10.1分式（教学设计）数学北京版2024八年级上册

10.1 分式 教学设计 1.教学内容 本节内容选自北京版2024八年级上册《分式及其性质》10.1，围绕“分式的概念”“分式有意义条件”及“分式值为零条件”展开，强调分母中含字母时的取值限制。 2.内容解析 在整式除法 () 中，若 含有字母，则形成分式。学生需从“整式分母不含字母”转变到“分式分母含字母且不能为零”的新认识，并通过列分式模型解决实际问题。 1.教学目标 了解分式的概念。 掌理解分式有意义的条件及分式值为零的条件。 能熟练地求出分式有意义的条件及分式值为零的条件。 2.目标解析 通过对比整式与分式，明确分母含字母时的取值限制。 借助列方程思想，掌握求分式值为零的步骤并体会验证分母不为零的重要性。 结合实际情境，培养用分式表达与解决问题的建模能力。 八年级学生已具备整式运算和简单方程的基础，对分母含字母的约束却较陌生。需结合典型例题，突出“分母≠0”与“分子=0”在判断分式意义与零值时的关键作用，帮助学生形成清晰的分式概念与应用技能。 知识回顾： • 请同学们观察下列代数式： 这些都属于单项式； 这些都属于多项式。 • 总结：整式的分母不含字母。 探究点1：分式的概念与有意义的条件 1.从两个整数相除可写成分数形式，到两个整式相除可类似写成 ： · 两个整数相除： 等。 · 两个整式相除：如 等。 2.生活情境：某街心公园，园林设计师计划修建一个面积为100㎡的长方形花坛。如原计划花坛的长是am，现决定延长15m，那么面积不变的情况下，现在的宽用代数式怎么表示？ 两个整数相除，可以表示成分数形式 ；两个整式相除时，也可以表示成类似的形式。这样，上面的问题中，花园的宽可以表示为： • 由此引出“除法运算在代数式中的表示”，并让学生思考：当分母中含有字母时，是否仍是整式？这将引导我们进入分式的学习。 3.如果分母含有字母，如 ，观察这些分式有什么特点？ · 分子、分母均为整式； · 分母中含有字母时，为保证分式有意义，分母必须不为零。 师生活动 · 教师提问：在代数式 等式子中，字母取值有什么限制？ 学生分组讨论： 1. 。 2. 。 3. 。 · 教师强调：要使分式有意义，分母不能为 0。 小结 · 一般地，用A、B表示两个整式，A÷B(B≠0)可以表示为.如果B中含有字母，那么(B≠0)叫作分式。其中A叫作分式的分子，B叫作分式的分母。 · 分式有意义的条件：分母 。 · 整式和分式统称为有理数。 【设计意图】 通过师生讨论，学生主动归纳出“分母不为 0 才有意义”这一关键条件，培养自主探究与表达能力。 例题巩固 例1:一项工程，由某建筑公司单独完成需要 天，那么该建筑公司每天完成全部工程的多少？ 工作效率 = 工作总量 ÷ 时间 → 。由于 ，这是分式。 北京到上海的路程约为 ，如果火车速度为 ，那么从北京到上海需要多少小时？ 时间 = 路程 ÷ 速度 → 。由于 ，这是分式。 在北京召开的第24届国际数学家大会的会标取材于我国古代数学家赵爽(汉末三国初)的《勾股圆方图》.其中的“弦图”是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(图10-1).如果直角三角形的两直角边分别为a,b(a>b),那么请写出这四个直角三角形的面积之和与小正方形的面积之比. · 四个相同直角三角形面积和：； · 中间正方形面积：^2； · 要求的比：^2}，由于 ，该式是分式。 总结 ^2} 均为分式。 形如(B≠0)的式子， 判断是否为分式时， 1.看分母是否含有字母； 2.式子中含有多项时，若其中有一项分母含有字母，则该式也为分式，如：1+ 注意含有π的式子，π是常数. 【设计意图】 通过三个常见情境的列式，帮助学生熟练运用分式表示实际问题，进一步理解分式定义及其有意义的条件。 例2 当 取何值时，下列分式有意义？ ； 解析步骤 分式有意义 分母 。 1. 令 ，排除 ，其余皆有意义。 2. 令 ，排除 ，其余皆有意义。 答案总结 · 当 时， 有意义； · 当 时， 有意义。 【设计意图】 结合分母不为零的要求，帮助学生进一步体会分式有意义的本质条件，加深对“变量取值限制”的理解。 【方法技巧】只有当分母不等于零时，式子才有意义. 一般地，称一个式子为分式时，就隐含了使分母不等于零的条件.我们约定，本书在讨论分式的问题时，不再注明使分母不等于零的条件. 探究点2：分式值为零的条件 思考与交流 师生活动1 · 教师演示：如果分式 ,怎样确定x的取值？ 学生分组讨论： 1. 分子 ； 2. 但当 时分母也 ，导致分式无意义，故该分式不能等于 0。 · 教师总结：只有当分子为 0 而分母不为 0，分式才为零。 【设计意图】 通过鲜明的“错误示例”讨论，帮助学生牢固掌握分式值为零的判断方法，并锻炼逻辑推理能力。 师生活动2 1. 师生回顾：一个分数 的值为零时，分子必须为零，且分母不等于零。 2. 迁移到分式：形如 ，要使其值为零，需要 且 。 例题巩固 例3 当 取何值时，分式 的值等于零？ 解析步骤 1. 分式值为零 分子 且分母 ； 2. ；同时 ； 3. 综上：当 且 ，分式值为零，满足题意。 答案总结 时，。 【设计意图】 通过分式值为零的经典求解过程，让学生巩固“分子=0，分母≠0”的原则，掌握完整的分式求值思路。 【归纳总结】 分式值为零的条件及求法： (1)条件：分子为0，分母不为0. (2)求法：①利用分子等于0，构建方程． ②解方程求出所含字母的值． ③代入验证：将所求的值 代入分母，验证是否使分母 为0，若分母不为0，所求的值使分式值为0；否则，应 舍去． 【整体教学设计意图】 1. 以实际情景和已有认知（整式特征）导入，激发学生兴趣，明确学习方向； 2. 分层探究“分式的概念、有意义的条件、分式值为零的条件”，逐步建立分式的系统认知； 3. 通过例题与生活联系，渗透“现实问题→数学抽象→概念形成”的核心素养理念，让学生在应用中加深理解； 4. 师生互动、分组讨论和典型例题练习相结合，培养学生的发散思维与合作探究能力。 1. 下列代数式中，属于分式的有（ C ） A. B. C. D. 2. 当 时，分式的值( A ) A. 没有意义 B. 等于零 C. 等于 D. 等于 3. 当 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ B ） A. B. C. D. 4. 已知，当 时，分式 的值等于 ，则 . 5. 列式表示下列各量： 某村有 个人，耕地 ，则人均耕地面积为 . 的面积为 ， 边的长为 ，则高 为 . 一辆汽车 h 行驶了 km，则它的平均速度为 km/h；一列火车行驶 km 比这辆汽车少用 h，则它的平均速度为 km/h. 6. 在分式 中，当 为何值时，分式有意义？ 分式的值为零？ 答：当 时，该分式有意义；当 时，该分式的值为零. 7. 分式 的值能等于0吗？说明理由。 答：不能.因为必须 ，而 时，分母 ，分式无意义. 分式的概念 ── 用A、B表示两个整式，A÷B → 分式 1. 分式的有意义条件 ── B≠0 2. 分式的值为零的条件 ── A=0且B≠0 3. 典例： 列式判定分式 求分式有意义的取值范围 分式值为零的求解步骤 4. 小结 ── 强调分母限制与分子零的结合 • 设计意图：以概念-条件-例题-小结为结构，板书层次分明，便于师生在课堂上及时掌握知识要点与训练路径。 1. 课本第10章“分式”相关练习： 完成“判断整式与分式”题目，明确分母含字母是分式； 求分式有意义的条件； 求分式值为零的条件及对应字母取值。 2. 拓展：根据生活中分数形式的应用（如速度、密度、单价等）自主设计一道情境题，并写出相应的分式表达式。 • 设计意图：作业覆盖基础巩固（判断与条件）与思维拓展（自编情境），引导学生在真实背景中体会分式与分母非零的必要性。 学科网（北京）股份有限公司 $$