重难强化十三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动（复习讲义）（江苏专用）2026年高考物理一轮复习讲练测

重难强化十三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 目录 2 02 3 03 核心突破·靶向攻坚 4 考点一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 4 知识点1 圆心、半径和运动时间的确定 4 知识点2 几种常见磁场边界运动分析 5 考向1 直线边界磁场 5 考向2 平行边界磁场 8 考向3 三角形或四边形边界磁场 9 考向4 圆形边界磁场 13 考点二　带电粒子在匀强磁场中的多解问题 16 知识点1 巧解带电粒子在磁场中运动的多解问题 16 考向1 带电粒子电性不确定形成多解 16 考向2 运动轨迹不确定形成多解 19 考向3.运动具有周期性形成多解 21 04 24 · · · · 常考考点 真题举例 直线边界磁场 2025·重庆·高考真题 2025·安徽·高考真题 2025·广西·高考真题 平行磁场边界 2025·海南·高考真题 2024·浙江·高考真题 2023·湖南·高考真题 圆形磁场边界 2025·四川·高考真题 2025·甘肃海·高考真题 多解问题 2020·江苏·高考真题 2020·浙江·高考真题 2021·海南·高考真题 考情分析： 1. 带电粒子在有界磁场中的偏转是高考物理的高频考点，主要出现在选择题、计算题中，难度差异较大，通常会与电场、重力场等知识点结合考察。 2．从命题思路上看，考查方向为 基本知识考查：带电粒子在磁场中运动的半径、周期公式的应用、临界问题； 常见模型考查：直线边界、三角形边界、圆形边界； 与科技相结合：磁聚焦和磁发散。 3．从命题思路上看，试题情景为 学习探究类：磁聚焦和磁发散、临界问题、缩放圆、旋转圆： 复习目标一： 能通过基本方法解决一般的有界问题 复习目标二： 能分析并解决匀强磁场中多解问题 复习目标三： 能通过建立物理模型，运用数学方法解决物理问题 考点一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 知识点1 圆心、半径和运动时间的确定 圆心的确定 半径的确定 时间的确定 基本 思路 （1）与速度方向垂直的直线过圆心。 （2）弦的垂直平分线过圆心。 （3）轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。 利用平面几何知识求半径。 利用轨迹长度L或对应圆心角θ求时间。 t＝＝·T。 图例 说明 P、M点速度垂线的交点。 P点速度垂线与弦的垂直平分线的交点。 S点的速度垂线与切点法线的交点。 常用解三角形法，（如图）R＝或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝。 （1）速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ。 （2）偏转角φ与弦切角α的关系：若φ＜180°，φ＝2α；若φ＞180°，φ＝360°－2α。 　　 知识点2 几种常见磁场边界运动分析 种类 图形 特点 直线 边界 进出磁场具有对称性 平行 边界 存在临界条件 圆形 边界 图（b）：粒子在磁场中的轨道半径恰好等于磁场圆的半径 （1）沿径向射入必沿径向射出。 （2）图（b）为磁聚焦现象 考向1 直线边界磁场 例1（24-25·江苏泰州）（多选）如图，虚线上方空间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的方向从粒子源O先后发射速率均为v的质子和α粒子，质子和α粒子同时到达P点。已知OP＝l，α粒子沿与PO成30°角的方向入射，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（　　） A.质子在磁场中运动的半径为 B.α粒子在磁场中运动的半径为l C.质子在磁场中运动的时间为 D.质子和α粒子发射的时间间隔为 【答案】ACD 【详解】根据题意作出α粒子运动轨迹如图所示； 由几何知识可知，α粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径 r＝l，因为α粒子做圆周运动的半径为r＝，质子与α粒子的比荷之比为2∶1，所以运动的半径之比为1∶2，质子运动的半径为，故A正确，B错误；α粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝＝，由几何知识可知，α粒子在磁场中转过的圆心角θ1＝300°，α粒子在磁场中的运动时间t1＝T＝，质子从O射入P点射出，又质子运动的半径为，可知质子从O点射入的速度方向必与OP边界垂直，质子在磁场中转过的圆心角θ2＝180°，故t2＝。所以质子和α粒子发射的时间间隔为t1－t2＝，故C、D正确。 思维建模 在磁场中运动基本思路 无论带电粒子在哪类边界磁场中做匀速圆周运动，解题时要抓住三个步骤： 【与电场相结合】【变式训练1】如图所示，质量为m、电荷量为q的正离子，从粒子源无初速飘入加速电场，经过加速电场加速后，通过狭缝O垂直边界进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中．绝缘弹性薄板ab与磁场的上、下边界垂直交于a、b两点，c点位于磁场上边界，Ob=L，ac=0.8L，离子垂直打到ab板上时会被原速弹回，不计离子重力，sin53°=0.8，cos53°=0.6． (1)若离子从b点飞离磁场，求离子在磁场中的运动时间； (2)若弹性薄板ab长2L，求离子与之发生碰撞加速电压满足的条件； (3)若加速电场的电压为第（1）问中的4倍，离子恰能从c点飞出磁场，求弹性薄板ab长度满足的条件。 【答案】(1) (2) (3)或 n=0，1，2，3…… 【详解】（1）题意可知离子从b点飞离磁场时，粒子扫过的圆心角为，则离子在磁场中的运动时间 因为粒子在磁场运动周期                                      联立解得 （2）离子加速过程，由动能定理有 离子做圆周运动有 解得                            若达b点，几何关系可知 若达a点，几何关系可知                     解得     联立以上可得 （3）加速电场的电压为4U时， 则有                     粒子轨迹如图 几何关系可知                          可知 故弹性薄板ab长度满足的条件为或 （n=0，1，2，3...） 考向2 平行边界磁场 例1（2024·高三全国）（多选）两个带等量异种电荷的粒子分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则（　　） A.a粒子带正电，b粒子带负电 B.两粒子的轨道半径之比Ra∶Rb＝∶1 C.两粒子的质量之比ma∶mb＝1∶2 D.两粒子的质量之比ma∶mb＝2∶1 【答案】BD 【详解】由左手定则可得a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误；粒子做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，则Ra＝＝d，Rb＝＝d，所以Ra∶Rb＝∶1，故B正确；由几何关系可得，从A运动到B，a粒子转过的圆心角为60°，b粒子转过的圆心角为120°，ta＝＝tb＝，则Ta∶Tb＝2∶1，再根据洛伦兹力提供向心力可得Bvq＝，所以运动周期T＝＝，根据a、b两粒子电荷量相等可得ma∶mb＝Ta∶Tb＝2∶1，故C错误，D正确。 【变式训练1】一个粒子以水平速度v1从左侧垂直进入宽度为d的局部匀强磁场，从K处以水平速度v2射出磁场。如图，磁感应强度大小为B、方向水平向里，粒子在磁场中仅受洛伦兹力。下列说法错误的是（　　） A．粒子带负电 B．v2 > v1 C．增大磁感应强度B，K点上移 D．若粒子运动半径R=d，则入射点与出射点距离为2d 【答案】B 【详解】A．由题意可知，粒子进入磁场向下偏转，根据左手定则可知，粒子带负电，故A正确，不满足题意要求； B．由于粒子在磁场中仅受洛伦兹力，洛伦兹力总是不做功，所以，故B错误，满足题意要求； C．由洛伦兹力提供向心力得 可得 增大磁感应强度B，粒子在磁场的轨道半径减小，则K点上移，故C正确，不满足题意要求； D．若粒子运动半径R=d，根据几何关系可知，粒子轨迹刚好与磁场右边界相切，则粒子在磁场中运动半个圆周从左边界离开，入射点与出射点距离为，故D正确，不满足题意要求。 故选B。 考向3 三角形或四边形边界磁场 例1（2024·北京西城）如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面（abcd所在平面）向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为（　　） A.kBl，kBl B.kBl，kBl C.kBl，kBl D.kBl，kBl 【答案】B 【详解】若电子从a点射出，运动轨迹如图线①所示， 有qvaB＝m Ra＝ 解得va＝＝ 若电子从d点射出，运动轨迹如图线②所示， 有qvdB＝m ＝＋l2 解得vd＝＝ 选项B正确。 例2（2024·江苏盐城）（多选）如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入磁场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A.粒子的入射速度为 B.粒子的入射速度为 C.粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为 D.从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 【答案】AC 【详解】粒子进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，r＝，因bc边只有一半区域有粒子射出，在bc边中点射出的粒子轨迹如图中实线所示，由几何关系可得r＝，则粒子的入射速度v＝，所以A项正确，B项错误；粒子在磁场中运动的最长轨迹为s＝πr＝，所以C项正确；与bc边相切，恰从bc边射出的粒子对应的圆心角最大为，从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为t＝，所以D项错误。 【变式训练1】（2024·湖北·一模）如图所示，三角形ACD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，，，AO垂直于CD，OA长度为L。O点有一电子源，在ACD平面向磁场内各个方向均匀发射速率均为的电子，速度方向用与OC的夹角表示，电子质量为m，电量为，且满足，下列说法正确的是（　　） A．从AC边射出的电子占总电子数的六分之一 B．从AD边射出的电子占总电子数的二分之一 C．从OD边射出的电子占总电子数的三分之一 D．所有从AC边射出的电子中，当时，所用的时间最短 【答案】B 【详解】A．由于粒子源发生的电子速率相同，电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得 即所有电子的半径都相等，由左手定则可知，电子进入电场后顺时针做圆周运动，所以其从AC边射出的一个临界位置为从A点射出，此时，如图所示 由题意及分析可知，当范围内，电子从AC边上射出，当电子从AC边射出时，由几何关系可知从边射出的电子占总电子的，故A错误； B．由题意及分析可知，当粒子在范围内，电子从AD边射出，当电子从AD边射出时，由几何关系可知从边射出的电子占总电子的，故B正确； C．由题意及分析可知，当粒子在范围内，当电子从OD边射出时，由几何关系可知从边射出的电子占总电子的，故C错误； D．电子在磁场中做匀速圆周运动，其周期为T，有 在磁场中运动的时间为t，有 整理有 即电子运动的圆心角越小，其在磁场中运动的时间就越短，圆心角所对应的弦长越长，其圆心角越大，所以最短时间即为弦长的最小值，当弦长与AC边垂直时，弦长最短，有几何关系可知此时对应的入射角不等于故D错误。 故选B。 考向4 圆形边界磁场 例1（2022·辽宁高考）（多选）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过（2022·辽宁高考）磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（　　） A.粒子1可能为中子 B.粒子2可能为电子 C.若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点 D.若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点 【答案】AD 【详解】由题图可看出粒子1没有偏转，说明粒子1不带电，则粒子1可能为中子；粒子2向上偏转，根据左手定则可知粒子2应该带正电，A正确、B错误；由以上分析可知粒子1为中子，则无论如何增大磁感应强度，粒子1都不会偏转，C错误；粒子2在磁场中根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝，可知若增大粒子入射速度，则粒子2的半径增大，粒子2可能打在探测器上的Q点，D正确。 思维建模 在圆形磁场中运动的基本特点 1.径向射入圆形磁场即径向射出圆形磁场 2.连接磁场圆圆心、轨迹圆圆心、入射点和出射点形成四边形，根据四边形几何特点进行几何分析 【变式训练1·变考法】（2023·江苏盐城·三模）如图所示，在直角坐标xOy平面内，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里，边界与x、y轴分别相切于a、b两点，ac为直径。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从b点以某一初速度v0（v0大小未知）沿平行于x轴正方向进入磁场区域，从a点垂直于x轴离开磁场，不计粒子重力。下列判断不正确的是（　　）    A．该粒子的速度为 B．该粒子从b点运动到a点的时间为 C．以从b点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子从边界出射的最远点恰为a点 D．以从b点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子在磁场中运动的最长时间是 【答案】D 【详解】AB．粒子从b点以某一初速度沿平行于x轴正方向进入磁场区域，从a点垂直于轴离开磁场，如图所示由洛伦兹力提供向心力可得 由几何关系可得 联立解得 该粒子从b点运动到a点的时间为 故AB正确；    C．以从b点沿各个方向垂直进入磁场，粒子在磁场中的半径为 该种粒子从边界出射的最远点与入射点的距离为粒子轨迹圆的直径，由几何关系可知 可知该种粒子从边界出射的最远点恰为a点，故C正确；    D．以从b点沿各个方向垂直进入磁场，粒子在磁场中的半径为 当该粒子在磁场中运动轨迹对应的弦长最大时，轨迹对应的圆心角最大，粒子在磁场中运动的时间最长，如图所示    由几何关系可知，最大圆心角为，则最长时间为 故D错误。 此题选择不正确的选项，故选D。 考点二　带电粒子在匀强磁场中的多解问题 知识点1 巧解带电粒子在磁场中运动的多解问题 1.分析题目特点，确定题目多解的形成原因。 2.作出粒子的运动轨迹示意图（全面考虑多种可能性）。 3.