第一章 运动的描述 匀变速直线运动的研究（教师用书）-【新高考方案】2026年高考物理一轮总复习（培优进阶版）

第一章　运动的描述　匀变速直线运动的研究 大单元分层教学设计 基础　 落实课 第1讲　描述运动的基本概念 第2讲　匀变速直线运动的规律 第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动 综合　 融通课 第4讲　微专题——运动图像问题 第5讲　微专题——追及、相遇问题 实验　 探究课 第6讲　探究小车速度随时间变化的规律 第1讲　描述运动的基本概念(基础落实课) 一、质点、参考系 1.质点 (1)定义:用来代替物体的有质量的点。 (2)物体看作质点的条件:物体的大小和形状对所研究问题的影响可以忽略。 2.参考系 (1)定义:在描述物体的运动时,用来作为参考的物体。 (2) 选取:可任意选取,对同一物体,所选的参考系不同,运动的描述可能会不同,通常以地面为参考系。 二、时间、位移 1.时刻与时间间隔:时刻是事件发生的初、末或过程中的某个瞬间;时间间隔是事件发展的整个或某段过程。 2.位移与路程 定 义 位移 描述物体位置的变化,用由初位置指向末位置的有向线段表示 路程 物体运动轨迹的长度 区别 (1)位移是矢量,方向由初位置指向末位置,运算规则遵循矢量的平行四边形定则 (2)路程是标量,没有方向,运算规则遵循代数运算法则 联系 (1)单向直线运动中,位移的大小等于路程 (2)其他情况下,位移的大小小于路程 三、速度与速率 平均速度 物体的位移与发生这段位移所用时间之比,即v=,是矢量,其方向与位移的方向相同 瞬时速度 运动物体在某一时刻或某一位置的速度,是矢量,方向为该时刻运动方向或沿运动轨迹在该点的切线方向 速率 瞬时速度的大小,是标量 平均速率 物体运动的路程与通过这段路程所用时间的比值 四、加速度 定义 物体速度的变化量与发生这一变化所用时间之比 定义式 a=,单位:m/s2 方向 与Δv的方向一致,由合力的方向决定 物理意义 描述物体速度变化快慢的物理量 微点判断 1.(2023·浙江6月选考,T2A)踢香蕉球时足球可视为质点。 (×) 2.参考系必须选择静止不动的物体。 (×) 3.(教科必修1P6T1·选摘)关于时间间隔与时刻,判断下列说法的正误: ①手表上指针所指的某一位置表示的是时间间隔。 (×) ②作息时间表上的7:40表示的是时刻。 (√) 4.(人教必修1P33T4·改编)关于位移和路程,判断下列说法的正误: ①位移和路程在大小上总相等,只是位移有方向,是矢量,路程无方向,是标量。 (×) ②位移用来描述直线运动,路程用来描述曲线运动。 (×) ③位移是矢量,它取决于物体的始末位置;路程是标量,它取决于物体实际通过的路线。 (√) 5.(鲁科必修1P27T1)子弹射出枪口时的速度是800 m/s,是指平均速度。 (×) 6.(教科必修1P28T1·选摘)判断下列说法的正误: ①物体速度变化的方向一定与其初始速度的方向一致。 (×) ②物体的加速度与速度同向时,其速度一定在增加。 (√) 7.物体的速度变化很大,其加速度也很大。 (×) 逐点清(一)　质点、参考系、时间与位移 |题|点|全|练| 1.[物体看作质点的条件](2024·浙江1月选考)杭州亚运会顺利举行,如图所示为运动会中的四个比赛场景。在下列研究中可将运动员视为质点的是 (　　) A.研究甲图运动员的入水动作 B.研究乙图运动员的空中转体姿态 C.研究丙图运动员在百米比赛中的平均速度 D.研究丁图运动员通过某个攀岩支点的动作 解析:选C　研究甲图运动员的入水动作时,运动员的形状和体积对所研究问题的影响不能够忽略,此时运动员不能够视为质点,故A错误;研究乙图运动员的空中转体姿态时,运动员的形状和体积对所研究问题的影响不能够忽略,此时运动员不能够视为质点,故B错误;研究丙图运动员在百米比赛中的平均速度时,运动员的形状和体积对所研究问题的影响能够忽略,此时运动员能够视为质点,故C正确;研究丁图运动员通过某个攀岩支点的动作时,运动员的形状和体积对所研究问题的影响不能够忽略,此时运动员不能够视为质点,故D错误。 2.[参考系的选取]在“金星凌日”的精彩天象中,观察到太阳表面上有颗小黑影缓慢走过,持续时间达六个半小时,那便是金星,如图所示。下面说法正确的是 (　　) A.地球在金星与太阳之间 B.观测“金星凌日”时可将太阳看成质点 C.以太阳为参考系,金星绕太阳一周位移为零 D.以太阳为参考系,可以认为金星是静止的 解析:选C　当金星运行到太阳与地球之间且三者几乎排成一条直线时,天文学上称为“金星凌日”,故A错误;观测“金星凌日”时不可以将太阳看成质点,故B错误;以太阳为参考系,金星绕太阳做圆周运动,金星绕太阳一周的位移为零,故C正确,D错误。 3.[时刻和时间间隔](2025·佛山高三月考)植保无人机喷洒农药,最快速度达到150亩/小时,可持续工作8小时。下列说法中正确的是 (　　) A.调整无人机在空中的姿态时,可以将无人机看成质点 B.观察无人机飞行速度时,可以选取无人机上的摄像机为参考系 C.“8小时”指的是时刻 D.“8小时”指的是时间间隔 解析:选D　调整无人机在空中的姿态时,无人机的大小和形状不能忽略,不能将无人机看成质点,故A错误;观察无人机的飞行速度时,假如选取无人机上的摄像机作为参考系,无人机是静止的,其相对速度为零,故无法研究无人机的速度,故B错误;“8小时”指的是时间间隔,故C错误,D正确。 4.[位移与路程] (1)(多选)如图为400 m的标准跑道,直道部分AB、CD的长度均为100 m,弯道部分BC、DA是半圆弧,其长度也为100 m,P点为半圆弧BC的中点。B点为 200 m赛跑的起点,经C点到终点D,下列说法正确的是 (　　) A.运动员由B点运动到D点的位移大小为200 m B.运动员由B点运动到D点的路程为200 m C.运动员由C点运动到D点的直线运动阶段,位移就是路程 D.运动员由P点运动到D点的路程为150 m 解析:选BD　跑道半圆弧部分的直径为BC=AD= m,运动员由B点运动到D点的位移大小为x= m= m,故A错误;运动员由B点运动到D点的路程为的长度100 m与CD的长度100 m之和,则路程为200 m,故B正确;运动员由C点运动到D点的直线运动阶段,位移的大小等于路程,但不能说位移就是路程,故C错误;运动员由P点运动到D点的路程为s=+CD=50 m+100 m=150 m,故D正确。 (2)如图所示,桥式起重机主要由可移动“桥架”“小车”和固定“轨道”三部分组成。在某次作业中桥架沿轨道单向移动了8 m,小车在桥架上单向移动了6 m。该次作业中小车相对地面的位移大小为 (　　) A.6 m　　　　　　 B.8 m C.10 m D.14 m 解析:选C　根据题意,桥架移动方向与小车在桥架上移动方向相互垂直。根据平行四边形定则,小车相对地面的位移大小为10 m。 |精|要|点|拨| 对四个概念的进一步理解 (1)质点不同于几何“点”,它无大小但有质量,实际物体能否看成质点是由研究的问题决定的,而不是依据物体自身的大小和形状来判断。 (2)研究任何物体的运动都要明确参考系,无特殊说明时,通常以地面作为参考系。 (3)时刻指的是某一时间点,在时间轴上用一个确定的点表示,对应的物理量是位置、瞬时速度、瞬时加速度等状态量。时间间隔是指两个时刻间的一段间隔,在时间轴上用线段表示,对应的物理量是位移、平均速度、速度变化量等过程量。 (4)位移用来描述物体位置的变化,是由初位置指向末位置的有向线段,应用矢量的平行四边形定则运算;路程由实际的运动路径决定,应用标量的代数运算法则运算。 逐点清(二)　平均速度与瞬时速度 |题|点|全|练| 1.[对平均速度和瞬时速度的理解] (2025·广东汕尾模拟)在某次伐木工攀爬大赛中,伐木工甲和乙同时开始攀爬,伐木工甲率先爬到顶端,结果却是乙第一个返回到出发点,则 (　　) A.向上爬的过程中,经过中点时甲的速度一定大于乙的速度 B.甲在最高点的速度一定大于乙在最高点的速度 C.从顶端返回的过程中,甲的平均速度一定大于乙的平均速度 D.全过程中,甲、乙的平均速度一样大 解析:选D　根据题意无法比较甲、乙在中点时的速度,故A错误;甲、乙在最高点的速度都为零,甲在最高点的速度等于乙在最高点的速度,故B错误;从顶端返回的过程中,甲、乙的位移相等,伐木工甲率先爬到顶端,乙先返回到出发点,说明从顶端返回的过程中,乙所用的时间较短,根据=可知甲的平均速度一定小于乙的平均速度,故C错误;全过程中,甲、乙的位移相等,均为零,故甲、乙的平均速度一样大,故D正确。 2.[瞬时速度的计算] 为了测定气垫导轨上滑块的加速度,滑块上安装了宽度为d=3.0 mm的遮光板,如图所示,滑块在牵引力作用下加速,先后通过两个光电门,配套的数字毫秒计记录了遮光板通过光电门1的时间为Δt1=0.03 s,通过光电门2的时间为Δt2=0.01 s,则遮光板前端通过光电门1和光电门2的瞬时速度分别为 (　　) A.0.10 m/s　0.30 m/s B.0.20 m/s　0.30 m/s C.0.10 m/s　0.20 m/s D.无法计算 解析:选A　遮光板通过光电门1的平均速度v1==0.10 m/s,遮光板通过光电门2的平均速度v2==0.30 m/s,由于遮光板通过光电门1和光电门2的时间很短,故可以将v1和v2视为所求的瞬时速度,A正确。 3.[平均速度与平均速率的比较]一无人机在同一水平面内运动,初始时悬停于空中,开始运动后在5 s内向东沿直线飞行了40 m,接着又经过5 s向北沿直线飞行了30 m,再次悬停。无人机的运动轨迹俯视图如图所示,则无人机在整个飞行过程中 (　　) A.平均速率为5 m/s　 B.平均速率为6 m/s C.平均速度大小为5 m/s D.平均速度大小为7 m/s 解析:选C　无人机在10 s内的路程为s=40 m+30 m=70 m,则10 s内的平均速率为== m/s=7 m/s,A、B错误;由位移的定义可知,无人机在10 s内的位移大小为x= m=50 m,则10 s内的平均速度大小为== m/s=5 m/s,C正确,D错误。 |精|要|点|拨| 1.平均速度和瞬时速度的区别与联系 区 别 (1)平均速度是过程量,表示物体在某段位移或某段时间内的平均运动快慢程度 (2)瞬时速度是状态量,表示物体在某一位置或某一时刻的运动快慢程度 联 系 (1)瞬时速度是运动时间Δt→0时的平均速度 (2)对于匀速直线运动,瞬时速度与平均速度相等 2.平均速度与平均速率的比较 (1)平均速度是位移与时间之比,平均速率是路程与时间之比。 (2)一般情况下,平均速率大于平均速度的大小。 (3)在单向直线运动中,平均速率等于平均速度的大小。 逐点清(三)　加速度 细作1　速度、速度变化量与加速度的关系 1.(2025·长沙高三月考)2024年10月10日,在西昌卫星发射中心,长征三号乙运载火箭点火起飞,成功将卫星互联网高轨卫星03星精准送入预定轨道,发射任务取得圆满成功。下列说法正确的是 (　　) A.火箭的速度越大,加速度越大 B.火箭的速度变化越大,加速度越大 C.火箭的速度变化越快,加速度越大 D.火箭的加速度方向总是与速度的方向相同 解析:选C　火箭的速度大,若速度变化量为零,则加速度为零,故加速度不一定大,故A错误;火箭的速度变化大,若发生速度变化所用的时间很长,则加速度不一定大,故B错误;火箭的速度变化越快,即速度变化率越大,加速度越大,故C正确;根据加速度的定义,火箭的加速度方向总是与速度变化量的方向相同,故D错误。 一点一过　理解加速度注意六个“不一定” (1)速度大,加速度不一定大;加速度大,速度不一定大。