精品解析：河南省南阳市第二十一学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024年秋期九年级数学第二次月考 一、单选题（30分） 1. 要使有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式、分式有意义的条件．熟练掌握二次根式、分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得，且， 故选：C． 2. 方程是关于的一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数的整式方程），解题的关键是根据一元二次方程的定义得出且，求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得：． 故选：B． 3. 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行投影的意义．根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上可知，选项D中的图形比较符合题意． 故选：D． 4. 下列关于事件的表述，错误的是（ ） A. “在1个标准大气压下，水加热到100℃沸腾”是确定事件． B. 掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面是随机事件． C. 任做一个三角形，其内角和为是确定事件． D. 彩票的中奖率为，则买100张彩票必有10张中奖是确定事件． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查随机事件，必然事件，不可能事件的定义，以及事件的分类，能够熟练判断出每个事件的类型是解决本题的关键． 根据事件的分类进行逐个判断，找出符合题意的选项即可． 【详解】解：A. “在1个标准大气压下，水加热到100℃沸腾”是确定事件，原表述正确，故此选项不符合题意． B. 掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面是随机事件，原表述正确，故此选项不符合题意． C. 任做一个三角形，其内角和为是确定事件，原表述正确，故此选项不符合题意． D. 彩票的中奖率为，则买100张彩票必有10张中奖是随机事件，原表述错误，故此选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了网络作图．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦定义，是解题的关键 ．取点D，连接，根据，得，得是直角三角形，，即得． 【详解】解：取点D连接， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：B． 6. 抛物线可由抛物线平移得到，平移方法可以是（ ） A. 先向左平移3个单位，再向下平移5个单位 B. 先向右平移6个单位，再向上平移5个单位 C. 先向右平移3个单位，再向下平移4个单位 D. 先向左平移3个单位，再向上平移4个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵平移后的抛物线的顶点坐标为， 而抛物线的顶点坐标为 ∴平移方法为向右平移3个单位，再向下平移4个单位． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 7. 若二次函数的图象经过三点．则关于大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先确定二次函数的对称轴，再计算各点横坐标到对称轴的距离，根据开口方向判断y值的大小关系． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． ∴点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为． ∵．二次项系数，开口向上，因此离对称轴越远的点，y值越大． ∴， 故选：A． 8. 如图、在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，勾股定理等，连接，，根据直角三角形斜边的中线的性质可得，过点作于点，可知的长度，根据勾股定理求出的长，即可确定的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵，是对角线的中点， ∴，， ∵， ∴， 过点作于点，则点是线段的中点， ∵， ∴， 根据勾股定理，得， ∴当时，有最小，即与重合时，线段的最小值为， 故选：． 9. 二次函数与一次函数的图像在同一直角坐标系中图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数和一次函数的系数对函数图像的影响，可首先排除A选项，再根据，，，可见一个交点在轴上，一个交点的横坐标为1，且抛物线过原点，即可选出正确选项． 【详解】解：∵二次函数， ∴ ∴二次函数图像过原点， ∴A选项不符合题意； B：假设二次函数的图像正确，由二次函数图像开口方向向上，可知； 又∵在同一坐标系中由一次函数的图像，y随x的增大而减小，可知； 故B选项不符合题意； ∵， ∴，， ∴交点坐标为：，， ∴其中一个交点坐标位于x轴上， 故C选项，函数图像一个交点坐标位于x轴上，而且抛物线过原点，符合题意； 故D选项，函数图像交点不在x轴上，不符合题意； 故答案为C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的二次项系数、一次项系数及常数项对函数图像的影响是解题的关键． 10. 如图1，在平行四边形中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化的关系图象，点是曲线部分的最低点，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，掌握平行四边形的性质，根据点P运动规律，结合函数图象解题是解题关键．根据平行四边形的性质，再结合P运动时y随x的变化的关系图象，通过勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得：，当时，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 解得：． 故选：A 二、填空题（15分） 11. 如果，那么（ ） 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，分式的化简．设，则，然后代入化简即可求解． 【详解】解∶设，则， ∴． 故答案为：． 12. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有30次摸到白球，估计这个口袋中有______个红球． 【答案】 【解析】 【分析】本题用频率估计概率解题，涉及简单概率公式等知识，由题意得到摸出白球的概率是，设红球有个，利用简单概率公式列方程求解即可得到答案，熟记简单概率公式是解决问题的关键． 【详解】解：摸了100次球，发现有30次摸到白球， 摸到白球的概率是， 设红球有个，则，解得， 故答案为：． 13. 符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，两点都是的黄金分割点，若，则的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得，故可求得的长． 【详解】解：∵两点都是的黄金分割点，， 故答案为： 14. 如图，矩形内接于，且边落在上，若，，，，那么的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．