第2章 圆与方程（举一反三讲义·培优篇）高二数学苏教版选择性必修第一册

第2章 圆与方程（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版（2019）】 题型1 二元二次方程表示圆的条件 1．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】当时，方程表示圆，代入可求得的取值范围. 【解答过程】由方程表示圆得，，解得或， 故的取值范围为. 故选：D. 2．（24-25高二上·吉林通化·期中）若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将方程化为圆的一般方程，利用列式即可求. 【解答过程】若方程表示一个圆，则， 方程可化为， 所以，解得，且不等于0， 所以或. 故选：D. 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知表示圆，则实数a的值为 . 【答案】 【解题思路】根据圆的标准方程和一般方程计算即可求解. 【解答过程】由圆的方程，知， 解得或， 当时，变为， 此时不表示圆； 当时，变为， 此时表示圆， 故. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·课前预习）如果二元二次方程（A、B、C不同时为零）所表示的曲线是圆，那么方程的系数A、B、C、D、E、F应满足什么条件？ 【答案】，，且 【解题思路】将二元二次方程进行化简，再根据圆的一般方程可推出A、B、C、D、E、F所需满足的条件. 【解答过程】因为圆的一般方程是， 所以二元二次方程要表示圆， 首先必须使其中的系数，， 此时方程为， 通过变形及配方，得， 此时又必须． 因此，A、B、C、D、E、F所需满足的条件是，，且． 5．（2025高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【解题思路】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得. 【解答过程】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 题型2 轨迹问题——圆 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案. 【解答过程】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 2．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意结合两点间距离公式运算求解即可. 【解答过程】因为，即， 则，整理可得． 故选：C. 3．（24-25高二上·北京房山·期中）已知定点和点，以为斜边，则直角顶点A的轨迹方程为 . 【答案】（且） 【解题思路】求出的中点，且，故点A的轨迹是以D为圆心，为半径的圆，除点B，C之外的部分，求出答案. 【解答过程】设点，点D为点和点的中点， 则，， ∵以为斜边，点A为直角顶点， ∴， ∴点A的轨迹是以D为圆心，为半径的圆，除点B，C之外的部分， ∴点A的轨迹方程为（且）. 故答案为：（且）. 4．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知圆，直线过点 (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）利用点到直线的距离为半径可求切线方程，注意就斜率是否存在分类讨论； （2）利用动点转移法可求点的轨迹方程. 【解答过程】（1）若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离为半径， 故直线为圆的切线； 若直线的斜率存在，设切线方程为， 则，故，此时切线方程为， 综上，切线的方程为或. （2）设点则，由点是的中点得， 所以① ，因为在圆上运动，所以②， ①代入②得  化简得点的轨迹方程是. 5．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知平面直角坐标系中，圆，点， (1)若是圆上的动点，线段的中点为，求的轨迹方程； (2)过点作直线与点的轨迹方程交于、两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）是线段的中点，利用中点坐标公式表示出点坐标，代入圆即可. （2）斜率存在时，设，则的圆心到直线的距离，解得，得到的直线方程，斜率不存在时也符合. 【解答过程】（1）设，，因为线段的中点为， 则，所以， 点在圆上，代入圆，得， 化简得，即为的轨迹方程； （2）由（1）知：的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 当直线的斜率存在时，设，即， 则的圆心到直线的距离， 所以，解得，故直线为； 当直线斜率不存在时，，也符合题意， 所以直线的方程为或. 题型3 圆的切线长及切线方程问题 1．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】分切线斜率存在与不存在讨论即可. 【解答过程】，则圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 故选：D. 2．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解题思路】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离. 【解答过程】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时. 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏泰州·期中）若过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】或. 【解题思路】分直线斜率是否存在及结合点到直线的距离公式即可求解. 【解答过程】当直线斜率存在时，设切线的方程为:，即， 圆心到切线的距离为， 由得，化简得到， 此时切线方程为：，即； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，满足题意. 故答案为：或. 4．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）已知圆经过三点. (1)求的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的一般式方程. 【答案】(1)； (2)或. 【解题思路】（1）应用待定系数法求圆的方程，进而标准化即可； （2）由（1）圆心为，半径，讨论直线的斜率存在性，结合直线与圆相切求直线方程. 【解答过程】（1）由题意，可设圆的一般方程为， 代入三点坐标可得，解得， 所以圆的一般方程为，标准方程为. （2）由（1）知，圆心为，半径， ①当过点的直线斜率不存在时， 此时切线的一般式方程为，且圆心到该直线的距离，满足条件； ②当过点的直线斜率存在时， 设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的一般式方程为， 综上所述：切线的一般式方程为或. 5．（24-25高二上·江苏泰州·期中）（1）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长； （2）自点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1）2；（2）或. 【解题思路】（1）利用切线与半径的垂直关系，利用勾股定理求得切线长； （2）法1，分直线的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，再根据圆心到直线距离等于半径列式运算求解；法2，分直线的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，联立方程组根据判别式等于0求解. 【解答过程】（1）设从向圆引切线的一个切点为，则， 又因为， 所以，即切线的长为2. （2）解法1：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件； 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 解得或， 因此，切线的方程为或. 解法2：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件. 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以方程组仅有一组解， 由方程组消去得， 所以， 解得或， 因此，切线的方程为或. 题型4 圆的弦长与中点弦问题 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据垂径定理可知，，结合直线的位置关系，即可求解. 【解答过程】圆 的圆心为，而点， 所以 由题意可知，， 则，所以 所以弦所在的直线的方程为， 即. 故选：A. 2．（24-25高二上·山西太原·期中）已知直线与圆相交于，两点，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，由条件可得直线过定点，且当直线与直线垂直时，弦最短，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由直线可得， 令，解得，所以直线恒过定点， 且圆的圆心，半径为， 易知当直线与直线垂直时，弦最短，且， 所以. 故选：D. 3．（24-25高二上·安徽宣城·期末）过坐标原点O作倾斜角为的直线l，则直线l被圆所截得的弦长为 . 【答案】 【解题思路】写出直线方程，求出圆心到直线l的距离，由垂径定理求得弦长. 【解答过程】由题意可得直线l的方程为，即，即， 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l被圆所截得的弦长为 故答案为：. 4．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 【答案】(1)圆心坐标为，面积为 (2) 【解题思路】（1）将圆的一般式化为标准方程，即可得到圆心坐标与半径； （2）先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得. 【解答过程】（1）由可得， 则圆的圆心坐标为,半径，面积； （2）依题意直线的方程为， 即， 圆心到直线的距离， 所以； 5．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）已知直线，圆. (1)若直线与直线平行，且与圆相切，求的直线方程； (2)若直线与直线垂直，且与圆相交于AB两点，，求的直线方程. 【答案】(1)或； (2)或. 【解题思路】（1）根据题意假设所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得，从而得解； （2）根据题意假设直线的方程，利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，进而利用点线距离公式列式即可得解. 【解答过程】（1）依题意，设所求直线方程为， 因为所求直线与圆相切，且圆心为，半径为， ，解得或， 所求直线方程为或； （2）依题意，设直线的方程为， 因为直线与圆相交于A，B两点，， 圆心到直线的距离为，，解得或， 直线的方程为或. 题型5 直线与圆有关的面积问题 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据直线方程可得，根据圆的方程圆心到直线的距离为，进而可得点到直线的距离的取值范围和面积的取值范围. 【解答过程】由直线可知，则， 由圆可知圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 设点到直线的距离为， 则，即， 所以面积. 故选：C. 2．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】写出面积表达式，从而得到当与直线垂直时面积最小，代入数据计算即可. 【解答过程】由已知在以为直径的圆上， 所以， 又在圆上， 所以为圆的两条切线， 故 所以四边形面积， 圆的圆心坐标为，半径为， 所以， 所以， 而的最小值为点到直线的距离，此时与直线垂直，垂足为， 且点到直线的距离， 所以四边形面积的最小值为. 故选：B. 3．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则四边形的面积的最小值为 . 【答案】 【解题思路】首先判断直线与圆的位置关系，再由、，将问题化为先求最小值，进而求最小面积. 【解答过程】由，即，则，半径， 所以到的距离，即直线与圆相离，如下图示，    由题意，且，而， 所以，要使四边形的面积最小，只需最小， 又，即只需最小，显然， 所以，故最小. 故答案为：. 4．（24-25高二上·河南·期中）已知的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于E，F两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用待定系数法设圆的方程为，结合题意解出即可求解； （2）由（1）得圆心和半径，求出圆心到直线的距离，从而可得弦长，再用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，继而利用三角形面积公式即可求解. 【解答过程】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. （2）由，得， 所以圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， ， 又点到直线的距离为， 所以的面积为.    5．（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图所示，圆与轴的交点分别为，过点的直线与圆交于两点. (1)记直线的斜率分别为，求的值； (2)设为直线与的交点，△，△的面积分别为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）联立直线与圆的方程可得韦达定理，根据圆的性质可得垂直关系，进而可得,即可利用解法一求解，或者直接利用两点斜率公式，代入韦达定理化简求解（解答二），或者设直线的方程为同解法二，代入韦达定理化简求解， （2）根据三角形的面积公式可得 ，即可根据不等式的性质求解. 【解答过程】（1）解法一：设由题知，． ①当直线的斜率不存在时，直线方程为，如图所示， 将，代入，解得，∴， ∴，∴． ②当直线的斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 设，则， 联立，消去得，， ∴，， 连接，由圆的性质可得，∴， ∴ ． 综上可得，． 解法二：由题知，． ①当直线的斜率不存在时，同法1． ②当直线的斜率存在时，同法1得∴， ∴ ． 综上可得，． 解法三：设直线方程为，则 联立，消去得， ∴，， ∴，整理得， ∴ （2）由（1）知，∴直线和直线方程分别为和， 联立，消去得，∴点在直线上，如图所示， f ∴ ∵，∴，∴． ∴的取值范围范围为． 题型6 直线与圆有关的最值问题 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先得到圆的圆心与半径，再利用点到直线的距离公式即可得解. 【解答过程】因为圆，所以其圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 则所求距离的最小值为. 故选：A. 2．（24-25高二上·山西·期中）已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】判定直线与的位置关系，利用圆的切线长定理，结合三角函数求出最小值. 【解答过程】依题意，：的圆心，半径为2， 圆心到直线的距离为，即直线与相离， 则当PA，PB分别为圆的切线，且最小时，最大， 又，则最大，即最大，此时最小， 而，则， 所以的最小值为. 故选：D. 3．（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）已知圆上有一动点，记点到直线的距离为，平面上有一定点，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】求出中点的轨迹，再结合图形找到线段和最小值的情况. 【解答过程】作出图形，分别取线段中点分别为， 因为，则，则， 则点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆， 其轨迹方程，半径， 则，设点到直线的距离为， 则，则的最小值为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值是，最小值为 (2)最小值，最大值． 【解题思路】（1）先把圆方程化为标准式，得到圆心和半径．设，它代表圆上点与原点连线斜率．利用圆心到直线距离小于等于半径，列出不等式求解，得出的范围，即的最值． （2）方法一：将圆方程用参数表示，令，，得到关于的式子，根据三角函数取值范围求最值． 方法二：设，与圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程．因为直线与圆有公共点，所以方程有解，通过判别式得出的范围，即的最值． 【解答过程】（1）    圆即为， 可得圆心为，半径为， 设，即， 则圆心到直线的距离，即， 平方得，解得：， 故的最大值是，最小值为， （2）方法1：圆即为， 令， 则， ∵，∴， ∴的最大值为，最小值为． 方法2：设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【解题思路】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【解答过程】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 题型7 两圆的公切线问题 1．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）圆与圆的公切线条数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用两圆的位置关系来确定公切线的条数. 【解答过程】由圆可得：， 所以该圆心，半径， 又由圆可得：， 所以该圆心，半径， 由于圆心距，而， 所以，即两圆相外切， 所以两圆的公切线有3条， 故选：C. 2．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解题思路】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【解答过程】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 3．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【解题思路】求出两圆圆心和半径，两圆圆心距以及两圆心所在直线方程即可得两圆公切线情况，再结合直线垂直关系以及两平行直线距离公式即可求公切线方程. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为.    故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 4．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 【答案】(1)两圆相交，理由见解析； (2)，4. 【解题思路】（1）根据两圆方程得出圆心和半径，计算出圆心距，利用两圆相交的必要条件即可判断，相交时，将两圆的一般式方程左右分别相减，整理即得公共弦方程； （2）利用两圆外切的必要条件得出关于参数的方程，求出值，继而运用外公切线的计算公式即得.(外公切线计算公式初中已知) 【解答过程】（1）由圆与圆，可知两圆圆心分别为，半径为， 因,时，，因为，故两圆相交． 用圆的两边减去圆的两边即得两圆公共弦所在直线的方程为：． （2）若两圆外切，则，即，解得． 此时，，所以外公切线长为： 5．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【解题思路】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【解答过程】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 题型8 两圆的公共弦问题 1．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两圆方程作差即可求得公共弦的方程. 【解答过程】根据已知条件， ：，化为：， ：，化为：， 因为两圆相交，所以两圆方程相减得：， 所以直线的方程为：. 故选：A. 2．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）圆与圆的公共弦长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解题思路】判断出两圆相交，两圆相减求得公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求得公共弦长. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， ， ，所以两圆相交， 由两式相减并化简得， 到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故选：B. 3．（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）若圆与圆相交于两点，则两圆公共弦所在直线方程为 ． 【答案】 【解题思路】两圆方程相减后可得公共弦所在的直线方程. 【解答过程】由题设可得两圆公共弦的方程为：， 整理得：， 故答案为：. 4．（24-25高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知圆C的圆心在直线上，且经过点，． (1)求圆C的方程； (2)求圆C与圆M：的公共弦长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由线段的中垂线与圆心所在的直线的交点求出圆心坐标，再由两点间距离公式求出半径，可得圆的标准方程； （2）两圆相减得到圆的公共弦方程，再由点到直线的距离公式求出圆心M到直线的距离，最后由勾股定理求弦长即可； 【解答过程】（1）记点，线段的中垂线方程为：， 圆C经过A，B，所以圆心C在直线上，又因为圆心C在直线上， 所以圆心C的坐标为（2，－2）， 半径，所以圆C的方程为：. （2）设圆C与圆M相交与E，F两点，则直线EF的方程为： ， 即：， 圆心M到直线的距离， 所以，，即公共弦长为. 5．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点都在圆上； (1)求圆的标准方程； (2)已知圆与圆相交于，求直线的方程，并求. 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）利用待定系数法，设圆的一般方程为，列出方程组求出，然后化为标准方程即可； （2）根据两圆的方程相减可得直线的方程，利用点到直线的距离公式和弦长公式计算可求出． 【解答过程】（1）设圆的一般方程为， ∵点都在圆上， ∴，解得， ∴圆的一般方程为， 化为标准方程为：. （2）圆，圆， 圆与的方程相减得，即， ∴直线的方程为， 圆的圆心，半径， ∵到直线的距离为， ∴. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 圆与方程（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版（2019）】 题型1 二元二次方程表示圆的条件 1．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·吉林通化·期中）若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知表示圆，则实数a的值为 . 4．（24-25高二上·上海·课前预习）如果二元二次方程（A、B、C不同时为零）所表示的曲线是圆，那么方程的系数A、B、C、D、E、F应满足什么条件？ 5．（2025高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 题型2 轨迹问题——圆 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京房山·期中）已知定点和点，以为斜边，则直角顶点A的轨迹方程为 . 4．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知圆，直线过点 (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 5．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知平面直角坐标系中，圆，点， (1)若是圆上的动点，线段的中点为，求的轨迹方程； (2)过点作直线与点的轨迹方程交于、两点，若，求直线的方程. 题型3 圆的切线长及切线方程问题 1．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 2．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 3．（24-25高二上·江苏泰州·期中）若过点作圆的切线，则切线方程为 . 4．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）已知圆经过三点. (1)求的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的一般式方程. 5．（24-25高二上·江苏泰州·期中）（1）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长； （2）自点作圆的切线，求切线的方程. 题型4 圆的弦长与中点弦问题 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西太原·期中）已知直线与圆相交于，两点，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D． 3．（24-25高二上·安徽宣城·期末）过坐标原点O作倾斜角为的直线l，则直线l被圆所截得的弦长为 . 4．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 5．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）已知直线，圆. (1)若直线与直线平行，且与圆相切，求的直线方程； (2)若直线与直线垂直，且与圆相交于AB两点，，求的直线方程. 题型5 直线与圆有关的面积问题 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 3．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则四边形的面积的最小值为 . 4．（24-25高二上·河南·期中）已知的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于E，F两点，求的面积. 5．（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图所示，圆与轴的交点分别为，过点的直线与圆交于两点. (1)记直线的斜率分别为，求的值； (2)设为直线与的交点，△，△的面积分别为，求的取值范围． 题型6 直线与圆有关的最值问题 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西·期中）已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）已知圆上有一动点，记点到直线的距离为，平面上有一定点，则的最小值为 . 4．（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 题型7 两圆的公切线问题 1．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）圆与圆的公切线条数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 3．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 4．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 5．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 题型8 两圆的公共弦问题 1．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）圆与圆的公共弦长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 3．（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）若圆与圆相交于两点，则两圆公共弦所在直线方程为 ． 4．（24-25高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知圆C的圆心在直线上，且经过点，． (1)求圆C的方程； (2)求圆C与圆M：的公共弦长． 5．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点都在圆上； (1)求圆的标准方程； (2)已知圆与圆相交于，求直线的方程，并求. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$