加速度和速度的大小没有必然联系。 (2)速度变化量大,加速度不一定大;加速度大,速度变化量不一定大。 (3)加速度为零,速度不一定为零;速度为零,加速度不一定为零。 细作2　物体速度变化规律分析 2.(多选)一个物体做变速直线运动,物体的加速度(方向不变)大小从某一值逐渐减小到零,则在此过程中,关于该物体的运动情况的说法可能正确的是 (　　) A.物体速度不断增大,加速度减小到零时,物体速度达到最大 B.物体速度不断减小,加速度减小到零时,物体速度为零 C.物体速度减小到零后,反向加速再匀速 D.物体速度不断增大,然后逐渐减小 解析:选ABC　物体做变速直线运动,其加速度方向不变,若初速度方向与加速度方向相同,速度不断增大,当加速度减小到零时,速度达到最大,而后做匀速直线运动,A正确;若初速度方向与加速度方向相反,速度不断减小,当加速度减小到零时,物体速度可能恰好为零,也可能当速度减为零时,加速度不为零,然后物体反向做加速直线运动,加速度等于零后,物体做匀速运动,B、C正确,D错误。 一点一过　根据a与v的方向关系判断速度变化 (1)a和v同向(加速直线运动)⇒ (2) a和v反向(减速直线运动)⇒ 细作3　加速度的计算 3.(2025·达州高三月考)高速公路上的避险车道是为了让刹车失灵的车辆冲上做匀减速直线运动从而减少重大交通事故。如图所示,避险车道的斜坡长200 m。某大货车刹车失灵冲上该避险车道,经过10 s沿斜坡向上运动150 m而停止运动,求: (1)该车沿斜坡运动的平均速度大小; (2)该车冲上斜坡时的初速度大小; (3)该车冲上斜坡过程的加速度大小。 解析:(1)根据平均速度公式,可得该车沿斜坡运动的平均速度大小为== m/s=15 m/s。 (2)根据匀变速直线运动的推论= 可知该车冲上斜坡时的初速度大小为 v0=2=30 m/s。 (3)设该车运动方向为正方向,根据加速度的定义式,可知该车冲上斜坡过程的加速度为a==-3 m/s2,加速度的大小为3 m/s2。 答案:(1)15 m/s　(2)30 m/s　(3)3 m/s2 一点一过　计算加速度的步骤及方法 [课时跟踪检测]　 (说明:标★的为推荐讲评题目) 一、单项选择题 1.如图所示是奥运会中的比赛项目,在考查运动员比赛成绩时,可将运动员视为质点的是 (　　) 解析:选D　跳水比赛中要考虑运动员的动作,故不能将其视为质点,故A错误;双杠比赛中要考虑运动员的动作,故不能将其视为质点,故B错误;体操比赛中要考虑运动员的姿态,故不能将其视为质点,故C错误;马拉松比赛中,运动员的大小和体积可以忽略不计,故可以将其视为质点,故D正确。 2.(2025·辽宁盘锦模拟)2024年6月25日14时07分,嫦娥六号返回器携带来自月背的月球样品安全着陆在内蒙古四子王旗预定区域,标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功。这次探月工程,突破了月球逆行轨道设计与控制、月背智能快速采样、月背起飞上升等关键技术,首次获取月背的月球样品并顺利返回。如图是某次嫦娥六号为躲避陨石坑的一段飞行路线,下列说法中正确的是 (　　) A.2024年6月25日14时07分指的是时间间隔 B.研究嫦娥六号着陆过程的技术时可以把它简化成质点 C.嫦娥六号由图中O点到B点的平均速率一定大于此过程的平均速度的大小 D.嫦娥六号变轨飞向环月轨道的过程中,以嫦娥六号为参考系,月球是静止不动的 解析:选C　2024年6月25日14时07分指的是时刻,故A错误;研究嫦娥六号着陆过程的技术时,嫦娥六号的形状、大小不能忽略,不可以把它简化成质点,故B错误;平均速率是指物体的路程和通过这段路程所用时间的比值,平均速度是指物体的位移和通过这段位移所用时间的比值,嫦娥六号由题图中O点到B点的路程大于此过程的位移大小,运动时间相同,故嫦娥六号由题图中O点到B点的平均速率一定大于此过程的平均速度的大小,故C正确;嫦娥六号变轨飞向环月轨道的过程中,以嫦娥六号为参考系,月球是运动的,故D错误。 3.(2025·湖北恩施高三模拟)第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎举行,其中在男子100米自由泳(泳道长50米)决赛中,我国运动员以46秒40的成绩创造了新的奥运会纪录,勇夺该项目冠军,这也是我国游泳队在该项目历史上的第一金。下列说法中正确的是 (　　) A.研究运动员的泳姿时可以将其看作质点 B.运动员全程的位移大小为100 m C.运动员全程的平均速度约为2.16 m/s D.运动员全程的平均速率约为2.16 m/s 解析:选D　研究运动员的泳姿时,不能忽略运动员的大小和形状,故不能将其看作质点,故A错误;根据题意可知运动员的位移为零,则平均速度为零,故B、C错误;平均速率等于路程除以时间,为v=≈2.16 m/s,故D正确。 4.(2025·浙江温州模拟)杭州湾跨海大桥全长36 km,某次节假日大桥全程限速70 km/h。某人驾驶小型汽车通过大桥,全程用时40 min,则 (　　) A.“70 km/h”为平均速度 B.计算行车时间时汽车可视为质点 C.此过程中汽车的位移大小为36 km D.此次驾车过程肯定没有超速行驶 解析:选B　“70 km/h”为瞬时速度,A错误;计算行车时间时,可以忽略汽车的形状和大小,可以将其视为质点,B正确;大桥全长36 km指的是路程,而不是位移,C错误;汽车通过大桥的平均速度== km/h=54 km/h,尽管汽车通过大桥的平均速度小于限速,但无法确定汽车任意时刻的瞬时速度是否都小于限速,故无法确定汽车有无超速行驶,D错误。 5.(2024·江西高考)某物体位置随时间的关系为x=1+2t+3t2,则关于其速度与1 s内的位移大小,下列说法正确的是 (　　) A.速度是刻画物体位置变化快慢的物理量,1 s内的位移大小为6 m B.速度是刻画物体位移变化快慢的物理量,1 s内的位移大小为6 m C.速度是刻画物体位置变化快慢的物理量,1 s内的位移大小为5 m D.速度是刻画物体位移变化快慢的物理量,1 s内的位移大小为5 m 解析:选C　根据速度的定义式v=,表明速度等于位移与时间的比值。位移是物体在一段时间内从一个位置到另一个位置的位置变化量,而时间是这段时间间隔的长度。这个定义强调了速度不仅描述了物体运动的快慢,还描述了物体运动的方向,因此,速度是刻画物体位置变化快慢的物理量。再根据物体位置随时间的关系x = 1+2t+3t2,可知开始时物体的位置x0=1 m,1 s时物体的位置x1=6 m,则1 s内物体的位移为Δx = x1-x0=5 m,故选C。 6.(2025·广州高三模拟)酒店内的智能机器人可以把1楼大厅的外卖送至指定楼层的客房。如图为机器人送餐至9楼的场景。下列说法正确的是 (　　) A.在避开障碍物的过程中,可以把机器人看成质点 B.记录机器人从1楼至9楼的时间,可以把机器人看成质点 C.送餐的全过程,机器人的位移大小可能等于路程 D.若送餐用时625 s,行程50 m,机器人的平均速度大小为0.08 m/s 解析:选B　在避开障碍物的过程中,机器人的大小和形状不可以忽略不计,则不可以把机器人看成质点,故A错误;记录机器人从1楼至9楼的时间,机器人的大小和形状可以忽略不计,则可以把机器人看成质点,故B正确;送餐的全过程,机器人不是沿着直线运动,则机器人的位移大小小于路程,故C错误;不知道机器人的位移大小,则无法求出机器人的平均速度大小,故D错误。 7.在现代的国防军工领域,无人机被广泛运用于侦测、预警和通信等各个方面。在某军区举行的一次军事演习中,甲、乙两架无人机以相同的速度沿同一条水平直线匀速前进,甲在前,乙在后,发现对方后,两架无人机的自动发射系统瞄准对方,同时以相对自身大小为v的速度水平射击对方,忽略发射子弹过程无人机速度的变化,不计空气阻力和子弹的竖直下落,则(两子弹不会相撞) (　　) A.甲先被击中 B.乙先被击中 C.甲不会被击中 D.甲、乙同时被击中 解析:选D　若选择其中一架无人机为参考系,则另一架无人机处于静止状态,则两颗子弹相对甲、乙两架无人机的速度大小都是v,则甲、乙同时被击中。故D正确。 8.(2025·安徽六安高三检测)在一次蹦床比赛中,运动员从高处自由落下,以大小为8 m/s的竖直速度着网,与网作用后,沿着竖直方向以大小为10 m/s的速度弹回,已知运动员与网接触的时间Δt=1.0 s,那么运动员在与网接触的这段时间内加速度的大小和方向分别为 (　　) A.18.0 m/s2,竖直向上 B.10.0 m/s2,竖直向上 C.8.0 m/s2,竖直向下 D.2.0 m/s2,竖直向下 解析:选A　取竖直向上为正方向,则初速度为v0=-8 m/s,末速度为v1=10 m/s,则加速度为a=== m/s2=18 m/s2,方向与正方向相同,即竖直向上。故A正确。 9.(2025·湖南长沙高三检测)一质点以不变的速率v沿半径为R的圆周运动,从经过M点开始,先后经过P、N、Q后回到M点,周而复始,则下列说法正确的是 (　　) A.从M到P过程中的位移与从P到N过程中的位移相同 B.从M到P的过程中,平均速度的大小为v C.从M到N的过程中,速度变化量的大小为2v D.从M到N的过程中,平均加速度的大小为 解析:选C　位移是由初位置指向末位置的有向线段,从M到P过程中的位移与从P到N过程中的位移大小相同,但方向不同,故A错误;从M到P的过程中,平均速度的大小为==,其中t==,解得=,故B错误;在M点与在N点速度相反,则从M到N的过程中,速度变化量的大小为2v,故C正确;从M到N的过程中,平均加速度的大小为===,故D错误。 10.厦门的鼓浪屿是集观光、度假、旅游、购物、休闲、娱乐为一体的综合性海岛风景文化旅游区。“鼓浪屿:国际历史社区”已被列入世界遗产名录。如图为小闵同学在游玩鼓浪屿某段时间内的x⁃t图像。随后小闵沿半径为R的圆进行取景,在t1内绕行1.5圈。由图可知 (　　) A.在0~t0时间内,小闵的行走轨迹为一条曲线 B.在0~t0时间内,小闵的加速度越来越小,行走的平均速度小于 C.取景过程,小闵绕行的平均速率为 D.取景过程中,为实时监测相机的大致位置,可以将小闵与相机视为一个质点 解析:选D　从x⁃t图像可知,在0~t0时间内,小闵一直向着规定的正方向运动,所以其运动轨迹为一条直线,A错误;x⁃t图像的斜率表示物体运动的速度大小,从图像可得,在0~t0时间内,小闵运动的速度越来越小,但无法判断其加速度的变化情况;在0~t0时间内,小闵的平均速度=,故B错误;小闵做圆周运动的平均速率'===,故C错误;取景过程中,小闵做圆周运动,为实时监测相机的大致位置,可以将小闵与相机视为一个质点,故D正确。 二、多项选择题 11.(2025·广东佛山模拟)小明同学乘坐动车时发现,车道旁每隔相同距离会有一根为动车组输电的电线杆,如图甲所示,夕阳照射下电线杆会在前行车厢内留下一个个的阴影,于是他将手机平放在车的窗台上,利用手机内置的光传感器测量动车向正北方向前行时光照强度随时间的变化曲线如图乙所示。查阅资料可知每两根电线杆的间隔为50 m,则下列说法正确的是 (　　) A.0~10 s内动车做减速运动 B.0~16 s内动车做匀加速运动 C.0~10 s内动车的平均速率为25 m/s D.14 s时动车的速率为50 m/s 解析:选CD　由题图乙可知,0~10 s内动车做加速运动,10~16 s内动车做匀速运动,故A、B错误;0~10 s内动车的平均速率为== m/s=25 m/s,14 s时动车的速率为v== m/s=50 m/s,故C、D正确。 12.如图甲所示为速度传感器的工作示意图,P为发射超声波的固定小盒子,工作时P向被测物体发出短暂的超声波脉冲,脉冲被运动的物体反射后又被P接收。从P发射超声波开始计时,经过时间Δt再次发射超声波脉冲。图乙是两次发射的超声波的位移—时间图像,则下列说法正确的是 (　　) A.物体到小盒子P的距离越来越远 B.在两次发射超声波脉冲的时间间隔Δt内,物体通过的位移为x2-x1 C.超声波的速度为 D.物体在t2-t1时间内的平均速度为 解析:选AD　由题图乙可知,第二次超声波传播的最远距离比第一次的大,可知物体到小盒子P的距离越来越远,故A正确;由题图乙可知,物体在t2-t1时间内的位移为x2-x1,该时间内物体的平均速度为=,在Δt时间内物体通过的位移不等于x2-x1,故B错误,D正确;由题图乙可知,超声波的速度为v==,故C错误。 三、计算题 13.(10分)(2025·大连高三月考)某汽车以v0 = 10 m/s的速度在平直道路上匀速行驶。当司机发现前方路口交通信号灯突然变为红灯时,反应t1=1 s后踩下刹车,再经过2 s后汽车的速度减为8 m/s,求: (1)汽车刹车过程加速度的大小;(3分) (2)司机发现信号灯变为红灯后12 s内位移的大小。(7分) 解析:(1)根据加速度的定义式可知 a== m/s2=-1 m/s2 加速度大小为1 m/s2,“-”代表方向与初速度方向相反。 (2)从司机发现信号灯变为红灯到汽车速度减为0的时间t=t1+=11 s<12 s,则12 s内汽车已经停下 反应t1=1 s内汽车的位移为x1=v0t1=10 m 刹车过程的位移为x2==50 m 司机发现信号灯变为红灯后12 s内位移的大小为x=x1+x2=60 m。 答案:(1)1 m/s2　(2)60 m 　　　　　　 第2讲　匀变速直线运动的规律(基础落实课) 1.匀变速直线运动 2.初速度为零的匀加速直线运动的比例关系 (1)1T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比: v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n。 (2)前1T内、前2T内、前3T内、…、前nT内的位移之比:x1∶x2∶x3∶…∶xn=1∶22∶32∶…∶n2。 (3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比:xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN=1∶3∶5∶…∶(2n-1)。 (4)前x内、前2x内、前3x内、…、前nx内的时间之比:t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶∶∶…∶。 (5)第1个x内、第2个x内、第3个x内、…、第n个x内的时间之比:tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn=1∶(-1)∶(-)∶…∶(-)。 微点判断 1.速度逐渐增大的直线运动是匀加速直线运动。 (×) 2.速度与时间的关系式v=v0+at适用于任何直线运动。 (×) 3.速度与时间的关系式v=v0+at既适用于匀加速直线运动,也适用于匀减速直线运动。 (√) 4.做匀变速直线运动的物体的初速度越大,运动时间越长,则物体的末速度一定越大。 (×) 5.(粤教必修1P58T1·改编)物体做匀变速直线运动时,速度大小不断改变,方向一定不变。 (×) 6.做直线运动的物体,一段时间内的平均速度一定等于这段时间内中间时刻的瞬时速度。 (×) 7.(粤教必修1P41T2·选摘)物体做匀加速直线运动,加速度为4 m/s2。判断下列说法的正误: ①任何1 s的初速度比前1 s的初速度大4 m/s。 (√) ②运动中增加的速度与所需的时间成正比,且增加的速度方向始终和加速度方向相同。 (√) 8.匀加速直线运动的位移是均匀增加的。 (×) 9.做匀加速直线运动的物体,在任意两段相等时间内的速度变化量相等。 (√) 10.在匀变速直线运动中,中间时刻的速度一定小于该段时间内位移中点的速度。 (√) 11.做匀减速直线运动直至停止的过程中一共用时nT,则第1个T内、第2个T内、第3个T内…第n个T内的位移之比为(2n-1)∶…∶5∶3∶1。 (√) 逐点清(一)　匀变速直线运动的基本规律 |题|点|全|练| 1.[速度公式和位移公式](2025·安徽淮南月考) 某质点做直线运动,位移随时间变化的关系式为x=100t-10t2+100(m),则对这个质点的运动描述正确的是 (　　) A.初速度为0 B.加速度为20 m/s2 C.在3 s末,瞬时速度为40 m/s D.质点做匀加速直线运动 解析:选C　由位移随时间变化的关系式x=100t-10t2+100(m),可得x-100=100t-10t2(m),对比匀变速直线运动位移与时间的关系x=v0t+at2可知,初速度为v0=100 m/s,加速度为a=-20 m/s2,由于初速度和加速度方向相反,所以质点先做匀减速直线运动,速度减为0后,再沿负方向做匀加速直线运动,故A、B、D错误;由匀变速直线运动速度与时间的关系v=v0+at,可知在3 s末,瞬时速度为v=(100-20×3)m/s=40 m/s,故C正确。 2.[速度与位移的关系式] 某汽车以速度v0匀速行驶,到达路口前以加速度大小a做匀减速运动,然后用t时间以v0的速度匀速通过路口,接着再以加速度大小2a匀加速到原来速度v0,则汽车从v0开始减速至再恢复到v0的过程中,通过的位移大小为 (　　) A.+v0t B.+v0t C.+v0t D.+v0t 解析:选C　设汽车运动方向为正方向,由匀变速直线运动的速度与位移的关系可知,减速过程有-=-2ax1,匀速过程有x2=v0t,加速过程有-=2·2ax3,总位移为x=x1+x2+x3,联立解得x=+v0t,故选C。 3.[基本公式的综合应用] (2024·广西高考)如图,轮滑训练场沿直线等间距地摆放着若干个定位锥筒,锥筒间距d=0.9 m,某同学穿着轮滑鞋向右匀减速滑行。现测出他从1号锥筒运动到2号锥筒用时t1=0.4 s,从2号锥筒运动到3号锥筒用时t2=0.5 s。求该同学: (1)滑行的加速度大小; (2)最远能经过几号锥筒。 解析:(1)根据匀变速运动规律某段位移内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度可知,在1、2号锥筒间中间时刻的速度为v1==2.25 m/s,在2、3号锥筒间中间时刻的速度为v2==1.8 m/s,故可得该同学滑行的加速度大小为a===1 m/s2。 (2)设到达1号锥筒时的速度为v0,根据匀变速直线运动规律得v0t1-a=d 代入数值解得v0=2.45 m/s 从到达1号锥筒开始到停止时通过的位移大小为x==3.001 25 m≈3.33d 故可知最远能经过4号锥筒。 答案:(1)1 m/s2　(2)4 |精|要|点|拨| 1.基本思路 画过程示意图→判断运动性质→ 选取正方向→选用公式列方程→解方程并加以讨论 2.方法技巧 题目中所涉及的物理量(包括已知量、待求量) 没有涉及 的物理量 适宜选用公式 v0、v、a、t x v=v0+at v0、a、t、x v x=v0t+at2 v0、v、a、x t v2-=2ax v0、v、t、x a x=t 　除时间t外,x、v0、v、a均为矢量,所以需要确定正方向,通常以初速度v0的方向为正方向;当v0=0时,一般以加速度a的方向为正方向。速度、加速度、位移的方向与正方向相同时取正,相反时取负。 逐点清(二)　两类特殊的匀变速直线运动 |题|点|全|练| 1.[刹车类问题] (2025·武汉高三检测)某辆无人驾驶汽车在封闭的平直道路上进行测试。汽车以20 m/s的速度匀速行驶,发现障碍物的瞬间立即启动刹车系统,刹车2 s末的速度大小为12 m/s。已知汽车刹车时做匀减速直线运动,取汽车刚开始刹车时为0时刻,下列说法正确的是 (　　) A.汽车刹车时的加速度大小为8 m/s2 B.第4 s末汽车的速度大小为4 m/s C.第6 s末汽车的速度大小为4 m/s D.0~6 s内汽车的速度变化量大小为24 m/s 解析:选B　汽车刹车时的加速度大小为a== m/s2=4 m/s2,故A错误;汽车从开始刹车到停下所用时间为t0== s=5 s,则第4 s末汽车的速度大小为v4=v0-at4=20 m/s-4×4 m/s=4 m/s,第6 s末汽车的速度大小为0,故B正确,C错误;0~6 s内汽车的速度变化量大小为|Δv|==20 m/s,故D错误。 2.[双向可逆类问题] 在足够长的光滑斜面上,有一物体以10 m/s的初速度沿斜面向上运动,如果物体的加速度大小始终为5 m/s2,方向沿斜面向下。经过3 s时物体的速度大小和方向是 (　　) A.25 m/s,沿斜面向上 B.5 m/s,沿斜面向下 C.5 m/s,沿斜面向上 　 D.25 m/s,沿斜面向下 解析:选B　取初速度方向为正方向,则v0=10 m/s,a=-5 m/s2,由v=v0+at可得,当t=3 s时,v=-5 m/s,“-”表示速度方向沿斜面向下,故B正确。 |精|要|点|拨| 两类特殊的匀变速直线运动分析 特点是匀减速到速度为零后立即停止运动,加速度a突然消失,求解时要注意确定其实际运动时间。如果问题涉及最后阶段(到停止运动)的运动,可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速直线运动 如沿光滑斜面上滑的小球,到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑,全过程加速度大小、方向均不变,求解时可对全过程列式,但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义 逐点清(三)　匀变速直线运动的重要推论 细作1　平均速度公式 1.(2024·海南高考)商场自动感应门如图所示,人走迈时两扇门从静止开始同时向左右平移,经4 s恰好完全打开,两扇门移动距离均为2 m,若门从静止开始以相同加速度大小先匀加速运动后匀减速运动,完全打开时速度恰好为0,则加速度的大小为 (　　) A.1.25 m/s2 B.1 m/s2 C.0.5 m/s2 D.0.25 m/s2 解析:选C　设门的最大速度为v,根据匀变速直线运动的规律可知,加速过程和减速过程的平均速度均为,且时间相等均为t= s=2 s,根据x=×2t,解得v=1 m/s,则加速度a==0.5 m/s2,故选C。 一点一过 (1)中间时刻速度公式:==,做匀变速直线运动的物体在某段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度。 (2)中间位置速度公式:=,不论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动,均有>。 细作2　初速度为零的匀变速直线运动的比例式 2.一平直公路旁等间距竖立5根电线杆,相邻两电线杆间距为d,如图所示。一小车车头与第1根电线杆对齐,从静止开始做匀加速直线运动,测得小车车头从第1根电线杆到第2根电线杆历时为t,以下说法正确的是 (　　) A.车头从第2根电线杆到第4根电线杆历时为t B.车头从第1根电线杆到第5根电线杆历时为t C.车头到第2根电线杆时,速度大小为 D.车头到第5根电线杆时,速度大小为 解析:选D　根据初速度为零的做匀加速直线运动的物体通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3∶…=1∶(-1)∶(-)∶…,可知车头从第2根电线杆到第4根电线杆历时为(-1)t,车头从第1根电线杆到第5根电线杆历时为2t,A、B错误;由平均速度公式可知车头到第2根电线杆时的速度等于从第1根电线杆到第5根电线杆的平均速度,即v2==,可得v2=,v5=,C错误,D正确。 一点一过 (1)初速度为零的匀加速直线运动可以直接应用四个比例式求解,但要注意区别是按照时间等分还是按照位移等分。 (2)末速度为零的匀减速直线运动可应用逆向思维法转化为反向的初速度为零的匀加速直线运动来处理。 细作3　位移差公式 3.(2025·江西九江模拟)某同学研究匀变速直线运动时,用一架照相机对正在下落的小球(可视为质点)进行拍摄,小球在空中运动的照片如图所示,1、2、3分别为连续相等时间间隔拍摄到的影像,每块砖的厚度均为d,且不计砖块之间的间隙,小球从静止开始下落,下落过程为匀加速直线运动。则小球开始下落点距影像2的距离为 (　　) A.2.55d B.2.45d C.2.35d D.2.25d 解析:选D　由位移差公式有4d-2d=at2,又v2=,=2ax02,解得x02=2.25d,故选D。 一点一过 (1)连续相等的时间间隔T内的位移差相等。 即:Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2。 (2)不相邻相等的时间间隔T内的位移差xm-xn=(m-n)aT2,此公式可以求加速度。 逐点清(四)　匀变速直线运动的多过程问题 1.三步法确定多过程问题的解答思路 2.分析多过程问题的五个要点 (1)题目中有多少个物理过程。 (2)每个过程中物体做什么运动。 (3)每种运动满足什么物理规律。 (4)运动过程中的一些关键位置(时刻)是哪些。 (5)相邻过程是通过哪些物理量衔接及有什么联系。 　　[典例]　(2024·全国甲卷)为抢救病人,一辆救护车紧急出发,鸣着笛沿水平直路从t=0时由静止开始做匀加速运动,加速度大小a=2 m/s2,在t1=10 s时停止加速开始做匀速运动,之后某时刻救护车停止鸣笛,t2=41 s时在救护车出发处的人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速v0=340 m/s,求: (1)救护车匀速运动时的速度大小; (2)在停止鸣笛时救护车距出发处的距离。 [解析]　(1)根据题意可知,救护车匀速运动时的速度大小为v=at1,代入数据解得v=20 m/s。 (2)设救护车在t=t0时停止鸣笛,则由运动学规律可知,此时救护车距出发处的距离为x=a+v(t0-t1),又x=v0(t2-t0) 联立并代入数据解得x=680 m。 [答案]　(1)20 m/s　(2)680 m [考法全训] 考法1　单物体多过程问题 1. (2025·河北廊坊模拟)一辆汽车在平直公路上由静止开始做匀加速直线运动,达到最大速度后保持匀速运动。已知汽车在启动后的第2 s内前进了6 m,第4 s内前进了13.5 m,下列说法正确的是 (　　) A.汽车匀加速时的加速度大小为6 m/s2 B.汽车在前4 s内前进了31.5 m C.汽车的最大速度为16 m/s D.汽车的加速距离为20 m 解析:选B　汽车在第4 s内的位移大于第2 s内的位移,则前2 s内汽车一直在加速,设汽车的加速度大小为a,则6 m=a(22-12),解得a=4 m/s2,故A错误;若汽车在第4 s初达到最大速度,则汽车在第4 s内能前进Δx4=at3·Δt=4 m/s2×3 s×1 s=12 m<13.5 m;若汽车在第4 s末达到最大速度,则汽车在第4 s内能前进Δx4=a-a=14 m>13.5 m;所以以上两种假设均不成立,汽车应在第4 s内的某时刻达到最大速度,设汽车的加速时间为t,则有Δx4=at2-a+at(t4-t)=13.5 m,解得t=3.5 s,汽车的最大速度为vm=at=14 m/s,前4 s内前进了x4=x3+Δx4=a+Δx4=31.5 m,汽车的加速距离为x加=at2=24.5 m,故B正确,C、D错误。 考法2　多物体多过程问题 2. (2025·襄阳高三调研)某条道路汽车行驶限速vm=15 m/s,如图是该道路的十字路口前红灯时的情况,第一辆车的车头与停止线齐平,该路口绿灯时间是Δt=30 s。已知每辆车长均为L=4.5 m,绿灯亮后,每辆汽车都以加速度a=1.5 m/s2匀加速到最大限速,然后做匀速直线运动。为保证安全,前后两车相距均为L0=1.5 m,绿灯亮时第一辆车立即启动,后一辆车启动相对前一辆车均延后t0=1 s。交通规则:黄灯亮时,只要车头过停止线就可以通行。 (1)绿灯亮后,求经过多长时间停止线后第3辆车车头过停止线; (2)绿灯亮后,通过计算判断:停止线后第17辆车在本次绿灯期间能否通过该路口? 解析:(1)在绿灯亮后,设第3辆车从启动到车头过停止线过程一直加速,等待时间为t1,运行时间为t2,则t1=2t0=2 s,2(L+L0)=a,解得t2=4 s 第3辆车车头过停止线的速度v=at2=6 m/s<15 m/s,假设成立 停止线后第3辆车车头过停止线的时间 t=t1+t2=6 s。 (2)绿灯亮后,设第17辆车经过时间t3启动,车头与停止线距离为x1,则t3=16t0=16 s,x1=16(L+L0)=96 m 设第17辆车经过时间t4速度达到限速,加速通过的距离为x2,则vm=at4,x2=a, 解得t4=10 s,x2=75 m 在黄灯亮前,设第17辆车匀速运动的时间为t5,匀速通过的距离为x3,则 t5=Δt-t3-t4=4 s,x3=vmt5=60 m 绿灯亮后,黄灯亮前,第17辆车通过的总距离为x4=x2+x3=135 m 由于x4=135 m>x1=96 m 所以第17辆车在本次绿灯期间能通过该路口。 答案:(1)6 s　(2)能 [课时跟踪检测]　 (说明:标★的为推荐讲评题目) 一、单项选择题 1.(2024·北京高考)一辆汽车以10 m/s的速度匀速行驶,制动后做匀减速直线运动,经2 s停止,汽车的制动距离为 (　　) A.5 m B.10 m C.20 m D.30 m 解析:选B　汽车做末速度为零的匀减速直线运动,则有x=t=10 m,故选B。 2.(2025年1月·八省联考云南卷)司机驾驶汽车以36 km/h的速度在平直道路上匀速行驶。当司机看到标有“学校区域限速20 km/h”的警示牌时,立即开始制动,使汽车做匀减速直线运动,直至减到小于20 km/h的某速度。则该匀减速阶段汽车的行驶时间和加速度大小可能是 (　　) A.9.0 s,0.5 m/s2 B.7.0 s,0.6 m/s2 C.6.0 s,0.7 m/s2 D.5.0 s,0.8 m/s2 解析:选A　汽车制动做匀减速直线运动过程,初速度v0=36 km/h=10 m/s,末速度v<20 km/h,20 km/h≈5.56 m/s,该过程汽车速度的变化量为Δv=v-v0=-4.44 m/s,根据匀变速直线运动关系Δv=at,可知匀减速阶段汽车的行驶时间和加速度大小的乘积不小于4.44 m/s,结合选项内容,符合题意的只有A选项。故选A。 3.(2025·重庆渝中阶段练习)汽车已经走进了千家万户,成为普通家庭的消费品,驾驶技能从职业技能成为基本生活技能。考驾照需要进行一项路考——定点停车。路旁竖一标志杆,在车以大小为v的速度匀速行驶的过程中,当车头与标志杆的距离为x时,学员立即刹车,让车做匀减速直线运动,车头恰好停在标志杆处。若忽略学员的反应时间,则汽车刹车 (　　) A.时间为 B.加速度大小为 C.经过一半时间时的位移大小为 D.经过一半距离时的速度大小为 解析:选B　由题意得,汽车从刹车到停止的平均速度大小为==,故汽车刹车的时间为t==,故A错误;设汽车刹车的加速度大小为a,根据匀变速直线运动速度与位移的关系式有 0-v2=-2ax,解得a=,故B正确;根据匀变速直线运动位移与时间关系,汽车经过一半时间的位移大小为=v·-a·2=x,故C错误;设汽车经过一半距离时的速度大小为,根据匀变速直线运动速度与位移的关系有-v2=-2a·,解得=v,故D错误。 4.(2025·山西朔州模拟)一辆汽车在平直公路上以10 m/s的初速度做匀加速直线运动,2 s内的位移为30 m。则下列说法正确的是 (　　) A.汽车第2 s内的位移比第1 s内的位移大5 m B.汽车运动的加速度大小为15 m/s2 C.汽车第1 s内与第2 s内的位移之比为1∶3 D.汽车第2 s末的速度大小为14.1 m/s 解析:选A　2 s内的位移为30 m,可知1 s末的速度v1==15 m/s,第1 s内的位移x1=t1=×1 m=12.5 m,第2 s内的位移为x2=17.5 m,则汽车第2 s内的位移比第1 s内的位移大5 m,汽车第1 s内与第2 s内的位移之比为5∶7,A正确,C错误; 汽车运动的加速度大小为a== m/s=5 m/s,B错误;汽车第2 s末的速度大小为v2=v0+at2=(10+5×2)m/s=20 m/s,D错误。 5.(2025·湖南长沙模拟)高铁目前是我国的一张名片。在某火车站,维护员站在中央高铁站台上,观察到有一列高铁正在减速进站(可视为匀减速直线运动)。维护员发现在高铁减速过程中相邻两个相等时间内从他身边经过的车厢节数分别为n1和n2,则n1和n2之比可能是 (　　) A.2∶1 B.5∶1 C.7∶2 D.4∶1 解析:选A　设高铁减速过程的加速度大小为a,相邻两个相等时间为T,第二个相等时间的末速度为v,一节车厢的长度为L,根据逆向思维可得n2L=vT+aT2,(n1+n2)L=v·2T+a(2T)2,可得n1L=vT+aT2,则有=,可得<≤,故选A。 6.(2024·山东高考)如图所示,固定的光滑斜面上有一木板,其下端与斜面上A点距离为L。木板由静止释放,若木板长度为L,通过A点的时间间隔为Δt1;若木板长度为2L,通过A点的时间间隔为Δt2。Δt2∶Δt1为 (　　) A.(-1)∶(-1) B.(-)∶(-1) C.(+1)∶(+1) D.(+)∶(+1) 解析:选A　木板在光滑斜面上运动时,木板的加速度不变,设木板的加速度为a,木板从静止释放到下端到达A点的过程,根据运动学公式有L=a,木板从静止释放到上端到达A点的过程,当木板长度为L时,有2L=a,当木板长度为2L时,有3L=a,又Δt1=t1-t0,Δt2=t2-t0,联立解得Δt2∶Δt1=∶,故选A。 二、多项选择题 7.(2025·安徽芜湖模拟)如图所示,质点在O点由静止开始先做匀加速直线运动,加速度大小为a1,经过时间t运动到A点,速度大小为v1,再以加速度大小a2继续做匀变速直线运动,又经过时间2t运动到B点,速度大小为v2。已知OA=2BO,则 (　　) A.= B.= C.= D.= 解析:选AD　设由O到A为正方向,OA=2BO=2L,质点由O到A过程,2L=a1t2,速度大小为v1=a1t,再以加速度大小a2经过时间2t运动到B点,-3L=v1×2t-a2(2t)2,速度大小为v2=,整理得=,=,故选A、D。 8.如图所示,车长均为4 m、间隔为1 m的两辆车在路口停止线后依次排列等候绿灯,第一辆车的前端刚好与路口停止线相齐。已知开动后两车都以2 m/s2的加速度做匀加速直线运动直到离开路口,两车达到最大速度72 km/h后均做匀速直线运动。绿灯亮起瞬间,第一辆车开动,待两车相距5 m时,第二辆车开动,则下列说法正确的是 (　　) A.第二辆车开动时,第一辆车已行驶的时间为 s B.第二辆车开动时,第一辆车的速度为4 m/s C.第一辆车达到最大速度时,第二辆车的速度为8 m/s D.行驶过程中两车相距的最大距离为41 m 解析:选BD　当第一辆车向前行驶4 m时,第二辆车开始启动,根据位移时间关系可得x1=a,解得t1=2 s,故A错误;由速度公式得v1=at1=4 m/s,故B正确;最大速度vm=72 km/h=20 m/s,由vm=at0,解得t0=10 s,此时第二辆车运动时间为t2=t0-t1=8 s,则v2=at2=16 m/s,故C错误;当第二辆车达到最大速度时,两车相距最远,以后距离不再发生变化,分析知最大距离为d=1 m+vmt1=41 m,故D正确。 三、计算题 9.(10分)当汽车在路上出现故障时,应在车后放置三角警示牌,以提醒后面驾车司机减速安全通过。在夜间,有一货车因故障停驶,后面有一小轿车以30 m/s的速度向前驶来。由于夜间视线不好,小轿车驾驶员只能看清前方50 m的物体,他的反应时间为0.5 s,再加上路面湿滑,制动的最大加速度为1.5 m/s2。求: (1)小轿车从开始刹车25 s内通过的最小距离;(4分) (2)三角警示牌至少要放在故障车后多远处,才能有效避免两车相撞。(6分) 解析:(1)小轿车从开始刹车到停止所用的最短时间为t1==20 s 25 s时小轿车已停止,故通过的最小距离 x1==300 m。 (2)小轿车在反应时间内行驶的距离为 x0=v0t0=15 m 则小轿车从发现警示牌到完全停下的过程中行驶的距离为x=x0+x1=315 m 为了有效避免两车相撞,三角警示牌放在故障车后的最小距离为Δx=x-50 m=265 m。 答案:(1)300 m　(2)265 m 10.(12分)(2025·山东青岛模拟)青岛地铁1号线为跨海地铁线路,线路全长60.11千米,共设置41座车站,全部为地下车站。从S站到T站是一段直线线路,全程3.3 km,列车运行最大速度为72 km/h。为了便于分析,我们用图乙模型来描述这个运动,列车在S站从静止开始做匀加速直线运动,达到最大速度后立即做匀速直线运动,进站前从最大速度开始做匀减速直线运动,直至到T站停车,且加速时的加速度大小为减速时的加速度大小的二分之一。现匀加速运动过程中依次经过A、B、C点,A→B用时3 s,B→C用时5 s,且AB长12.6 m,BC长45.0 m。求: (1)S、A两点之间的距离;(5分) (2)列车匀速行驶的时间。(7分) 解析:(1)根据= 可知BC段中间时刻的速度v2===9 m/s AB段中间时刻的速度v1===4.2 m/s 根据v=v0+at,解得a1==1.2 m/s2 则vC=v2+a1××tBC=12 m/s 由运动学公式有=2a1(xSA+xAB+xBC) 解得xSA=2.4 m。 (2)列车运行的最大速度vm=72 km/h=20 m/s 由v2-=2ax得匀加速阶段的位移 x1== m 匀减速阶段的位移x2== m 匀速运动时间t3==152.5 s。 答案:(1)2.4 m　(2)152.5 s 11.(12分)(2025·石家庄高三月考)分拣机器人在智能系统的调度下,能够自主规划路线,确保高效、准确的分拣作业。如图所示为某次分拣过程示意图,机器人从A处由静止出发沿两段直线路径AB、BC运动到C处停下,再将货物从托盘卸到分拣口。已知机器人最大运行速率为vm=3 m/s,机器人加速或减速运动时的加速度大小均为a=2.5 m/s2,AB距离为x1=6 m,BC距离为x2=2.5 m,机器人途经B处时的速率为零,要求机器人能在最短时间内到达分拣口。求: (1)机器人从A到B过程中,从静止加速到最大运行速率vm所需时间t0;(3分) (2)机器人从A运动到B的时间t1;(4分) (3)机器人从B运动到C的平均速度大小。(5分) 解析:(1)机器人从A到B过程中,从静止加速到最大运行速率vm所需时间t0== s=1.2 s。 (2)机器人从A运动到B的过程,加速运动位移x11=t0=1.8 m 减速运动位移x12=t0=1.8 m 匀速运动时间t'==0.8 s 则机器人从A运动到B的时间t1=t0+t0+t'=3.2 s。 (3)由于x11+x12>x2,机器人从B运动到C的过程不能加速到最大速率vm,设机器人加速到v1后开始减速,加速和减速过程中时间和位移大小相等,设机器人从B运动到C的时间为t2,则 x2=2×,t2=2×,= 解得=1.25 m/s。 答案:(1)1.2 s　(2)3.2 s　 (3)1.25 m/s 第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动(基础落实课) 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、自由落体运动 1.运动特点:初速度为0、加速度为g的匀加速直线运动。 2.基本规律 (1)速度与时间的关系式:v=gt。 (2)位移与时间的关系式:x=gt2。 (3)速度与位移的关系式:v2=2gx。 二、竖直上抛运动 1.运动特点:初速度方向竖直向上,加速度为g,上升阶段做匀减速直线运动,下降阶段做自由落体运动。 2.基本规律 (1)速度与时间的关系式:v=v0-gt。 (2)位移与时间的关系式:x=v0t-gt2。 (3)速度与位移的关系式:v2-=-2gx。 微点判断 1.在空气中自由释放的物体做自由落体运动。 (×) 2.物体在真空中一定做自由落体运动。 (×) 3.自由释放的物体只在重力作用下一定做自由落体运动。 (√) 4.(粤教必修1P58T2·选摘)同一地点所有自由落体的加速度都相等。 (√) 5.自由落体加速度的方向指向地心。 (×) 6.做竖直上抛运动的物体,在上升过程中,速度的变化量的方向是向下的。 (√) 7.竖直上抛运动的速度为负值时,位移也为负值。 (×) 8.(2023·全国乙卷,T1C)排球竖直向上运动到最高点时加速度为零。 (×) 9.伽利略从理论和实验两个角度证明了轻、重物体下落一样快。 (√) 10.做自由落体运动的物体,下落的高度与时间成正比。 (×) 11.做自由落体运动的物体,加速度一定等于9.8 m/s2。 (×) 12.物体做自由落体运动,在1T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度大小之比为1∶2∶3∶…∶n。 (√) 逐点清(一)　自由落体运动 |题|点|全|练| 1.[自由落体运动中基本公式的应用] (2024·广西高考)让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落,P1在下落的第1 s末速度大小为v1,再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2,使P2从原高度自由下落,P2在下落的第1 s 末速度大小为v2,g取10 m/s2,则 (　　) A.v1=5 m/s B.v1=10 m/s C.v2=15 m/s D.v2=30 m/s 解析:选B　重物自由下落做自由落体运动,加速度与质量无关,则下落1 s后速度大小为v1=v2=gt=10 m/s2×1 s=10 m/s。故选B。 2.[自由落体运动中“比例关系式”的应用] 对于自由落体运动(g=10 m/s2),下列说法正确的是 (　　) A.在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶3∶5 B.在相邻两个1 s内的位移之差都是10 m C.在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度大小之比是1∶2∶3 D.在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶3∶5 解析:选B　根据x=gt2,在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶4∶9,故A错误;根据匀变速直线运动推论,在相邻两个1 s内的位移之差都是Δx=gT2=10×12 m=10 m,故B正确;根据匀变速直线运动的推论可知,在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移大小之比为1∶3∶5,根据=可知,在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度大小之比为1∶3∶5,故C错误;根据v=gt,在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶2∶3,故D错误。 3.[多物体自由落体运动问题] 取一根长2 m左右的细线、5个铁垫圈和一个金属盘,在线的底端系上第一个垫圈,隔12 cm再系一个,以后垫圈之间的距离分别为36 cm、60 cm、84 cm,如图所示。站在椅子上,向上提起线的上端,让线自由垂下,且第一个垫圈紧靠放在地上的金属盘。松手后开始计时,若不计空气阻力,则第2、3、4、5各垫圈 (　　) A.落到盘上的时间间隔越来越大 B.落到盘上的时间间隔相等 C.依次落到盘上的速率关系为1∶∶∶2 D.依次落到盘上的时间关系为1∶(-1)∶(-)∶(2-) 解析:选B　松手后4个垫圈同时做自由落体运动,可以看成一个铁垫圈自由下落,在相邻相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7,由初始时各垫圈的间距知各垫圈落到盘上的时间间隔相等,故A错误,B正确;因为各垫圈落到盘上的时间间隔相等,则各垫圈依次落到盘上的时间之比为1∶2∶3∶4,根据v=gt可知,各垫圈依次落到盘上的速率之比为1∶2∶3∶4,故C、D错误。 |精|要|点|拨| 1.自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动,可利用比例关系及推论等规律解题。 (1)从开始下落,连续相等时间内下落的高度之比为1∶3∶5∶7∶…。 (2)Δv=gΔt,相等时间内,速度变化量相同。 (3)连续相等的时间T内,下落的高度之差Δh=gT2。 2.物体只在重力作用下从静止开始的下落过程才是自由落体运动,从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动,等效于竖直下抛运动,应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。 3.将几个物体的独立运动放在一起进行研究,彼此间可能会产生干扰,这样远没有研究一个物体的运动直接明了,如果能将多个物体的运动等效为一个物体的运动,则会简化研究过程。如第3题中将多个铁垫圈的运动转化为一个铁垫圈的运动。 逐点清(二)　竖直上抛运动 1.重要特性 (1)对称性 (2)多解性:当物体经过抛出点上方某个位置时,可能处于上升阶段,也可能处于下降阶段,造成多解。 2.研究方法 (1)分段研究:上升阶段:a=g的匀减速直线运动;下降阶段:自由落体运动。 (2)全程研究:初速度v0方向向上、加速度g方向向下的匀变速直线运动,v=v0-gt,h=v0t-gt2(以竖直向上为正方向)。若v>0,物体上升;若v<0,物体下落。若h>0,物体在抛出点上方。若h<0,物体在抛出点下方。 　　[典例]　在某次跳水比赛中,一位运动员从离水面10 m高的平台上向上跃起,举起双臂直体离开台面,此时其重心位于从手到脚全长的中点,跃起后重心升高0.45 m到达最高点,落水时身体竖直,手先入水,在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计,求:(计算时,可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点,g取10 m/s2) (1)运动员起跳时的速度大小v0; (2)运动员从离开跳台到手接触水面所经历的时间t(本问结果可保留根号)。 [解析]　(1)上升阶段有0-=-2gh 代入数据解得v0=3 m/s。 (2)方法一:分段法 上升阶段有0=v0-gt1 代入数据解得t1=0.3 s 自由落体运动过程有H=g 其中H=10 m+0.45 m=10.45 m 解得t2= s 所以从离开跳台到手接触水面所经历的时间t=t1+t2=0.3 s+ s= s。 方法二:全程法 取竖直向上为正方向,初速度v0=3 m/s,位移为x=-10 m,由匀变速直线运动位移与时间的关系得x=v0t-gt2,解得t= s,另一解为负值,舍去。 [答案]　(1)3 m/s　(2) s [考法全训] 考法1　竖直上抛运动的对称性 1.如图所示,杂技演员表演抛球游戏,他一共有4个球,每隔相等的时间竖直向上抛出一个小球(不计一切阻力,小球间互不影响),若每个球上升的最大高度都是1.8米,忽略每个球在手中停留的时间,重力加速度g取 10 m/s2,则杂技演员刚抛出第4个球时,第1个球和第2个球之间的距离与第3个球和第4个球之间的距离之比为 (　　) A.1∶1 B.1∶4 C.1∶3 D.1∶ 解析:选C　因每隔相等的时间竖直向上抛出一个小球,故4个小球之间相邻两小球的时间间隔相等。根据竖直上抛运动的对称性,可知上升时间等于下降时间,故第4个小球刚抛出时,第2个小球上升到最高点,第一个小球与第三个小球在同一高度,因此可知,第1个球和第2个球之间的距离与第3个球和第4个球之间的距离之比为1∶3,故选C。 2.在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中,常用“对称自由下落法”测重力加速度g的值。如图所示,在某地将足够长的真空长直管沿竖直方向放置,自直管下端竖直上抛一小球,测得小球两次经过a点的时间间隔为Ta,两次经过b点的时间间隔为Tb,又测得a、b两点间距离为h,则当地重力加速度g的值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　小球从a点上升到最大高度过程中,有ha=g2,小球从b点上升到最大高度过程中,有hb=g2,依据题意ha-hb=h,联立解得g=,B正确。 考法2　竖直上抛运动的多解性 3.(多选)某排球运动员将一排球从离地面2 m处的位置以10 m/s的初速度竖直向上抛出,g取10 m/s2,不计空气阻力,当排球离抛出点距离为1.8 m时,所经历的时间可能是 (　　) A.0.2 s B.0.6 s C.1.8 s D.s 解析:选ACD　取竖直向上为正方向,当排球运动到抛出点上方离抛出点1.8 m时,位移为x=1.8 m,由竖直上抛运动的位移与时间关系式得x=v0t-gt2,解得t1=0.2 s,t2=1.8 s;当排球运动到抛出点下方离抛出点1.8 m时,位移为x'=-1.8 m,由x'=v0t-gt2,解得t3=s或t4=s(负值舍去),选项A、C、D正确,B错误。 [课时跟踪检测]　 (说明:标★的为推荐讲评题目) 一、单项选择题 1.(2025·广东肇庆模拟)一次校运会上,小明以2.00 m 的成绩夺得男子跳高冠军。另一位同学想估算一下小明起跳时的竖直速度:他根据人体比例,认为小明起跳时重心离地约1 m,越过横杆时重心比横杆高约0.25 m,重力加速度g取10 m/s2。由此可估算出小明起跳时的竖直速度约为 (　　) A.7 m/s B.6 m/s C.5 m/s D.4 m/s 解析:选C　小明在竖直方向可视为做竖直上抛运动,其重心上升高度h=(2+0.25-1)m=1.25 m,运用逆向思维,从起跳到最高点在竖直方向的运动的逆过程可视为自由落体运动,有v2=2gh,解得v=5 m/s,故选C。 2.某同学看到桥上掉下一把钥匙,此时一只小船前端恰好在钥匙正下方20 m处,船以2 m/s的速度向前运动,重力加速度g取10 m/s2,那么船至少多长才可以让钥匙掉在小船上 (　　) A.2 m B.4 m C.6 m D.8 m 解析:选B　设船长为l,钥匙下落所需时间为t,根据公式h=gt2,解得钥匙下落时间t=2 s,故船的长度至少为l=vt=4 m,故选B。 3.(2025·云南保山模拟)矿井中的升降机以5 m/s的速度竖直向上匀速运行,某时刻一螺钉由于震动从升降机底板松脱,经过3 s升降机上升至井口,此时松脱的螺钉刚好落到井底,不计空气阻力,取重力加速度g=10 m/s2,下列说法正确的是 (　　) A.螺钉松脱后做自由落体运动 B.矿井的深度为45 m C.螺钉落到井底时的速度大小是35 m/s D.螺钉随升降机从井底出发到落回井底共用时10 s 解析:选B　螺钉松脱时具有与升降机相同的向上的初速度,故螺钉松脱后做竖直上抛运动,故A错误;取竖直向上为正方向,螺钉从松脱至落到井底的位移h1=v0t-gt2=-30 m,升降机在这段时间的位移h2=v0t=15 m,故矿井的深度为h=h2-h1=45 m,故B正确;螺钉落到井底时的速度为v=v0-gt=-25 m/s,因此速度大小为25 m/s,故C错误;螺钉松脱前运动的时间为t'==6 s,所以螺钉运动的总时间为t总=t+t'=9 s,故D错误。 4.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)高抛发球是网球发球的一种,是指运动员把网球竖直向上抛出,在网球下降过程中某时刻将网球击出。若某次竖直抛出的网球在上升的过程中,开始0.6 s内上升的高度与最后0.6 s内上升的高度之比为4∶1,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,则网球 (　　) A.最后0.6 s内上升的高度为2.1 m B.最初0.6 s中间时刻的速度大小为15 m/s C.上升过程的时间为1.7 s D.上升的最大高度为11.25 m 解析:选D　根据题意,由逆向思维可知,竖直上抛运动最后0.6 s即自由落体运动开始0.6 s,则最后0.6 s内上升的高度为h1=g=×10×0.62 m=1.8 m,故A错误;最初0.6 s上升的高度为h2=4h1=7.2 m,由中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度可知,最初0.6 s中间时刻的速度大小为v1==12 m/s,故B错误;从最初0.6 s中间时刻到最高点的时间为t2==1.2 s,上升过程的时间为t升=t2+Δt=1.5 s,上升的最大高度为h=g=×10×1.52 m=11.25 m,故C错误,D正确。 5.音乐喷泉是一种为了娱乐而创造出来的可以活动的喷泉,随着音乐变换,竖直向上喷出的水柱可以高达几十米。现有一音乐喷泉,喷出的水经2 s到达最高点,把水喷射的总高度分成四等份,水通过前两等份高度用时记为t1,通过最后一等份高度用时记为t2。不计空气阻力,则满足 (　　) A.1<<3 B.3<<5 C.5<<7 D.7<<9 解析:选A　设水上升的最大高度为4h,水向上运动的逆过程是初速度为零的匀加速直线运动,4h=gt2,解得总时间为t=,水通过最后一等份高度h=g,解得t2=,水通过后两等份高度2h=gt'2,解得t'=,水通过前两等份高度用时t1=t-t'=-,所以==1+,则1<<3,故选A。 6.如图所示,在空中将小球P从a点竖直向上抛出的同时,将小球Q从c点由静止释放,一段时间后Q在a点正下方的b点追上P,此过程中两小球均未落地且没有发生碰撞。若a、b两点间的高度差为h,c、a两点间的高度差为2h。不计空气阻力,重力加速度为g,两小球均可视为质点,则小球P相对抛出点上升的最大高度为 (　　) A. B. C. D.h 解析:选B　Q做自由落体运动,有xQ=3h=gt2,解得t=,从抛出到相遇,以向下为正方向,可得xP=h=-v0t+gt2,解得v0=,P上升的最大高度为hm==,故选B。 7.如图所示,地面上方离地面高度分别为h1=6L、h2=4L、h3=3L的三个金属小球a、b、c,若先后释放a、b、c,三球刚好同时落到地面上,不计空气阻力,重力加速度为g,则 (　　) A.a与b开始下落的时间差等于b与c开始下落的时间差 B.a、b、c三小球运动时间之比为∶2∶1 C.a比b早释放的时间为2(-) D.三小球到达地面时的速度大小之比为6∶4∶3 解析:选C　由h=gt2得,ta=,tb=,tc=,则(ta-tb)>(tb-tc),a、b、c三小球运动时间之比为∶2∶,a比b早释放的时间为Δt=ta-tb=2(-),A、B错误,C正确;根据v2=2gh得,三小球到达地面时的速度大小之比为∶2∶,D错误。 二、多项选择题 8.从高度为125 m的塔顶先后自由释放a、b两球,自由释放这两个球的时间差为1 s,g取10 m/s2,不计空气阻力,以下说法正确的是 (　　) A.b球下落高度为20 m时,a球的速度大小为20 m/s B.a球接触地面瞬间,b球离地高度为45 m C.在a球接触地面之前,两球速度差恒定 D.在a球接触地面之前,两球离地的高度差恒定 解析:选BC　b球下落高度为20 m时所用时间为t1== s=2 s,则a球下落了3 s,a球的速度大小为v=30 m/s,故A错误;a球下落的总时间为t2= s=5 s,a球落地瞬间b球下落了4 s,b球下落的高度为h'=×10×42 m=80 m,故b球离地面的高度为h″=(125-80)m=45 m,故B正确;由自由落体运动的规律可得,在a球接触地面之前,两球的速度差Δv=gt-g(t-1 s)=10 m/s,即速度差恒定,两球离地的高度差逐渐变大,故C正确,D错误。 9.(2025·陕西西安模拟)物体甲从地面上的C点竖直上抛,同时物体乙从C点正上方的A点自由释放,经过时间t两者在B点相遇,相遇时两者速度大小相等都是v,空气阻力不计,忽略甲、乙相遇时对各自的影响,重力加速度为g,则下列说法正确的是 (　　) A.AB之间的距离等于BC之间的距离 B.物体甲从B点再经过2t将回落到地面 C.B点距离地面 D.A点距离地面 解析:选CD　假设甲、乙相遇时甲向下运动,以向下为正方向,有v甲0+gt=v=0+gt,解得v甲0=0,与题意不符,故甲、乙相遇时甲只能向上运动。因为经过时间t两者在B点相遇,则物体甲上升时间为2t,下落时间为2t,那么从B点再经过3t将回落到地面,根据自由落体运动的比例关系,BC之间的距离等于AB之间距离的3倍,故A、B错误;AB之间的距离为hAB=t,根据比例关系,B点距离地面高度为hBC=3hAB=,故C正确;AB之间的距离为hAB=,根据比例关系,A点距离地面的高度hAC=4hAB=,D正确。 10.(2025·青岛高三调研)物理课本封面上的沙漏照片如图所示,由于相机存在固定的曝光时间,照片中的砂粒在空中时看不出砂粒本身的形状,而是形成了一条条模糊的痕迹,砂粒的疏密分布也不均匀。若近似认为砂粒大小相同,砂粒下落的初速度为0,忽略空气阻力,不计砂粒间的相互影响,设砂粒随时间均匀漏下,下列说法正确的是 (　　) A.出口下方9 cm处的砂粒速度约是3 cm处的倍 B.出口下方9 cm处砂粒的痕迹长度约是3 cm处的3倍 C.