专题01 二次函数的图象（专项训练）数学浙教版九年级上册

专题01 二次函数的图象 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数顶点式反映的图象特征（常考点） 1 题型二、转化二次函数顶点式 1 题型三、图象的平移等变换（重点） 3 题型四、待定系数法求二次函数表达式（常考点） 4 题型五、图象问题的简单应用（重点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数顶点式反映的图象特征 1.（24-25九年级上·广东江门·期中）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2.（2025九年级上·全国·专题练习）抛物线经过的象限是 ． 3.（24-25八年级下·广西南宁·期末）抛物线的顶点坐标为 ． 4.（23-24九年级上·全国·课后作业）指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 题型二、转化二次函数顶点式 1.（24-25九年级上·青海西宁·期中）将二次函数化为顶点式 ，其顶点坐标是 ． 2.（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）将化成的形式为 ． 3.（24-25九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线的解析式为，求抛物线的该顶点坐标． 下面是嘉琪同学用配方法求顶点坐标的过程： 解： 顶点坐标为． 判断嘉琪的解答过程是否正确吗，如果正确，请在方框内打“√”；如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程． 4.（24-25九年级上·山东滨州·期中）用描点法画出二次函数的图象，列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 15 m n 5 … (1)填空：表中________，________； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象．    (3)用配方法将化成的形式． 5.（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）已知二次函数，解答下列问题： (1)用配方法求其图象的顶点坐标； (2)填空： ①若点在其图象上，则线段的长为______； ②要使直线与该抛物线有两个交点，则b的取值范围是______． 题型三、图象的平移等变换 1.（2025·山西吕梁·三模）将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25九年级上·福建福州·期末）将抛物线沿轴翻折，则变换后抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 4.（2025九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线． （1）a的值为 ． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的解析式为 ． 5.（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）已知二次函数，则它关于y轴的对称图像的解析式为 6.将二次函数y＝－2(x－1)2 ＋3的图象关于原点作对称变换，则对称后得到的二次函数的解析式为 ． 7.（2025·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标； (2)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位，图象恰好经过点，求的值． 题型四、待定系数法求二次函数表达式 1.（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若二次函数的图像过点和，且顶点为，则 2.（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）二次函数中的和满足下表，则的值为 ． x … 0 1 2 3 … y … m … 3.（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）已知二次函数，函数值与自变量之间的部分对应值如表： … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)当时，直接写出函数值的取值范围． 4.（24-25九年级上·广东江门·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点， (1)求此二次函数的解析式； (2)求、点坐标， (3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围． 5.（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知抛物线 (1)抛物线的对称轴为直线，且经过点 ①求抛物线的函数表达式． ②若点，都在此抛物线上，求m的值． (2)若点落在此抛物线上，求证：． 题型五、图象问题的简单应用 1.如图所示，一名跳远运动员在助跑后以与地面夹角方向起跳后，其运行的路径近似可以用抛物线来表示，那么该运动员能够跳出的距离约是 米． 2.（24-25九年级下·陕西渭南·开学考试）如图所示，某运动员站在点处推铅球时，铅球在点处出手，点在点的正上方，以地面为轴，运动员站立的位置为坐标原点，建立平面直角坐标系．已知铅球经过的路线满足抛物线．（单位：米） (1)铅球出手时的高度是多少米？ (2)在铅球运动过程中，最高点到地面的距离是多少？此时铅球距离运动员的水平距离为多少？ 3.（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 1．（24-25九年级上·吉林·期中）下列二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   3．（2025·浙江杭州·模拟预测）将抛物线先沿着轴方向向左平移2个单位长度，再沿轴方向向下平移3个单位长度，所得的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南·模拟预测）某拱桥呈抛物线形，水面宽度为8米时，拱顶离水面4米．当水面上升2米后，宽度变为（    ）． A．4米 B．米 C．米 D．6米 5．（2025·广东深圳·三模）如图，坐标平面内，点是抛物线上异于点的任一点，与抛物线的交点记为，现请你考查这一比值，它是否会随着点的位置改变而发生改变？若改变，说明比值变化的规律；若不变，请说出该比值大小．下列对上述问题的回答正确的是（ ） A．改变；该比值会随x的增大而增大 B．改变；该比值会随的增大而减小 C．不变；比值大小为2 D．不变；比值大小为 6．（24-25九年级上·福建莆田·期中）抛物线的顶点坐标为 ． 7．（24-25九年级上·河南南阳·期末）若一个二次函数的图象经过、、三点，则这个二次函数的表达式为 ． 8．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为 ． 9．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ． 10．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则a的取值范围是 ． 11．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： (1)； (2)． 12．（2025·河南周口·二模）如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 13．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知抛物线（为常数）． (1)若点在该抛物线上，求的值； (2)若该抛物线的顶点坐标是，求关于的函数解析式． 14．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）实心球是中考体育项目之一，在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面，实心球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，实心球距出手点的水平距离为．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系． (1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的函数表达式． (2)若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分． 6 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次函数的图象 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数顶点式反映的图象特征（常考点） 1 题型二、转化二次函数顶点式 2 题型三、图象的平移等变换（重点） 5 题型四、待定系数法求二次函数表达式（常考点） 8 题型五、图象问题的简单应用（重点） 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数顶点式反映的图象特征 1.（24-25九年级上·广东江门·期中）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式方程，可以直接确定其对称轴． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故选：A． 2.（2025九年级上·全国·专题练习）抛物线经过的象限是 ． 【答案】第三、四象限 【分析】本题考查了二次函数的性质，会用顶点式求顶点，对称轴以及与y轴交点坐标， 准确判断抛物线的顶点、对称轴、开口方向、与y轴的交点. 根据函数的大致图象判断抛物线的位置，判断出所经过的象限. 【详解】由抛物线可知开口向下，顶点为，对称轴是， 与y轴交点是， 所以过第三、四象限，不经过第一、二象限. 故答案为：第三、第四象限. 3.（24-25八年级下·广西南宁·期末）抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．由抛物线的解析式为顶点式，可直接得答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为：， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 4.（23-24九年级上·全国·课后作业）指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【分析】根据二次函数的图象与性质即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 向上 直线 向上 直线 向下 直线 题型二、转化二次函数顶点式 1.（24-25九年级上·青海西宁·期中）将二次函数化为顶点式 ，其顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数一般式，顶点式，顶点坐标的计算，掌握配方法的运用是关键． 运用配方法将一般式化为顶点式，根据顶点式的特点求解即可． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 故答案为：①；② ． 2.（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）将化成的形式为 ． 【答案】 【分析】考查二次函数一般式和顶点式之间的转化，掌握它们的转化方法是解题的关键． 首先提取二次项系数，进而利用配方法写出顶点式形式． 【详解】解： ， 故答案为：． 3.（24-25九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线的解析式为，求抛物线的该顶点坐标． 下面是嘉琪同学用配方法求顶点坐标的过程： 解： 顶点坐标为． 判断嘉琪的解答过程是否正确吗，如果正确，请在方框内打“√”；如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程． 【答案】×，过程见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，解决的关键是要正确的配方．用配方法把二次函数变成顶点式，求出顶点即可． 【详解】解：嘉琪的解答不正确．故在方框内打“×”； 正确的解答过程为： 顶点坐标为 4.（24-25九年级上·山东滨州·期中）用描点法画出二次函数的图象，列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 15 m n 5 … (1)填空：表中________，________； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象．    (3)用配方法将化成的形式． 【答案】(1)5； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了函数值的计算，描点法画图象及配方法，熟练掌握计算方法，会画函数图象是解题的关键． （1）根据解析式，计算函数值即可； （2）利用描点法画图象的基本步骤解答即可； （3）利用配方法计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故当时，； 当时，； （2）解：根据题意，画图象如下：    （3）解：． 5.（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）已知二次函数，解答下列问题： (1)用配方法求其图象的顶点坐标； (2)填空： ①若点在其图象上，则线段的长为______； ②要使直线与该抛物线有两个交点，则b的取值范围是______． 【答案】(1) (2)①6；② 【分析】此题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征、配方法求其顶点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据配方法可以求得该函数图象的顶点坐标； （2）①把代入二次函数解析式，可求得的值，从而可以求得线段的长；②根据二次函数的开口方向、顶点坐标及直线y＝b与该抛物线有两个交点，即可求得b的取值范围． 【详解】（1）∵， ∴顶点坐标为； （2）①当时，， 解得， ∴． 故答案为：6； ②∵， ∴抛物线开口向下， ∵顶点坐标， ∴当时，直线与该抛物线有两个交点， 故答案为：． 题型三、图象的平移等变换 1.（2025·山西吕梁·三模）将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减的法则是解题的关键． 根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”逐步求解． 【详解】将抛物线向左平移3个单位所得抛物线解析式为：，即； 再向下平移2个单位为：，即， 故选：A． 2.（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与平移变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简单易懂．根据平移确定出抛物线的顶点在新坐标系中的坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线不动，而把x轴、轴分别向上、向右平移2个单位长度， 在新坐标系中抛物线的顶点坐标为， 在新坐标系下抛物线的解析式为， 故选：B． 3.（24-25九年级上·福建福州·期末）将抛物线沿轴翻折，则变换后抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，点关于x轴对称的特点：两点x坐标相同，y坐标互为相反数是解题的关键． 先由抛物线解析式得到抛物线开口方向和顶点坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特征求得翻折后的抛物线顶点坐标，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴抛物线沿轴翻折后，开口向上，顶点坐标为 ∴抛物线沿轴翻折后解析式为， 故选：D． 4.（2025九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线． （1）a的值为 ． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的解析式为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了抛物线的对称轴的计算公式，抛物线的平移的知识， 掌握抛物线对称轴的计算公式是解答本题的关键． (1)将二次函数解析式化为一般式，再根据对称轴公式计算即可； (2)代入，得到抛物线解析式，结合解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式. 【详解】（1）． 函数图象的对称轴为直线， ， ． （2）由（1）知，， 二次函数的解析式为， 抛物线向下平移3个单位长度后经过原点， 平移后图象所对应的二次函数的解析式为． 5.（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）已知二次函数，则它关于y轴的对称图像的解析式为 【答案】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，根据题意确定顶点坐标关于y轴的对称点为，然后利用顶点式即可求解 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， ∴顶点坐标关于y轴的对称点为，开口方向与原开口方向一致， ∴对应的函数关系式为， 故答案为： 6.将二次函数y＝－2(x－1)2 ＋3的图象关于原点作对称变换，则对称后得到的二次函数的解析式为 ． 【答案】y＝2(x＋1)2 －3 【分析】根据关于原点对称点的特点，可得答案． 【详解】解：y=−2(x−1)2+3的顶点坐标为(1，3)， 故变换后的抛物线为y=2(x+1)2−3， 故答案为y=2(x+1)2−3 7.（2025·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标； (2)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位，图象恰好经过点，求的值． 【答案】(1)对称轴为直线．顶点的坐标为． (2) 【分析】主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． （1）将点代入函数解析式求出，即可得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求解； （2）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴． 解得：． ∴二次函数的解析式为． ∴对称轴为直线．顶点的坐标为． （2）解：二次函数的解析式化为． ∵把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位， ∴平移后新二次函数的解析式为． ∵平移后图图象经过点， ∴． 解得：． 题型四、待定系数法求二次函数表达式 1.（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若二次函数的图像过点和，且顶点为，则 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，正确设出二次函数的解析是解题的关键．根据题意可设二次函数的顶点式，再用待定系数法即可求得． 【详解】解：设二次函数顶点式， 顶点为， 二次函数的图像过点， ． 故答案为：． 2.（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）二次函数中的和满足下表，则的值为 ． x … 0 1 2 3 … y … m … 【答案】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式的步骤． 通过表格中的数据可以求出二次函数的表达式，再将代入函数解析式，求得的值． 【详解】解：将代入得， 解得， 二次函数的解析式为， 当时，， 故答案为：． 3.（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）已知二次函数，函数值与自变量之间的部分对应值如表： … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)当时，直接写出函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）任取两组数据代入计算即可； （2）将原表达式化为顶点式，可知当时，取得最大值2，由表格可知，当时取得最小值，即可求出函数值的取值范围． 【详解】（1）将、代入得： ， 解得， 即； （2）∵， ∴当时，取得最大值2， 由表可知当时，当时， 即当时取得最小值， ∴当时，． 4.（24-25九年级上·广东江门·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点， (1)求此二次函数的解析式； (2)求、点坐标， (3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求抛物线与坐标轴的交点，根据函数图象求不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）设抛物线解析式为，代入，求得的值，即可求解； （2）令，解方程即可求得、点坐标； （3）根据函数图象以及、点的横坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，且图象经过点， ∴设抛物线解析式为 代入，得 解得： ∴ （2）解：当时， 解得： ∴， （3）解：∵， 根据函数图象可得，当函数值时，自变量的取值范围为． 5.（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知抛物线 (1)抛物线的对称轴为直线，且经过点 ①求抛物线的函数表达式． ②若点，都在此抛物线上，求m的值． (2)若点落在此抛物线上，求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）①利用待定系数法求解即可； ②利用抛物线的对称性求得c的值，然后把A的坐标代入解析式即可求得m的值； （2）点代入解析式，然后通过化简计算得出b关于a的表达式，进而证明． 【详解】（1）解：①抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； ②∵点，都在此抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵点落在此抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型五、图象问题的简单应用 1.如图所示，一名跳远运动员在助跑后以与地面夹角方向起跳后，其运行的路径近似可以用抛物线来表示，那么该运动员能够跳出的距离约是 米． 【答案】 【分析】令解析式中，即可求解． 【详解】解：依题意，令中，， 即 解得：（舍去） 故答案为：． 2.（24-25九年级下·陕西渭南·开学考试）如图所示，某运动员站在点处推铅球时，铅球在点处出手，点在点的正上方，以地面为轴，运动员站立的位置为坐标原点，建立平面直角坐标系．已知铅球经过的路线满足抛物线．（单位：米） (1)铅球出手时的高度是多少米？ (2)在铅球运动过程中，最高点到地面的距离是多少？此时铅球距离运动员的水平距离为多少？ 【答案】(1)铅球出手时的高度是米 (2)在铅球运动过程中，最高点到地面的距离是米，此时铅球距离运动员的水平距离为米 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数与坐标轴的交点，二次函数一般式化为顶点式是解题的关键． （1）根据题意解方程即可得到结论； （2）把化成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，令，则， ∴， ∴， 答：铅球出手时的高度是米； （2）解：， 答：在铅球运动过程中，最高点到地面的距离是米，此时铅球距离运动员的水平距离为米． 3.（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 【答案】(1) (2)6米 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：当时，， 解得，， ∴当船的宽度小于米时，船能安全穿过桥洞． 1．（24-25九年级上·吉林·期中）下列二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由题意可得二次项系数，据此判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同， ∴二次项系数， 故选：． 2．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像，掌握二次函数图像的特征是解题的关键．根据二次函数的顶点式即可判断大致图像． 【详解】解：二次函数的顶点式为， ，顶点坐标为， 二次函数图像是开口向上，以顶点坐标为的抛物线， 故选：D． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）将抛物线先沿着轴方向向左平移2个单位长度，再沿轴方向向下平移3个单位长度，所得的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据函数图象“左加右减，上加下减”可得答案． 【详解】解：原抛物线为向左平移2个单位得到，再向下平移3个单位得到， 故选：B． 4．（2025·湖南·模拟预测）某拱桥呈抛物线形，水面宽度为8米时，拱顶离水面4米．当水面上升2米后，宽度变为（    ）． A．4米 B．米 C．米 D．6米 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，由题意得，，利用待定系数法可得到，再求出时，x的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为， 由题意得，， 把代入到中得：，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，解得， ∵， ∴当水面上升2米后，宽度变为米， 故选：B． 5．（2025·广东深圳·三模）如图，坐标平面内，点是抛物线上异于点的任一点，与抛物线的交点记为，现请你考查这一比值，它是否会随着点的位置改变而发生改变？若改变，说明比值变化的规律；若不变，请说出该比值大小．下列对上述问题的回答正确的是（ ） A．改变；该比值会随x的增大而增大 B．改变；该比值会随的增大而减小 C．不变；比值大小为2 D．不变；比值大小为 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题．假设设，写出直线的解析式，代入另一个抛物线，求得坐标，从而可以求得． 【详解】解：设， 直线的解析式为：， 代入抛物线，， 或， ， 是的中点， ， 即比值不变，恒为 故选：C． 6．（24-25九年级上·福建莆田·期中）抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数顶点坐标，掌握顶点坐标的确定方法是解题的关键． 根据二次函数的性质求顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·河南南阳·期末）若一个二次函数的图象经过、、三点，则这个二次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．设二次函数的解析式为，把、、三点代入解析式求解即可． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 把、、三点代入得 ， 解得． 则抛物线解析式为． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象的轴对称与解析式的关系，关键是明确顶点的对称以及抛物线开口方向的变化．先求得原抛物线顶点坐标关于轴对称的坐标，根据开口方向和大小不变，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，开口向下 该抛物线关于轴对称后的新抛物线的顶点坐标为，开口向下 该抛物线关于轴对称后的新抛物线表达式为 故答案为：． 9．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质，并运用分类讨论的思想是解题的关键．分，时，由点A，B和抛物线的位置结合图象求解． 【详解】解：当时，抛物线开口向下，此时抛物线与线段没有交点，不合题意； 当时，若抛物线与线段只有一个公共点，如图所示： ∴由图象可知：需满足当时，且当时，， 即， 解得， 故答案为． 11．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： (1)； (2)． 【答案】(1)开口方向：向上；对称轴：直线；顶点： (2)开口方向：向下；对称轴：直线；顶点： 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，理解二次函数的性质是解题的关键． （1）根据直接判断开口方向，根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标； （2）根据直接判断开口方向，根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的开口向上， ， 抛物线的对称轴为：直线；顶点坐标是：； （2）解：∵， ∴抛物线的开口向下， 抛物线对称轴为：直线；顶点坐标是：． 12．（2025·河南周口·二模）如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式； （1）采用待定系数法进行求解即可； （2）令，求出点A的坐标为及，根据当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴ 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，， 解得，， ∴点A的坐标为，， 当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点， ∴． 13．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知抛物线（为常数）． (1)若点在该抛物线上，求的值； (2)若该抛物线的顶点坐标是，求关于的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，熟练掌握顶点坐标公式是解此题的关键． （1）将点的坐标代入抛物线表达式求解即可； （2）将b看作已知数，对原函数表达式转化为顶点式，可得m、n关于b 的关系式，进一步即可得出结果． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：； （2）解：抛物线，因此：， ， 故． 14．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）实心球是中考体育项目之一，在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面，实心球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，实心球距出手点的水平距离为．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系． (1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的函数表达式． (2)若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分． 【答案】(1) (2)小军第一次投掷实心球不能得满分 【分析】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，将代入解得a即可； （2）令，解得x，与比较即可； 【详解】（1）解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得． ∴第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为； （2）解：令， 解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为． ∵，即， ∴， ∴小军第一次投掷实心球不能得满分．． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$