专题14.4 三边证全等（SSS）（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

专题14.4 三边证全等 教学目标 1. 掌握全等三角形中的SSS判定全等的定义和方法，能够根据题目的已知条件熟练的选择应用。 教学重难点 1. 重点 （1）“边边边（SSS）”证全等。 2. 难点 （1）添加条件形成“SSS”的全等判定方法； （2）用“SSS”证明全等。 知识点01 边边边（SSS）判定全等 1. 边边边（SSS）的概念： 若两个三角形的 三条边 分别对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SSS）。 【即学即练1】 1．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，要利用“SSS”判定△ABC≌△DEF，则还需添加的条件为（　　） A．BF＝CF B．BF＝CE C．CF＝CE D．∠A＝∠D 【答案】B 【解答】解：∵△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF， ∴利用“SSS”判定△ABC≌△DEF的条件是BC＝EF，即添加BF＝EC． 故选：B． 【即学即练2】 2．如图，AC＝AD，BC＝BD，这样可以证明△ABC≌△ABD．其依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 【答案】A 【解答】证明：在△ABC和△ABD中， ， ∴△ABC≌△ABD（SSS）， ∴证明△ABC≌△ABD，其依据是SSS． 故选：A． 【即学即练3】 3．如图，A，B，C，D四点共线，AB＝CD，CF＝BE，AF＝DE． 求证：△ACF≌△DBE． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵A，B，C，D四点共线，AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， ∵AC＝AB+BC，DB＝CD+BC， ∴AC＝DB， 在△ACF和△DBE中， ， ∴△ACF≌△DBE（SSS）． 题型01 添加条件形成SSS的全等判定方法 【典例1】如图，△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用SSS证明△ACE和△BDF全等需要增加一个条件是（　　） A．AB＝BC B．DC＝BC C．AB＝CD D．以上都不对 【答案】C 【解答】解：在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF， A，当AB＝BC时，得不到AC＝BD，故不能利用“SSS”证明△ACE≌△BDF，不符合题意； B，当DC＝BC时，得不到AC＝BD，故不能利用“SSS”证明△ACE≌△BDF，不符合题意； C，当AB＝CD时，则AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，故能利用“SSS”证明△ACE≌△BDF，符合题意； D，不符合题意； 故选：C． 【变式1】如图，已知AB＝AC，AE＝AD，要利用“SSS”推理得出△ABD≌△ACE，还需要添加的一个条件是（　　） A．∠B＝∠C B．BD＝CE C．∠BAD＝∠CAE D．以上都不对 【答案】B 【解答】解：当BD＝CE时， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SSS）， 故选：B． 【变式2】如图，已知AC＝DB，要用“SSS”判定△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是　AB＝DC　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵全等三角形的判定“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等， ∴当△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SSS）， 故答案为：AB＝DC． 【变式3】7．如图，在△ABC和△FED中，若AC＝FD，BC＝ED，则下面4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，能利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等的是（　　） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【解答】解：如果添加条件①AE＝FB， 则AE+BE＝FB+BE， ∴AB＝FE， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SSS）， 故添加条件①可以利用SSS判定△ABC和△FED全等； 如果添加条件②AB＝FE， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SSS）， 故添加条件②可以利用SSS判定△ABC和△FED全等； 如果添加条件③AE＝BE，不能得出AB＝FE， 故添加条件③不可以利用SSS判定△ABC和△FED全等； 如果添加条件④BF＝BE，不能得出AB＝FE， 故添加条件④不可以利用SSS判定△ABC和△FED全等． 综上所述：添加条件①或②可以利用SSS判定△ABC和△FED全等． 故选：A． 题型02 判定全等的依据—SSS 【典例1】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【解答】解：在△AEG和△AFG中， ， ∴△AEG≌△AFG（SSS）， 故选：D． 【变式1】如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，过点A，C画一条射线AE，利用全等三角形的性质就能说明射线AE是这个角的平分线，这里判定△ABC和△ADC是全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 【答案】A 【解答】解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴AC就是∠DAB的平分线． 故选：A． 【变式2】工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 【答案】A 【解答】解：由题意可得， OC＝OD，MC＝MD， 又∵OM＝OM， ∴△OMC≌△OMD（SSS）， 故选：A． 【变式3】如图，点O是∠ABC的边BA上任意一点．下面是“过点O作OM∥BC”的尺规作图过程：①以点B为圆心，适当的长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②以点O为圆心，线段BD的长为半径画弧，交OA于点F；③以点F为圆心，线段DE的长为半径画弧，交前弧于点M，作直线OM，则OM即为所求． 上述方法通过判定△BDE≌△OFM得到∠AOM＝∠B，进而得到OM∥BC，其中判定△BDE≌△OFM的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【解答】解：由作图痕迹，得BE＝BD＝OF＝OM，DE＝FM， 在△BDE和△OFM中， ， ∴△BDE≌△OFM（SSS）， 故选：A． 题型03 用SSS判定全等 【典例1】如图，已知点A，E，F，D在同一条直线上，AF＝DE，BE＝CF，AB＝CD．求证：△ABE≌△DCF． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵AF＝DE， ∴AE＝DF， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SSS）． 【变式1】已知：如图，AC＝BD，AD＝BC，求证：△ABC≌△BAD． 【答案】证明过程见解答． 【解答】证明：在△ABC和△BAD中， ， ∴△ABC≌△BAD（SSS）． 【变式2】如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AE＝CF，BF＝DE． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：AD＝BC． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）证明见解答过程． 【解答】证明：（1）∵BF＝DE， ∴BE+EF＝DF+EF， ∴BE＝DF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SSS）； （2）由（1）可知：△ABE≌△CDF， ∴∠AEB＝∠CFD， ∵∠AEB+∠AED＝180°，∠CFD+∠BFC＝180°， ∴∠AED＝∠BFC， 在△AED和△BFC中， ， ∴△AED≌△BFC（SAS）， ∴AD＝BC． 【变式3】如图，点E，C在线段BF上，AB＝DE，BE＝CF，AC＝DF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠B＝45°，∠F＝85°，求∠A的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即BC＝EF， ∴在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． （2）解：∵△ABC≌△DEF，∠B＝45°，∠F＝85°， ∴∠ACB＝∠F＝85°， ∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝50°． 1．如图，AB＝CD，AC＝DB，若要用“SSS”证明△ABC≌△DCB，则还需要添加的条件是（　　） A．AE＝DE B．BE＝EC C．DE＝BE D．不需要添加 【答案】D 【解答】解：由公用边BC和CB相等，可证△ABC≌△DCB（SSS）， ∴不需要添加条件， 故选：D． 2．如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（　　） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【解答】解：由题意可得，要用SSS进行△ABC和△FED全等的判定，需要AB＝FE， 若添加①AE＝FB，则可得AE+BE＝FB+BE，即AB＝FE， 故①可以； 若添加AB＝FE，则可直接证明两三角形的全等，故②可以． 若添加AE＝BE，或BF＝BE，均不能得出AB＝FE，不可以利用SSS进行全等的证明，故③④不可以． 故选：A． 3．如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆AB＝AC，点E，F分别为AB，AC中点，ED，FD是连接立杆和支撑杆的支架，且ED＝FD．立杆在伸缩过程中，总有∠EAD＝∠FAD，其判定依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解答】解：∵点E，F分别为AB，AC中点， ∴AEAB，AFAC， ∵AB＝AC， ∴AE＝AF， 在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（SSS）， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴判定△AED≌△AFD的依据是SSS． 故选：B． 4．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合．过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．这种方法是通过判定△MOC≌△NOC得到∠MOC＝∠NOC，其中判定△MOC≌△NOC的依据是（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解答】证明：在△MOC和△NOC中， ， ∴△MOC≌△NOC（SSS）， ∴判定△MOC≌△NOC的依据是三边分别相等的两个三角形全等． 故选：A． 5．“三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量就知道∠DEH＝∠DFH，则她判定两个三角形全等的方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【解答】解：在△DEH和△DFH中 ， ∴△DEH≌△DFH（SSS）， ∴∠DEH＝∠DFH， 故选：A． 6．根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（　　） A．如图1，线段AD与BC相交于点O，AO＝DO，BO＝CO，△ABO与△DCO B．如图2，AC＝AD，BC＝BD，△ABC与△ABD C．如图3，线段AC、BD相交于点E，已知AB＝DC，BE＝CE，∠AEB＝∠DEC，△ABE与△DCE D．如图4，已知∠CAB＝∠DBA，∠1＝∠2，△ABC与△BAD 【答案】C 【解答】解：如图1，在△ABO和△DCO中， ， ∴△ABO≌△DCO（SAS）， 故A不符合题意； 如图2，在△ABC和△ABD中， ， ∴△ABC≌△ABD（SSS）， 故B不符合题意； 如图3，∵AB＝DC，BE＝CE，∠AEB＝∠DEC不符合全等三角形判定定理的条件， ∴不能判断△ABE与△DCE全等， 故C符合题意； 如图4，在△ABC和△BAD中， ， ∴△ABC≌△BAD（ASA）， 故D不符合题意， 故选：C． 7．如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，∠A＝82°，∠DEF＝28°，则∠F的度数为（　　） A．28° B．54° C．70° D．82° 【答案】C 【解答】解：∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴∠D＝∠A＝82°， ∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠DEF＝70°， 故选：C． 8．如图，AB＝AC，BD＝CD，∠BAC＝70°，∠ADB＝120°，则∠C的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．55° 【答案】A 【解答】解：在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠ADC＝∠ADB＝120°，， ∴∠C＝180°﹣∠ADC﹣∠CAD＝25°． 故选：A． 9．如图，已知四边形OABC与四边形O′A′B′C′，小华在OA，O′A′上分别取点D，D′，使OD＝O′D′，在OC，O′C′上分别取点E，E′，使OE＝O′E′．为判断∠AOC与∠A′O′C′的大小关系，应比较（　　） A．线段CD与C′D′的长 B．线段DE与D′E′的长 C．线段CE与C′E′的长 D．线段OB与O′B′的长 【答案】B 【解答】解：连接DE，D'E'，如图所示： 当DE＝D'E'时，△ODE≌△O'D'E'，理由如下： 在△ODE和△O'D'E'中， OD＝O′D′，OE＝O′E′，DE＝D'E'， ∴△ODE≌△O'D'E'（SSS）， ∴∠AOC＝∠A′O′C′， ∴要判断∠AOC与∠A′O′C′的大小关系，线段DE与D′E′的长即可， 当DE＝D'E'时，∠AOC＝∠A′O′C′， 当DE＞D'E'时，∠AOC＞∠A′O′C′， 当DE＜D'E'时，∠AOC＜∠A′O′C′． 故选：B． 10．如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，连接BD、DE．若AB＝EB，AD＝ED，∠A＝80°，∠BDC＝110°，则∠C的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝80°，∠BDC＝110°， ∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝110°﹣80°＝30°， 在△ABD和△EBD中， ， ∴△ABD≌△EBD（SSS）， ∴∠ABD＝∠EBD＝30°， ∴∠C＝180°﹣∠EBD﹣∠BDC＝180°﹣30°﹣110°＝40°， 故选：B． 11．如图，AB＝CD，AC＝BD，且AC交BD于点O，在原图形的基础上，要利用“SSS”证△AOB≌△DOC，可以添加的条件是 　OA＝OD　 ．（写出一个即可） 【答案】OA＝OD． 【解答】解：∵AC＝BD， 若OA＝OD，则可得OB＝OC， ∴可利用SSS证明△AOB≌△DOC． 故答案为：OA＝OD． 12．如图，AC＝AD，BC＝BD，∠CAB＝20°，则∠DAB的度数为　20°　 ． 【答案】20°． 【解答】解：在△ACB和△ADB中， ， ∴△ACB≌△ADB（SSS）， ∴∠CAB＝∠DAB＝20°， 故答案为：20°． 13．如图，在△ABC的上方有一点D，连接AD，CD，AB＝AD，CB＝CD，∠BCD＝50°，则∠ACB的度数为 　25　 °． 【答案】25． 【解答】解：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， 又∠BCD＝50°， ∴， 故答案为：25． 14．平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，1），若AO＝BO且AO⊥BO，则点B的坐标为　（1，2）或（﹣1，﹣2）　 ． 【答案】（1，2）或（﹣1，﹣2）． 【解答】解：如图，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D， ∴∠ACO＝∠BDO＝90°， ∵AO⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∴∠AOC+∠OAC＝∠AOC+∠BOD， ∴∠OAC＝∠BOD， 在△AOC与△OBD中， ， ∴△AOC≌△OBD（AAS）， ∴AC＝OD，OC＝BD， ∵点A（﹣2，1）， ∴AC＝OD＝1，OC＝BD＝2， ∴B（1，2）或（﹣1，﹣2）． 故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）． 15．如图，A，C，B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，有如下结论： ①△ACE≌△DCB；②∠DAE＝∠ABD；③AC＝DN；④EM＝BN． 其中正确结论的是（填序号）　①②④　 ． 【答案】①②④． 【解答】解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形， ∴AC＝DC，EC＝BC，∠ADC＝∠ACD＝∠BCE＝60°， ∴∠ACE＝∠DCB＝60°+∠DCE， 在△ACE和△DCB中， ， ∴△ACE≌△DCB（SAS）， 故①正确； ∴∠CEA＝∠ABD， ∵A，C，B三点在同一条直线上， ∴∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝60°， ∴∠ADC＝∠DCE，∠MCE＝∠NCB， ∴AD∥CE， ∴∠DAE＝∠CEA， ∴∠DAE＝∠ABD， 故②正确； 在△MCE和△NCB中， ， ∴△MCE≌△NCB（ASA）， ∴CM＝CN，EM＝BN， 故④正确； ∴△MCN是等边三角形， ∴∠CNM＝60°， ∴∠DNC＞60°， ∴∠DNC＞∠DCN， ∴DC≠DN， ∴AC≠DN， 故③错误， 故答案为：①②④． 16．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵AD＝BE， ∴AD+DB＝BE+DB， ∴AB＝DE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． 17．如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB． 求证：△DEF≌△ABC． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵DA＝EB， ∴DE＝AB， 在△DEF和△ABC中， ， ∴△DEF≌△ABC（SSS）． 18．如图，已知点A和点B的坐标分别为（2，﹣3）和（﹣2，1） （1）在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）点C的坐标为 　（3，1）　 ； （3）网格中存在格点D，使得△CBD≌△BCA，请写出所有符合条件的点D的坐标． 【答案】（1）图见解析； （2）（3，1）； （3）（﹣1，﹣3）或（﹣1，5）或（2，5）． 【解答】解：（1）如图所示： （2）C（3，1）； 故答案为：（3，1）； （3）使得△CBD≌△BCA，点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（﹣1，5）或（2，5）． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC上两点，连结AD，AE，且AD＝AE．求证：BD＝CE． 针对这道题目，三位同学进行了如下讨论： 小明：“可以通过证明△ABD≌△ACE得到．” 小华：“可以通过证明△ABE≌△ACD得到．” 小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． 【答案】证明见解析． 【解答】解：选择小明的方法完成证明，理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∴180°﹣∠ADE＝180°﹣∠AED， ∴∠ADB＝∠AEC， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（AAS）， ∴BD＝CE． 20．如图，△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8cm，BC＝6cm，点D为AB边上的点，且AD＝BD．点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以a cm/s的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）． （1）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （2）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a是多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 【答案】（1）△BPD≌△CQP，理由见解析； （2）． 【解答】解：（1）△BPD≌△CQP，理由如下： 由题意可得： ∴a＝2， ∴当t＝1时，PB＝CQ＝2， ∴PC＝6﹣2＝4， ∵∠B＝∠C， ∴AC＝AB＝8， ∵AD＝BD， ∴， ∴BD＝PC＝4， 在△BPD和△CQP中， ， ∴△BPD≌△CQP（SAS）． （2）由题意可得：PB≠CQ， ∵△BPD与△CQP全等，且∠B＝∠C， ∴△DBP≌△QCP， ∴BP＝PC＝3，CQ＝BD＝4， ∵BP＝2t＝3，CQ＝at＝4， ∴， ∴， 解得， ∴当时，能够使△BPD与△CQP全等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.4 三边证全等 教学目标 1. 掌握全等三角形中的SSS判定全等的定义和方法，能够根据题目的已知条件熟练的选择应用。 教学重难点 1. 重点 （1）“边边边（SSS）”证全等。 2. 难点 （1）添加条件形成“SSS”的全等判定方法； （2）用“SSS”证明全等。 知识点01 边边边（SSS）判定全等 1. 边边边（SSS）的概念： 若两个三角形的 分别对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SSS）。 【即学即练1】 1．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，要利用“SSS”判定△ABC≌△DEF，则还需添加的条件为（　　） A．BF＝CF B．BF＝CE C．CF＝CE D．∠A＝∠D 【即学即练2】 2．如图，AC＝AD，BC＝BD，这样可以证明△ABC≌△ABD．其依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 【即学即练3】 3．如图，A，B，C，D四点共线，AB＝CD，CF＝BE，AF＝DE． 求证：△ACF≌△DBE． 题型01 添加条件形成SSS的全等判定方法 【典例1】如图，△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用SSS证明△ACE和△BDF全等需要增加一个条件是（　　） A．AB＝BC B．DC＝BC C．AB＝CD D．以上都不对 【变式1】如图，已知AB＝AC，AE＝AD，要利用“SSS”推理得出△ABD≌△ACE，还需要添加的一个条件是（　　） A．∠B＝∠C B．BD＝CE C．∠BAD＝∠CAE D．以上都不对 【变式2】如图，已知AC＝DB，要用“SSS”判定△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是　 　 ． 【变式3】7．如图，在△ABC和△FED中，若AC＝FD，BC＝ED，则下面4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，能利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等的是（　　） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 题型02 判定全等的依据—SSS 【典例1】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【变式1】如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，过点A，C画一条射线AE，利用全等三角形的性质就能说明射线AE是这个角的平分线，这里判定△ABC和△ADC是全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 【变式2】工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 【变式3】如图，点O是∠ABC的边BA上任意一点．下面是“过点O作OM∥BC”的尺规作图过程：①以点B为圆心，适当的长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②以点O为圆心，线段BD的长为半径画弧，交OA于点F；③以点F为圆心，线段DE的长为半径画弧，交前弧于点M，作直线OM，则OM即为所求．上述方法通过判定△BDE≌△OFM得到∠AOM＝∠B，进而得到OM∥BC，其中判定△BDE≌△OFM的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 题型03 用SSS判定全等 【典例1】如图，已知点A，E，F，D在同一条直线上，AF＝DE，BE＝CF，AB＝CD．求证：△ABE≌△DCF． 【变式1】已知：如图，AC＝BD，AD＝BC，求证：△ABC≌△BAD． 【变式2】如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AE＝CF，BF＝DE． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：AD＝BC． 【变式3】如图，点E，C在线段BF上，AB＝DE，BE＝CF，AC＝DF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠B＝45°，∠F＝85°，求∠A的度数． 1．如图，AB＝CD，AC＝DB，若要用“SSS”证明△ABC≌△DCB，则还需要添加的条件是（　　） A．AE＝DE B．BE＝EC C．DE＝BE D．不需要添加 2．如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（　　） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 3．如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆AB＝AC，点E，F分别为AB，AC中点，ED，FD是连接立杆和支撑杆的支架，且ED＝FD．立杆在伸缩过程中，总有∠EAD＝∠FAD，其判定依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 4．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合．过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．这种方法是通过判定△MOC≌△NOC得到∠MOC＝∠NOC，其中判定△MOC≌△NOC的依据是（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 5．“三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量就知道∠DEH＝∠DFH，则她判定两个三角形全等的方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 6．根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（　　） A．如图1，线段AD与BC相交于点O，AO＝DO，BO＝CO，△ABO与△DCO B．如图2，AC＝AD，BC＝BD，△ABC与△ABD C．如图3，线段AC、BD相交于点E，已知AB＝DC，BE＝CE，∠AEB＝∠DEC，△ABE与△DCE D．如图4，已知∠CAB＝∠DBA，∠1＝∠2，△ABC与△BAD 7．如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，∠A＝82°，∠DEF＝28°，则∠F的度数为（　　） A．28° B．54° C．70° D．82° 8．如图，AB＝AC，BD＝CD，∠BAC＝70°，∠ADB＝120°，则∠C的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．55° 9．如图，已知四边形OABC与四边形O′A′B′C′，小华在OA，O′A′上分别取点D，D′，使OD＝O′D′，在OC，O′C′上分别取点E，E′，使OE＝O′E′．为判断∠AOC与∠A′O′C′的大小关系，应比较（　　） A．线段CD与C′D′的长 B．线段DE与D′E′的长 C．线段CE与C′E′的长 D．线段OB与O′B′的长 10．如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，连接BD、DE．若AB＝EB，AD＝ED，∠A＝80°，∠BDC＝110°，则∠C的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 11．如图，AB＝CD，AC＝BD，且AC交BD于点O，在原图形的基础上，要利用“SSS”证△AOB≌△DOC，可以添加的条件是 　 　 ．（写出一个即可） 12．如图，AC＝AD，BC＝BD，∠CAB＝20°，则∠DAB的度数为　 　 ． 13．如图，在△ABC的上方有一点D，连接AD，CD，AB＝AD，CB＝CD，∠BCD＝50°，则∠ACB的度数为 　 　 °． 14．平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，1），若AO＝BO且AO⊥BO，则点B的坐标为　 　 ． 15．如图，A，C，B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，有如下结论： ①△ACE≌△DCB；②∠DAE＝∠ABD；③AC＝DN；④EM＝BN． 其中正确结论的是（填序号）　 　 ． 16．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF． 17．如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB． 求证：△DEF≌△ABC． 18．如图，已知点A和点B的坐标分别为（2，﹣3）和（﹣2，1） （1）在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）点C的坐标为 　 　 ； （3）网格中存在格点D，使得△CBD≌△BCA，请写出所有符合条件的点D的坐标． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC上两点，连结AD，AE，且AD＝AE．求证：BD＝CE． 针对这道题目，三位同学进行了如下讨论： 小明：“可以通过证明△ABD≌△ACE得到．” 小华：“可以通过证明△ABE≌△ACD得到．” 小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． 20．如图，△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8cm，BC＝6cm，点D为AB边上的点，且AD＝BD．点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以a cm/s的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）． （1）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （2）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a是多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 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