精品解析：山东省聊城市东昌府区第六中学2024-2025学年九年级上学期数学第三次学情调研试题

2024－2025学年度九年级上册数学第二次月考试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. （，，为常数） D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 直接利用一元二次方程的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、，最高次数为3次，故此选项不符合题意； B、，是一元二次方程，故此选项符合题意； C、（，、、为常数），故此选项不符合题意； D、该方程不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则： ， 解得：， 即蜡烛火焰的高度为， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形． 3. 下列语句中正确的是（　　） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据垂径定理及逆定理以及圆的性质来进行判定分析即可得出答案． 详解：A、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧；B、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；故选D． 点睛：本题主要考查的是圆的一些基本性质，属于基础题型．理解圆的性质是解决这个问题的关键． 4. 如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，使与一定相似的有（ ） A. ①②④ B. ②④ C. ①②③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定定理“两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似”即可判断． 【详解】①添加，又， ∴，成立； ②添加，且， ∴，成立； ③添加，但不一定与相等，故与不一定相似； ④添加且， ∴，成立． 综上，使与一定相似的有①②④， 故选：A． 5. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查求解一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答此题的关键． 根据配方法：移项、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方等步骤进行即可求解． 【详解】将常数项移至右边，得， 方程左边配方需加上一次项系数一半的平方，即，两边同时加9，得， 即． 故选：D． 6. 如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角的性质即可求解. 【详解】连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°， 同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半， 故∠CPD=, 故选B. 【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用. 7. 如图，在中，点在边上，连接，点在线段上，且交于点，，且交于点，若，，则的长为(　　) A. 2 B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质及判定；根据，可得，结合已知得出，进而根据，可得，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴，则 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 8. 如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据，于是得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 9. 鸳鸯玉，是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料．如图是一个半径为的半圆形的鹄韬玉石，是半圆的直径，是弧上两点．若，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块玉石的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，扇形的面积，利用圆内接四边形的性质可得，进而由圆周角定理可得，利用扇形面积公式计算即可求解，掌握圆内接四边形的性质和扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：由圆内接四边形的性质可得，， ∴， ∴， ∴这块玉石的面积， 故选：． 10. 如图，△ABC中，，，，过点C作于，过点作⊥BC于，过点作于，这样继续作下去线段 （n 为正整数）等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，数字类规律变化，解直角三角形分别求出即可找到变化规律，进而即可求解，通过计算找到变化规律是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 关于的一元二次方程有一个解是，则__________． 【答案】-3 【解析】 【详解】∵方程的一个解为， ∴将代入原方程， 得：，则， ∵是关于的一元二次方程． ∴，即， ∴． 12. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】-5 【解析】 【分析】先由根与系数的关系得出x1+x2=-3，x1x2=-3，再将变形后代入进行计算即可. 【详解】∵x1、x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根， ∴x1+x2=-3，x1x2=-3， ∴==-5， 故答案为-5. 【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 13. 如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P是上任意一点，则∠P的正切值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠AOD=∠APB，再利用正切的性质得到tan∠AOD=，从而得到tan∠P的值． 【详解】解：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图， ∵OA=OB，OD⊥AB， ∴∠AOD= ∠AOB， ∵∠APB= ∠AOB， ∴∠AOD=∠APB， 在Rt△AOD中，tan∠AOD= =， ∴tan∠P=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理和正切的定义，解决本题的关键是要熟练利用圆周角的性质和正切定义. 14. 如图，某拦水大坝的横断面为梯形，为梯形的高，其中迎水坡的坡角，坡长m，背水坡CD的坡度，则背水坡的坡长为______m． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、坡度坡角问题等知识点，根据图示确定在哪个直角三角形中进行解直角三角形是解题的关键． 先根据坡角，坡长米求得的长，从而知的长，再根据背水坡CD的坡度得到∠C的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求得的长即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡角，坡长m， ∴（米）， ∴， ∵背水坡CD的坡度，， ∴， ∴， ∴（米）． 故答案为12． 15. 已知为平面上一点，是的内心，也是的外心，．则的度数为______． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题考查三角形的内心和外心、角平分线的定义、三角形的内角和定理、圆周角定理，连接、，根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点，结合三角形的内角和定理求得，再根据圆周角定理得到即可求解． 【详解】解：连接、， ∵， ∴， ∵是的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵是的外心， ∴， 故答案为：． 16. 在中，，，．现有动点P从点A出发，沿线段向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动．如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为．当_______秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】2或 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 【详解】解：由题意得，，则， ∵，， ∴当时，， 即，解得； 当时，， 即，解得． 因此秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似， 故答案为：2或． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角三角函数的混合运算、实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，实数的混合运算顺序和法则，是解题的关键 （1）将特殊角三角函数值代入，再进行二次根式的混合运算即可； （2）先化简绝对值，代入特殊角三角函数值，计算零次幂，负整数指数幂，再进行加减运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据一元二次方程的特点选用适当的解法是解题的关键． （1）把方程化为：，再利用配方法求解即可； （2）把方程化为：，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； 【小问2详解】 解： 整理得：， 因式分解得：， ∴，， ∴，． 19. 某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求第二、三这两个月的销售量月平均增长率； （2）从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加10件．为尽可能让利顾客，赢得市场，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 【答案】（1） （2）72元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的销售量月平均增长率为，根据题意即可得出关于的一元二次方程，进行计算即可得； （2）设该商品售价定为元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件，根据总利润每件的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，再结合“要尽可能让利顾客，赢得市场”，即可得出该商品售价应定为72元． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为， 依题意得， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该商品售价定为元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让利顾客，赢得市场， ， 即该商品售价定为72元时，商场当月获利2160元． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）当该方程的一个根为2时，求的值及该方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：已知关于的一元二次方程， ∵， ∴该方程总有两个实数根． （2），方程的另一根为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练运用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）先把代入原方程求解m，再利用根与系数的关系，求解另一个根即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 将代入原方程得， ， 解得， 当时， 原方程化为，， 则有， 其中有一根为，则， 即：，方程的另一根为． 21. 独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，以的边为直径作，交于点P，是的切线，且，垂足为点D． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）5． 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质． （1）连接，如图，先根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后利用可得到结论； （2）连接PB，如图，先利用勾股定理计算出，再根据圆周角定理得到，接着证，则利用相似比可计算出，然后利用得到，从而得到的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， 在中，∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∴的半径为5． 22. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2=AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD=4，AB=6，求的值． 【答案】 （1）证明：∵AC平分∠DAB ∴∠DAC=∠CAB． ∵∠ADC=∠ACB=90° ∴△ADC∽△ACB． ∴ 即AC2=AB•AD． （2）证明：∵E为AB的中点 ∴CE=AB=AE ∴∠EAC=∠ECA． ∵∠DAC=∠CAB ∴∠DAC=∠ECA ∴CE∥AD． （3） 【解析】 【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD． （2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，从而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD． （3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值，从而得到的值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵CE∥AD ∴△AFD∽△CFE ∴． ∵CE=AB ∴CE=×6=3． ∵AD=4 ∴ ∴． 23. 如图，学校教学楼上悬挂一块长为的标语牌，即．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点到地面的距离．测角仪支架高，小明在处测得标语牌底部点的仰角为，小红在处测得标语牌顶部点的仰角为，，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点到地面的距离的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点，，，，，，在同一平面内） （参考数据：，， 【答案】能，点到地面的距离的长约为． 【解析】 【分析】延长交于，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出，结合图形计算即可． 【详解】能， 理由如下：延长交于， 则， ， ， 设，则， ， 在中，，则， ， 解得，， 则， 答：点到地面的距离的长约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 24. 【初步感知】如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为 度； 【深入探究】如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【启发应用】如图3，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，若，则的值为 ． 【答案】【初步感知】45； 【深入探究】证明：如图，延长至点E，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 【启发应用】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 初步感知：根据圆周角定理即可得出答案； 深入探究：先构造出，得出，进而得出是等边三角形，即可得出结论； 启发应用：先构造出，进而判断出，进而得出是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：初步感知：∵， ∴， 故答案为：45； 深入探究：略 启发应用：如图，延长至点G，使，连接． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度九年级上册数学第二次月考试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. （，，为常数） D. 2. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. 6 C. D. 8 3. 下列语句中正确的是（　　） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 4. 如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，使与一定相似的有（ ） A. ①②④ B. ②④ C. ①②③④ D. ①②③ 5. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点在边上，连接，点在线段上，且交于点，，且交于点，若，，则的长为(　　) A. 2 B. 3 C. D. 6 8. 如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 9. 鸳鸯玉，是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料．如图是一个半径为的半圆形的鹄韬玉石，是半圆的直径，是弧上两点．若，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块玉石的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，△ABC中，，，，过点C作于，过点作⊥BC于，过点作于，这样继续作下去线段 （n 为正整数）等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 关于的一元二次方程有一个解是，则__________． 12. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 13. 如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P是上任意一点，则∠P的正切值为______． 14. 如图，某拦水大坝的横断面为梯形，为梯形的高，其中迎水坡的坡角，坡长m，背水坡CD的坡度，则背水坡的坡长为______m． 15. 已知为平面上一点，是的内心，也是的外心，．则的度数为______． 16. 在中，，，．现有动点P从点A出发，沿线段向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动．如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为．当_______秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似？ 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求第二、三这两个月的销售量月平均增长率； （2）从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加10件．为尽可能让利顾客，赢得市场，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）当该方程的一个根为2时，求的值及该方程的另一个根． 21. 独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，以的边为直径作，交于点P，是的切线，且，垂足为点D． （1）求证：； （2）若，求的半径． 22. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2=AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD=4，AB=6，求的值． 23. 如图，学校教学楼上悬挂一块长为的标语牌，即．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点到地面的距离．测角仪支架高，小明在处测得标语牌底部点的仰角为，小红在处测得标语牌顶部点的仰角为，，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点到地面的距离的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点，，，，，，在同一平面内） （参考数据：，， 24. 【初步感知】如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为 度； 【深入探究】如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【启发应用】如图3，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，若，则的值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $