专题08 函数的基本性质（讲义） -江苏省2026年职教高考一轮复习《数学知识点清单》（解析版+原卷版）

编写说明：江苏省2026年职教高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课 程标准》及江苏历年职教高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共48个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是江苏省2026年职教高考一轮复习《数学知识点清单》的第8个专题：函数的基本性质。本专题涵盖奇函数、偶函数的判断、函数的单调性等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 江苏省2026年职教高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题08 函数的基本性质（讲义） 知识点1 函数的单调性 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点2 函数的奇偶性 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． 1．（24-25高三下·江苏·二模）已知定义在上的函数的图像关于点中心对称，对任意的实数都有且，，则实数（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】由已知，可判断出函数是周期为3的周期函数，由，，求出一个周期内函数的值，再利用分组求和法可得到答案. 【详解】，， 则， 是周期为的周期函数，则 ，. 又的图像关于点中心对称， ， ，， ，， . 故选：C 2．（24-25高三下·江苏盐城·三模）已知函数，若存在，且，使得成立，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用指数函数与二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为，所以在单调递增. 因为存在，且，使得成立， 所以函数在上不是单调的. 由于在单调递增，所以只要不单调， 或者的大于的值即可. 若不单调，则对称轴，解得； 当时，，若的值大于2， 即，解得； 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（24-25高三下·江苏·三模）已知函数是定义在上的奇函数，则 ． 【答案】/ 【分析】根据奇函数的定义求出的值即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以，解得， 所以，， 则，所以， 所以， 则， 故答案为：. 4．（24-25高三下·江苏盐城·三模）已知是定义在区间上的奇函数，当时，，函数，满足，求： (1)实数的值； (2)当时，的表达式； (3)函数在区间上的值域． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合奇函数的概念和性质，即可求解； （2）根据题意，结合奇函数的概念，即可求得函数解析式； （3）根据题意，结合函数的对称性，可得函数的对称轴，结合二次函数的图像和性质，即可求得函数在区间上的最大值和最小值，继而求得函数在区间上的值域. 【详解】（1）因为是定义在区间上的奇函数， 所以，解得； 又当时，， 所以，解得； （2）由（1）知，， 所以是定义在区间上的奇函数，且时，， 令，则， 所以， 所以； （3）因为，所以函数的对称轴为， 解得， 所以， 又， 所以当时，函数取得最小值，即； 当时，函数取得最大值，即； 故当时，函数的值域为. 5．（24-25高三下·江苏·职教高考）已知函数在区间上的最大值为9，最小值为2. (1)求实数的值； (2)设函数，试判断函数的奇偶性. 【答案】(1) (2)奇函数 【分析】（1）利用指数函数的单调性得到关于的方程组，解之即可得解； （2）结合（1）中结论，利用奇函数的判定方法，结合指数的运算法则即可判断. 【详解】（1）因为，所以函数在上单调递增， 则在上的最小值为，最大值为， 所以，解得， 所以. （2）是奇函数，理由如下： 由（1）知， 则，其定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数. 1．已知函数在上是减函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用减函数的性质，求的取值范围即可. 【详解】因为函数在上是减函数，则当， 有，解得， 则的取值范围是； 故选：A. 2．已知奇函数的图像经过，则函数的图像必经过另一点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质，即可求解. 【详解】根据题意，的图像经过， ， 又为奇函数， ， 函数的图像必经过. 故选：B. 3．若函数的图像过点，则函数的图像必过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像的平移即可求解图像必过的点. 【详解】由题知，函数的图像过点， 向左平移个单位得到， 则图像必过点. 故选：C. 4．已知是定义在上的偶函数，则等于（      ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据偶函数定义域关于原点对称和偶函数的性质即可解得 【详解】由题，为偶函数， 则, 即， 解得， 同时可知，， 解得， 故， 故选：B 5．若是以4为周期的奇函数，且，则（    ） A．0 B．5 C．－5 D．以上都不对 【答案】C 【分析】利用函数的周期性和奇偶性即可求解. 【详解】因为是以4为周期的奇函数，且 所以， 所以. 故选：C. 6．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性和奇偶性的定义，逐一判断各个选项中的函数是否满足条件，从而得出结论. 【详解】对于A，函数是偶函数，且在区间上单调递减，故A满足题意； 对于B，函数是偶函数，且在区间上单调递增，故排除B； 对于C，函数是奇函数，故排除C； 对于D，函数它是非奇非偶函数，故排除D； 故选：A. 7．已知函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义对命题的充分条件和必要条件进行判断. 【详解】由奇函数的定义可知，定义域为时，若为奇函数，则有， 所以“为奇函数”可以推出“”， 若，不能推出为奇函数， 例满足，但为偶函数. 所以“为奇函数”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8．设是定义域为R的奇函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据进行递推，结合奇函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得：， 而， 所以. 故选：C 9．设是周期为2的奇函数，当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性和周期性即可得解. 【详解】因为是周期为的奇函数. . 当时，. 即. 故选:A. 10．函数是偶函数，则a的值是（    ） A．0 B．2 C．4 D．0.5 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质来求解的值. 【详解】因为二次函数是偶函数， 所以， 即， 即，解得. 故选：B. 11．若函数是上的增函数，则与的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据增函数的性质求解即可. 【详解】函数是上的增函数，且， 所以. 故答案为：. 12．已知是偶函数，且当时，，则 ． 【答案】 【分析】先由题求出，再根据偶函数求解即可. 【详解】当时，， 所以，又是偶函数， 由偶函数的性质知， 所以． 故答案为： 13．函数在上是偶函数，若，则 【答案】 【分析】根据函数偶函数的性质即可求解. 【详解】由题意得，函数是偶函数，则. 故答案为：2. 14．若一次函数是奇函数，则满足的条件是 【答案】， 【分析】根据一次函数的性质即可求解. 【详解】由题意得，一次函数是奇函数，则且. 解得，.此时, 故答案为：，. 15．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则= . 【答案】2 【分析】先由函数是偶函数得，然后通过计算得到,即可求解． 【详解】因为是定义在上的偶函数，且， 所以． 故答案为：2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：江苏省2026年职教高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课 程标准》及江苏历年职教高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共48个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是江苏省2026年职教高考一轮复习《数学知识点清单》的第8个专题：函数的基本性质。本专题涵盖奇函数、偶函数的判断、函数的单调性等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 江苏省2026年职教高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题08 函数的基本性质（讲义） 知识点1 函数的单调性 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点2 函数的奇偶性 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． 1．（24-25高三下·江苏·二模）已知定义在上的函数的图像关于点中心对称，对任意的实数都有且，，则实数（   ） A． B． C．0 D．1 2．（24-25高三下·江苏盐城·三模）已知函数，若存在，且，使得成立，则实数k的取值范围是 . 3．（24-25高三下·江苏·三模）已知函数是定义在上的奇函数，则 ． 4．（24-25高三下·江苏盐城·三模）已知是定义在区间上的奇函数，当时，，函数，满足，求： (1)实数的值； (2)当时，的表达式； (3)函数在区间上的值域． 5．（24-25高三下·江苏·职教高考）已知函数在区间上的最大值为9，最小值为2. (1)求实数的值； (2)设函数，试判断函数的奇偶性. 1．已知函数在上是减函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知奇函数的图像经过，则函数的图像必经过另一点（   ） A． B． C． D． 3．若函数的图像过点，则函数的图像必过点（    ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上的偶函数，则等于（      ） A． B． C．1 D．2 5．若是以4为周期的奇函数，且，则（    ） A．0 B．5 C．－5 D．以上都不对 6．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设是定义域为R的奇函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 9．设是周期为2的奇函数，当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 10．函数是偶函数，则a的值是（    ） A．0 B．2 C．4 D．0.5 11．若函数是上的增函数，则与的大小关系为 ． 12．已知是偶函数，且当时，，则 ． 13．函数在上是偶函数，若，则 14．若一次函数是奇函数，则满足的条件是 15．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则= . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$