2026年中考数学一轮复习 专题14 二次函数

专题14二次函数 一、选择题（共10小题） 1．（2025•商南县模拟）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： … ﹣3 ﹣1 0 3 5 … y … 3 ﹣2 ﹣3 0 7 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0） C．图象的对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而增大 2．（2025•乾县校级二模）若二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），且图象的顶点在第四象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（　　） A．t＞2 B．﹣1＜t＜2 C．1＜t＜4 D．t＜0 3．（2025•松北区二模）将二次函数y＝x2图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是（　　） A．y＝（x+3）2﹣5 B．y＝（x﹣3）2﹣5 C．y＝（x+3）2+5 D．y＝（x﹣3）2+5 4．（2025•巴彦淖尔模拟）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是（　　） A．﹣9＜b＜0 B． C． D．﹣7＜b＜﹣1 5．（2025•碑林区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是（　　） A．b＝2a B．y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4a C．关于x的方程ax2+bx+c＝2无实数根 D．若点A（﹣4，y1），点B（5，y2）在y＝ax2+bx+c的图象上，则y1＜y2 6．（2025•西安模拟）已知二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0），当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该函数图象上，若x1+x2＞﹣1，x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法判断 7．（2025•盐池县模拟）观察下列表格，可知一元二次方程x2﹣x＝1.2的一个近似解是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A．x≈0.11 B．x≈1.69 C．x≈1.71 D．x≈1.19 8．（2025•宜城市二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（﹣1，﹣4），其对称轴为直线x＝﹣3．下列结论正确的是（　　） A．6a+b＝0 B．若点（﹣2025，y1），（2024，y2）均在二次函数图象上，则y1＞y2 C．不等式ax2+bx+c＞﹣4的解集为﹣5＜x＜﹣1 D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣6有两个相等的实数根 9．（2025•湖北模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0）．下列结论：①abc＞0②b2﹣4ac＞0；③点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，当|x1﹣1|＞|x2﹣1|时，则有y1＞y2；④若方程的一个根x1＝﹣3，则另一个根x2＝5．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2025•鲤城区校级模拟）抛物线y＝ax2﹣4ax﹣1（a＜0）图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）．其中t＜x1＜t+1，t+1＜x2＜t+2，t+2＜x3＜t+3，以下说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线x＝﹣2 B．若y1＜y3＜y2，A、B、C三点在对称轴的同一侧 C．当，存在y1＜y3＜y2 D．当，总有y1＜y3＜y2 二、填空题（共10小题） 11．（2025•哈尔滨模拟）二次函数y＝2（x+1）2+3的最小值是　 　 ． 12．（2025•长春校级二模）若抛物线y＝x2﹣2x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的值可以是　 　 ．（写出一个即可） 13．（2025•二道区校级模拟）若抛物线y＝x2﹣4x+k与x轴无交点，则k的取值范围是 　 　 ． 14．