若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。 考向1 带电粒子电性不确定形成多解 例1（2024·全国模拟）如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM'和NN'是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN'射出，则粒子入射速度v的最大值可能是多少？ 【答案】（q为正电荷）或（q为负电荷） 【详解】题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷。 （1）若q为正电荷，入射速度最大时的运动轨迹是图中上方与NN'相切的圆弧，轨迹半径R＝ 又d＝R－Rcos 45° 解得v＝。 （2）若q为负电荷，入射速度最大时的运动轨迹是图中下方与NN'相切的圆弧，则有 R'＝，d＝R'＋R'cos 45°， 解得v'＝。 【变式训练1·变考法】如图所示，左、右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量绝对值为q的微观粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ′射出，求粒子入射速度v0的最大值？（粒子不计重力） 【答案】若粒子带正电，最大速度为；若粒子带负电，最大速度为 【详解】粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力 解得半径为 若粒子带正电，最大半径的轨迹如图 根据几何关系可知 解得半径为 则粒子入射速度最大值为 若粒子带负电，运动轨迹如图 根据几何关系可知 同理解得速度最大值为 考向2 运动轨迹不确定形成多解 例1（多选）（2022湖北高考）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（　　） A.kBL，0° B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° 【答案】BC 【详解】若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图所示，则 根据几何关系，有R＝L，qvB＝m，可得v＝＝kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°。当粒子上下均经历一次时，如图所示。 因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有R＝L，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得v＝＝kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL（n＝1，2，3，…），此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当粒子从上部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL（n＝1，2，3，…），此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°，故可知B、C正确，A、D错误。 【变式训练1·变考法】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第一象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，第二象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场磁感应强度大小相等．一质量为m、电荷量为+q的粒子从图中x轴上的P（，0）点以速度v0垂直于x轴进入磁场，并直接偏转到y轴正半轴上的Q点，再进入第一象限，Q点到坐标原点O的距离是L的k倍，不计粒子重力。 (1)若，求此时的磁感应强度大小B1； (2)若，求粒子从P点到Q点的时间t； (3)若粒子能运动到坐标为（0，5L）的A点（图中未标出），求磁感应强度B的可能值。 【答案】(1) (2) (3)（n=1，2，3，4，5，6，7，8，9） 【详解】（1）当时，粒子恰做四分之一圆周运动，根据几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力得 解得 （2）若时，轨迹如图所示 根据几何关系可得 解得 则有 可得 粒子圆周运动周期为 粒子运动时间为 （3）设粒子到达A点的过程中，经过y轴n次，第一次到达y轴的位置与坐标原点的距离为y0，对应的角度为θ，根据第一次进入第一象限的角度，轨迹逐渐经历如图甲（劣弧）、乙（半圆弧）、丙（优弧）、丁（与下边界相切）的变化过程 在磁场中运动有 对于甲：（，）， 对于乙：当 时，n=3， 对于丙：（，，）， 求得通式（，，） 对于丁：， 结合通式求得 则n最大取9，综上求得（n=1，2，3，4，5，6，7，8，9） 考向3.