5.3 实际问题与一元一次方程（新课预习.培优卷）-2025-2026学年七年级上册数学人教版（2024）

5.3 实际问题与一元一次方程 一、选择题（共8小题） 1．（2025春•肥城市期末）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙两人不知有多少钱．若甲得到乙钱数的一半，则甲有50钱；若乙得到甲钱数的，则乙也有50钱．问甲、乙各有多少钱？设甲有x钱，则根据题意列方程（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•沙坪坝区校级期中）如图，宽为50cm的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，则大长方形的面积为（　　） A．4000cm2 B．5000cm2 C．6000cm2 D．3000cm2 3．（2025春•乳山市期末）一个长方形的长与宽的比是4：3，周长为28，则该长方形的面积是（　　） A．48 B．36 C．24 D．12 4．（2025春•忻州期末）我省某地落实乡村振兴政策，开设乡村民宿业务，李经理统计了近一周民宿预定数量（预定渠道为App团购和平台直播），其中总订单为500单，通过App团购预定单量比平台直播预定单量的2倍少100单，则平台直播预定单量为（　　） A．150单 B．200单 C．250单 D．300单 5．（2025•岳阳楼区二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空：三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，空余1车；若每3人共乘一车，余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，可列方程为（　　） A．4（x+1）＝3x+9 B．4（x+1）＝3x﹣9 C．4（x﹣1）＝3x﹣9 D．4（x﹣1）＝3x+9 6．（2025•新吴区二模）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（　　） A．x+4.5＝2（x﹣1） B．x+4.5＝2（x+1） C．x﹣4.5＝2（x+1） D．x﹣4.5＝2（x﹣1） 7．（2025春•思明区校级期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出七，盈三；人出六，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出7钱，多出3钱；每人出6钱，还差4钱．问人数、物价各是多少？若设共有x人，物价是y钱，则下列方程正确的是（　　） A．7（x﹣3）＝6（x+4） B．7x+3＝6x﹣4 C． D． 8．（2025•白云区模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，根据题意所列方程正确的是（　　） A．4（x+1）＝3x+9 B．4（x﹣1）＝3x+9 C．4x+1＝3x+9 D．4x+1＝3x﹣9 二、填空题（共8小题） 9．（2024秋•西山区校级期末）某车间有技工85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个，2个甲种部件和3个乙种部件配一套，应安排　 　 人加工甲部件才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？ 10．（2025•南关区校级三模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”问有多少牧童多少竹？若设牧童有x人，则所列方程为　 　 ． 11．（2025春•北林区期末）一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时．现在先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合做．完成整个工程一共需要多少小时？若设一共需要x小时，则所列的方程为　 　 ． 12．（2025春•北林区期末）某商店将彩电按成本价提高50%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍获利270元，那么每台彩电成本价是 　 　 ． 13．（2025春•眉山期末）某商品按定价的八折出售，售价为56元，则原定价为　 　 元． 14．（2025春•雁峰区校级月考）小明同学为留守儿童捐赠了一个书包．已知一个书包标价28元，现在打折出售，支付时还可以再减免1元，小明实际支付了17.2元，则打了　 　 折． 15．（2025•永寿县校级模拟）春节过后，一款哪吒盲盒受到了群众的喜爱．为了吸引顾客，某商店决定将一批进价为200元/个的哪吒盲盒涨价40%后又打折销售，每个盲盒仍可获利38元，则商店打　 　 折销售． 16．（2025春•文登区期末）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，且十位上数字与个位上数字之和为12，则这个两位数是　 　 ． 三、解答题（共7小题） 17．（2025•北京校级自主招生）甲乙两人练习往返骑行缥缈峰，两人各自上山速度保持不变，下山速度也保持不变，且为各自上山速度的2倍．两人同时从山脚出发，在靠近山顶四分之一的地方首次相遇（在同一地点即为相遇），在距离山脚12千米处第二次相遇，那么从山脚到山顶的距离为多少千米？ 18．（2025•北京校级自主招生）小仓鼠的学校距家有800米，平时它放学后总是慢悠悠地滚着它的仓鼠球回家，每分钟滚40米．有一天，它路过香喷喷的瓜子铺时，实在忍不住钻进去狂嗑了3分钟瓜子！结果它突然想起——回家晚了会被仓鼠妈妈发现！于是它立刻开启“疯狂滚球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家，最终竟然和平常到家的时间一模一样！小仓鼠的学校离瓜子铺有多少米？ 19．（2025•旬邑县校级模拟）2025年2月11日“长征八号甲”运载火箭在中国文昌航天发射场首飞成功．为激发学生对航天事业的兴趣，某校组织学生开展航天创意设计大赛，并计划购入A，B两款航天模型作为奖励．经了解，B款航天模型的单价比A款航天模型的单价高10%，该校购买A，B两款航天模型各5个，共花费315元，求A款航天模型的单价． 20．（2025春•新野县期末）小兵一家在“五一”假期去森林公园游玩，他们在溪流边的A码头租了一艘小艇逆流而上，划行速度约为5千米/小时，到B地后沿原路返回，速度增加了20%，回到A码头比去时少花了10分钟．求A、B两地之间的距离． 21．（2025春•尧都区期末）学校举行“我的梦，中国梦”征文比赛，七、八、九三个年级共收到征文170篇，且八年级收到的征文篇数是七年级收到的征文篇数的2倍，九年级收到的征文篇数比七年级收到的征文篇数的一半还多30，求七年级收到的征文篇数． 22．（2025•温江区校级开学）（浓度问题）甲容器中有浓度为2%的盐水180克，乙容器中有浓度为9%的盐水若干克，从乙容器中取出240克盐水倒入甲容器，这时，甲、乙两个容器内的食盐量相等．乙容器中原有盐水多少克？ 23．（2025•温江区校级开学）（行程问题）从甲城到乙城，A汽车匀速行驶用6时，从乙城到甲城，B汽车匀速行驶用5时．现在A、B两汽车分别从甲、乙两城同时出发相向而行，相遇时，A汽车行驶了210千米，则甲、乙两城相距多少千米？ 答案与解析 一、选择题（共8小题） 1．【答案】A 【分析】设甲有x钱，根据甲得到乙钱数的一半，则甲有50钱可知乙有2（50﹣x）钱，再根据乙得到甲钱数的，则乙也有50钱列出方程即可． 【解答】解：根据题意可得：， 故选：A． 2．【答案】A 【分析】设小长方形的宽为x cm，则小长方形的长为（50﹣x）cm，根据大长方形的对边相等，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入10（50﹣x）x中，即可求出大长方形的面积． 【解答】解：设小长方形的宽为x cm，则小长方形的长为（50﹣x）cm， 根据题意得：2（50﹣x）＝50﹣x+4x， 解得：x＝10， ∴10（50﹣x）x＝10×（50﹣10）×10＝4000（cm2）， ∴大长方形的面积为4000m2． 故选：A． 3．【答案】A 【分析】已知长方形的长宽比为4：3，周长为28．设长为4x，宽为3x，根据周长公式列方程求解x，再计算面积． 【解答】解：设长方形的长为4x，宽为3x． 由题意列一元一次方程得：2（4x+3x）＝28， 整理得，14x＝28， 解得x＝2． ∴长为4x＝8，宽为3x＝6． ∴面积＝8×6＝48． 故选：A． 4．【答案】B 【分析】设平台直播预定的单量为x，根据题意建立方程x+（2x﹣100）＝500，并求解即可． 【解答】解：设平台直播预定的单量为x单，则APP团购预定的单量为（2x﹣100）单，根据总订单量可列一元一次方程得： x+（2x﹣100）＝500， 整理得，3x＝600， 解得x＝200， 所以平台直播预定单量为200单． 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 5．【答案】D 【分析】根据每4人共乘一车，最终剩余1辆车，每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，即可列出相应的方程． 【解答】解：由题意可得，4（x﹣1）＝3x+9． 故选：D． 6．【答案】A 【分析】设长木长为x尺，则用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，可知绳子长为（x+4.5）尺；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：（x+4.5）＝x﹣1，即x+4.5＝2（x﹣1），即可列出相应的方程． 【解答】解：设长木长为x尺， ∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺， ∴绳子长为（x+4.5）尺， ∵绳子对折再量木条，木条剩余1尺， 得方程为：x+4.5＝2（x﹣1）． 故选：A． 7．【答案】D 【分析】根据人数＝总钱数÷每人所出钱数，得出等式即可． 【解答】解：设共有 x 人，根据题意可得：7 x ﹣3＝6 x+4， 设物价是y钱，根据题意可得： ． 故选：D． 8．【答案】B 【分析】设共有x辆车，根据“每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”即可得到关于x的方程． 【解答】解：设共有x辆车， ∵每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘， ∴4（x﹣1）＝3x+9， 故选：B． 二、填空题（共8小题） 9．【答案】25． 【分析】两个甲种部件和三个乙种部件配成一套的等量关系为：3×甲种部件的个数＝2×乙种部件的个数．两个等量关系为：加工的甲部件的人数+加工的乙部件的人数＝85；3×16×加工的甲部件的人数＝2×加工的乙部件的人数×10． 【解答】解：设加工的甲部件的有x人，加工的乙部件的有（85﹣x）人． 可得：3×16x＝2×10（85﹣x）， 解得：x＝25， 85﹣x＝85﹣25＝60． ∴加工的甲部件的有25人， 故答案为：25． 10．【答案】6x+14＝8x﹣2． 【分析】设设牧童有x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿”，结合竹竿的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意可列方程为：6x+14＝8x﹣2， 故答案为：6x+14＝8x﹣2． 11．【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据题意，知甲、乙的工作效率分别是、．再根据先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合做完成工程，来列方程即可． 【解答】解：根据题意，得 甲先做了5， 然后甲、乙合做了（）×（x﹣5）． 则有方程：5+（）×（x﹣5）＝1． 12．【答案】见试题解答内容 【分析】根据利润＝售价﹣成本价，设每台彩电成本价是x元，列方程求解即可． 【解答】解：设每台彩电成本价是x元， 依题意得：（50%•x+x）×0.8﹣x＝270， 解得：x＝1350． 故答案为：1350元． 13．【答案】70． 【分析】设原定价为x元，根据题意列方程求解，即可得到答案． 【解答】解：设原定价为x元， 根据题意列一元一次方程得：0.8x＝56， 解得x＝70， 即商品原定价为70元． 故答案为：70． 14．【答案】六五． 【分析】设打了x折，利用支付的费用＝标价×折扣率﹣1，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设打了x折， 根据题意得：281＝17.2， 解得：x＝6.5， ∴打了六五折． 故答案为：六五． 15．【答案】八五． 【分析】设商店打x折销售，利用利润＝售价﹣进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设商店打x折销售， 根据题意得：200×（1+40%）200＝38， 解得：x＝8.5， ∴商店打八五折销售． 故答案为：八五． 16．【答案】75． 【分析】设这个两位数的个位上的数字为x，则十位上的数字为（x+2），根据十位上数字与个位上数字之和为12，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入10（x+2）+x中，即可求出结论． 【解答】解：设这个两位数的个位上的数字为x，则十位上的数字为（x+2）， 根据题意得：x+2+x＝12， 解得：x＝5， ∴10（x+2）+x＝10×（5+2）+5＝75， ∴这个两位数是75． 故答案为：75． 三、解答题（共7小题） 17．【答案】从山脚到山顶的距离为28千米． 【分析】设从山脚到山顶的距离为s千米，甲上山的速度为v甲km/h，则下山的速度为2v甲km/h；乙上山的速度为v乙km/h，则下山的速度为2v乙km/h；根据题意，甲乙二人的上山速度一定不相同，否则他们会一直齐头并进的，不妨设v甲km/h＞v乙km/h，则第一次相遇的情景是乙骑行距离为上行千米，甲骑行上行s千米，下行千米，此时二人用时间相等；第二次相遇的情景是：甲下行千米，上行12千米，乙上行千米，下行（s﹣12）千米，此时二人用时间也相等，列式解答即可． 【解答】解：设从山脚到山顶的距离为s千米，甲上山的速度为v甲km/h，则下山的速度为2v甲km/h；乙上山的速度为v乙km/h，则下山的速度为2v乙km/h；根据题意，甲乙二人的上山速度一定不相同，否则他们会一直齐头并进的，不妨设v甲km/h＞v乙km/h， 故， ∴； 第二次相遇的情景是：甲下行千米，上行12千米，乙上行千米，下行（s﹣12）千米，此时二人用时间也相等， 故 ， ∴s＝28． 答：从山脚到山顶的距离为28千米． 18．【答案】小仓鼠的学校离瓜子铺有440米． 【分析】先用800除以速度40，求出平时用的时间，再减去3分钟，求出这次用的时间．再设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米，则瓜子铺离家的路程是（800﹣x）米．根据路程÷时间＝速度，分别用小仓鼠的学校离瓜子铺的路程和瓜子铺离家的路程除以各自的速度，表示出各自路程的时间，然后相加就等于这次用的时间． 【解答】解：800÷40＝20（分钟），20﹣3＝17（分钟）， 设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米． 根据题意列一元一次方程得，， 整理得，x+160＝2040， 解得x＝440， 即小仓鼠的学校离瓜子铺有440米， 答：小仓鼠的学校离瓜子铺有440米． 19．【答案】A款航天模型的单价为30元． 【分析】设A款航天模型的单价为a元，则B款航天模型的单价为（1+10%）a元，根据“该校购买A，B两款航天模型各5个，共花费315元”，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设A款航天模型的单价为a元，则B款航天模型的单价为（1+10%）a元， 根据题意得：5a+5×（1+10%）a＝315， 解得：a＝30． 答：A款航天模型的单价为30元． 20．【答案】A、B两地之间的距离为5千米． 【分析】设A、B两地之间的距离为x千米，利用时间＝路程÷速度，结合回到A码头比去时少花了10分钟，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设A、B两地之间的距离为x千米， 根据题意得：， 解得：x＝5． 答：A、B两地之间的距离为5千米． 21．【答案】七年级收到的征文有40篇． 【分析】设七年级收到的征文有x篇，则八年级收到的征文有2x篇，九年级收到的征文有（x+30）篇，根据七、八、九三个年级共收到征文170篇，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设七年级收到的征文有x篇，则八年级收到的征文有2x篇，九年级收到的征文有（x+30）篇， 根据题意得：x+2x+（x+30）＝170， ∴x+2xx＝140， 解得：x＝40． 答：七年级收到的征文有40篇． 22．【答案】乙容器中原有盐水520克． 【分析】由盐水中的含盐量＝盐水质量×浓度．设乙容器现有溶液x克，根据等量关系：甲容器中现有的食盐量＝乙容器中现有的食盐量，列出方程解答即可． 【解答】解：甲容器中原有食盐180×2%＝3.6（克）， 甲容器中现有食盐3.6+240×9%＝25.2（克）， 设乙容器现有溶液x克， 根据题意，得x×9%＝25.2， 解得：x＝280， 所以乙容器中原有盐水240+280＝520（克）． 答：乙容器中原有盐水520克． 23．【答案】462千米． 【分析】先求出A、B两车的速度比为5：6，再计算出甲、乙两城距离即可． 【解答】解：∵A汽车匀速行驶用6时，B汽车匀速行驶用5时， ∴A、B两车的速度比为， 两城的距离：（千米）， 答：甲、乙两城相距462千米远． 第4页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $$