2.7 探索勾股定理(1)-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

又∵EF= 1 2 (CD-AB)= 1 2GH , ∴△EGH 为直角三角形(此处运用了直 角三角形斜边中线定理的逆定理,该逆定理 的证明过程请同学们自己完成). ∴ ∠C + ∠D = ∠EHG + ∠EGH =90°. 【巩固练习】 1.8 2.30° 3.6.5 13 4.如图,BE 是角平分线,ED⊥AB. 5.解:∵BF,CE 是△ABC 的高线, ∴∠BFC=∠BEC=90°. 又∵点D 是 △ABC 边BC 上的中点, ∴DE= 1 2BC ,DF= 1 2BC , 即DE=DF. ∵点 H 是FE 的中点, ∴DH⊥EF. 6.解:(1)∵∠ABC=45°,CD⊥AB, ∴△BCD 是等腰直角三角形. ∴BD=CD. 在Rt△DFB 和Rt△DAC 中, ∠DBF=90°-∠BFD, ∠DCA=90°-∠EFC, 又∵∠BFD=∠EFC, ∴∠DBF=∠DCA. ∵∠BDF=∠CDA=90°,BD=CD, ∴Rt△DFB≌Rt△DAC. ∴BF=AC. (2)在Rt△BEA 和Rt△BEC 中, ∵BE 平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE. ∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°, ∴Rt△BEA≌Rt△BEC. ∴CE=AE= 1 2AC. 由(1)得BF=AC, ∴CE= 1 2AC= 1 2BF. 7.解:(1)∵AD⊥AB, ∴∠BAD=90°. ∵点E 是BD 的中点, ∴AE=BE= 1 2BD. ∴∠B=∠BAE. ∵∠AEC=∠B+∠BAE, ∴∠AEC=∠B+∠B=2∠B. ∵∠C=2∠B, ∴∠AEC=∠C. (2)由(1)得AE=AC, 又∵AE= 1 2BD , ∴ 1 2BD=AC , ∴BD=2AC. 8.提示:(1)OD=CE,问题的实质是 2OE2=OC2,OE= 2 2OC. (2)通过作辅助 线,将问题转化为第(1)问就可解决. 2.7 探索勾股定理(1) 【典型例题】 例1 16 变式练习1 4 例2 ①B ②没有考虑到a2-b2=0的情 况 ③△ABC是直角三角形或等腰三角形 变式练习2 直角三角形 例3 (1)55cm (2)2 34cm 变式练习3 B 【巩固练习】 1.A 2.D 3.C 4.2 13,2 10或32 5.25 6.20cm 7.42或x≥8 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·51· 8.(1)a2+b2<c2 (2)略 9.(1)6 (2) 75 16 10.(1)△ABC 的面积为 7 2. (2)① ②8 (3)31 2.7 探索勾股定理(2) 【典型例题】 例1 90° 变式练习1 90° 例2 略 变式练习2 160 3 例3 6.5 变式练习3 135° 【巩固练习】 1.D 2.D 3.D 4.D 5.45° 6.3 7. 48 5 8.13800m 2 9.(1)n2-1 2n n2+1 (2)是直角三 角形,因为(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2 10.2 11.150° 12.(1)6 12 (2)6秒或 12 5 秒 13.(1)证明:∵∠DBE= 1 2∠ABC , ∴∠ABD+∠CBE=∠DBE= 1 2∠ABC , ∵△ABE'由△CBE 旋转而成, ∴BE=BE',∠ABE'=∠CBE, ∴∠DBE'=∠DBE, 在△DBE 与△DBE'中, BE=BE' ∠DBE=∠DBE' BD=BD ì î í ï ï ïï , ∴△DBE≌△DBE'. ∴DE=DE'. (2)证明:如图所示,把△CBE 逆时针旋 转90°,连结DE', ∵BA=BC,∠ABC=90°, ∴∠BAC=∠BCE=45°, ∴图形旋转后点C 与点A 重合,CE 与 AE 重合, ∴AE'=EC, ∴∠E'AB=∠BCE=45°, ∴∠DAE'=90°, 在Rt△ADE'中, DE'2=AE'2+AD2. ∵AE'=EC, ∴DE'2=EC2+AD2. 同(1)可得DE=DE'. ∴DE'2=AD2+EC2. ∴DE2=AD2+EC2. 2.8 直角三角形全等的判定 【典型例题】 例1 解:通过观察与分析,可以判断 HG =HB. 理由如下: 连结AH, ∵四边形ABCD,AEFG 都是正方形, ∴∠B=∠G=90°. 由题意知AG=AB, 而AH=AH, ∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL). ∴HG=HB. 例2 解:①当点M 运动到AC 的中点时, 即AM=8时,如图①, 由AM=8=CB,MN=BA, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·61· 拓展与培优 44 2.7 探索勾股定理(1) 例1 如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若正方 形a,c的面积分别为5和11,求正方形b的面积. 点拨:(1)本题考查三角形全等,勾股定理相关 知识; (2)解决本题的关键是发现两个三角形全等, 再利用勾股定理可得Sa+Sc=Sb. 变式练习1 如图,依次摆放着七个正方形,已知斜 放置的三个正方形的面积分别为1,2,3,正放着的 四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+ S2+S3+S4= . 例2 阅读下列解题过程:已知a,b,c为△ABC 的 三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC 的形状. 解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,(A) ∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),(B) ∴c2=a2+b2,(C) ∴△ABC 是直角三角形. 问:①上述解题过程是从哪一步开始出现错误 的? 请写出该步的代号 ; ②错误的原因是 ; ③本题的正确结论是 . 点拨:(1)本题考查因式分解、等式性质、勾股 定理等知识; (2)等式性质2是容易发生错误的一个知识点, 在解题时不要忽略除式为0的情况. 变式练习2 已知:在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的 对边分别是a,b,c,满足a2+b2+c2+338=10a+ 24b+26c.试判断△ABC 的形状. 例3 李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课 题研究时设计了以下两个问题,请你根据下列所给 的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长. (1)如图1,正方体的棱长为5cm,一只蚂蚁欲 从正方体底面上的点 A 沿着正方体表面爬到点 C1处; (2)如图2,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱 长为6cm,一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿 着棱柱表面爬到C1处. 图1 图2 点拨:(1)本 题 考 查 长 方 体 展 开 图、线 段 性 质 (基本事实)、勾股定理; (2)第(1)题将正方体表面展开即可,第(2)题 将长方体表面以3种不同方式展开,可以得不同展 开方式时的最短路程,再比较3种路程的大小. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 45 变式练习3 如图,一只蚂蚁从长、宽都是3cm,高 是8cm的长方体纸盒的A 点沿纸盒面爬到B 点, 那么它所行的最短路线的长是 ( ) A.(32+8)cm B.10cm C.14cm D.无法确定 一、夯实基础 1.若 等 腰 三 角 形 腰 长 为10cm,底 边 长 为 16cm,那么它的面积为 ( ) A.48cm2 B.36cm2 C.24cm2 D.12cm2 2.已知一个直角三角形的两边长分别为3和 4,则第三边长的平方是 ( ) A.25 B.14 C.7 D.7或25 3.如图,已知△ABC 中,∠ABC=90°,AB= BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l3 上,且l1,l2 之间的距离为1,且l2,l3 之间的距离为 2,则AC 的长是 ( ) A.13 B.20 C.26 D.5 4.在△ABC 中,AC=2,BC=4,AB=25,以 AB 为边,向△ABC 外作等腰直角三角形ABD,则 CD= . 5.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》如图所 示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形 拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是13,小 正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边为a,较 长直角边为b,那么(a+b)2 的值为 . 6.如图,圆柱形容器高为18cm,底面周长为 24cm,在杯内壁离杯底4cm 的点B 处有一滴蜂 蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2cm与 蜂蜜相对的点A 处,则蚂蚁从外壁A 处到达内壁B 处的最短距离为 . 7.如图,∠BAC=45°,AB=8,要使满足条件 的△ABC 唯一确定,那么BC 的长度x 的取值范围 是 . 二、拓展提升 8.在△ABC 中,BC=a,AC=b,AB=c,若 ∠C=90°,如图1,则有a2+b2=c2;若△ABC 为锐 角三角形时,小明猜想:a2+b2>c2,理由如下:如图 2,过 点 A 作 AD ⊥CB 于 点 D,设 CD =x.在 Rt△ADC中,AD2=b2-x2,在Rt△ADB 中,AD2 =c2-(a-x)2,∴a2+b2=c2+2ax. ∵a>0,x>0,∴2ax>0,∴a2+b2>c2,∴当 △ABC 为锐角三角形时a2+b2>c2.所以小明的猜 想是正确的. (1)请你猜想,如图3,当△ABC 为钝角三角形 时,a2+b2 与c2 的大小关系. (2)证明你猜想的结论是否正确. 图1 图2 图3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 46 9.如 图1,将 两 块 全 等 的 直 角 三 角 形 纸 片 △ABC 和△DEF 叠放在一起,其中∠ACB=∠E =90°,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D 与边AB 的中点重合. (1)若DE 经过点C,DF 交AC 于点G,求重叠 部分(△DCG)的面积; (2)合作交流:“希望”小组受问题(1)的启发, 将△DEF 绕点D 旋转,使 DE⊥AB 交AC 于点 H,DF 交 AC 于 点 G,如 图 2,求 重 叠 部 分 (△DGH)的面积. 图1 图2 10.小明遇到这样一个问题:已知,在△ABC 中,AB,BC,AC 三边的长分别为 10,5,13,求 △ABC 的面积. 小明是这样解决问题的:如图1所示,先画一个 正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格 中画出格点△ABC(即△ABC 三个顶点都在小正 方形的顶点处),从而借助网格就能计算出△ABC 的面积.他把这种解决问题的方法称为构图法.请 回答: 图1 图2 参考小明解决问题的方法,完成下列问题: (1)求图1中△ABC 的面积; (2)图2是一个6×6的正方形网格(每个小正 方形的边长为1). ①利用构图法在图2中画出三边长分别为 13,25,29的格点△DEF; ②△DEF 的面积是 . (3)如图3,已知△PQR,以PQ,PR 为边向外 作正方形PQAF,PRDE,连结EF.若PQ=2 2, PR= 13,QR= 17,求六边形AQRDEF 的面积. 图3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