专题02 二次函数的系数问题（专项训练）数学浙教版九年级上册

专题02 二次函数的系数问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、a的正负与取值范围（常考点） 1 题型二、a，b，c系数符号的综合判断（常考点） 3 题型三、判断a，b，c相关的代数式（难点点） 6 题型四、二次函数与一元二次方程的关系（重点） 10 题型五、综合性问题（重点） 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、a的正负与取值范围 1.（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，杜老师在黑板上画出了二次函数的图象，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟悉抛物线的开口方向和的关系是解题的关键．由题意得，，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）关于二次函数，下列说法中不正确的是（    ） A．当时，的对称轴是轴 B．当时，总取正值 C．当时，函数图象有最高点 D．当时，随着的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质分别判断即可． 【详解】解：A、二次函数的对称轴为轴，故原说法错误，符合题意； B、由于，则，而，故，故原说法正确，不符合题意； C、当时，开口向下，函数图象有最高点，说法正确，不符合题意； D、当时，随着的增大而增大，说法正确，不符合题意； 故选：A． 3．（11-12九年级·安徽滁州·阶段练习）如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④，比较的大小，用“>”连接为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据中决定开口方向和开口大小，越大，开口越小，进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴； 故选A． 4.（24-25九年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．分别把A、B点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围． 【详解】解：把代入得； 把代入得， ∴a的取值范围为． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为，，， ∴， 当抛物线经过点时，则， 当抛物线经过时，， 观察图象可知， 故答案为：． 题型二、a，b，c系数符号的综合判断 1.（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图是抛物线的示意图，则c的值可以是（    ）．    A． B． C．0 D．3 【答案】D 【分析】根据抛物线与轴的交点，确定出，结合选项求解即可． 【详解】解，由图象可得，抛物线与轴的交点在轴的上方，所以 结合选项，只有D选项符合，A、B、C选项不符合， 故选：D 2.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象可知，，再根据对称轴的位置即可判断a和b的大小，从而得出答案． 【详解】解：由函数图象已知，， ， ， ， ， 故选：． 3.（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断式子的正负及反比例函数的图象、一次函数的图象，先根据二次函数图象判断出，，，得到的图象过一、二、三象限，的图象在二、四象限，结合二次函数的图象与x轴有两个交点，得到的图象与的图象有两个交点，即可得到答案． 【详解】解：由图象可得，，，， ∴， ∴的图象过一、二、三象限，的图象在二、四象限， 令，则， ∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴方程，有两个不相等的解， ∴的图象与的图象有两个交点， 故选：D． 4.二次函数的图象如图所示，那么abc 0．（填“＞”，“=”，或“＜”） 【答案】＜ 【分析】结合图像，根据二次函数的性质分别判断即可． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0， 故答案为：＜． 5.若抛物线（m是常数）的图象经过第一、二、三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，根据题意得到关于的不等式组是解题的关键． 由可知抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，根据题意得到，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 抛物线是常数）的图象只经过第一、二、三象限， ， 解得， 故答案为： 6.（2024·河南南阳·二模）已知二次函数的图象如图所示，则点在第 象限． 【答案】三 【分析】根据抛物线对称轴的位置得到，根据抛物线与轴的交点位置得到，然后根据各象限内点的坐标特征进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左； 当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于． 【详解】解：∵二次函数 ∴ 抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴ 、异号，即， 抛物线与轴的交点在轴的下方， ， 点在第三象限． 故答案为：三． 题型三、判断a，b，c相关的代数式 1.如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是x=﹣1，有下列结论：①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y1），（﹣4，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2  ， 其中结论正确的序号是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断 【详解】∵抛物线的对称轴是直线x=−1， ∴−=−1 b=2a ∴b−2a=0 故①正确； ∵抛物线的对称轴是直线x=−1,和x轴的一个交点是(2,0) ∴抛物线和x轴的另一个交点是(−4,0) ∴把x=−2代入得：y=4a−2b+c>0 故②错误； ∵图象过点(2,0)，代入抛物线的解析式得：4a+2b+c=0 又∵b=2a ∴c=−4a−2b=−8a ∴a−b+c=a−2a−8a=−9a 故③正确； 根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小 ∵a<0，当x<−1时，y随x的增大而增大 ∴点(−3,y1)关于对称轴的对称点的坐标是((1,y1) ∵−3>−4 ∴y1>y2 故④正确； 即正确的有①③④ 故选B 2.（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有 ．（填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左，当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，是解答本题的关键． 【详解】解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴， ，，故①正确； 二次函数图像的对称轴，， ， ，故②正确； 由图可知，当时，，故③正确； 由对称轴，可得， ∴ 故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④； 故答案为：①②③④． 3.（24-25九年级上·重庆巫山·期中）如图是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③．其中正确的结论是 （填写正确结论的序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【详解】解：由图象可得， ，，， 则，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵函数图象与x轴的正半轴交点在点和之间，对称轴是直线，开口向下， ∴当时，，故③正确； 故答案为：③． 4.（24-25九年级下·甘肃张掖·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 （只填序号）．    【答案】③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．抛物线的开口方向得到，由抛物线与轴的交点得到，然后根据对称轴得到，当时，，当时，，据此求解进行判断． 【详解】解：由图可知： 抛物线开口向上，则， 抛物线与轴交点在负半轴上，则， 对称轴为直线，则，即， ∴，，故①②错误， 由图象可知当时，，即，故③正确， 由图象可知当时，，即，故④正确， ∴正确的有③④， 故答案为：③④． 5.y=ax2+bx+c的图象如图所示，设M=|a+b+c|﹣|a﹣b+c|+|2a+b|﹣|2a﹣b|，则M的取值范围为多少？ 【答案】M＜0． 【分析】先根据抛物线的图象与性质判定a、b、c的符号，并由x=1和x=﹣1推出相应y值的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，进一步即可求得M的取值范围． 【详解】解：由图可知a＞0，c＜0，对称轴0＜＜1， 则b＜0，可得2a+b＞0，2a﹣b＞0， 当x=1时，a+b+c＜0， 当x=﹣1时，a﹣b+c＞0， 所以M=﹣(a+b+c)﹣(a﹣b+c)+(2a+b)﹣(2a﹣b) =﹣a－b－c－a+b－c+2a+b－2a+b =﹣2a+2b－2c =﹣2(a－b+c)|＜0． 即M＜0． 题型四、二次函数与一元二次方程的关系 1.（24-25八年级下·广西南宁·期末）二次函数与轴的交点个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象与轴的交点和对应一元二次方程的根的情况之间的联系，令，则，然后通过根的判别式即可求解，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式的关系是解题的关键． 【详解】解：令，则， ∴， ∴抛物线与轴有个交点， 故选：． 2.（24-25八年级下·重庆·阶段练习）抛物线与x轴有且只有一个交点，则m的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的和一元二次方程，根的判别式等知识点，解题的关键是熟练掌握根的判别式． 抛物线与轴有且只有一个交点，说明其判别式，利用判别式公式，代入系数计算即可求解的值． 【详解】解：抛物线的解析式为，与轴只有一个交点，故判别式， 判别式公式为：， 其中，，，，代入得：， 解得：， 故选：B． 3.（24-25九年级上·湖南湘西·期中）若二次函数的图像与x轴有两个交点，则m的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题、根的判别式等知识点，将抛物线与x轴的问题转化成一元二次方程根的问题成为解题的关键． 将抛物线与x轴的交点将问题转化为方程有2个不等实数根，再根据根的判别式列不等式求解即可． 【详解】 解：依题意，当时，方程有个不等实数根， ∴，解得：． 故答案为：． 4.（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）若关于的函数与坐标轴有两个交点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的性质以及二次函数判别式的应用，熟练掌握一次函数和二次函数的定义、二次函数与轴交点和判别式的关系是解题的关键．本题需分情况讨论函数类型，即一次函数和二次函数两种情况，根据函数与坐标轴交点的特点来确定的值． 【详解】解：当函数为一次函数时， ， 解得， 此时函数为，与轴有一个交点，与轴有一个交点，满足与坐标轴有两个交点． 当函数为二次函数时， ，即， 函数与轴一定有一个交点， ∵函数与坐标轴有两个交点， ∴与轴有一个交点， 对于二次函数（），判别式时，与轴有一个交点， 在中，，，， ∴，即， ， ， 解得． 综上，的值为或． 故答案为：或． 5.阅读与理解 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 二次函数图象与系数a，b，c的关系我们知道，二次函数a，b，c与抛物线有着密切的关系， 如图1，①抛物线开口向上，． ②抛物线的对称轴在直线的右侧，． ，，． ③抛物线与y轴交于正半轴，． ④抛物线与x轴有两个交点，． ⑤当时，， 当时，， 即． 任务： (1)如图2，方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根    B．有两个相等的实数根 C．没有实数根        D．无法确定 (2)判断图2中与的大小关系． (3)在图2中，下列结论正确的是__________．（直接填序号即可） ①；②；③；④． 【答案】(1)A (2) (3)②③ 【分析】（1）根据二次函数图象与轴有两个交点，再根据方程的根相当于二次函数图象与轴的交点，据此即可得出答案； （2）根据（1）的结论，得出，据此计算，即可得出答案； （3）根据二次函数的图象与性质，分析即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，可得图象与轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A （2）解：由（1）可知：方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴； （3）解：由图象可得：抛物线与轴交于负半轴， ∴，故①错误； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴左侧， ∴， ∴，故②正确； 当时，， ∴当时，， 即，故③正确； ∵抛物线对称轴在直线的左侧， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误， 综上可得：结论正确的是②③． 故答案为：②③ 题型五、综合性问题 1.（2025·山东聊城·三模）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（   ） ①；②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是；③若点和在该抛物线上，则；④对任意实数n，不等式总成立． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 将代入，可得，由图象即可判断①；根据抛物线的对称性即可求解抛物线与轴的另一个交点，即可判断②；根据点和距离抛物线对称轴的远近即可判断③；根据时，函数有最大值，故，再整理即可判断④． 【详解】解：对称轴是直线， 故该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故②错误； 将代入，可得，由图象可知，此时图像在轴上方，故，故①正确； 时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故③正确； 时，函数有最大值，故，即不等式总成立，故④正确； 故选：C． 2.（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 3.如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与轴交于负半轴．给出四个结论：①，②；③；④；其中正确的结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个结论的正误是解题的关键．①由点在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，结论①正确；②由二次函数图象的开口方向、对称轴在轴右侧以及与轴交于负半轴，可得出，进而可得出，结论②错误；③由二次函数图象对称轴所在的位置及，可得出，进而可得出，结论③正确；④由二次函数的图象经过点和，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，，进而可得出，结论④正确．综上，此题得解． 【详解】解：①点在二次函数图象上， ∴，结论①正确； ②∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴， ， ， ∴，结论②错误； ③ ∴， ∴，结论③正确； ④二次函数的图象经过点和， ∴， ∴，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 1.（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图形开口，对称轴直线，与坐标轴交点的计算是关键． 根据二次函数图象的开口，对称轴直线，与坐标轴交点的知识判定即可． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵对称轴直线为， ∴，故B选项正确，符合题意； ∵二次函数图象与轴交于正半轴， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵二次函数与轴有两个交点， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 2.（23-24九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象如图所示，则点在（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数系数符号的确定以及第三象限点的坐标特点，由抛物线的开口向下知，由与y轴的交点为在y轴的正半轴上可以得到，由对称轴在y轴的左侧为可以推出，然后根据象限的特点即可得出答案． 【详解】解：由图象可知 ∴， ∴点在第三象限， 故选C． 3.（24-25九年级上·浙江衢州·期末）二次函数（为常数，）的自变量与函数对应值如表： … 0 … … … 若，则点所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，判断点所在的象限；根据表格中和时值相等，确定二次函数的对称轴为，结合顶点处的函数值判断开口方向，进而确定、、的符号关系，最终得出点的坐标符号及其所在象限． 【详解】解：由表格可知，当和时，均为，则对称轴为． 当时，且，说明顶点为最低点，抛物线开口向上，因此． 当时，，代入函数得： 由和， 因此，点的坐标为，横纵坐标均为负数，位于第三象限． 故选：C． 4.（2025·黑龙江佳木斯·三模）二次函数（）的图象如图所示，则下列结论：①；②；③，④．其中正确的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由图象可知，，， ∴， ∴，故①错误； 根据抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； 根据图象知当时，， 故③错误； ∵抛物线开口向下，时抛物线与x轴相交， ∴时的抛物线位于x轴下方，即， ∴当时， 故④正确． 故选：B． 5.（2025·湖北·一模）抛物线 的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象与系数的关系，利用二次函数的图象判断式子的正负，二次函数的图象与性质，正确理解二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数的图象与系数的关系及二次函数的性质依次判断即可． 【详解】解：由图象得， 对称轴在y轴的左侧， ， ，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线， ，即， 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间， 抛物线与x轴的另一个交点在和之间， 当时，，即， ，即， ∴， ， ，故C错误，符合题意； 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间， 抛物线与x轴有两个不同的交点， ， ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 6.（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）若抛物线的图像开口向上，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】1（答案不为唯一） 【分析】本题考查了二次函数图象和系数的关系，解题的关键是掌握二次项系数为正数时，抛物线开口向上，二次项系数为负数时，抛物线开口向下．据此即可解答． 【详解】解：∵抛物线的图像开口向上， ∴， ∴， 故答案为：1（答案不为唯一）． 7.（23-24九年级上·北京石景山·期中）函数的图象如图所示，那么 0．（填“”，“”，或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据开口方向和与y轴交点的位置可得a、c的符号，进而可得答案． 【详解】解：∵函数开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∴， 故答案为：； 8.（24-25九年级上·河南南阳·期末）二次函数的图像如图所示，下列式子：①，②，③，④，⑤，其中正确的有 ．（填编号）． 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线的对称轴位置确定b的范围，然后根据抛物线与x轴交点的个数及时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知，对称轴为直线， ∴， ∴， 故①错误，②正确， ②∵时，， ∴， 故③错误， ③∵抛物线与x轴有交点， ∴， ∴， 故④正确， ⑤∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确， 故答案为：②④⑤． 9.（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论： ①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①②⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键． 由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确． 【详解】解：①∵抛物线的开口向上， ， ∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上， ， 由得，， ， 故①正确； ②抛物线的对称轴为， ， ， ，故②正确； ③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等． 由图知时，， ∴时，． 即．故③错误； ④由图知时二次函数有最小值， ， ， ，故④错误； ⑤由抛物线的对称轴为可得， ， ∴， 当时，． 由图知时 ，故⑤正确． 综上所述：正确的是①②⑤， 故答案为：①②⑤． 10.（24-25九年级上·江西南昌·期中）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c如图所示，直线x＝－1是其对称轴 （1）确定a，b，c，a－b＋c，a＋b＋c，Δ＝b2－4ac的符号．    （2）当x取何值时，y＞0，当x取何值时y＜0（直接写出答案）．        【答案】（1）a＜0，b＜0，c＞0，a−b＋c＞0，a−b＋c＝0，b2−4ac＞0；（2）当−3＜x＜1时y＞0；当x＜−3或x＞1时，y＜0 【分析】（1）根据抛物线的开口方向、对称轴及与y轴交点位置，即可得出a＜0、b＜0、c＞0，再由抛物线与x轴有两个不同交点可得出Δ＝b2−4ac＞0；由当x＝−1时y＞0，可得出a−b＋c＞0；由当x＝1时y＝0，可得出a−b＋c＝0； （2）观察函数图象结合函数图象与x轴的交点坐标，即可得出当y＞0及y＜0时，x的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在x轴上方， ∴a＜0，c＞0． ∵抛物线的对称轴为直线x＝−1，即−＝−1， ∴b＝2a＜0． ∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴Δ＝b2−4ac＞0． ∵当x＝−1时，y＞0， ∴a−b＋c＞0， 由当x＝1时，y＝0， 可得出a−b＋c＝0； （3）解：观察函数图象，可知：当−3＜x＜1时y＞0；当x＜−3或x＞1时，y＜0． 11.（23-24九年级上·广西河池·期中）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定b，的符号； (2)求证：； (3)当x取何值时，，当x取何值时． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)当时，；当或时，． 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数和x轴交点问题，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系． （1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定的符号； （2）根据图象和的函数值确定与0的关系； （3）根据抛物线在x轴上方时；抛物线在x轴下方时求解即可． 【详解】（1）∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴； （2）证明：∵抛物线的顶点在轴上方，对称轴为， ∴当时，； （3）根据图象可知， 当时，；当或时，． 12.（24-25九年级上·江苏盐城·期中）抛物线的图象如图所示： （1）判断，，，的符号； （2）当时，求，，满足的关系． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据图形，开口向下得a＜0，x=0时可得c＞0，由对称轴可得b＞0，与x轴有两个不同交点可得b2﹣4ac＞0； （2）由于B点坐标可以表示为：（0，c），|OA|=|OB|，可知A（﹣c，0）即可进行求解． 【详解】（1）由图象可知，抛物线开口向下，可得：a＜0； x=0时，y=c＞0； ∵对称轴x=，a＜0，∴b＞0； 图象与x轴有两个不同交点可得b2﹣4ac＞0； （2）当|OA|=|OB|时，即A点坐标为（﹣c，0），代入抛物线方程得y=ac2﹣bc+c两边同时除以c得：ac﹣b+1=0． 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数的系数问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、a的正负与取值范围（常考点） 1 题型二、a，b，c系数符号的综合判断（常考点） 2 题型三、判断a，b，c相关的代数式（难点点） 3 题型四、二次函数与一元二次方程的关系（重点） 4 题型五、综合性问题（重点） 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、a的正负与取值范围 1.（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，杜老师在黑板上画出了二次函数的图象，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）关于二次函数，下列说法中不正确的是（    ） A．当时，的对称轴是轴 B．当时，总取正值 C．当时，函数图象有最高点 D．当时，随着的增大而增大 3．（11-12九年级·安徽滁州·阶段练习）如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④，比较的大小，用“>”连接为（   ）． A． B． C． D． 4.（24-25九年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是 ． 5．（24-25九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围为 ． 题型二、a，b，c系数符号的综合判断 1.（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图是抛物线的示意图，则c的值可以是（    ）．    A． B． C．0 D．3 2.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 3.（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 4.二次函数的图象如图所示，那么abc 0．（填“＞”，“=”，或“＜”） 5.若抛物线（m是常数）的图象经过第一、二、三象限，则m的取值范围是 ． 6.（2024·河南南阳·二模）已知二次函数的图象如图所示，则点在第 象限． 题型三、判断a，b，c相关的代数式 1.如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是x=﹣1，有下列结论：①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y1），（﹣4，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2  ， 其中结论正确的序号是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 2.（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有 ．（填写序号） 3.（24-25九年级上·重庆巫山·期中）如图是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③．其中正确的结论是 （填写正确结论的序号）． 4.（24-25九年级下·甘肃张掖·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 （只填序号）．    5.y=ax2+bx+c的图象如图所示，设M=|a+b+c|﹣|a﹣b+c|+|2a+b|﹣|2a﹣b|，则M的取值范围为多少？ 题型四、二次函数与一元二次方程的关系 1.（24-25八年级下·广西南宁·期末）二次函数与轴的交点个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．无法确定 2.（24-25八年级下·重庆·阶段练习）抛物线与x轴有且只有一个交点，则m的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 3.（24-25九年级上·湖南湘西·期中）若二次函数的图像与x轴有两个交点，则m的取值范围是 4.（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）若关于的函数与坐标轴有两个交点，则的值是 ． 5.阅读与理解 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 二次函数图象与系数a，b，c的关系我们知道，二次函数a，b，c与抛物线有着密切的关系， 如图1，①抛物线开口向上，． ②抛物线的对称轴在直线的右侧，． ，，． ③抛物线与y轴交于正半轴，． ④抛物线与x轴有两个交点，． ⑤当时，， 当时，， 即． 任务： (1)如图2，方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根    B．有两个相等的实数根 C．没有实数根        D．无法确定 (2)判断图2中与的大小关系． (3)在图2中，下列结论正确的是__________．（直接填序号即可） ①；②；③；④． 题型五、综合性问题 1.（2025·山东聊城·三模）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（   ） ①；②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是；③若点和在该抛物线上，则；④对任意实数n，不等式总成立． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2.（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与轴交于负半轴．给出四个结论：①，②；③；④；其中正确的结论的序号是 ． 1.（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（23-24九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象如图所示，则点在（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.（24-25九年级上·浙江衢州·期末）二次函数（为常数，）的自变量与函数对应值如表： … 0 … … … 若，则点所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.（2025·黑龙江佳木斯·三模）二次函数（）的图象如图所示，则下列结论：①；②；③，④．其中正确的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.（2025·湖北·一模）抛物线 的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6.（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）若抛物线的图像开口向上，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 7.（23-24九年级上·北京石景山·期中）函数的图象如图所示，那么 0．（填“”，“”，或“”） 8.（24-25九年级上·河南南阳·期末）二次函数的图像如图所示，下列式子：①，②，③，④，⑤，其中正确的有 ．（填编号）． 9.（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论： ①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是 ．（填序号） 10.（24-25九年级上·江西南昌·期中）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c如图所示，直线x＝－1是其对称轴 （1）确定a，b，c，a－b＋c，a＋b＋c，Δ＝b2－4ac的符号．    （2）当x取何值时，y＞0，当x取何值时y＜0（直接写出答案）．        11.（23-24九年级上·广西河池·期中）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定b，的符号； (2)求证：； (3)当x取何值时，，当x取何值时． 12.（24-25九年级上·江苏盐城·期中）抛物线的图象如图所示： （1）判断，，，的符号； （2）当时，求，，满足的关系． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$