（2025•武汉模拟）已知二次函数y＝ax2+2ax+c（a，c为常数且a＜0）经过（1，m），且mc＜0，下列结论：①c＞0；②；③若关于x的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）有整数解，则符合条件的p的值有2个；④当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为c，则a＝﹣4．其中一定正确的有 　 　 .（填序号即可） 15．（2025•南岗区校级三模）二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位得到新的二次函数图象的顶点坐标是　 　 ． 16．（2025•龙岗区模拟）已知点（﹣1，y1），（﹣4，y2）在二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上，则y1，y2的大小关系是：y1　 　 y2． 17．（2025•潮阳区三模）若抛物线y＝（m﹣1）x2﹣2的开口向上，则m的取值范围是 　 　 ． 18．（2025•硚口区模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）经过（﹣2，0），（m，0）两点，且2＜m＜3． 下列五个结论： ①b＜0； ②b2﹣4ac＜0； ③若抛物线经过点（﹣1，﹣1），则； ④若关于x的不等式2ax2+2bx＜﹣cx的解集为0＜x＜t，则2＜t＜3； ⑤点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若，x1＜x2，总有y1＜y2，则． 其中正确的结论是 　 　 （填写序号）． 19．（2025•衢州四模）已知二次函数y＝x2﹣2x+k，当﹣1≤x≤4时，y的最大值为9，则k的值为　 　 ． 20．（2025•青秀区校级三模）已知点A（﹣4，8）和点B（2，n）在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为A'，点B的对应点为B'，C（﹣2，0）是x轴上的一个定点．当A'C+CB'最短时，此时抛物线的解析式为 　 　 ． 三、解答题（共6小题） 21．（2025•苏州校级二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，点M在第一象限内的抛物线上，连接AM，与线段BC交于点N． （1）求抛物线的解析式； （2）若AN＝5MN，求点M的坐标． 22．（2025•太和县三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣3，0），点B（2，0）． （1）求a，b的值． （2）直线y＝kx+2与抛物线交于A，C两点，P位于直线y＝kx+2上方且是抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点Q，交x轴于点H． ①若PQ＝4，求点P的坐标． ②连接PA，PC，求△PAC的面积的最大值． 23．（2025•路南区校级三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B（2，0），C（0，6）． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由． 24．（2025•樊城区模拟）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线y＝﹣x+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km， ①直接写出a，b的值； ②火情在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离； （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离在12km到15km之间． 25．（2025•惠安县模拟）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c（b、c是常数）的图象经过（﹣1，t），（﹣2，2t）两点． （1）求c的值； （2）令b＞8，求当1≤x≤3时，y的取值范围． 26．（2025•武安市三模）已知抛物线y＝x2+ax+b经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，点M从点C出发，在线段CB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点N从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另外一个点也停止运动，设运动时间为t秒，求t为多少时，△MNC的面积最大，并求出最大面积； （3）如图2，P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），连接BP．该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：当直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2垂直时，k1•k2＝﹣1） 答案与解析 一、选择题（共10小题） 1．【答案】B 【分析】取任意三点的坐标代入二次函数解析式，即可求得a，b，c的值，进而可得二次函数的开口方向，与x轴的交点，对称轴及函数的增减性． 【解答】解：∵二次函数经过点（﹣1，﹣2），（0，﹣3），（3，0）， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为：y＝0.5x2﹣0.5x﹣3， ∵0.5＞0， ∴二次函数的图象的开口向上，故A错误，不符合题意； 当y＝0时，0.5x2﹣0.5x﹣3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣2，所以图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），故B正确，符合题意； 图象的对称轴是直线x，故C错误，不符合题意； ∵抛物线的开口向上，图象的对称轴是直线x， ∴当x时，y随x的增大而减小，故D错误，不符合题意． 故选：B． 2．【答案】B 【分析】二次函数的图象过点（﹣1，0），则a﹣b﹣1＝0，而t＝2a+b＝3a﹣1，由二次函数的图象的顶点在第四象限，可得a＞0，Δ＝b2﹣4ac＝（a﹣1）2﹣4a×（﹣1）＝（a+1）2≥0，0，即可求解． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（﹣1，0）， ∴a﹣b﹣1＝0， ∴b＝a﹣1， 而t＝2a+b， ∴t＝2a+a﹣1＝3a﹣1 ∵二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象的顶点在第四象限， ∴a＞0，Δ＝b2﹣4ac＝（a﹣1）2﹣4a×（﹣1）＝（a+1）2≥0，0， ∴b＜0， ∴a﹣1＜0， ∴a＜1， ∴0＜a＜1， ∴﹣1＜3a﹣1＜2， ∴﹣1＜t＜2， 故选：B． 3．【答案】A 【分析】利用二次函数平移规律求出即可． 【解答】解：将二次函数y＝x2图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是：y＝（x+3）2﹣5． 故选：A． 4．【答案】B 【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围． 【解答】解：如图， 当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0）， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+1）（x﹣5）， 即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）， 当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时， 1+b＝0， 解得b＝﹣1； 当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时， 方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的实数解， 解得， 所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为． 故选：B． 5．【答案】B 【分析】由对称轴为直线x＝1，得到2a+b＝0可判断A；利用待定系数法求得函数解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a，故求得函数的最小值为﹣4a，可判断B；根据图象可判断C；根据两点到对称轴的距离可判断D． 【解答】解：由图象可知，图象开口向上，a＞0， 对称轴为直线x＝1，故，即b＝﹣2a，故A错误，不合题意； 由图象可知当x＝1时，函数取最小值， 将x＝1，代入y＝ax2+bx+c，中得：y＝a+b+c， 由图象可知函数与x轴交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，故函数图象与x轴的另一交点为（3，0）， 设函数解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3）， 故化简得：y＝ax2﹣2ax﹣3a， 将x＝1，代入可得：y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，故函数的最小值为﹣4a，故B正确，符合题意； 由图象可知抛物线与直线y＝2有两个交点， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根，故③C错误，不合题意； ∵点A（﹣4，y1），点B（5，y2）在y＝ax2+bx+c的图象上，对称轴为直线x＝1， ∴点A（﹣4，y1）到对称轴的距离大于点B（5，y2）到对称轴的距离， ∴y1＞y2，故D错误，不合题意． 故选：B． 6．【答案】A 【分析】由二次函数解析式得出对称轴为直线x＝﹣2，结合当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，得抛物线开口向上，，再结合x1+x2＞﹣1，x1＞x2，a＞0，即可作答． 【解答】解：由条件可知抛物线对称轴为直线， ∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大， ∴a＞0， ∴二次函数的开口方向向上，越靠近对称轴的x所对应的函数值越小， ∴ ＝a（x1﹣x2）（x1+x2+4）， ∵x1+x2＞﹣1，x1＞x2， ∴x1+x2+4＞3，x1﹣x2＞0， ∵a＞0， 则y1﹣y2＝a（x1﹣x2）（x1+x2+4）＞0， ∴y1＞y2， 故选：A． 7．【答案】C 【分析】利用表中数据可判断方程解的范围为1.7＜x＜1.8，然后对各选项进行判断即可得出答案． 【解答】解：因为x＝1.7时，x2﹣x＝1.19， x＝1.8时，x2﹣x＝1.44， 所以方程解的范围为1.7＜x＜1.8． 故选：C． 8．【答案】D 【分析】根据二次函数对称轴公式判断A；利用二次函数的增减性判断B；结合函数图象与已知点坐标判断C；依据函数图象与x轴交点情况判断D． 【解答】A、已知对称轴为直线x＝﹣3，则，可得6a﹣b＝0，所以选项A错误； B、由对称轴为x＝﹣3，且a＞0（二次函数图象开口向上），点（﹣2025，y1）到对称轴x＝﹣3的距离为|﹣2025﹣（﹣3）|＝|﹣2025+3|＝2022；点（2024，y2）到对称轴x＝﹣3的距离为|2024﹣（﹣3）|＝|2024+3|＝2027．因为2022＜2027，所以y1＜y2，所以选项B错误； C、已知函数图象经过点（﹣1，﹣4），且对称轴为x＝﹣3，根据二次函数的对称性，可知与点（﹣1，﹣4）关于x＝﹣3对称的点的横坐标为x＝﹣3﹣[﹣1﹣（﹣3）]＝﹣3﹣（﹣1+3）＝﹣5，即函数图象也过点（﹣5，﹣4），由图象可知，y＝ax2+bx+c＞﹣4时，x＜﹣5或x＞﹣1，所以选项C错误； D、由图象可知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣6有一个交点，这意味着关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣6有两个相等的实数根，所以选项D正确． 故选：D． 9．【答案】D 【分析】把A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线解析式可得，据此可判断①；根据抛物线与x轴有两个不相同的交点可判断②；求出对称轴，根据a＞0得到离对称轴越远函数值越大，据此可判断③；根据根与系数的关系可判断④． 【解答】解：由条件可得， 解得， ∵a＞0， ∴b＜0，c＜0， ∴abc＞0，故①正确； 由条件可知b2﹣4ac＞0，故②正确； ∵a＞0，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，且|x1﹣1|＞|x2﹣1|， ∴y1＞y2，故③正确； ∵方程的一个根x1＝﹣3， ∴另一个根，故④正确； 故选：D． 10．【答案】C 【分析】根据对称轴公式求得对称轴判断A错误；根据二次函数单调性判断B错误，C正确，D错误． 【解答】解：A．抛物线的对称轴为直线，故A错误； B．抛物线开口向下（a＜0），对称轴为直线x＝2．左侧（x＜2）函数递增，右侧（x＞2）函数递减．若y1＜y3＜y2，可能存在三点分布在对称轴两侧的情况．例如，A在左侧，B、C在右侧，此时y2最大，y1最小，与条件一致，故三点未必在同一侧，故B错误； C．当时，存在y1＜y3＜y2．例如：，取x1＝0.6，x2＝2.4，x3＝3，计算得y1＝1.04，y2＝2.84，y3＝2，满足y1＜y3＜y2，故C正确； D．当时，并非总有y1＜y3＜y2．例如：t＝0.9，取x1＝1.8，x2＝2，x3＝3，计算得y1＝2.96，y2＝3，y3＝2，此时y3＜y1＜y2，不符合题意，故D错误． 故选：C． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】3． 【分析】由解析式为顶点式，根据其解析式即可直接求得二次函数的最小值． 【解答】解：当x＝﹣1时，y有最小值3， 故答案为：3． 12．【答案】2（大于1即可）． 【分析】由抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴没有交点，可知x2﹣2x+c＝0无实数根，即Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0，计算求解，然后作答即可． 【解答】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴x2﹣2x+c＝0无实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0， ∴c＞1， 故答案为：2（大于1即可）． 13．【答案】k＞4． 【分析】根据题意可得方程0＝x2﹣4x+k无实根，得出Δ＝（﹣4）2﹣4k＜0，解不等式即可求解． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+k与x轴无交点， 则方程0＝x2﹣4x+k无实根， 即Δ＝（﹣4）2﹣4k＜0， 解得k＞4， 故答案为：k＞4． 14．【答案】①②③． 【分析】根据题目中的二次函数的图象和性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+c（a，c为常数且a＜0）经过（1，m）， ∴a+2a+c＝m，即3a+c＝m， ∴3ac+c2＝cm， ∵mc＜0， ∴3ac+c2＜0， ∴0≤c2＜﹣3ac， ∵a＜0， ∴c＞0，故①正确； ∴c＜﹣3a， ∴a，故②正确； ∵c＞0，mc＜0， ∴m＜0， ∴点（1，m）在x轴的下方， ∵抛物线的对称轴为直线x1，a＜0，c＞0， ∴抛物线与直线y＝p（p＞0）交点的横坐标为整数的有﹣2，﹣1，0三个， ∴若关于x的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）有整数解，则符合条件的p的值有2个，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与y轴的交点为（0，c）， ∴抛物线过（﹣2，c）， ∵a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为c， ∴a+3＝﹣2， ∴a＝﹣5， 故④错误． 故答案为：①②③． 15．【答案】（1，5）． 【分析】根据“上加下减”的法则求出平移后的函数解析式，再求出其顶点坐标即可． 【解答】解：∴二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位得到新的二次函数的解析式为：y＝（x﹣1）2+2+3，即y＝（x﹣1）2+5， ∴函数图象的顶点坐标是（1，5）． 故答案为：（1，5）． 16．【答案】见试题解答内容 【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线x＝1，再根据二次函数对称性和增减性即可得到结论． 【解答】解：∵y＝x2+4x﹣m＝（x+2）2﹣4﹣m， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2， ∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大， ∴点（﹣4，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为（0，y2）， ∵0＞﹣1＞﹣2， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 17．【答案】m＞1． 【分析】根据抛物线y＝（m﹣1）x2﹣2的开口向上，可知m﹣1＞0，然后求解即可． 【解答】解：∵抛物线y＝（m﹣1）x2﹣2的开口向上， ∴m﹣1＞0， 解得m＞1， 故答案为：m＞1． 18．【答案】①③⑤． 【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可． 【解答】解：由题意可得：a＞0，0＜m﹣2＜1，， ∴， ∴b＜0； 故①正确； 由题意可得：x＝﹣2，x＝m是方程ax2+bx+c＝0的两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＞0； 故②错误； ∵抛物线经过点（﹣1，﹣1）， ∴a﹣b+c＝﹣1， ∵4a﹣2b+c＝0， 解得b＝3a﹣1， ∵， ∴， ∴0＜﹣b＜a； ∴0＜1﹣3a＜a； 解得， 故③正确； ∵关于x的不等式2ax2+2bx＜﹣cx的解集为0＜x＜t， ∴2ax2+（2b+c）x＜0， ∴2ax2+（2b+c）x＝0的两个根为x＝0，， ∵关于x的不等式2ax2+2bx＜﹣cx的解集为0＜x＜t， ∴， ∵， ∴b＝a（2﹣m）， ∴c＝2b﹣4a＝﹣2amb＝a（2﹣m）， ∴t＝2m﹣2， ∴， ∵2＜m＜3， ∴， ∴2＜t＜4， 故④错误； ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，抛物线的对称轴为，，总有y1＜y2， ∴，且， 解得， ∵2＜m＜3 ∴． 故⑤正确， 故答案为：①③⑤． 19．【答案】1． 【分析】依据题意，现将y＝x2﹣2x+k变形为y＝（x﹣1）2+k﹣1，然后结合﹣1≤x≤4判断当x＝4时取最大值，从而列方程计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵y＝x2﹣2x+k＝x2﹣2x+1+k﹣1＝（x﹣1）2+k﹣1， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1． 又∵﹣1≤x≤4，抛物线开口向上， ∴当x＝4时，y取最大值，最大值y＝9+k﹣1＝8+k． 又此时y的最大值为9， ∴8+k＝9． ∴k＝1． 故答案为：1． 20．【答案】y（x）2． 【分析】先求出n值得到点B坐标，再求出点B关于x轴对称点M的坐标，利用待定系数法求出直线AM解析式得到点P坐标，得到抛物线平移的距离，根据平移法则写出抛物线平移后的解析式即可． 【解答】解：∵点B（2，n）在抛物线上， ∴n＝2， ∴B（2，2）， 如图，确定点B关于x轴的对称点M（2，﹣2）， 设直线AM的解析式为y＝kx+b，由条件可得： ，解得 直线AM的解析式为：yx， 当y＝0时，x， ∴P（，0）． 当点P平移到点C位置时，A'C+CB'最短， ∴抛物线应向左平移2个单位长度，才能使A'C+CB'最短， ∴平移后抛物线的解析式为：y（x）2． 故答案为：y（x）2． 三、解答题（共6小题） 21．【答案】（1）； （2）M（1，4）或． 【分析】（1）运用待定系数法直接求出抛物线的解析式； （2）过点A作AP∥y轴，交BC的延长线于点P，过点M作MQ∥y轴交BC于点Q，则MQ∥AP，易得△MQN∽△APN，即可得到，结合直线BC的解析式即可得到，设，表示出，列式求解即可得到答案． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0）、B（3，0）两点， 把A、B两点坐标代入抛物线y＝ax2+bx+4得： 解得． 所以抛物线的解析式为． （2）如图，过点A作AP∥y轴，交BC的延长线于点P，过点M作MQ∥y轴交BC于点Q，则MQ∥AP， ∴∠MQN＝∠APN，∠QMN＝∠PAN， ∴△MQN∽△APN， ∵AN＝5MN， ∴， 令x＝0，得y＝4， ∴C（0，4）， 设直线BC的表达式为y＝kx+b， 将B（3，0），C（0，4）代入得： ， 解得， ∴直线BC的表达式为：； ∵AP∥y轴， ∴当x＝﹣2时，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴． 解得m1＝1，m2＝2， ∴M（1，4）或． 22．【答案】（1）；（2）①或P（0，6）；②． 【分析】（1）利用抛物线与x轴交点坐标，代入方程联立求解系数a和b； （2）①将点A（﹣3，0）代入y＝kx+2，解得，设点P（t，﹣t2﹣t+6），则点，H（t，0），再根据几何条件 PQ＝4，结合点P在抛物线上方的限制，解方程并验证解的合理性； ②将△PAC的面积表示为关于点P横坐标的函数，通过二次函数顶点公式求最大值． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+6过点A（﹣3，0），B（2，0）， ∴， 解得； （2）①由（1）知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+6， 将点A（﹣3，0）代入y＝kx+2，得﹣3k+2＝0，解得， ∴直线的解析式为， 设点P（t，﹣t2﹣t+6），则点，H（t，0）， ∴， ∵PQ＝4， ∴，解得，t2＝0， ∴或P（0，6）； ②由， 解得x1＝﹣3，， ∴点C， 设点，则点，H（t，0）， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，S△PAC的面积取得最大值，最大值为． 23．【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+6； （2）存在一点P，使得△APC的面积最大．点P坐标为（，），△APC的面积最大值为． 【分析】（1）把B、C两点的坐标代入抛物线的解析式可得b和c的值，即可求得抛物线的解析式； （2）设点P坐标为（a，﹣a2﹣a+6），△APC的面积为S，连接OP，根据S＝S△AOP+S△COP﹣S△AOC，得到S关于a的二次函数解析式，进而根据二次函数的性质可得a的值和S的最大值，即可求得点P的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点B（2，0），C（0，6）， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+6； （2）存在一点P，使得△APC的面积最大． 理由：设点P坐标为（a，﹣a2﹣a+6），△APC的面积为S，连接OP， 当y＝0时，﹣x2﹣x+6＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝2， ∵B（2，0）， ∴点A（﹣3，0）， ∵S＝S△AOP+S△COP﹣S△AOC， ∴S3×（﹣a2﹣a+6）6×（﹣a）3×6 a2a， ∵0， ∴抛物线的开口向下， ∴当a时，S有最大值，S最大， ∴﹣a2﹣a+6， ∴点P坐标为（，）． 答：点P坐标为（，），△APC的面积最大值为． 24．【答案】（1）①，b＝12.6；②这两个位置之间的距离7.2km； （2）． 【分析】（1）①将（9，3.6）代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出y＝2.4km，进而求得当y＝2.4km时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为在12km到15km之间，分别将（15，0），（12，0）代入y＝﹣x+b，求出a的值，即可解答． 【解答】解：（1）①抛物线y＝ax2+x和直线y＝﹣x+b均经过点（9，3.6） ∴3.6＝81a+9，3.6＝﹣9+b， 解得，b＝12.6． ②由①知，y＝﹣x+12.6，， ∴， ∴最大值， 当时， 则， 解得x1＝12（舍去），x2＝3， 又∵x＝9时，y＝3.6＞2.4， ∴当y＝2.4km时， 则﹣x+12.6＝2.4， 解得x＝10.2， 10.2﹣3＝7.2（km）， ∴这两个位置之间的距离7.2km． （2）当火箭落地点与发射点的水平距离在12km到15km之间时， 火箭第二级的引发点为（9，81a+9）， 由条件可得：81a+9＝﹣9+b，0＝﹣15+b， 解得b＝15，； 由条件可得81a+9＝﹣9+b，0＝﹣12+b， 解得b＝12，； ∴． 25．【答案】（1）c＝﹣4； （2）或b﹣6≤y≤3b﹣22． 【分析】（1）点（﹣1，t）与点（﹣2，2t）均在抛物线上，得到，再计算即可； （2）抛物线的对称轴为，可得对称轴，由于二次项系数a＝﹣2＜0，又1≤x≤3，所以存在下面两种情形：①若，即8＜b≤12时，②若，即b＞12时，分别利用二次函数的图象与性质，画图求解． 【解答】解：（1）由条件可知， 由①×2﹣②，得0＝4+c， 即c＝﹣4； （2）抛物线的对称轴为直线， ∵b＞8， ∴对称轴， 由于二次项系数a＝﹣2＜0，又1≤x≤3，所以存在下面两种情形： ①若，即8＜b≤12时， 画出二次函数大致图象如图1所示， 当时，； 当x＝1时，b﹣6， ∴； ②若，即b＞12时， 画出二次函数大致图象如图2所示， 当x＝3时，； 当x＝1时， ＝b﹣6 ∴b﹣6≤y≤3b﹣22． 综上，满足条件的y的取值范围为或b﹣6≤y≤3b﹣22． 26．【答案】（1）y＝x2+6x+5； （2）当t＝2时，△MNC的面积有最大值2； （3）（，）或（0，5）． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点M作MH⊥OA于点H，求出C点坐标可得NN＝4﹣t，求出BC的解析式可知∠MCH＝45°，则HMCMt，可得S△MNC＝﹣（t﹣2）2+2，当t＝2时，△MNC的面积有最大值2； （3）当P点在x轴下方时，在CD上截取CM＝BM，则∠BCM＝∠CBM，点M在BC的垂直平分线上，直线BM与抛物线的交点为P点；当P点在x轴上方时，过点B作BN∥CD交x轴于点N，直线BN与抛物线的交点为P． 【解答】解：（1）将A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）代入y＝x2+ax+b， ∴， 解得，∴抛物线的标析式为y＝x2+6x+5； （2）过点M作MH⊥OA于点H， 当y＝0时，x2+6x+5＝0， 解得x＝﹣1或x＝﹣5， ∴C（﹣1，0）， ∴AC＝4，∵AN＝t，∴CN＝4﹣t， 设直线BC的解析式为y＝kx+b'， ∴， 解得， ∴y＝x+1， ∴∠MCH＝45°， ∴HMCMt， ∴S△MNC（4﹣t）t（t﹣2）2+2，当t＝2时，△MNC的面积有最大值2； （3）∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4， ∴D（﹣3，4）， （3）当P点在x轴下方时，连接BD，在CD上截取CM＝BM，则∠BCM＝∠CBM， ∴点M在BC的垂直平分线上， ∵线段BC的中点坐标为， ∴直线BC的垂直平分线的解析式为y＝﹣x﹣4， 直线CD的解析式为y＝2x+2， 当2x+2＝﹣x﹣4时，x＝﹣2， ∴M（﹣2，﹣2）， 直线BM的解析式为yx﹣1， 当x2+6x+5x﹣1时，解得x＝﹣4或x， ∴P（，）； 当P点在x轴上方时，过点B作BN∥CD交x轴于点N， ∴∠NBC＝∠BCD， ∵BN∥CD， ∴直线BN的解析式为y＝2x+5， 当2x+5＝x2+6x+5时，解得x＝0或x＝﹣4， ∴P（0，5）； 综上所述：P点坐标为（，）或（0，5）． 第1页（共28页） 学科网（北京）股份有限公司 $$