运动具有周期性形成多解 例1（2024江苏二模）如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O'正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求： （1）磁感应强度B0的大小。 （2）要使正离子从O'垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 【答案】（1）　（2）（n＝1，2，3，…） 【详解】设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向。 （1）正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，则 B0qv0＝ 正离子做匀速圆周运动的周期T0＝ 由以上两式得磁感应强度B0＝。 （2）要使正离子从O'孔垂直于N板射出磁场，正离子的运动轨迹如图所示，两板之间正离子只运动一个周期T0时，有R＝；当两板之间正离子运动n个周期nT0时，有R＝（n＝1，2，3，…）。 联立解得正离子的速度的可能值为 v0＝＝（n＝1，2，3，…）。 【变式训练1】真空中有如图所示的周期性交变磁场，设磁感应强度B垂直纸面向里为正方向，B0=1T，t0=π×10-5s，k为正整数。某直角坐标系原点O处有一粒子源，在t=0时刻沿x轴正方向发射速度为v0=103m/s的正点电荷，比荷=1×105C/kg，不计粒子重力。 (1)若k=1，求粒子在磁场中运动的轨道半径和粒子第3次（从O点出发记为第1次）经过y轴时的时刻； (2)若k=2，求粒子在运动过程中与y轴交点坐标的最大值和最小值； (3)若t0=10-5s，则k取何值时，粒子可做周期性循环运动回到出发点？并求出循环周期的最小值Tmin和相应的k值。 【答案】(1)0.001m；；(2)；；(3)当取非的正整数时，均可以回到出发点；当时，最小循环周期为 【详解】(1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由 解得 当时，因为，粒子第3次经过轴时恰好向上经历两个半圆（如图）则时间 (2)当时，，粒子一个循环周期中运动分别为半圆→整圆→半圆→整圆，因此由几何关系得： 与轴交点坐标的最大值为 与轴交点坐标的最小值为 (3)因为，所以粒子先做圆弧运动，之后对的不同值进行分类讨论： 如图可见1、2、3、4时可能的分段情况． ①，粒子做圆弧交替运动，向右上45°方向无限延伸，不会循环运动 ②，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过4个周期回到出发点，循环周期 ③，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过2个周期回到出发点，循环周期 ④，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过4个周期回到出发点，循环周期 当时，运动过程相似，每个周期中均增加（正整数）个圆周，能循环的运动其循环周期均延长． 综上可得： (1)当取非的正整数时，均可以回到出发点． (2)当时，最小循环周期为 ． 1．（2025·安徽·高考真题）如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】C 【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力有，可得，故A错误； B．当粒子沿x轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y轴最近，如图轨迹1，根据几何关系可知；当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图轨迹2，根据几何关系可知，，故上表面接收到粒子的区域长度为，故B错误； C．根据图像可知，粒子可以恰好打到下表面N点；当粒子沿y轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒子离y轴最远，如图轨迹3，根据几何关系此时离y轴距离为d，故下表面接收到粒子的区域长度为d，故C正确； D．根据图像可知，粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，有，故D错误。 故选C。 2．（2023·河北·高考真题）如图1，真空中两金属板M、N平行放置，板间电压U连续可调，在金属板N的中心C处开有一小孔。F、G、H为正三角形CDE各边中点，DE与金属板平行。三角形FGH区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一带电粒子从紧邻M板的P点由静止释放沿CG方向进入磁场，一段时间后沿的角平分线方向从E点离开。已知正三角形CDE的边长为a，粒子质量为m、电荷量大小为q，粒子重力不计。 （1）求板间电压U的大小； （2）若磁场区域如图2，磁感应强度不变。调整两板间电压大小，将该粒子从P点由静止释放，仍能沿的角平分线方向从E点离开，求粒子从C点运动到E点的时间。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）粒子在电场中加速，由动能定理得 根据洛伦兹力提供向心力 根据几何关系有 解得板间电压的大小为 （2）根据题意，做出粒子的运动轨迹，如图所示。 根据几何关系有 则 粒子在磁场中的运动时间为 粒子在无磁场区域运动的时间为 粒子从C点运动到E点的时间为 3．（2023·浙江·高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t； （2）若，求能到达处的离子的最小速度v2； （3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。    【答案】（1）；（2）（3）60% 【详解】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系 解得 r1=2L 根据 解得 在磁场中运动的周期 运动时间    （2）若B2=2B1，根据 可知 粒子在磁场中运动轨迹如图，设O1O2与磁场边界夹角为α，由几何关系 解得 r2=2L 根据 解得 （3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x轴，则由动量定理 即 求和可得 粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x轴上的过程中 解得 则速度在~之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在~，又粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的比例为 η=60% 3 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难强化十三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 目录 2 02 3 03 核心突破·靶向攻坚 4 考点一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 4 知识点1 圆心、半径和运动时间的确定 4 知识点2 几种常见磁场边界运动分析 5 考向1 直线边界磁场 5 考向2 平行边界磁场 8 考向3 三角形或四边形边界磁场 9 考向4 圆形边界磁场 13 考点二　带电粒子在匀强磁场中的多解问题 16 知识点1 巧解带电粒子在磁场中运动的多解问题 16 考向1 带电粒子电性不确定形成多解 16 考向2 运动轨迹不确定形成多解 19 考向3.运动具有周期性形成多解 21 04 24 · · · · 常考考点 真题举例 直线边界磁场 2025·重庆·高考真题 2025·安徽·高考真题 2025·广西·高考真题 平行磁场边界 2025·海南·高考真题 2024·浙江·高考真题 2023·湖南·高考真题 圆形磁场边界 2025·四川·高考真题 2025·甘肃海·高考真题 多解问题 2020·江苏·高考真题 2020·浙江·高考真题 2021·海南·高考真题 考情分析： 1. 带电粒子在有界磁场中的偏转是高考物理的高频考点，主要出现在选择题、计算题中，难度差异较大，通常会与电场、重力场等知识点结合考察。 2．从命题思路上看，考查方向为 基本知识考查：带电粒子在磁场中运动的半径、周期公式的应用、临界问题； 常见模型考查：直线边界、三角形边界、圆形边界； 与科技相结合：磁聚焦和磁发散。 3．从命题思路上看，试题情景为 学习探究类：磁聚焦和磁发散、临界问题、缩放圆、旋转圆： 复习目标一： 能通过基本方法解决一般的有界问题 复习目标二： 能分析并解决匀强磁场中多解问题 复习目标三： 能通过建立物理模型，运用数学方法解决物理问题 考点一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 知识点1 圆心、半径和运动时间的确定 圆心的确定 半径的确定 时间的确定 基本 思路 （1）与速度方向垂直的直线过圆心。 （2）弦的垂直平分线过圆心。 （3）轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。 利用平面几何知识求半径。 利用轨迹长度L或对应圆心角θ求时间。 t＝＝·T。 图例 说明 P、M点速度垂线的交点。 P点速度垂线与弦的垂直平分线的交点。 S点的速度垂线与切点法线的交点。 常用解三角形法，（如图）R＝或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝。 （1）速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ。 （2）偏转角φ与弦切角α的关系：若φ＜180°，φ＝2α；若φ＞180°，φ＝360°－2α。 　　 知识点2 几种常见磁场边界运动分析 种类 图形 特点 直线 边界 进出磁场具有对称性 平行 边界 存在临界条件 圆形 边界 图（b）：粒子在磁场中的轨道半径恰好等于磁场圆的半径 （1）沿径向射入必沿径向射出。 （2）图（b）为磁聚焦现象 考向1 直线边界磁场 例1（24-25·江苏泰州）（多选）如图，虚线上方空间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的方向从粒子源O先后发射速率均为v的质子和α粒子，质子和α粒子同时到达P点。