设，则，由表示出三角形的边上的高，根据，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即可求出的长． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 设，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 解得：； ． 故答案为：． 15. 把一副直角三角尺如图摆放，，斜边，且直角顶点连线．将左右平移，当恰为直角三角形时，的长为_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】题目主要考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形，平行线的性质等，根据题意分情况分析求解是解题关键． 根据题意得出，，，然后分两种情况分析：①当时，②当时，结合图形，利用勾股定理及含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵ ∴， ①当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴； ②当时，如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴； 综上，AD的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂以及二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值求出答案即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于y轴对称的； （2）以原点O为位似中心，请在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为2，并写出点，，的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】（1）分别找出、、关于y轴对称的点，顺次连接即可； （2）把A、B、C的坐标都乘以得到，，的坐标，然后描点连线即可得到． 本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 18. 第八届丝博会于2024年9月 20日至24日在西安国际会展中心举办．本届丝博会以“深化互联互通·拓展经贸合作”为主题．在丝博会举办之际，某机构计划向全市中小学生招募“丝博小记者”．某校现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选． （1）若先从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是 ； （2）若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法求出一男一女当选的概率． 【答案】（1） （2）一男一女当选的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了用列举法求概率，熟练掌握用列表或画树状图的方法求概率是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可解答； （2）画出树状图列出所有可能，得到12种等可能的结果，一男一女当选的有8种，根据概率公式计算即可解答． 【小问1详解】 解：甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选， 从这四位竞选者中随机选出一位小记者，选到男生的概率， 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意，画出树状图，如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，一男一女当选的有8种， （一男一女当选）． 答：一男一女当选的概率为． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为，求代数式的值． 【答案】（1） 证明：∴ ， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式的意义以及方程的解，解答的关键是对相应的知识的掌握． （1）根据，即可作答． （2）依题意，把代入，得，再化简，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程， 得， ∴． 20. 小明和爸爸想利用测角仪和阳光下的影子来测量一古树（底部不可到达）的高．如图所示：在阳光下，小明爸爸站在古树影子的顶端D处，此时，小明量得爸爸的影长；然后，小明从D点往古树方向走了3m到达点F，并用测角仪测得树顶端A的仰角为（测角仪高度不计）．已知爸爸身高，点E、D、F、B在同一条直线上，，．求该古树的高．（参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由正切的定义得，由相似的判定方法可证 ，由相似的性质得，即可求解；掌握解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 米， 设米， 在中：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：； 答：该古树的高为米． 21. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x …… 0 1 2 3 4 …… y …… 8 3 m 0 3 …… （1）求m的值和这个二次函数的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）； （3）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）， （2） 解：如图： （3） 【解析】 【分析】（1）由表格中数据可知抛物线的顶点为，当和时，函数值都是0，即，然后设出顶点式，将代入求出a的值即可； （2）根据表格中的数据描点、连线即可； （3）根据函数图象可直接得出答案． 【小问1详解】 解：∵当和时，； ∴抛物线的顶点为，当和时，函数值都是0，即， 设这个二次函数的表达式为：， 将代入得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由函数图象得：当时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，画二次函数图象，二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 22. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm. （1）若花园的面积为192m2, 求x的值； （2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值. 【答案】（1）12m或16m；（2）195m2. 【解析】 【分析】（1）根据AB=x可得BC=28－x，然后根据面积列出一元二次方程求出x的值； （2）根据题意列出S和x的函数关系式，然后根据题意求出x的取值范围，然后根据函数的性质求出最大值. 【详解】解：（1）∵AB=xm，则BC=（28﹣x）m， ∴x（28﹣x）=192， 解得：x1=12，x2=16， 答：x的值为12m或16m （2）∵AB=xm， ∴BC=28﹣x， ∴S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196， ∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m， ∵28-x≥15，x≥6 ∴6≤x≤13， ∴当x=13时，S取到最大值为：S=﹣（13﹣14）2+196=195， 答：花园面积S的最大值为195平方米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键． 23. 综合与实践： 问题情境：在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题： 如图，在正方形中，是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰直角三角形，使得，，且点恰好在射线上． （1）如图1，当点在对角线上，点在边上时，那么与之间的数量关系是_________； 探索发现： （2）当点在正方形外部时如图2与图3，（1）中的结论是否还成立？若成立，请利用图2进行证明；若不成立，请说明理由； 问题解决： （3）如图4，在正方形中，，当是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积． 【答案】（1）； （2） （1）中的结论还成立，证明如下： 如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 即； （3）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据正方形的性质和是等腰直角三角形，证得，可得，即可； （2）连接，根据正方形的性质和是等腰直角三角形，证得，可得，即可； （3）连接交于点，过点作交直线于点，根据正方形的性质，可得，再证得，可得，，在中，根据勾股定理可得，即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 即； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图4，连接交于点，过点作交直线于点， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，， 设， ∴， 解得，，（舍去）， 即， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期九年级数学第二次月考 一、单选题（30分） 1. 要使有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 2. 方程是关于的一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于事件的表述，错误的是（ ） A. “在1个标准大气压下，水加热到100℃沸腾”是确定事件． B. 掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面是随机事件． C. 任做一个三角形，其内角和为是确定事件． D. 彩票的中奖率为，则买100张彩票必有10张中奖是确定事件． 5. 如图，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线可由抛物线平移得到，平移方法可以是（ ） A. 先向左平移3个单位，再向下平移5个单位 B. 先向右平移6个单位，再向上平移5个单位 C. 先向右平移3个单位，再向下平移4个单位 D. 先向左平移3个单位，再向上平移4个单位 7. 若二次函数的图象经过三点．则关于大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图、在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数与一次函数的图像在同一直角坐标系中图像可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在平行四边形中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化的关系图象，点是曲线部分的最低点，则（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（15分） 11. 如果，那么（ ） 12. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有30次摸到白球，估计这个口袋中有______个红球． 13. 符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，两点都是的黄金分割点，若，则的长是______． 14. 如图，矩形内接于，且边落在上，若，，，，那么的长为______． 15. 把一副直角三角尺如图摆放，，斜边，且直角顶点连线．将左右平移，当恰为直角三角形时，的长为_______________． 三、解答题（75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于y轴对称的； （2）以原点O为位似中心，请在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为2，并写出点，，的坐标． 18. 第八届丝博会于2024年9月 20日至24日在西安国际会展中心举办．本届丝博会以“深化互联互通·拓展经贸合作”为主题．在丝博会举办之际，某机构计划向全市中小学生招募“丝博小记者”．某校现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选． （1）若先从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是 ； （2）若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法求出一男一女当选的概率． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为，求代数式的值． 20. 小明和爸爸想利用测角仪和阳光下的影子来测量一古树（底部不可到达）的高．如图所示：在阳光下，小明爸爸站在古树影子的顶端D处，此时，小明量得爸爸的影长；然后，小明从D点往古树方向走了3m到达点F，并用测角仪测得树顶端A的仰角为（测角仪高度不计）．已知爸爸身高，点E、D、F、B在同一条直线上，，．求该古树的高．（参考数据：，，） 21. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x …… 0 1 2 3 4 …… y …… 8 3 m 0 3 …… （1）求m的值和这个二次函数的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）； （3）当时，直接写出y的取值范围． 22. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm. （1）若花园的面积为192m2, 求x的值； （2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值. 23. 综合与实践： 问题情境：在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题： 如图，在正方形中，是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰直角三角形，使得，，且点恰好在射线上． （1）如图1，当点在对角线上，点在边上时，那么与之间的数量关系是_________； 探索发现： （2）当点在正方形外部时如图2与图3，（1）中的结论是否还成立？若成立，请利用图2进行证明；若不成立，请说明理由； 问题解决： （3）如图4，在正方形中，，当是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $