专题05 基本不等式（讲义） -江苏省2026年职教高考一轮复习《数学知识点清单》（解析版+原卷版）

编写说明：江苏省2026年职教高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课 程标准》及江苏历年职教高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共48个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是江苏省2026年职教高考一轮复习《数学知识点清单》的第5个专题：基本不等式。本专题涵盖基本不等式的定义、适用范围等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 江苏省2026年职教高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题05 基本不等式（讲义） 知识点1 基本不等式 1. 均值定理 如果都是正数，那么（当且仅当时，等号成立）.即：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 2. 均值定理的变形 （1） 若为正实数，则（当且仅当时，等号成立）. （2） 若为正实数，则（当且仅当时，等号成立）. 3. 最值问题 （1） 若两个正数的积是定值P,则当时,有最小值（积定和最小）. （2） 若两个正数的和是定值S,则当时,有最大值（和定积最大）. 1．（24-25高三下·江苏·职教高考）若实数满足，其中，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D．25 【答案】C 【分析】令，结合题意将变形成，利用均值不等式即可得解. 【详解】实数满足，其中， 令，则， 已知， 将变形为， 展开可得：， 对于，有， 所以，当且仅当时等号成立， 即的最小值是5， 故选：. 2．（23-24高三下·江苏·职教高考）已知正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的最大值是（    ） A．9 B．13 C．18 D．26 【答案】C 【分析】由得到，从而利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，进而得到，由此得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 因为不等式恒成立，只需， ，因此，故实数的最大值为. 故选：C. 3．（24-25高三下·江苏·三模）正数满足，若对任意正数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据基本不等式求出的最小值，再求解一元二次不等式. 【详解】， 当且仅当等号成立. 因为对任意正数恒成立， 所以，即，解得. 则实数的取值范围是. 故选：A. 4．（24-25高三下·江苏徐州·二模）已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数在的最小值，再求解一元二次不等式. 【详解】令， 则，当且仅当时等号成立. 所以函数在的最小值为12. 不等式对一切恒成立，等价于， 化简为，故实数的取值范围是. 故选：C. 5．（24-25高三下·江苏·二模）已知若方程有三个不同的解，，，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】通过分析函数的不同阶段，结合题意表示出利用基本不等式即可得解. 【详解】 根据题意画出图像，由图像可知，， 因为，则， 所以，， 则， 当且仅当时取等号，故的取值范围是. 故答案为：. 1．若函数在处取最小值，则（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据题意结合基本不等式公式即可得解. 【详解】∵，∴， 当且仅当即时取等号，此时函数取最小值， 则函数在处取最小值时，此时． 故选：. 2．若，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由，可得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为 故选：B. 3．已知，则的最小值是（   ） A．27 B．3 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由基本不等式的性质求最值即可. 【详解】因为，即， 则， 当且仅当，即时，取等号， 故其最小值为9. 故选：D. 4．已知，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据均值不等式即可得解. 【详解】因为， 则， 当且仅当时等号成立，此时或（舍）， 所以的最小值为， 故选：. 5．若，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，则， 所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 此时的最大值是. 故选：A． 6．已知直线与圆相切，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】根据直线与圆相切的性质结合基本不等式求解即可. 【详解】因为直线与圆相切， 所有. 展开化简得. 则, 当且仅当 ，即 时等号成立. 故选：C 7．已知，直线，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据直线平行的条件得到关于的等式，再结合均值不等式求解即可； 【详解】因为直线，且， 所以，解得； 所以， 所以， 当且仅当，即时取得等号； 故选：B 8．若矩形的面积为4，则其周长的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】设矩形的长为，宽为，再由基本不等式求最值即可. 【详解】已知矩形的面积为4，设矩形的长为，宽为， 则其周长的为，因为， 所以，当且仅当时等式成立， 所以，即周长的最小值为， 故选：C. 9．函数取到最小值时，实数（    ） A． B．3 C．0或2 D．2 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求解函数最小值，即可求解. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数取到最小值时，实数. 故选：D. 10．已知，且，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据均值不等式即可得解. 【详解】因为，且， ，则， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为， 故选：. 11．若，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，，且，所以， 当且仅当 ，，，即 ，联立， 解得 ，，∴ 的最小值是18. 故答案为：. 12．已知实数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由基本不等式求最值即可. 【详解】实数a，b满足，即， 则， 当且仅当时，即或时，取等号. 故则的最小值为. 故答案为：. 13．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时. 故答案为：. 14．已知和均为正实数，则的最小值为 . 【答案】/4.5 【分析】首先将式子进行化简，再根据基本不等式进行求最值. 【详解】和均为正实数， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 15．已知，，且，则最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用”1”的代换及基本不等式可求解. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即取等号， 所以最小值为. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：江苏省2026年职教高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课 程标准》及江苏历年职教高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共48个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是江苏省2026年职教高考一轮复习《数学知识点清单》的第5个专题：基本不等式。本专题涵盖基本不等式的定义、适用范围等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 江苏省2026年职教高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题05 基本不等式（讲义） 知识点1 基本不等式 1. 均值定理 如果都是正数，那么（当且仅当时，等号成立）.即：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 2. 均值定理的变形 （1） 若为正实数，则（当且仅当时，等号成立）. （2） 若为正实数，则（当且仅当时，等号成立）. 3. 最值问题 （1） 若两个正数的积是定值P,则当时,有最小值（积定和最小）. （2） 若两个正数的和是定值S,则当时,有最大值（和定积最大）. 1．（24-25高三下·江苏·职教高考）若实数满足，其中，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D．25 2．（23-24高三下·江苏·职教高考）已知正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的最大值是（    ） A．9 B．13 C．18 D．26 3．（24-25高三下·江苏·三模）正数满足，若对任意正数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·江苏徐州·二模）已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·江苏·二模）已知若方程有三个不同的解，，，且，则的取值范围为 . 1．若函数在处取最小值，则（   ） A．2 B． C． D．1 2．若，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 3．已知，则的最小值是（   ） A．27 B．3 C．8 D．9 4．已知，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．若，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 6．已知直线与圆相切，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 7．已知，直线，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 8．若矩形的面积为4，则其周长的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 9．函数取到最小值时，实数（    ） A． B．3 C．0或2 D．2 10．已知，且，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 11．若，，且，则的最小值为 ． 12．已知实数a，b满足，则的最小值为 ． 13．已知，则的最小值为 ． 14．已知和均为正实数，则的最小值为 . 15．已知，，且，则最小值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$