21.2 解一元二次方程（新课预习.培优卷）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

21.2 解一元二次方程 一、选择题（共10小题） 1．（2025•石家庄二模）已知一元二次方程x2﹣2x＝2x+4．则该方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．两根互为相反数 C．有两个相等的实数根 D．两根之和为4 2．（2025•船营区校级三模）若关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的值可以为（　　） A．﹣1 B． C．0 D．1 3．（2025春•上城区期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣9＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x﹣2）2＝13 B．（x﹣2）2＝11 C．（x﹣4）2＝11 D．（x﹣4）2＝13 4．（2025春•兴隆台区期末）若x＝1是一元二次方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A．x＝﹣4 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝4 5．（2025春•怀宁县期末）一元二次方程x2＝x的解为（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝x2＝1 6．（2025春•瑶海区校级期末）一元二次方程x2＝5x的解为（　　） A．x＝0 B．x＝5 C．x＝0或x＝5 D．x＝0或x＝﹣5 7．（2025春•怀宁县期末）已知α，β是一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个实数根，则α+β的值为（　　） A．2025 B． C．1 D．﹣2025 8．（2025春•苍南县期末）用配方法解方程x2﹣6x+5＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝5 B．（x+3）2＝4 C．（x﹣3）2＝4 D．（x+3）2＝14 9．（2025•石家庄模拟）已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 10．（2025春•岳西县期末）已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为（　　） A．﹣1 B．7 C．﹣1或7 D．以上全不正确 二、填空题（共10小题） 11．（2025春•藤县期末）如果m，n是方程x2﹣5x+2＝0的两根，那么m2n+mn2的值为 　 　 ． 12．（2025春•让胡路区校级期末）方程x2＝﹣3x的解是　 　 ． 13．（2025春•海安市校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根．写出k的一个整数值　 　 ． 14．（2025•从江县校级二模）方程x（4x+1）＝0的解为 　 　 ． 15．（2025•江西模拟）若关于x的方程2x2+3x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是　 　 ． 16．（2025•江阳区校级模拟）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为 　 　 ． 17．（2025•郫都区校级模拟）若一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的周长为 　 　 ． 18．（2025春•泗阳县期末）方程x2＝2x的根为 　 　 ． 19．（2025春•龙口市期末）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b的形式为　 　 ． 20．（2025春•鼓楼区校级期末）已知两个数m，n满足m2+2m﹣k＝1，n2+2n﹣k＝1（k＞0），则m+n的值为　 　 ． 三、解答题（共7小题） 21．（2025春•让胡路区校级期末）用适当的方法解下列方程： （1）（x+1）（x﹣3）＝2x﹣6； （2）4x2﹣20x+25＝7； （3）3x2﹣4x﹣1＝0； （4）x2+2x﹣4＝0． 22．（2025春•德城区期末）解方程： （1）（x﹣2）2＝2x﹣4； （2）x2﹣4x﹣2＝0． 23．（2025春•让胡路区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有两个实数根，分别为x1，x2． （1）求m的取值范围． （2）当2（x1+x2）+x1x2+10＝0时，求m的值． 24．（2025春•六安期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知5是此方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0的一个根，求k的值和这个方程的另一个根． 25．（2024秋•渠县期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2（m+1）x+m+1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣m，求实数m的值． 26．（2025春•江都区月考）解方程： （1）x2+4x﹣1＝0（用配方法）； （2）3x2﹣2x﹣6＝0（用配方法）． 27．（2025春•西湖区校级月考）用适当方法解方程： （1）x2﹣4x＝0； （2）x（x+1）＝1． 答案与解析 一、选择题（共10小题） 1．【答案】D 【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对A、C选项进行判断；然后根据根与系数的关系对B、D选项进行判断． 【解答】解：方程化为一般式为x2﹣4x﹣4＝0， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣4）＝32＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，所以A选项、C选项的说法错误； 设方程的两根为α、β， 根据根与系数的关系得α+β＝4， 即方程的两根之和为4，所以B选项的说法错误，D选项的说法正确． 故选：D． 2．【答案】D 【分析】根据关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，判断出Δ＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×m＝1﹣4m＜0， 解得：， 故选项中只有D选项符合题意， 故选：D． 