2.5一元二次方程的根与系数的关系 自主学习同步练习题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2025-2026学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列一元二次方程中，两实数根的和为1的方程是（   ） A． B． C． D． 2．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则（   ） A．2025 B． C．2026 D． 3．若关于的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 4．已知关于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（   ） A． B．2 C．5 D． 5．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、2且a、b是关于x的一元二次方程的两根，求m的值（   ） A．9 B．10 C．9或10 D． 6．设直角三角的两条直角边，是方程的两个根，则该直角三角形的斜边为（    ） A． B． C．3 D． 7．甲、乙两位同学在解一道一元二次方程时，甲同学在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙同学在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原来的方程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．关于x的方程的两个根是和3，则因式分解的结果是 ． 9．已知关于的一元二次方程的两个实数根的差为，则的值为 ． 10．若关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为 ． 11．已知是一元二次方程的两个根，若，则 ． 12．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 13．已知，是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ． 14．已知一矩形的长和宽分别是一元二次方程的两个根，则这个矩形的周长为 ． 三、解答题 15．已知是方程的两根，求的值． 16．若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． (1)______，______； (2)； (3)． 17．已知关于的方程为常数）有两个实数根． (1)若，则的值是______，方程的解是______； (2)若，求的值； (3)请用含的代数式表示． 18．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求a的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求a的值． 19．关于的一元二次方程 ①求证：无论取何值，方程总有两个不相等实数根． ②若两边、 的长是这个方程的两根，且斜边．问为何值时，是直角三角形． 20．阅读材料 材料1．关于x的一元二次方程的两个根为和系数a，b，c有如下关系： ； 材料2．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：m，n是一元二次方程的两个实数根， ． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个根为，则_______，_______； (2)一元二次方程的两个根为m，n，则的值； (3)已知实数s，t满足且，求的值； 参考答案 1．解：A、方程的两根之和为，不符合题意； B、方程的两根之和为，不符合题意； C、方程的两根之和为，不符合题意； D、方程的两根之和为，符合题意； 故选：D． 2．解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 故选：A 3．解：设该方程的另一个根为t，由题意得：， ∴另一个根为：； 故选 C． 4．解：设方程的一根为，则另一根为， ， 解得：， 又， ， 解得：， 故选：C． 5．解：当2为腰长时，假设此时， ∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∴， ∴此时等腰三角形的三边长为，，，不能构成三角形，不符合题意； 当2为底边长时，则， ∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴， ∴此时等腰三角形的三边长为，，，能构成三角形，符合题意，， ∴， ∴， 综上所述，的值为10． 故选：B． 6．解：∵直角三角的两条直角边，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴该直角三角形的斜边为， 故选：B． 7．解：设原来的方程为， 由题知， ，， 所以，， 所以原来的方程为， 则． 故选：B． 8．解：∵关于x的方程的两个根是和3， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．解：设关于的一元二次方程的两个实数根分别为、， 依题得：，即， ，， ， ， ， 解得． 故答案为：． 10．解：设另一个根为，由题意得， ∴， 故答案为：． 11．解：∵是一元二次方程的两个根，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 12．解：是方程 的实数根， ， ，， 是方程的两个实数根， ， ， 故答案为：． 13．解：∵，是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 14．解：∵一个矩形的长和宽是一元二次方程的两个根， ∴矩形的长与宽的和为10， 则矩形的周长为20， 故答案为：20． 15．解：∵是方程的两根， ∴，， ∴，， ∴ ． 16．（1）解：∵方程的两根为，， ∴，， 故答案为：2，； （2） （3）∵方程的两根为，， ∴，则， ∴ 17．（1）解：∵， ∴， ∴方程为， ∴ ， 解得：； （2）∵于的方程为常数）有两个实数根， ∵ （3）∵于的方程为常数）有两个实数根， 18．（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， 故的取值范围是； （2）解：方程的两根为， ， 又 ， ， 则， 解得或， 又 ， ． 19．证明：①对于关于的一元二次方程， ∵这个方程根的判别式为， ∴无论取何值，方程总有两个不相等实数根． ②∵两边、 的长是这个方程的两根， ∴， ∴ ， 要使是以为斜边的直角三角形，则， ∴， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴当时，是直角三角形． 20．（1）解：一元二次方程的两个根为， 则，； （2）解：由题意得， ． （3）解：实数s，t满足，且， s，t可看作是一元二次方程的两个数根． ． ， ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $$