专题09 复数（上海专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题09 复数 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 复数代数形式的四则运算（5年2考） 2024年已知复数的类型求参数、由复数模求参数、复数的除法运算 2022年复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 复数在上海高考中通常以选择题、填空题的形式出现，分值一般为 5 分左右，属于基础题型，是考生应得的分数。复数的实部、虚部、共轭复数、模等基本概念是考查热点，同时，复数的四则运算也是必考内容，常与复数概念结合，其中除法运算需将分母实数化，是运算考查的重点。命题会渗透数学运算、逻辑推理等核心素养，如通过复数运算考查学生的数学运算能力，通过复数概念及相关问题考查学生的逻辑推理能力。 求复数的模（5年3考） 2025年求复数的模、共轭复数的概念及计算 2023年求复数的模、复数代数形式的乘法运算 2021年求复数的模、复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算 考点01 复数代数形式的四则运算 1．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 【答案】2 【知识点】已知复数的类型求参数、由复数模求参数、复数的除法运算 【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设，且. 则， ，，解得， 2．（2022·上海·高考真题）已知（其中i为虚数单位），则 ； 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先由求出，从而可求出 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为： 故答案为：2. 考点02 求复数的模 3．（2023·上海·高考真题）已知当，则 ； 【答案】 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】直接根据复数的乘法运算以及复数模的定义即可得到答案. 【详解】，. 故答案为：. 4．（2021·上海·高考真题）已知复数z满足(i是虚数单位)，则 . 【答案】 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由已知求得，再由复数模的计算公式求解． 【详解】解：， ， 则． 故答案为：． 5．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可. 【详解】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为： 一、单选题 1．（2025·上海·三模）若复数（为虚数单位），则（    ） A．在复平面对应的点位于第四象限 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法法则求得，进而逐项计算判断即可. 【详解】 对于A，复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：A. 2．（2025·上海·模拟预测）若复数z在复平面中的对应点都在一个过原点的圆上，则的对应点均在（   ） A．一条直线上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．一支双曲线上 【答案】A 【分析】设，求出对应点的坐标，根据点在已知圆上，代入圆的方程变形可得. 【详解】设，圆心为，则半径， 则圆的方程为，即， 依题意有，变形得， 因为， 所以的对应点坐标为，显然在直线上. 故选：A 二、填空题 3．（2025·上海·模拟预测）已知复数，其中i为虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可. 【详解】， 故． 故答案为：. 4．（2025·上海金山·二模）已知复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】利用复数的除法计算即可. 【详解】依题意，. 故答案为： 5．（2025·上海浦东新·二模）若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为 ． 【答案】4 【分析】设关于的方程的两根虚根为，则且，即可求出的值，再代入检验. 【详解】设关于的方程的两根虚根为，则且， 所以，又，所以， 当时，，所以关于的方程有两个不相等实数根，不符合题意； 当时，，所以关于的方程有两个虚根，符合题意； 所以. 故答案为： 6．（2025·上海闵行·二模）已知i是虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】由复数的除法运算结合模长计算即可. 【详解】. 故答案为：. 7．（2025·上海徐汇·二模）复数（其中为虚数单位）的虚部是 ． 【答案】/0.5 【分析】根据复数除法，化简，进而直接写出虚部即可. 【详解】，故其虚部为. 故答案为：. 8．（2025·上海普陀·二模）已知复数，其中i为虚数单位，则 . 【答案】 【分析】根据复数的运算求出，再根据共轭复数的概念求解即可. 【详解】因为， . 故答案为： 9．（2025·上海宝山·三模）已知复数，集合所构成区域的面积是 . 【答案】 【分析】运用复数的几何意义画图计算即可. 【详解】设，已知可得，即点在以原点为圆心，为半径的圆上，如图圆2. 设，，， 表示点两点之间的距离为2. 则集合所表示的图形是以点为圆心，6为半径的圆的大圆3和以点为圆心，2为半径的小圆1之间的圆环部分. 其面积为： 集合所构成区域的面积是.    故答案为： 10．（2025·上海浦东新·模拟预测）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则 ． 【答案】/ 【分析】根据复数的几何意义，可得，进而可得，再根据复数的乘法进行运算即可. 【详解】因为复数对应的点的坐标为，所以，则， 所以 故答案为：. 11．（2025·上海黄浦·三模）复数z满足（i是虚数单位），则在复平面内，z对应的点在第 象限． 【答案】三 【分析】由复数的除法、复数的几何意义即可求解. 【详解】由题意，则在复平面内，z对应的点为在第三象限. 故答案为：三. 12．（2025·上海嘉定·二模）已知复数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的加减运算及平行四边形的性质即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为， 由平行四边形的性质可得： 所以 故答案为： 13．（2025·上海青浦·模拟预测）已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】由模长运算，可得复数的模长，根据复数的几何意义与圆的性质，可得答案. 【详解】已知，则. 因为，所以， 表示复数所对应的点到所对应的点的距离， 说明对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以的最大值为圆心到点的距离加上半径，即. 故答案为：. 14．（2025·上海浦东新·三模）已知复数满足，则（i是虚数单位）的最小值为 . 【答案】 【分析】确定复数的轨迹，结合点到线的距离公式即可求解. 【详解】设， 则由可得：， 则，即或 的几何意义为射线上的点与的距离， 结合图像可知：到的距离即为最小值， 最小值为：， 故答案为： 15．（2025·上海·三模）设复数（为虚数单位），则的最大值为 . 【答案】3 【分析】本题可先根据复数的模的计算公式求出的表达式，再结合三角函数的性质求出其最大值. 【详解】已知，则. 可得： 因为的取值范围是，所以当时，取得最大值. 此时. 那么的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. 16．（2025·上海·模拟预测）已知两个复数的和为4、积为6，这两个复数为 .． 【答案】和 【分析】由韦达定理构造方程，再求解方程即可. 【详解】设这两个数分别是，则， 因此这两个数是方程的两个根， 整理得，解得， 所以这两个复数为和． 故答案为：和 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 复数 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 复数代数形式的四则运算（5年2考） 2024年已知复数的类型求参数、由复数模求参数、复数的除法运算 2022年复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 复数在上海高考中通常以选择题、填空题的形式出现，分值一般为 5 分左右，属于基础题型，是考生应得的分数。复数的实部、虚部、共轭复数、模等基本概念是考查热点，同时，复数的四则运算也是必考内容，常与复数概念结合，其中除法运算需将分母实数化，是运算考查的重点。命题会渗透数学运算、逻辑推理等核心素养，如通过复数运算考查学生的数学运算能力，通过复数概念及相关问题考查学生的逻辑推理能力。 求复数的模（5年3考） 2025年求复数的模、共轭复数的概念及计算 2023年求复数的模、复数代数形式的乘法运算 2021年求复数的模、复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算 考点01 复数代数形式的四则运算 1．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 2．（2022·上海·高考真题）已知（其中i为虚数单位），则 ； 考点02 求复数的模 3．（2023·上海·高考真题）已知当，则 ； 4．（2021·上海·高考真题）已知复数z满足(i是虚数单位)，则 . 5．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 一、单选题 1．（2025·上海·三模）若复数（为虚数单位），则（    ） A．在复平面对应的点位于第四象限 B． C． D． 2．（2025·上海·模拟预测）若复数z在复平面中的对应点都在一个过原点的圆上，则的对应点均在（   ） A．一条直线上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．一支双曲线上 二、填空题 3．（2025·上海·模拟预测）已知复数，其中i为虚数单位，则 ． 4．（2025·上海金山·二模）已知复数满足（为虚数单位），则 . 5．（2025·上海浦东新·二模）若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为 ． 6．（2025·上海闵行·二模）已知i是虚数单位，则 ． 7．（2025·上海徐汇·二模）复数（其中为虚数单位）的虚部是 ． 8．（2025·上海普陀·二模）已知复数，其中i为虚数单位，则 . 9．（2025·上海宝山·三模）已知复数，集合所构成区域的面积是 . 10．（2025·上海浦东新·模拟预测）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则 ． 11．（2025·上海黄浦·三模）复数z满足（i是虚数单位），则在复平面内，z对应的点在第 象限． 12．（2025·上海嘉定·二模）已知复数满足，则的值为 ． 13．（2025·上海青浦·模拟预测）已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是 . 14．（2025·上海浦东新·三模）已知复数满足，则（i是虚数单位）的最小值为 . 15．（2025·上海·三模）设复数（为虚数单位），则的最大值为 . 16．（2025·上海·模拟预测）已知两个复数的和为4、积为6，这两个复数为 .． / 学科网（北京）股份有限公司 $$