已知OP＝l，α粒子沿与PO成30°角的方向入射，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（　　） A.质子在磁场中运动的半径为 B.α粒子在磁场中运动的半径为l C.质子在磁场中运动的时间为 D.质子和α粒子发射的时间间隔为 思维建模 在磁场中运动基本思路 无论带电粒子在哪类边界磁场中做匀速圆周运动，解题时要抓住三个步骤： 【与电场相结合】【变式训练1】如图所示，质量为m、电荷量为q的正离子，从粒子源无初速飘入加速电场，经过加速电场加速后，通过狭缝O垂直边界进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中．绝缘弹性薄板ab与磁场的上、下边界垂直交于a、b两点，c点位于磁场上边界，Ob=L，ac=0.8L，离子垂直打到ab板上时会被原速弹回，不计离子重力，sin53°=0.8，cos53°=0.6． (1)若离子从b点飞离磁场，求离子在磁场中的运动时间； (2)若弹性薄板ab长2L，求离子与之发生碰撞加速电压满足的条件； (3)若加速电场的电压为第（1）问中的4倍，离子恰能从c点飞出磁场，求弹性薄板ab长度满足的条件。 考向2 平行边界磁场 例1（2024·高三全国）（多选）两个带等量异种电荷的粒子分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则（　　） A.a粒子带正电，b粒子带负电 B.两粒子的轨道半径之比Ra∶Rb＝∶1 C.两粒子的质量之比ma∶mb＝1∶2 D.两粒子的质量之比ma∶mb＝2∶1 【变式训练1】一个粒子以水平速度v1从左侧垂直进入宽度为d的局部匀强磁场，从K处以水平速度v2射出磁场。如图，磁感应强度大小为B、方向水平向里，粒子在磁场中仅受洛伦兹力。下列说法错误的是（　　） A．粒子带负电 B．v2 > v1 C．增大磁感应强度B，K点上移 D．若粒子运动半径R=d，则入射点与出射点距离为2d 考向3 三角形或四边形边界磁场 例1（2024·北京西城）如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面（abcd所在平面）向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为（　　） A.kBl，kBl B.kBl，kBl C.kBl，kBl D.kBl，kBl 例2（2024·江苏盐城）（多选）如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入磁场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A.粒子的入射速度为 B.粒子的入射速度为 C.粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为 D.从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 【变式训练1】（2024·湖北·一模）如图所示，三角形ACD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，，，AO垂直于CD，OA长度为L。O点有一电子源，在ACD平面向磁场内各个方向均匀发射速率均为的电子，速度方向用与OC的夹角表示，电子质量为m，电量为，且满足，下列说法正确的是（　　） A．从AC边射出的电子占总电子数的六分之一 B．从AD边射出的电子占总电子数的二分之一 C．从OD边射出的电子占总电子数的三分之一 D．所有从AC边射出的电子中，当时，所用的时间最短 考向4 圆形边界磁场 例1（2022·辽宁高考）（多选）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过（2022·辽宁高考）磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（　　） A.粒子1可能为中子 B.粒子2可能为电子 C.若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点 D.若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点 思维建模 在圆形磁场中运动的基本特点 1.径向射入圆形磁场即径向射出圆形磁场 2.连接磁场圆圆心、轨迹圆圆心、入射点和出射点形成四边形，根据四边形几何特点进行几何分析 【变式训练1·变考法】（2023·江苏盐城·三模）如图所示，在直角坐标xOy平面内，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里，边界与x、y轴分别相切于a、b两点，ac为直径。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从b点以某一初速度v0（v0大小未知）沿平行于x轴正方向进入磁场区域，从a点垂直于x轴离开磁场，不计粒子重力。下列判断不正确的是（　　）    A．该粒子的速度为 B．该粒子从b点运动到a点的时间为 C．以从b点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子从边界出射的最远点恰为a点 D．以从b点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子在磁场中运动的最长时间是 考点二　带电粒子在匀强磁场中的多解问题 知识点1 巧解带电粒子在磁场中运动的多解问题 1.分析题目特点，确定题目多解的形成原因。 2.作出粒子的运动轨迹示意图（全面考虑多种可能性）。 3.若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。 考向1 带电粒子电性不确定形成多解 例1（2024·全国模拟）如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM'和NN'是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN'射出，则粒子入射速度v的最大值可能是多少？ 【变式训练1·变考法】如图所示，左、右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量绝对值为q的微观粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ′射出，求粒子入射速度v0的最大值？（粒子不计重力） 考向2 运动轨迹不确定形成多解 例1（多选）（2022湖北高考）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（　　） A.kBL，0° B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° 【变式训练1·变考法】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第一象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，第二象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场磁感应强度大小相等．一质量为m、电荷量为+q的粒子从图中x轴上的P（，0）点以速度v0垂直于x轴进入磁场，并直接偏转到y轴正半轴上的Q点，再进入第一象限，Q点到坐标原点O的距离是L的k倍，不计粒子重力。 (1)若，求此时的磁感应强度大小B1； (2)若，求粒子从P点到Q点的时间t； (3)若粒子能运动到坐标为（0，5L）的A点（图中未标出），求磁感应强度B的可能值。 考向3.运动具有周期性形成多解 例1（2024江苏二模）如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O'正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求： （1）磁感应强度B0的大小。 （2）要使正离子从O'垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 【变式训练1】真空中有如图所示的周期性交变磁场，设磁感应强度B垂直纸面向里为正方向，B0=1T，t0=π×10-5s，k为正整数。某直角坐标系原点O处有一粒子源，在t=0时刻沿x轴正方向发射速度为v0=103m/s的正点电荷，比荷=1×105C/kg，不计粒子重力。 (1)若k=1，求粒子在磁场中运动的轨道半径和粒子第3次（从O点出发记为第1次）经过y轴时的时刻； (2)若k=2，求粒子在运动过程中与y轴交点坐标的最大值和最小值； (3)若t0=10-5s，则k取何值时，粒子可做周期性循环运动回到出发点？并求出循环周期的最小值Tmin和相应的k值。 1．（2025·安徽·高考真题）如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 2．（2023·河北·高考真题）如图1，真空中两金属板M、N平行放置，板间电压U连续可调，在金属板N的中心C处开有一小孔。F、G、H为正三角形CDE各边中点，DE与金属板平行。三角形FGH区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一带电粒子从紧邻M板的P点由静止释放沿CG方向进入磁场，一段时间后沿的角平分线方向从E点离开。已知正三角形CDE的边长为a，粒子质量为m、电荷量大小为q，粒子重力不计。 （1）求板间电压U的大小； （2）若磁场区域如图2，磁感应强度不变。调整两板间电压大小，将该粒子从P点由静止释放，仍能沿的角平分线方向从E点离开，求粒子从C点运动到E点的时间。 3．（2023·浙江·高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t； （2）若，求能到达处的离子的最小速度v2； （3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。    3 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$