3．【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案． 【解答】解：∵x2﹣4x＝9， ∴x2﹣4x+4＝9+4，即（x﹣2）2＝13， 故选：A． 4．【答案】C 【分析】解法一：利用根于系数的关系可知两根之和为，进而求出另一根即可． 解法二：将x＝1代入方程求得c的值，进而解一元二次方程即可． 【解答】解：解法一：设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+c＝0的两根，x1＝1， ∴x1+x23， ∴x2＝3﹣x1＝3﹣1＝2，即此方程的另一个根是x＝2． 解法二：∵x＝1是一元二次方程x2﹣3x+c＝0的一个根， ∴1﹣3+c＝0， 解得：c＝2， ∴该方程为x2﹣3x+2＝0， 解得：x1＝1，x2＝2， ∴此方程的另一个根是x＝2． 故选：C． 5．【答案】C 【分析】先移项，然后再运用分解因式解一元二次方程求解即可． 【解答】解：∵x2＝x， ∴x2﹣x＝0， ∴x（x﹣1）＝0， ∴x1＝0，x2＝1． 故选：C． 6．【答案】C 【分析】先移项，然后再运用分解因式解一元二次方程求解即可． 【解答】解：x2＝5x， x2﹣5x＝0， x（x﹣5）＝0， ∴x＝0或x﹣5＝0， ∴x1＝0，x2＝5． 故选：C． 7．【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个实数根， ∴α+β＝2025， 故选：A． 8．【答案】C 【分析】根据完全平方公式的性质，根据等式的性质即可求解． 【解答】解：x2﹣6x+5＝0， 移项，x2﹣6x＝﹣5， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，x2﹣6x+32＝﹣5+32， 整理得，x2﹣6x+9＝4，即（x﹣3）2＝4， 故选：C． 9．【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1•x2＝﹣5，代入进行计算即可得到答案． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2， ∴，， ∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣（﹣5）＝3+5＝8， 故选：C． 10．【答案】B 【分析】由整体思想，用因式分解法解一元二次方程求出x2﹣x的值就可以求出结论． 【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0， ∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0， ∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0， ∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6． 当x2﹣x＝﹣2时， x2﹣x+2＝0， b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴此方程无实数解． 当x2﹣x＝6时， x2﹣x+1＝7 故选：B． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】10． 【分析】利用根与系数的关系得到m+n＝5，mn＝2，然后将其代入所求的代数式作答即可． 【解答】解：∵m，n是方程x2﹣5x+2＝0的两根， ∴m+n＝5，mn＝2， ∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝2×5＝10． 故答案为：10． 12．【答案】见试题解答内容 【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：x2+3x＝0， x（x﹣3）＝0， x＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝0，x2＝﹣3． 故答案为x1＝0，x2＝﹣3． 13．【答案】﹣1． 【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根可得Δ＝（﹣2）2﹣4k＞0，求出k的取值范围即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即Δ＝4﹣4k＞0， ∴k＜1 ∴k的一个整数值可以为﹣1（答案不唯一）， 故答案为：﹣1． 14．【答案】见试题解答内容 【分析】利用解一元二次方程的因式分解法可得结论． 【解答】解：∵x（4x+1）＝0， ∴x＝0或4x+1＝0， ∴x1＝0，， 故答案为：x1＝0，． 15．【答案】． 【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝32﹣4×2×a＝0，然后解方程即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝32﹣4×2×a＝0， 解得a， 即a的值为． 故答案为：． 16．【答案】见试题解答内容 【分析】先根据根的判别式的意义得到m，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，接着利用（x1+1）（x2+1）＝3得到x1x2+（x1+x2）+1＝3，所以m2+2m﹣1+1＝3，然后解关于m的方程，从而得到满足条件的m的值． 【解答】解：根据题意得Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2≥0， 解得m， ∵方程的两实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2， ∵（x1+1）（x2+1）＝3， ∴x1x2+（x1+x2）+1＝3， 即m2+2m﹣1+1＝3， 整理得m2+2m﹣3＝0， 解得m1＝﹣3，m2＝1， ∵m， ∴m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 17．【答案】4+2． 【分析】根据直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，可直接设出x1，x2，根据韦达定理和勾股定理求解即可． 【解答】解：设两条直角边的长分别是x1，x2， 则x1+x2＝4，x1•x2＝2， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16﹣4＝12， ∴直角三角形斜边的长是2， ∴这个直角三角形的周长为：4+2． 故答案为：4+2． 18．【答案】见试题解答内容 【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：x2＝2x， x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， x＝0，或x﹣2＝0， x1＝0，x2＝2， 故答案为：x1＝0，x2＝2． 19．【答案】（x﹣4）2＝21． 【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【解答】解：x2﹣8x﹣5＝0， ∴x2﹣8x＝5， ∴x2﹣8x+16＝5+16， ∴（x﹣4）2＝21， 故答案为：（x﹣4）2＝21． 20．【答案】﹣2． 【分析】判断出m，n是方程x2+2x﹣k＝1（k＞0）的两个实数根，即可得出m+n＝﹣2． 【解答】解：由题知m，n是方程x2+2x﹣k＝1（k＞0）的两个实数根， ∴m+n＝﹣2， 故答案为：﹣2． 三、解答题（共7小题） 21．【答案】（1）x1＝1，x2＝3； （2）x1，x2； （3）x1，x2； （4）x11，x21． 【分析】（1）直接利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）直接利用公式法解一元二次方程即可； （3）直接利用公式法解一元二次方程即可； （4）直接利用配方法解一元二次方程即可； 【解答】解：（1）（x+1）（x﹣3）＝2x﹣6， （x+1）（x﹣3）＝2（x﹣3）， ∴（x+1﹣2）（x﹣3）＝0， ∴（x﹣1）（x﹣3）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝1，x2＝3； （2）4x2﹣20x+25＝7， 4x2﹣20x+18＝0， ∴2x2﹣10x+9＝0， a＝2，b＝﹣10，c＝9， ∴x， ∴x1，x2； （3）3x2﹣4x﹣1＝0， a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴x， ∴x1，x2； （4）x2+2x﹣4＝0， x2+2x＝4， x2+2x+1＝4+1， ∴（x+1）2＝5， ∴x+1， ∴x1， ∴x11，x21． 22．【答案】（1）x1＝2，x2＝4； （2）x1＝2，x2＝2． 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）（x﹣2）2＝2x﹣4， （x﹣2）2＝2（x﹣2）， （x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣4）＝0， x﹣2＝0或x﹣4＝0， x1＝2，x2＝4； （2）x2﹣4x﹣2＝0， x2﹣4x＝2， x2﹣4x+4＝2+4， （x﹣2）2＝6， x﹣2＝±， x1＝2，x2＝2． 23．【答案】（1）m≤7； （2）m＝1． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，可得出28﹣4m≥0，解之即可得出m的取值范围； （2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣4，x1x2＝m﹣3，结合2（x1+x2）+x1x2+10＝0，可得出2×（﹣4）+m﹣3+10＝0，解之即可得出m的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有两个实数根， ∴Δ＝42﹣4×1×（m﹣3）＝28﹣4m≥0， 解得：m≤7， ∴m的取值范围为m≤7； （2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有两个实数根， ∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝m﹣3， ∵2（x1+x2）+x1x2+10＝0， ∴2×（﹣4）+m﹣3+10＝0， 解得：m＝1， ∴m的值为1． 24．【答案】（1）证明见解析； （2）k，方程的另一根为． 【分析】（1）根据根的判别式，即可得出Δ＝k2+8＞0，由此可证出不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根； （2）把x＝5代入方程可求得k的值，再解方程可求得另一根． 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（k+2），c＝k﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（k﹣1）＝k2+8 无论k取何值，k2≥0， 则k2+8＞0， ∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：把x＝5代入方程可得25﹣5（k+2）+k﹣1＝0， 解得k， 当k时，原方程为x2x0， 解得x1，x2＝5， 即方程的另一根为． 25．【答案】（1）m≥﹣1且m≠1； （2）m＝﹣1． 【分析】（1）根据根的判别式得出b2﹣4ac＝[2（m+1）]2﹣4（m﹣1）（m+1）≥0，求出不等式的解集即可； （2）根据根与系数的关系得出，，代入已知（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣m，得到关于m的一元二次方程，m2+3m+2＝0，解方程，结合（1）的条件，取舍即可求解． 【解答】解：（1）由条件可知： b2﹣4ac＝[2（m+1）]2﹣4（m﹣1）（m+1） ＝4（m2+2m+1）﹣4m2+4 ＝8m+8≥0，且m﹣1≠0， 解得：m≥﹣1且m≠1， 即m的取值范围是m≥﹣1且m≠1； （2）∵，， ∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣m， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣x1﹣x2+1＝﹣m， ， 化简得到： ， ， 4m+2＝﹣m2+m， m2+3m+2＝0， ∴（m+2）（m+1）＝0， 解得：m＝﹣2或m＝﹣1， ∵m≥﹣1且m≠1， ∴m＝﹣1． 26．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）先化系数为1，再根据配方法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程配方得：x2+4x+4＝5， ∴（x+2）2＝5， ∴， 解得； （2）原方程整理得：， ， ∴， ∴， 解得． 27．【答案】（1）x1＝0，x2＝4； （2）x1，x2． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x＝0， x（x﹣4）＝0， ∴x＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝0，x2＝4， （2）x（x+1）＝1， x2+x﹣1＝0， a＝1，b＝1，c＝﹣1， ∴x， ∴x1，x2． 第3页（共15页） 学科网（北京）股份有限公司 $$