·新疆伊犁·模拟预测）如图，在中，，，，，分别为边，上的任意一点，且．连接．若是直角三角形，则 ． 12．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，则的长为 ． 13．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若的长为米，则乘电梯从点到点上升的高度为 米． 14．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，平分，，，，则 ． 15．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，点A、B的对应点分别为点，，连接，若点，B，A在同一条直线上，则的长为 ． 16．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱分别垂直于横梁，若，则立柱的长为 ．    17．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，正三角形的面积是2，O为三角形的中心（三条中线的交点），点D、E分别在边、上，且，则阴影部分的面积为 ． 18．（2025·内蒙古包头·三模）如图，在中，，D是上一点，点E在的延长线上，且，连接交于F，过点D作，垂足为G，连接．若，，则 ． 19．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为 ． 20．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，直线l上摆放着两个大小相同的和，，，将沿直线l向左平移得到；使点落在AB上，与AC交于点P．有下列结论： ①； ②； ③和的周长之和大于的周长； ④图中阴影部分的面积之和等于的面积，其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题 21．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，，求证：． 22．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在等边中，是角平分线，作，垂足为F，作，垂足为若等边的边长为16，求的长． 23．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E．过点D作，交的延长线于点F，求的度数． 24．（24-25九年级上·江西宜春·期末）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的长． 25．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1，是的角平分线，E为射线上一点，过点E作，垂足为点F． (1)若，且点E在线段上． ①_______，理由是________； ②若平分交于点H，求证：； (2)如图2，若点E在线段的延长线上，平分交的延长线于点I，用等式表示与的数量关系，并证明． 26．（24-25七年级下·安徽池州·期末）把一块含角的直角三角尺（其中，）按下图所示的方式摆放在两条平行线，之间． (1)如图1，若三角形的角的顶点落在上，且，求的度数． (2)如图2，若把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上，与的数量如何？说明理由． 27．（24-25八年级下·江苏常州·期末）某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图1所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的圆弧翼，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 ； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 28．（24-25七年级下·四川成都·期末）在中，． (1)当时， ①如图1，作边的垂直平分线，交于点D，交于点E．若，求的长； ②如图2，为的角平分线，在边上取一点G，使得，求的度数； (2)如图3，作于点H，平分，交于点M，点N在边上，连接，若，，试探究与的数量关系并说明理由． 29．（24-25七年级下·北京·期末）乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千．乐乐坐在秋千上的起始位置是A处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2 m 高的处接住她，妈妈用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离分别为 和． (1)与全等吗？ 请说明理由； (2)爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？ 30．（24-25八年级下·山东青岛·期中）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则，， ∴ 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，，则 ______； (2)如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______，______； (3)如图③，在中，，分别是和边上的点，若，，，则______． (4)在中，，，是边上的高． 求：①与的面积之比； ②若，求和的具体值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$