精品解析：上海市中国中学2024-2025学年高三下学期第二次阶段测试（5月）数学试题

2024学年第二学期高三第二次阶段测试（数学） （满分150分，时间120分钟） 一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若全集，则_________． 2. 函数的定义域为_______. 3. 已知复数是关于实系数方程的一个根，则________. 4. 已知等差数列的前n项和为，若，则______. 5. 若展开式系数之和为32，则展开式中含项的系数为_________． 6. 函数向左或向右平移个单位后，所得图像关于轴对称，则的最小值是__________. 7. 已知函数为奇函数，则______. 8. 印章是中国传统文化的代表之一，古代的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用，如图是某展览馆展示的一个金属印章摆件，可看作是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该印章摆件底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则该印章摆件的体积约为_________． 9. 在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，为中点，则的最小值为_________． 10. 把这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有__________个 11. 已知圆，设其与轴、轴正半轴分别交于两点．已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为_________． 12. 已知，函数，其中为自然对数的底数．若函数恰有4个零点，则的取值范围是______． 二、选择题（13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分） 13. 已知偶函数在上单调递减，对实数a，b，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 15. 如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上一动点（不与，重合），则下列命题中：①平面平面；②一定是锐角；③；④三棱锥的体积为定值．其中真命题的有（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 16. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 2 三、解答题 17. 如图1，在直角梯形中，，，，，，垂直平分，分别交、于点、，将四边形沿折至四边形（如图2），使得． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知，． （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）在中，角所对的边分别是，若，，且面积为，求． 19. 2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求a，并估计参与调查者的平均年龄； （2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？ 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 中老年 10 合计 200 （3）将此样本频率视为总体概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 20. 椭圆：的右焦点是，且经过点；直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点. （1）求椭圆方程； （2）当直线AB的斜率为2时，求AB的长度； （3）若过原点直线与椭圆交于，两点，且，求四边形面积的范围. 21. 已知实数，设. （1）若，求函数，的图象在点处的切线方程； （2）若，求函数，的值域； （3）若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期高三第二次阶段测试（数学） （满分150分，时间120分钟） 一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若全集，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的概念和交集的运算易得. 【详解】因，， 可得，故. 故答案为： 2. 函数的定义域为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由根式函数定义域的求法得到，再转化为，利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】由，得，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 3. 已知复数是关于的实系数方程的一个根，则________. 【答案】10 【解析】 【分析】由已知结合实系数一元二次方程虚根成对原理可得方程的另一个根，再由根与系数的关系求解的值，由此即可求出结果． 【详解】因为复数是关于的实系数方程的一个根， 所以复数是关于的实系数方程的一个根， 所以，即. 故答案为：10. 4. 已知等差数列的前n项和为，若，则______. 【答案】42 【解析】 【分析】利用等差数列前n项和公式和等差数列的性质易求得； 【详解】. 故答案为：42. 5. 若展开式系数之和为32，则展开式中含项的系数为_________． 【答案】15 【解析】 【分析】由题意求出，利用二项展开式的通项即可求得答案. 【详解】由题意，，解得， 则的展开式的通项为：， 使，解得. 则展开式中含项的系数为. 故答案为：15. 6. 函数向左或向右平移个单位后，所得图像关于轴对称，则的最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】分别求解函数向左与向右平移个单位后函数的解析式，再根据正弦函数的对称性求解的最小正值，将两种情况求出的值进行比较即可得到结果. 【详解】将函数向右平移个单位， 所得图像对应的解析式为， 其关于轴对称，则，即， 此时，的最小正值是； 将函数向左平移个单位， 所得图像对应解析式为， 其关于轴对称，则，即， 此时，的最小正值是. 综上所述，的最小正值是. 故答案为：. 7. 已知函数为奇函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用求得的关系式，根据函数奇偶性的定义列方程，由此求得，进而求得. 【详解】 ， 则，， 若，则，定义域是， 定义域不关于原点对称，不符合题意，所以， 所以，要使的定义域关于原点对称， 则需，则， 此时的定义域是. 则由解得， 此时 ，，符合题意. 所以 故答案为： 8. 印章是中国传统文化的代表之一，古代的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用，如图是某展览馆展示的一个金属印章摆件，可看作是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该印章摆件底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则该印章摆件的体积约为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出正四棱柱和正四棱锥的高，利用柱体和锥体体积公式进行求解，相加可得答案. 【详解】设正四棱柱和正四棱锥的高均为，画出正四棱锥，对角线相交于点，即， 则正方形对角线长为，故， 故，解得， 故正四棱锥的体积为， 正四棱柱的体积为， 所以该印章摆件的体积为， 其中，故. 故答案为： 9. 在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，为中点，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】依题建系，，分别求出的坐标，利用向量数量积的坐标公式化简计算得到，结合，即可求得其最小值. 【详解】 如图，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 依题意，，设， 则， ， 由， 因，则当时，取得最小值为. 故答案为：. 10. 把这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有__________个 【答案】14 【解析】 【分析】根据1是分界点，分类讨论即可. 【详解】该数列为先减后增，则1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种， 当1前面只有一个数时，有种情况； 当1前面只有2个数时，有种情况； 当1前面只有3个数时，有种情况. 综上，这样的数列共有个. 故答案为：14 11. 已知圆，设其与轴、轴正半轴分别交于两点．已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为_________． 【答案】20 【解析】 【分析】分析可知，，点的轨迹方程为，整理可得，利用基本不等式运算求解即可. 【详解】 由整理得：，可得圆心，半径为， 取可得，解得或，则； 取，可得，解得或，则. 因圆与圆相外切，且半径为，则， 可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，如图所示. 则点的轨迹方程为， ， 于是，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为20. 故答案为：20. 12. 已知，函数，其中为自然对数的底数．若函数恰有4个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求得，得出的单调性和，令，得到，设，且零点分别为，转化为方程和各有2个解，得到，进而求得的范围. 【详解】由函数，可得， 当时，；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 又由，令，可得， 设，则， 设的两个零点分别为，则或， 可得或， 要使得恰有4个零点， 则方程有2个解，且方程也有两个解， 则满足，即，即， 可得，即， 又因为，解得． 故答案为：. 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 二、选择题（13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分） 13. 已知偶函数在上单调递减，对实数a，b，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的判断，看条件与结论之间能否互推，条件能推结论，充分性成立，结论能推条件，必要性成立，由此即可求解. 【详解】解： 偶函数在上单调递减， 在上单调递增，且，的最大值在处取到， ，，，充分性成立； 又，，，也符合， 不一定是，因而必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题以函数的奇偶性为背景，考查充分条件与必要条件的判断，考查理解辨析能力，属于基础题. 14. 已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（ ） A ； B. ； C. ； D. . 【答案】B 【解析】 【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式，结合对立事件的定义逐一判断即可. 【详解】因为与相互独立，所以与、与、与也相互独立， A选项，，故A一定成立； B选项，， 而，所以，故B不成立； C选项，， 故C一定成立； D选项，， 故D一定成立. 故选：B. 15. 如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上一动点（不与，重合），则下列命题中：①平面平面；②一定是锐角；③；④三棱锥的体积为定值．其中真命题的有（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线垂直，线面垂直，面面垂直相互转化判断得出. 【详解】如图 因为，，，平面， 所以平面，即平面 又因为平面，故平面平面，所以①正确； 当为的中点时，，再由①知平面平面，平面平面， 所以平面，得，所以，一定是锐角错误，故②错误； 因为正方形中，所以有，又由正方体中有平面，得平面平面， 因为平面平面，所以平面，且平面，故，得③正确； 三角形的面积，三棱锥的高即为点到平面的距离，距离为， 故三棱锥的体积为定值，所以④正确. 故选：D. 16. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据推出，设圆柱底面半径为r，再根据圆柱的侧面展开图推出，利用圆柱的斜截面椭圆及离心率求出r即可. 【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分，可得． 设圆柱底面半径为r， 则，所以， 设椭圆长轴长为，短轴长为， 因为离心率为，得， 则， 即，所以， 得， 又由勾股定理得，解得，故． 故选：B. 三、解答题 17. 如图1，在直角梯形中，，，，，，垂直平分，分别交、于点、，将四边形沿折至四边形（如图2），使得． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即转化为证明平面； （2）根据垂直关系，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求两个平面与平面的法向量，利用向量法求平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为，， 所以，所以， 又，且，平面， 所以平面， 又平面，所以． 【小问2详解】 因为，，两两垂直，所以以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量， 则 令，则，，． 设平面的一个法向量为， 则 令，则，，， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知，． （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）在中，角所对的边分别是，若，，且面积为，求． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）由降幂公式和倍角公式及辅助角公式，可求得，再求最小正周期及单调递减区间．（2）由，可求得，再由面积公式，求得，由角A的余弦定理求的边的值． 【详解】（1）∵ ∴ 令得 故的单调递减区间为 （2）∵ ∴ ∴ 又∵ ∴或28 ∴或 【点睛】本题既考查了三角公式的应用，又考查了三角函数的周期性与单调性，还考查了解三角形相关问题，解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角函数，选择合适正、余弦定理和面积公式． 19. 2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求a，并估计参与调查者的平均年龄； （2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？ 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 中老年 10 合计 200 （3）将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）0.035；41.5岁 （2）表格见解析；有关 （3）；1 【解析】 【分析】（1）利用频率直方图面积和为1，即可得到，根据频率直方图计算平均数即可； （2）根据频率分布直方图得到青少年组、中老年组人数，从而得到列联表，再零假设计算出，根据独立性检验可得答案； （3）将频率视为概率，计算出青少年“不关注民生问题”的概率，根据每次抽取的结果是相互独立的得，可得答案 【小问1详解】 ， ， ， 估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁； 【小问2详解】 选出200人中，各组的人数分别为： 第1组：人，第2组：人， 第3组：人，第4组：人， 第5组：人， 青少年组有人，中老年组有人， 参与调查者中关注此问题的约占有人不关心民生问题， 选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人， 列联表如下； 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 90 30 120 中老年 70 10 80 合计 160 40 200 零假设：假设关注民生问题与性别相互独立， ， 根据独立性检验，可以认为零假设不成立， 即能依据小概率值的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关； 【小问3详解】 由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为， 将频率视为概率，每个青少年“不关注民生问题”的概率为， 因为每次抽取的结果是相互独立的，所以， 所以， 所以，． 20. 椭圆：的右焦点是，且经过点；直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点. （1）求椭圆的方程； （2）当直线AB的斜率为2时，求AB的长度； （3）若过原点的直线与椭圆交于，两点，且，求四边形面积的范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由右焦点是得，把点代入椭圆方程即可得解. （2）直线设其方程为，联立椭圆方程结合韦达定理以及可得，结合弦长公式即可得解. （3）当直线斜率存在时，设其方程为，联立椭圆方程结合韦达定理以及得，由得，进一步得面积表达式，进而即可得范围. 【小问1详解】 焦点为，则，即， 点在椭圆：上，即， 解得或（舍去），则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 直线设其方程为，，， 联立，可得， 则①， 又②，③ 以为直径的圆过原点即 ， 将②，③代入得， 解得④， . 【小问3详解】 当直线斜率存在时，设其方程为，，， 联立，可得， 则①， 又②，③ 以为直径的圆过原点即， 化简可得， 代入②③两式，整理得， 即④， 将④式代入①式，得恒成立，则， 设线段中点为，由，所以， 又， 又由，则点坐标为， 化简可得， 代入椭圆方程可得，即， 则 ， 当直线斜率不存在时，方程为，直线过中点，即为轴， 易得，，， 综上，四边形面积的取值范围为. 【点睛】关键点睛：第三问的关键是首先分别得以及，由此即可进一步得解. 21. 已知实数，设. （1）若，求函数，的图象在点处的切线方程； （2）若，求函数，的值域； （3）若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出，写出切线方程即可； （2）确定当时的单调性再求值域； （3）求函数单调区间、极值、零点，，集合，由题意知，由时不成立知，讨论与1的大小关系求出满足的的取值范围. 【小问1详解】 因为， ，， 所以，. 故点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ，， ，令得， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以 所以函数，的值域为. 【小问3详解】 由已知有令，解得或，列表如下： 所以的单调增区间是，单调减区间是和， 当时，取极小值，当时，取极大值， 由知，当时，，当时， 因为对于任意的，总存在，使得， 当时，不成立，故，所以，所以. 设集合集合则“对于任意的，都存在，使得”等价于. 下面分两种情况讨论： 当即时，有且此时在上单调递减，的值域为， 故,，所以A不是B的子集. 当即时，有且此时在上单调递减，故，因而， 由有在上值域为，所以，所以满足题意. 综上，的取值范围为 【点睛】关键点点睛：本题首先要正确转化：“对于任意的，都存在，使得”等价于两个函数值域的包含关系，即，其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方向，由于，因此，可减少讨论情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$