第十八讲 画轴对称的图形（3个知识点5大典例）暑假预习讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点5大典例） 第十八讲 画轴对称的图形 知识点梳理 知识点1 轴对称变换 1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。 2.性质： ①由一个平面图形可以得到与它关于某一条直线对称的图形，这两个图形全等。 ②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点。 ③连接任意一组对应点的线段一定被对称轴垂直平分。 知识点2 作轴对称图形 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 2.具体步骤： ①找图形的关键点。 ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的 对应点 。 ③按照原图形连接各对应点。 知识点3 坐标系中的轴对称 1.特点：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y). 2.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出坐标—写出对称点的坐标； （2）描点—根据对称点的坐标描点； （3）连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形. 题型解析 题型1 画轴对称图形 例1 .如图是某设计师在方格纸中设计的图案的一部分，请你帮他完成余下的工作，以直线AB为对称轴，画出图案的另一半． 名师支招 名师支招 名师支招 ①找图形的关键点。 ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的 对应点 。 ③按照原图形连接各对应点。 针对训练1 1．如图，在正方形网格中点A，B， C均为格点，接要求作图(保留作图痕迹，不写作法)： （1）作出∆ABC关于直线1的对称图形∆A'BC'： （2）求∆ABC的面积； （3）在直线1上找一点D， 使AD+CD最小. 2．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点M、N均在格点上． （1）在图①中，画出线段关于对称后的线段． （2）在图②中，画出线段关于对称后的线段． （3）在图③中，画出点P关于对称后的点Q． 3．如图是的正方形网格，其中已有5个小方格涂成了黑色、根据下列要求涂色： （1）在图1中，再涂黑一个小方格，使整个涂色的图形成为轴对称图形； （2）在图2中，再涂黑一个小方格，使整个涂色的图形成为轴对称图形，且只有一条对称轴． 题型2 设计轴对称图案 例2．如图，在图形T上补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 名师支招 一、确定对称轴与关键点 选择对称轴 ：通常以图形中心线为基准，也可根据设计需求调整位置。 标记关键点 ：识别图形中所有线段端点，确保对称轴两侧对应点等距分布。 . 二、绘制与复制图形 绘制一半图形 ：仅画出对称轴一侧的图案，确保线条清晰、结构完整。 镜像复制 ：通过对称轴作垂线，将关键点沿对称轴延长相同距离，依次连接各点完成另一半。 三、优化细节与美感 调整对称性 ：检查图形是否完全重合，必要时微调线条粗细、形状大小。 色彩搭配 ：选择协调色彩（如对比色、相近色或单色），增强视觉效果。 四、设计方法与技巧 基础方法 ：利用网格纸、剪纸等工具辅助设计，或通过平移、旋转等变换扩展图案。 创意拓展 ：结合基本图形（如三角形、圆形）进行组合，或设计重复单元形成复杂图案。 针对训练2 1．如图是正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的三种方案不能重复． 2．在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出4个这样的.（每个正方形个点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是重合的，则视为一种） 3．由小正方形组成的3×3的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图（每小题只画一种即可）： 图① 图② 图③ （1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点． （2）在图②中，画一条不与AB重合的线段PQ，使PQ与AB关于某条直线对称，且P，Q为格点． （3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点． 题型3 关于轴、轴对称的点的坐标特征 例3．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（　　） A．， B．， C．， D．， 名师支招 对称点坐标规律可通过坐标轴方向变化直观理解 作轴对称图形时需注意对应点连线被对称轴垂直平分 针对训练3 1．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）请在图1中作关于x轴成轴对称的； （2）在图2中将向右平移个单位，作出平移后的；则此三角形的面积为 ▲ ． （3）在轴上求作一点，使的值最小，点的坐标为 ▲ ． 3．平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点； （2）求的面积． （3）若与关于x轴对称，写出、、的坐标． 题型4 坐标系中轴对称变换 例4．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标　 　； （2）在（1）的条件下，连接CC1交AB于点D，请标出点D，并直接写出CD的长． 名师支招 关键点对称 ：先确定原图形的关键点（如顶点），求出其对称点坐标。 连线成图 ：按原图形的连接方式连接对称点，形成轴对称图形 针对训练4 1．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，按要求解下列问题： （1）写出点C关于x轴的对称点的坐标； （2）判断的形状并说明理由． 2．如图，在直角坐标系中，各顶点坐标分别为，，，与关于y轴对称，点A的对称点为． （1）作出； （2）写出的坐标； （3）若P为x轴上一动点，当最小时，直接写出点P的坐标． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______； （2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为______； （3）已知为轴上一点，若的面积为1，求点的坐标 题型5 点的坐标轴对称变换规律 例5．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标，则经过第2024次变换后点A的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 名师支招 x轴对称：横不变，纵相反（横对称，横不变，纵相反）；  y轴对称：纵不变，横相反（纵对称，纵不变，横相反）； 原点对称：横纵全变号（横变纵也变）。 特殊点验证 ：通过已知点（如原点、坐标轴交点）的对称点坐标验证规律的正确性。 针对训练5 1．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（2，3），则经过第2018次变换后所得的A点坐标是　 　． 2．在平面直角坐标系中，若干个边长为个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第秒点运动到点为正整数，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．规定：在平面直角坐标系xOy中，“把某一图形先沿x轴翻折，再沿y轴翻折”为一次变换．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3），C（3，1），若正方形ABCD经过一次上述变换，则点A变换后的坐标为　 　；对正方形ABCD连续做2023次这样的变换，则点D变换后的坐标为　 　． 创新拓展能力提升 1．在平面直角坐标系中，，，a，b满足，点C与点A关于y轴对称． （1）请直接写出B，C两点的坐标； （2）如图1，分别以为直角边向右侧作等腰和等腰，连接交x轴于点M，连接，求证：； （3）如图2，点F为y轴上一动点，点在直线上，若连接E，F，G三点（按逆时针顺序排列）恰好围成一个等腰直角三角形，求符合要求的m的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴． （1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标； （2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C坐标分别为，，.与关于x轴对称，点A，B，C的对称点分别为点E，F，G. （1）请在图中作出，并写出点E，F，G的坐标； （2）若点是的边上一点，其关于x轴的对称点为，求m，n的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点5大典例） 第十八讲 画轴对称的图形（解析版） 知识点梳理 知识点1 轴对称变换 1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。 2.性质： ①由一个平面图形可以得到与它关于某一条直线对称的图形，这两个图形全等。 ②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点。 ③连接任意一组对应点的线段一定被对称轴垂直平分。 知识点2 作轴对称图形 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 2.具体步骤： ①找图形的关键点。 ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的 对应点 。 ③按照原图形连接各对应点。 知识点3 坐标系中的轴对称 1.特点：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y). 2.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出坐标—写出对称点的坐标； （2）描点—根据对称点的坐标描点； （3）连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形. 题型解析 题型1 画轴对称图形 例1 .如图是某设计师在方格纸中设计的图案的一部分，请你帮他完成余下的工作，以直线AB为对称轴，画出图案的另一半． 名师支招 名师支招 名师支招 ①找图形的关键点。 ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的 对应点 。 ③按照原图形连接各对应点。 【答案】见解析 【分析】要画出以直线 为对称轴的图案另一半，需找到已知图案各顶点关于直线 的对称点，再依次连接这些对称点．本题主要考查了轴对称图形的画法，熟练掌握找已知点关于对称轴的对称点的方法是解题的关键． 【详解】解：如图， 针对训练1 1．如图，在正方形网格中点A，B， C均为格点，接要求作图(保留作图痕迹，不写作法)： （1）作出∆ABC关于直线1的对称图形∆A'BC'： （2）求∆ABC的面积； （3）在直线1上找一点D， 使AD+CD最小. 【答案】（1）解：如图所示， 即为所求； （2）解： 的面积 （3）解：如图所示，点D即为所求. 【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题 【解析】【分析】(1)先做出点A、B、C关于直线l的对称点，然后连接即可； (2)利用割补法求出三角形的面积即可； (3)连接 交直线l于点D，则点D即为所作. 2．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点M、N均在格点上． （1）在图①中，画出线段关于对称后的线段． （2）在图②中，画出线段关于对称后的线段． （3）在图③中，画出点P关于对称后的点Q． 【答案】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，确定关于的对称点，记与格线的交点为，连接并延长交格线于，则即为所求； 理由：由正方形的性质可得：，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段的对称线段为． （3）解：如图，连接交于，确定关于的对称点，连接并延长交格线于，则即为所求； 由正方形的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴关于的对称点为． 【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；作图﹣轴对称 【解析】【分析】（1）分根据正方形的对称性作图即可； （2）找到点B的对称点，根据关于轴对称的两条边或延长线的交点在对称轴上作图即可； （3）根据正方形的对称性作图即可. （1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，确定关于的对称点，记与格线的交点为，连接并延长交格线于，则即为所求； 理由：由正方形的性质可得：，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段的对称线段为． （3）解：如图，连接交于，确定关于的对称点，连接并延长交格线于，则即为所求； 由正方形的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴关于的对称点为． 3．如图是的正方形网格，其中已有5个小方格涂成了黑色、根据下列要求涂色： （1）在图1中，再涂黑一个小方格，使整个涂色的图形成为轴对称图形； （2）在图2中，再涂黑一个小方格，使整个涂色的图形成为轴对称图形，且只有一条对称轴． 【答案】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 【知识点】作图﹣轴对称 【解析】【分析】（1）利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可. （2）利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可. （1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 题型2 设计轴对称图案 例2．如图，在图形T上补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 名师支招 一、确定对称轴与关键点 选择对称轴 ：通常以图形中心线为基准，也可根据设计需求调整位置。 标记关键点 ：识别图形中所有线段端点，确保对称轴两侧对应点等距分布。 . 二、绘制与复制图形 绘制一半图形 ：仅画出对称轴一侧的图案，确保线条清晰、结构完整。 镜像复制 ：通过对称轴作垂线，将关键点沿对称轴延长相同距离，依次连接各点完成另一半。 三、优化细节与美感 调整对称性 ：检查图形是否完全重合，必要时微调线条粗细、形状大小。 色彩搭配 ：选择协调色彩（如对比色、相近色或单色），增强视觉效果。 四、设计方法与技巧 基础方法 ：利用网格纸、剪纸等工具辅助设计，或通过平移、旋转等变换扩展图案。 创意拓展 ：结合基本图形（如三角形、圆形）进行组合，或设计重复单元形成复杂图案。 【答案】A 【知识点】利用轴对称设计图案 【解析】【解答】解：如图，选项B，C，D补上一个正方形，都能使它成为一个轴对称图形， 选项A补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形． 故答案为：A． 【分析】根据轴对称图形的定义“沿着一条直线折叠，两边的部分能够互相重合的图形是轴对称图形”解题即可． 针对训练2 1．如图是正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的三种方案不能重复． 【答案】解：如图所示， 【知识点】利用轴对称设计图案 【解析】【解答】解：如图所示， 【分析】掌握轴对称图形的性质是解题的关键。 2．在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出4个这样的.（每个正方形个点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是重合的，则视为一种） 【答案】解：如图，即为所求．（答案不唯一） 【知识点】作图﹣轴对称；利用轴对称设计图案 【解析】【分析】本题考查的利用轴对称设计图案．根据对称图形关于某直线对称，以AB的垂直平分线为对称轴，以过C点平行于AB的直线为对称轴，以直线AC为对称轴，以AB为边45°角为终边的对称轴，依次可作出图形. 3．由小正方形组成的3×3的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图（每小题只画一种即可）： 图① 图② 图③ （1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点． （2）在图②中，画一条不与AB重合的线段PQ，使PQ与AB关于某条直线对称，且P，Q为格点． （3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点． 【答案】（1）解：如图，线段MN即为所求作的图形． （2）解：如图，线段PQ即为所求作的图形． （3）解：如图，△DEF即为所求作的图形． 【知识点】利用轴对称设计图案 【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质及网格特点作图即可； （2）利用轴对称的性质网格特点作图即可； （3）利用轴对称的性质网格特点作图即可. 题型3 关于轴、轴对称的点的坐标特征 例3．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（　　） A．， B．， C．， D．，名师支招 对称点坐标规律可通过坐标轴方向变化直观理解 作轴对称图形时需注意对应点连线被对称轴垂直平分 【答案】B 【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征 【解析】【解答】解：点与点关于轴对称， ，． 故选：B． 【分析】利用关于轴对称点的特征“横坐标互为相反数，纵坐标不变”得出答案． 针对训练3 1．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征 【解析】【解答】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：B． 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标变化规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此得到答案. 2．在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）请在图1中作关于x轴成轴对称的； （2）在图2中将向右平移个单位，作出平移后的；则此三角形的面积为 ▲ ． （3）在轴上求作一点，使的值最小，点的坐标为 ▲ ． 【答案】（1）图略 （2）解：图略，的面积， （3）解：如图，点即为所求，由图形可得，点的坐标为． 理由：∵点关于轴对称， ∴， ∴，根据两点之间，线段最短，可知，此时的值最小． 【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移；等腰三角形的对称性 【解析】【分析】（1）本题考查了平面直角坐标系中三角形的轴对称问题，关于x轴对称问题，横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数.根据上述总结画图即可； （2）本题考查了图形在平面直角坐标系中平移的知识及割补思想求不规则图形的面积等知识点.图形平移后形状、大小不变.在平面直角坐标系中构造出规则图形，从而利用规则图形的面积公式计算出所求图形的面积； （3）本题考查了等腰三角形的对称性，利用等腰三角形的对称性求最短路径问题. 3．平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点； （2）求的面积． （3）若与关于x轴对称，写出、、的坐标． 【答案】（1）解：如图所示，点A、B、C即为所求； （2）解：由图可知：，， ∴； （3）、、 【知识点】点的坐标；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称 【解析】【解答】解：（3）∵与关于x轴对称，且，，， ∴、、 故答案为：、、 【分析】（1）根据点A、B、C的坐标描点，再依次连接即可求出答案. （2）根据三角形面积即可求出答案 （3）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求出答案. （1）如图所示，点A、B、C即为所求； （2）由图可知：，， ∴； （3）∵与关于x轴对称，且，，， ∴、、 题型4 坐标系中轴对称变换 例4．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标　 　； （2）在（1）的条件下，连接CC1交AB于点D，请标出点D，并直接写出CD的长． 名师支招 关键点对称 ：先确定原图形的关键点（如顶点），求出其对称点坐标。 连线成图 ：按原图形的连接方式连接对称点，形成轴对称图形 【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求， 其中点C1的坐标为（﹣4，2）， 故答案为（﹣4，2）． （2）设直线AB解析式为y＝kx+b， 将A（3，4），B（1，1）代入，得： ， 解得： ， ∴直线AB解析式为y＝x﹣， 当y＝2时， x﹣＝2， 解得：x＝， 则CD＝4﹣＝． 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称 【解析】【分析】（1）分别作点A，B，C关于y轴的对称点，然后依次连接即可； （2）先求出直线AB的解析式，再计算当y＝2时的x的值，再利用C的横坐标为4解题即可． 针对训练4 1．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，按要求解下列问题： （1）写出点C关于x轴的对称点的坐标； （2）判断的形状并说明理由． 【答案】（1）解：∵点C的坐标为， ∴点C关于x轴的对称点的坐标为； ​​​​​ （2）解：是直角三角形，理由如下：∵， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形． 【知识点】勾股定理的逆定理；坐标与图形变化﹣对称；坐标系中的两点距离公式 【解析】【分析】（1）利用关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数解题即可； （2）利用平面上两点距离公式求出，然后根据勾股定理的逆定理解题即可． （1）解：∵点C的坐标为， ∴点C关于x轴的对称点的坐标为； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形． 2．如图，在直角坐标系中，各顶点坐标分别为，，，与关于y轴对称，点A的对称点为． （1）作出； （2）写出的坐标； （3）若P为x轴上一动点，当最小时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2）解：因为关于轴对称，所以横坐标互为相反数，纵坐标相等，即 （3）解：作点作关于x轴的对称点，连结，交x轴于点P，∵，， ∴直线的函数表达式为：： ∴P点坐标为 ​​​​​​​ 【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题 【解析】【分析】（1）作一个图形关于坐标轴的对称图形，只需先确定出已知图形的几个关键点，再分别作这几个关键点关于坐标轴的对称点，最后顺次连接这些对称点即可；（2）注意关于y轴对称时，纵坐标不变，横坐标取相反数；关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标取相反数；关于原点对称时，横、纵坐标都取相反数。（3）典型的将军饮马问题，关键是先作其中一点A`关于已知x轴的对称点A``，再连接CA` `交x轴于点P，此时有最小值。 （1）解：如图，为所作三角形； （2）的坐标为； （3）作点作关于x轴的对称点，连结，交x轴于点P， ∵，， ∴直线的函数表达式为：： ∴P点坐标为 3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______； （2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为______； （3）已知为轴上一点，若的面积为1，求点的坐标 【答案】（1）解：下图为所求： 如图所示：的面积是： 故答案为：4 （2）解：点与点关于轴对称， 则点的坐标为： ​​​​​​​ （3）解：为轴上一点，的面积为1， 点的横坐标为：或 点坐标为：或． 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称 【解析】【分析】（1）根据直角坐标系找出点A、B、C的位置，顺次连接即可得到，最后利用割补法即可求出其面积； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此即可求解； （3）根据三角形面积计算公式求出BP的值，然后结合点B的坐标即可得到点P的坐标. （1）解：下图为所求： 如图所示：的面积是： 故答案为：4 （2）解：点与点关于轴对称， 则点的坐标为： （3）解：为轴上一点，的面积为1， 点的横坐标为：或 点坐标为：或． 题型5 点的坐标轴对称变换规律 例5．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标，则经过第2024次变换后点A的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 名师支招 x轴对称：横不变，纵相反（横对称，横不变，纵相反）；  y轴对称：纵不变，横相反（纵对称，纵不变，横相反）； 原点对称：横纵全变号（横变纵也变）。 特殊点验证 ：通过已知点（如原点、坐标轴交点）的对称点坐标验证规律的正确性。 【答案】D 【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；探索规律-图形的循环规律 【解析】【解答】解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限， 点A第二次关于x轴对称后在第三象限， 点A第三次关于y轴对称后在第四象限， 点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第2022次变换后所得的A点与第四次变换的位置相同，回到原位，坐标为． 故选：D． 【分析】本题考查轴对称的性质，点的坐标变换规律．观察图形可找出点A第一次，第二次，第三次，第四次关于y轴或关于x轴对称后所在的象限，据此可推出每四次对称为一个循环组，依次循环，用2024除以4可得：，进而确定出变换后的点A所在的象限． 针对训练5 1．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（2，3），则经过第2018次变换后所得的A点坐标是　 　． 【答案】（—2，—3） 【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；探索规律-点的坐标规律 【解析】【解答】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限， 点A第二次关于y轴对称后在第三象限， 点A第三次关于x轴对称后在第二象限， 点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵2018÷4=504余2 ∴经过第2018次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为（—2，—3）． 故答案为（—2，—3）． 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2018除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限． 2．在平面直角坐标系中，若干个边长为个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第秒点运动到点为正整数，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化﹣对称；探索图形规律 【解析】【解答】解：，，，，，，，个点为一个循环， ， 的坐标是， 故选：． 【分析】根据图形可知6个点为一个循环，求出前6个点的坐标， 再计算即可. 3．规定：在平面直角坐标系xOy中，“把某一图形先沿x轴翻折，再沿y轴翻折”为一次变换．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3），C（3，1），若正方形ABCD经过一次上述变换，则点A变换后的坐标为　 　；对正方形ABCD连续做2023次这样的变换，则点D变换后的坐标为　 　． 【答案】（-1，-3）；（－3，－3） 【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；探索图形规律 【解析】【解答】解： 点D的坐标为（3，3）， 一次变换后坐标为（-3，-3）， 两次变换后点D的坐标为（3，3）， 3次变换后点D的坐标为（-3，-3）， ...... ∵2023为奇数， ∴对正方形ABCD连续做2023次这样的变换，则点D变换后的坐标为 （-3，-3）。 故第1空答案为：（-1，-3）；第2空答案为（-3，-3）。 【分析】根据图像变换规律，可得：变换一次，所得正方形各点的坐标与正方形ABCD各点的坐标关于原点对称，所以可得点A变换一次后的坐标为（-1，-3），变换两次后，又回到了原点，所以可以得出变换奇数次，各对应点与正方形ABCD各点关于原点对称，变换偶数次，则与正方形ABCD各点重合，故而得出变换2023次后，点D的坐标应与原正方形中点D关于原点对称，所以变换2023次后点D的坐标为（-3，-3）。 创新拓展能力提升 1．在平面直角坐标系中，，，a，b满足，点C与点A关于y轴对称． （1）请直接写出B，C两点的坐标； （2）如图1，分别以为直角边向右侧作等腰和等腰，连接交x轴于点M，连接，求证：； （3）如图2，点F为y轴上一动点，点在直线上，若连接E，F，G三点（按逆时针顺序排列）恰好围成一个等腰直角三角形，求符合要求的m的值． 【答案】（1）， （2）证明：如图，作，交轴于点，则， 点A、关于轴对称， ∴轴是线段的垂直平分线， ， ∵与是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ，，且， ， ， ，又 ， ，又 ， ， ∵， ∴． （3）解：∵是等腰直角三角形， ∴，， 如图，作轴于点，则， ，， ∴， ，， ， ，； ①当时，如图2， ∵为等腰直角三角形，点为y轴上一动点，点在直线上， ∴此时点F与点B重合，点G与点C重合， ∴； ②当时，点F与点B重合，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点C为B、G的中点， ∴， 解得：； ③当时，过点E作轴于点M，过点G作轴于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为2或4或6． 【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】（1）解：∵，∴，， ∴，， ∴，， 又∵点C与点A关于y轴对称， ∴ 【分析】（1）先根据非负性得到a，b的值，再根据轴对称的性质即可得到点C的坐标； （2）作，交轴于点，则，先根据垂直平分线的性质得到，再根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，再结合题意的等量代换证明得到，从而根据等腰三角形的性质（三线合一）即可求解； （3）先根据等腰直角三角形的性质得到，，作轴于点，则，根据三角形全等的判定与性质证明得到，，进而即可得到点L和点E的坐标，从而分类讨论：①当时，②当时，③当时，再根据三角形全等的判定与性质结合线段的运算和角的运算即可求解。 （1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 又∵点C与点A关于y轴对称， ∴； （2）证明：如图，作，交轴于点，则， 点A、关于轴对称， ∴轴是线段的垂直平分线， ， ∵与是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ，，且， ， ， ，又 ， ，又 ， ， ∵， ∴． （3）解：∵是等腰直角三角形， ∴，， 如图，作轴于点，则， ，， ∴， ，， ， ，； ①当时，如图2， ∵为等腰直角三角形，点为y轴上一动点，点在直线上， ∴此时点F与点B重合，点G与点C重合， ∴； ②当时，点F与点B重合，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点C为B、G的中点， ∴， 解得：； ③当时，过点E作轴于点M，过点G作轴于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为2或4或6． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴． （1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标； （2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长． 【答案】（1）解：△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2） （2）解：如图1， 当0＜a＜3时，∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0）， ∴P1（a，0）， 又∵P1与P2关于l：直线x=3对称， 设P2（x，0），可得： =3，即x=6﹣a， ∴P2（6﹣a，0）， 则PP2=6﹣a﹣（﹣a）=6﹣a+a=6． 【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称 【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标相同可以得到△A1B1C1各点坐标，又关于直线l的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于3的二倍，由此求出△A2B2C1的三个顶点的坐标；（2）P与P1关于y轴对称，利用关于y轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出P1的坐标，再由直线l的方程为直线x=3，利用对称的性质求出P2的坐标，即可得出PP2的长． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C坐标分别为，，.与关于x轴对称，点A，B，C的对称点分别为点E，F，G. （1）请在图中作出，并写出点E，F，G的坐标； （2）若点是的边上一点，其关于x轴的对称点为，求m，n的值. 【答案】（1）解：△EFG如图所示.点E，F，G的坐标分别为：（2，-2）， （1，3），（4，2）. （2）解：由题意得， ， 即 ， 解得 . 【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称 【解析】【分析】（1）关于x轴对称的点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此找出点E、F、G的位置，顺次连接可得△EFG，进而可得相应点的坐标； （2）关于x轴对称的点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，则m+2=1-n，n-2=-2m，联立求解可得m、n的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$