出口下方0~3 cm范围内的砂粒数与3~6 cm范围内的砂粒数近似相等 D.出口下方0~3 cm范围内的砂粒数与3~12 cm范围内的砂粒数近似相等 解析:选AD　砂粒做自由落体运动,根据v2=2gh,可知砂粒的速度为v=,则出口下方9 cm处的砂粒速度约是3 cm处的倍;相机曝光的时间很短,可认为在曝光时间内砂粒做匀速直线运动,痕迹的长度为Δx=vT∝v,可知出口下方9 cm 处砂粒的痕迹长度约是3 cm处的倍,故A正确,B错误;根据初速度为零的匀加速直线运动通过相等位移所用时间之比为1∶(-1)∶(-)∶…,可知从出口下落0~3 cm与3~6 cm 的时间之比为1∶(-1);因砂粒随时间均匀漏下,可知出口下方0~3 cm范围内砂粒数与3~6 cm范围内砂粒数的比值为1∶(-1)=+1,故C错误;根据初速度为零的匀变速运动在相邻相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶…,可知砂粒从出口下落0~3 cm与3~12 cm的时间是相等的,因砂粒随时间均匀漏下,可知出口下方0~3 cm范围内的砂粒数与3~12 cm范围内的砂粒数近似相等,故D正确。 三、计算题 11.(10分)(2025·浙江衢州模拟)如图为“眼疾手快”游戏装置示意图,游戏者需接住从支架上随机落下的圆棒。已知圆棒长为0.4 m,圆棒下端距水平地面2.1 m,某次游戏中一未被接住的圆棒下落经过A、B两点,A、B间距0.4 m,B点距离地面1.25 m。圆棒下落过程中始终保持竖直,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力。求: (1)圆棒下端到达A点时的速度大小;(4分) (2)圆棒经过AB段所需的时间。(6分) 解析:(1)圆棒下端距离A点的高度为h1=2.1 m-0.4 m-1.25 m=0.45 m 圆棒做自由落体运动下落到A点,有h1=g 解得t1==0.3 s 则圆棒下端到达A点时的速度大小为vA=gt1=3 m/s。 (2)圆棒上端距离B点的高度为h2=2.1 m+0.4 m-1.25 m=1.25 m 圆棒做自由落体运动,当圆棒上端下落到B点,有h2=g,解得t2==0.5 s 则圆棒经过AB段所需的时间为 Δt=t2-t1=0.2 s。 答案:(1)3 m/s　(2)0.2 s 12.(10分)(2025·山东东营模拟)如图所示,离地面足够高处有一竖直空管,管长为l=0.2 m,M、N为空管的上、下两端面。空管以恒定的速度向下做匀速直线运动,同时在距空管N端面正下方d=0.25 m处有一小球开始做自由落体运动,取g=10 m/s2。求: (1)若经过t1=0.1 s,小球与N端面等高,求空管的速度大小v1;(3分) (2)若经过t2=0.5 s,小球在空管内部,求空管的速度大小v2应满足什么条件。(7分) 解析:(1)当球与N端面等高时v1t1-g=d 解得v1=3 m/s。 (2)若v2最小时,球恰好与N端面等高 v2mint2-g=d 解得v2min=3 m/s 若v2最大时,球恰好与M端面等高 v2maxt2-g=d+l 解得v2max=3.4 m/s 空管的速度大小v2应满足3 m/s≤v2≤3.4 m/s。 答案:(1)3 m/s　(2)3 m/s≤v2≤3.4 m/s 第4讲　微专题——运动图像问题(综合融通课) (一) 位移—时间(x⁃t)图像 　　对x⁃t图像的理解 (1)x⁃t图像反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律,图像并非物体运动的轨迹。 (2)x⁃t图像只能描述物体做直线运动的情况,这是因为x⁃t图像只能表示物体运动的两个方向:t轴上方代表正方向,t轴下方代表负方向;如果物体做曲线运动,则画不出x⁃t图像。 (3)x⁃t图像上某点切线的斜率表示物体在该时刻的速度,斜率的大小表示速度的大小,斜率的正负表示速度的方向。 [考法全训] 考法1　单个物体运动的x⁃t图像 1.(2025年1月·八省联考陕晋宁青卷)2024年8月,我国运动员获得第33届奥运会男子100 m自由泳冠军。比赛所用标准泳池的长度为50 m,下列与该运动员实际运动过程最接近的位移-时间(x⁃t)图像是 (　　) 解析:选C　标准泳池的长度为50 m,在100 m自由泳比赛中,运动员的位移先增大后减小,最后回到出发点,离出发点最远处的位移大小为50 m,只有C选项满足。故选C。 考法2　多个物体运动的x⁃t图像 2.(2025·四川宜宾模拟)如图所示为甲、乙两质点同时沿同一直线运动的位移时间图像。关于两质点的运动情况,下列说法正确的是 (　　) A.在0~t0时间内,乙的速度一直在减小 B.在0~2t0时间内,甲的速度一直在减小 C.在0~t0时间内,甲、乙的运动方向相同 D.在0~2t0时间内,甲、乙发生的位移相同 解析:选A　位移时间图像的斜率表示速度,在0~t0时间内,乙图线的斜率不断减小,则乙的速度一直在减小,故A正确;在0~2t0时间内,甲图线的斜率不变,则甲的速度一直不变,故B错误;在0~t0时间内,甲的速度为负,乙的速度为正,说明甲、乙的运动方向相反,故C错误;在0~2t0时间内,甲的位移为-2x0,乙的位移为2x0,所以甲、乙发生的位移大小相等、方向相反,故D错误。 (二) 速度—时间(v⁃t)图像 1.对v⁃t图像的理解 (1)v⁃t图像反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律,它只能描述物体做直线运动的情况。 (2)v⁃t图像上某点切线的斜率表示物体在该时刻的加速度。斜率的大小表示加速度的大小,斜率为正表示加速度沿规定的正方向,但物体不一定做加速运动;斜率为负表示加速度沿负方向,但物体不一定做减速运动。 (3)v⁃t图像与t轴所围面积表示这段时间内物体的位移。t轴上方的面积表示位移沿正方向,t轴下方的面积表示位移沿负方向,如果上方与下方的面积大小相等,说明物体恰好回到出发点。 2.x⁃t图像与v⁃t图像的比较 x⁃t图像 v⁃t图像 轴 横轴为时间t,纵轴为位移x 横轴为时间t,纵轴为速度v 线 倾斜直线表示做匀速直线运动 倾斜直线表示做匀变速直线运动 斜率 表示速度 表示加速度 面积 无实际意义 图线与时间轴围成的面积表示位移大小 纵截距 表示初位置 表示初速度 特殊点 拐点表示速度变化,交点表示位移相等 拐点表示加速度变化,交点表示速度相等 [考法全训] 考法1　对v⁃t图像的理解及应用 1.(2024·福建高考)某公司在封闭公路上对一新型电动汽车进行直线加速和刹车性能测试,某次测试的速度—时间图像如图所示。已知0~3.0 s和3.5~6.0 s内图线为直线,3.0~3.5 s内图线为曲线,则该车 (　　) A.在0~3.0 s的平均速度为10 m/s B.在3.0~6.0 s做匀减速直线运动 C.在0~3.0 s内的位移比在3.0~6.0 s内的大 D.在0~3.0 s的加速度大小比3.5~6.0 s的小 解析:选D　根据v⁃t图像可知,汽车在0~3.0 s内做匀加速直线运动,平均速度为= m/s=15 m/s,故A错误;在3.0~3.5 s内v⁃t图像为曲线,汽车做非匀变速运动,在3.5~6.0 s内图像为倾斜的直线,汽车做匀减速直线运动,故B错误;根据v⁃t图像与横轴围成的面积表示位移大小,做一条辅助线如图所示,可得汽车在0~3.0 s内的位移大小为x1=×30×3 m=45 m,在3.0~6.0 s内的位移大小x2>×30×(6.0-3.0)m=45 m,可知在0~3.0 s内的位移比在3.0~6.0 s内的小,故C错误;根据v⁃t图像的斜率的绝对值表示加速度大小,可知汽车在0~3.0 s的加速度大小为a1= m/s2=10 m/s2,在3.5~6.0 s的加速度大小a2> m/s2=10 m/s2,可知在0~3.0 s的加速度大小比3.5~6.0 s的小,故D正确。 2.(2025·广西桂林模拟)“打水漂”是一种常见的娱乐活动,在地面将石子以某一初速度斜向上抛出,假设石子和水面相撞后,在水平方向速度没有损失,如此上升、下落及反弹数次。若规定竖直向下为正方向,不计碰撞时间和空气阻力,下列v⁃t图像中能正确描述石子在竖直方向上的运动的是 (　　) 解析:选D　石子以某一初速度抛出后,接触水面后竖直方向上的速度立即反向,石子只受到竖直向下的重力,在空中运动的加速度一直是g,则v⁃t图像的斜率不发生变化,但由于碰撞过程中存在能量损失,所以石子弹起时的速度越来越小,故选D。 考法2　x⁃t图像与v⁃t图像的比较 3.如图所示的位移(x)—时间(t)图像和速度(v)—时间(t)图像中给出四条图线,甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况,则下列说法正确的是 (　　) A.甲车做直线运动,乙车做曲线运动 B.0~t1时间内,甲车通过的路程大于乙车通过的路程 C.0~t2时间内,丙、丁两车在t2时刻相距最远 D.0~t2时间内,丙、丁两车的平均速度相等 解析:选C　根据位移—时间图像切线的斜率表示速度可知,甲车的速度不变,做匀速直线运动,乙车做速度越来越小的变速直线运动,故A错误;在t1时刻甲、乙两车的位移相等,又都是做单向直线运动,所以甲、乙两车路程相等,故B错误;由v⁃t图像与时间轴围成的面积表示位移可知,0~t2时间内,丙、丁两车在t2时刻面积差最大,所以在t2时刻相距最远,故C正确;0~t2时间内,丙车的位移小于丁车的位移,时间相等,平均速度等于位移除以时间,所以丙车的平均速度小于丁车的平均速度,故D错误。 (三) 加速度—时间(a⁃t)图像 　　对a⁃t图像的理解 (1)a⁃t图像反映了物体沿某一直线运动时的加速度随时间变化的规律。 (2)图线①表示物体做加速度逐渐增大的直线运动,图线②表示物体做匀变速直线运动,图线③表示物体做加速度逐渐减小的直线运动。 (3)由Δv=aΔt可知a⁃t图像与横轴所围面积表示这段时间内物体的速度变化量。 [考法全训] 考法1　由a⁃t图像分析运动过程 1.(2023·湖北高考)(多选)t=0时刻,质点P从原点由静止开始做直线运动,其加速度a随时间t按图示的正弦曲线变化,周期为2t0。在0~3t0时间内,下列说法正确的是 (　　) A.t=2t0时,P回到原点 B.t=2t0时,P的运动速度最小 C.t=t0时,P到原点的距离最远 D.t=t0时,P的运动速度与t=t0时相同 解析:选BD　质点在0~t0时间内从静止开始先做加速度增大的加速运动再做加速度减小的加速运动,此过程一直向前加速运动;t0~2t0时间内加速度和速度反向,先做加速度增大的减速运动再做加速度减小的减速运动,2t0时刻速度减小到零,0~2t0时间内一直向前运动;2t0~4t0重复此过程的运动,即质点一直向前运动,A、C错误,B正确。a⁃t图像的面积表示速度变化量,t0~t0时间内速度的变化量为零,因此t0时刻的速度与t0时刻的速度相同,D正确。 考法2　a⁃t图像与v⁃t图像的转化 2.一物体由静止开始沿直线运动,其加速度随时间变化的规律如图所示。取物体开始运动的方向为正方向,则下列关于物体运动的v⁃t图像正确的是 (　　) 解析:选C　根据加速度随时间变化的规律图像可得,0~1 s内物体做匀加速直线运动,速度v=at,为正值,D错误;第1 s末的速度v1=1 m/s,1~2 s内加速度变为负值,因此物体做匀减速直线运动,到第2 s末速度减小为0,B错误;2~3 s内,加速度为正值,初速度为0,物体沿正方向做匀加速直线运动,即从第2 s开始重复前面的运动,C正确,A错误。 (四) 非常规运动学图像 　　对于非常规运动学图像,一般解题思路为:先根据运动学公式推导出图像中纵坐标与横坐标两个物理量间的函数关系,再结合图像进一步分析图像的斜率、截距、面积的含义,求出物体运动的初速度、加速度、运动时间等物理量。 类型1　⁃t图像 由x=v0t+at2→=v0+at,可知: (1)⁃t图像的斜率k=a。 (2)图像与纵轴的交点表示物体的初速度。 　　[例1]　为检测某新能源动力车的刹车性能,现在平直公路上做刹车实验,如图所示是动力车在刹车过程中位移和时间的比值与时间t之间的关系图像,下列说法正确的是 (　　) A.动力车的初速度大小为10 m/s B.刹车过程动力车的加速度大小为2.5 m/s2 C.刹车过程持续的时间为8 s D.从开始刹车时计时,经过8 s,动力车的位移大小为40 m [解析]　根据匀变速直线运动的位移与时间关系式x=v0t+at2,得=at+v0,对比题图可得v0=20 m/s,a= m/s2,解得a=-5 m/s2,即动力车的初速度大小为20 m/s,刹车过程动力车的加速度大小为5 m/s2,故A、B错误;刹车过程持续的时间为t0== s=4 s,故C错误;经过8 s,车已经停止,则整个刹车过程动力车的位移大小为x0=t0=×4 m=40 m,故D正确。 [答案]　D 类型2　v2⁃x图像 由v2-=2ax→v2=+2ax,可知: (1)v2⁃x图像的斜率k=2a。 (2)图像与纵轴的交点表示物体初速度的平方,即。 　　[例2]　一辆汽车以20 m/s的速度在平直公路上匀速行驶,某时刻司机发现前方施工需减速行驶,司机反应了0.2 s后开始刹车。如图所示为发现前方施工提示后的速度平方v2随位移x的变化关系。从司机发现前方施工提示至汽车速度减小到5 m/s过程中,汽车的位移大小为 (　　) A.44 m B.41.5 m C.40 m D.37.5 m [解析]　由题图可知,反应时间内汽车的位移大小为x1=4 m,根据匀变速直线运动的速度与位移关系式v2-=2ax,得v2=+2ax,由图像解得a=-5 m/s2,当速度为5 m/s时,汽车减速运动的位移大小为x2==37.5 m,故汽车的位移大小为x=x1+x2=41.5 m,A、C、D错误,B正确。 [答案]　B 类型3　⁃图像 由x=v0t+at2→=v0·+a,可知: (1)⁃图像的斜率k=v0。 (2)图像与纵轴的交点表示物体的加速度的一半,即。 　　[例3]　如图为研究某动车的运动情况绘制的⁃图像。已知该动车运动轨迹是直线,但是不知该动车是处于加速还是刹车状态,以下说法合理的是 (　　) A.该动车处于匀加速状态 B.该动车的初速度为0 C.该动车的加速度大小为6 m/s2 D.该动车在前3 s的位移大小为18 m 　　[解析]　由x=v0t+at2,将等式变形为=+a,由⁃图像与坐标轴的两个交点可得v0=15 m/s,a=-6 m/s2,该动车做初速度为15 m/s、加速度大小为6 m/s2的匀减速运动,故A、B错误,C正确;由v=v0+at可判断,该动车在2.5 s时停止运动,由v2-=2ax,得该动车在前3 s的位移大小为x= m=18.75 m,故D错误。 [答案]　C 类型4　⁃x图像 由t=可知,⁃x图像与横轴所围面积表示物体的运动时间t。 　　[例4]　一质点由静止开始沿直线运动,通过传感器描绘出关于x的函数图像如图所示,下列说法正确的是 (　　) A.质点做匀减速直线运动 B.⁃x图像斜率等于质点运动的加速度 C.四边形AA'B'B的面积可表示质点从O到C'所用的时间 D.四边形BB'C'C的面积可表示质点从C到C'所用的时间 　　[解析]　由⁃x图像可知,与x成正比,即vx=常数,质点的速度随位移的增大而减小,因此质点做减速直线运动,但不是匀减速直线运动,又因为图像的斜率k=,显然不等于质点的加速度,A、B错误;由于三角形OBC的面积S1=OC·BC=,表示质点从O到C所用的时间,同理,质点从O到C'所用的时间可由三角形OB'C'的面积S2=表示,所以四边形BB'C'C的面积可表示质点从C到C'所用的时间,C错误,D正确。 [答案]　D [课时跟踪检测] 一、单项选择题 1.(2025年1月·八省联考河南卷)某运动员参加百米赛跑,起跑后做匀加速直线运动,一段时间后达到最大速度,此后保持该速度运动到终点。下列速度-时间(v ⁃t)和位移-时间(x ⁃t)图像中,能够正确描述该过程的是 (　　) 解析:选B　v-t图像的斜率表示加速度，由匀加速直线运动速度与时间的关系v=at，可知v-t图像在匀加速阶段为一条倾斜直线，在匀速阶段为一条平行于时间轴的直线，故A错误，B正确；根据匀加速直线运动位移与时间的关系x=at2，可知在匀加速阶段x-t图像为开口向上的抛物线，根据匀速直线运动位移与时间的关系x=vt，可知在匀速阶段x-t图像为一条倾斜直线，故C、D错误。 2.(2024·重庆高考)如图所示,某滑雪爱好者经过M点后在水平雪道滑行,然后滑上平滑连接的倾斜雪道,当其到达N点时速度为0,在水平雪道上滑行视为匀速直线运动,在倾斜雪道上的运动视为匀减速直线运动。则M点到N点的运动过程中,其速度大小v随时间t的变化图像可能是 (　　) 解析:选C　滑雪爱好者在水平雪道上做匀速直线运动,滑上平滑连接(没有能量损失,速度大小不变)的倾斜雪道,在倾斜雪道上做匀减速直线运动。故选C。 3.(2024·甘肃高考)小明测得兰州地铁一号线列车从“东方红广场”到“兰州大学”站的v⁃t图像如图所示,此两站间的距离约为 (　　) A.980 m B.1 230 m C.1 430 m D.1 880 m 解析:选C　v⁃t图像与横坐标轴围成的面积表示位移,可得两站间的距离为x=(74-25+94)×20× m=1 430 m。 4.(2025·山东泰安模拟)如图所示,某同学用x⁃t图像研究无人机从地面启动后在竖直方向上的运动情况,图像中Oa段为抛物线,其方程为 x1=,ab段和cd段为直线,其直线方程分别是x2=4t-8, x3=26-2t,则无人机 (　　) A.在a点对应的位移为8 m B.在bc段的速度变化量为6 m/s C.在bc段的加速度方向先向上后向下 D.在cd段减速上升 解析:选A　a点为Oa段和ab段的交点,将两段的方程联立=4ta-8,解得a点对应的时刻为ta=4 s,代入到Oa段方程中,解得a点对应的位移为xa==8 m,故A正确;x⁃t图像的斜率表示无人机运动的速度,ab段为直线说明此过程无人机做匀速直线运动,由方程可知,此过程的速度为v1=4 m/s,cd段为直线说明此过程无人机做匀速直线运动,由方程可知,此过程的速度为v2=-2 m/s,所以在bc段的速度变化量为Δv=v2-v1=-6 m/s,故B错误;x⁃t图像的斜率表示无人机运动的速度,由题图可知,在bc段图线的斜率先为正值变小后为负值变大,则无人机先向上减速后向下加速,所以加速度方向始终向下,故C错误;cd段为直线且斜率为负值,说明此过程无人机匀速下降,故D错误。 5.(2024·河北高考)篮球比赛前,常通过观察篮球从一定高度由静止下落后的反弹情况判断篮球的弹性。某同学拍摄了该过程,并得出了篮球运动的v⁃t图像,如图所示。图像中a、b、c、d四点中对应篮球位置最高的是 (　　) A.a点 B.b点 C.c点 D.d点 解析:选A　由题意结合图像可知,速度为负值表示篮球向下运动。当速度由负值突变为正值时,运动发生突变,速度方向变为向上并做匀减速运动,当速度由正值减小到0时,表示篮球上升到最高点,即a点对应第一次反弹后上升的最高位置,故A正确。 6.放在水平面上的物体,在水平力F作用下开始运动,以物体静止时的位置为坐标原点,力F的方向为正方向建立x轴,物体的加速度随位移的变化图像如图所示。下列说法中正确的是 (　　) A.0~x2过程中物体做匀加速直线运动,x2~x3过程中物体做减速直线运动 B.位移为x1时,物体的速度大小为 C.位移为x2时,物体的速度达到最大 D.物体的最大速度为 解析:选B　0~x2过程中加速度不变,所以物体做匀加速直线运动,x2~x3过程中加速度方向不变,依然与速度同向,故物体仍做加速直线运动,位移为x3时,物体的速度达到最大,A、C错误;由速度与位移关系式可得=a·x,故a⁃x图像与横轴围成的面积表示,则位移为x1时物体的速度大小为,最大速度为,D错误。 7.一个物体由静止开始沿直线运动,其加速度随时间的倒数的变化规律如图所示,则下列判断正确的是 (　　) A.物体在t0之前做加速度增大的加速运动 B.在t0时刻,物体的速度大小为a0t0 C.物体在0~t0内的速度增加量为a0t0 D.t0时刻之后,物体做减速运动 解析:选B　由题图可知,物体在t0之前做初速度为0、加速度为a0的匀加速直线运动,故A错误;在t0时刻,物体的速度大小v=a0t0,故B正确;物体在0~t0内的速度增加量为Δv=v-0=a0t0,故C错误;t0时刻之后,物体做加速度减小的加速运动,故D错误。 8.杭瑞洞庭大桥是一条跨越洞庭湖湘江河道的快捷通道,如图甲所示。一辆小汽车在长度为L的一段平直桥面上提速,图乙是该车车速的平方v2与位移x的关系图像,图中b、c、L已知,则小汽车通过该平直桥面的加速度为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由v2-=2ax,将其变形为v2=+2ax,所以图像的斜率即为汽车加速度的两倍,故有a==,所以D正确。 9.(2025·重庆巴南模拟)如图,甲、乙、丙、丁四个描述物体做直线运动的相关图像,下列说法正确的是 (　　) A.甲图中在0~t1时间内,A的速度始终大于B的速度 B.物体从静止开始,加速度随时间变化如乙图,物体的最大位移为1 m C.丙图中A、B两物体从同一地点同时出发,则在t1~t2时间内A均在B的前面 D.丁图表示物体做匀变速直线运动 解析:选D　由于x⁃t图像的斜率代表物体的速度,由题图甲可知, 在0~t1时间内,A的速度小于B的速度,故A项错误;将a⁃t图像转化成v⁃t图像,如图所示,由于v⁃t图像与时间轴围成的面积表示物体的位移,所以物体一直沿正方向运动,没有最大位移,故B项错误;根据题图丙可知,0~t1时间内,B的速度始终大于A的速度,则A、B之间的距离逐渐增大,而t1~t2时间内,A的速度又大于B的速度,且v⁃t图像与时间轴围成的面积表示位移,根据题图丙,t1~t2时间内两者之间的位移差大于0~t1时间内两者之间的位移差,则说明在t1~t2时间内A先在B后面,后超过B,故C项错误;由v2-=2ax,整理有v2=2ax+,即v2⁃x图像的斜率表示2a,题图丁图像的斜率不变,即物体的加速度不变,所以物体做匀变速直线运动,故D项正确。 二、多项选择题 10.(2025·山东日照模拟)如图所示,直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移x随时间t的变化关系,由图可知 (　　) A.在t1时刻,a车追上b车 B.在t2时刻,a、b两车的运动方向相反 C.在t1到t2这段时间内,b车的速率先减小后增大 D.在t1到t2这段时间内,b车的速率一直比a车的大 解析:选BC　根据题图可知,在t1时刻之前,b车位移小于a车位移,在t1时刻b车追上a车,故A错误;根据x⁃t图像的斜率表示速度可知,在t2时刻,a、b两车的运动方向相反,故B正确;根据x⁃t图像的斜率表示速度可知,在t1到t2这段时间内,b车的速率先减小后增大,b车的速率先大于a车的速率后小于a车的速率,故C正确,D错误。 11.(2025·广东佛山模拟)2023年11月,“双曲线二号验证火箭”在我国酒泉卫星发射中心点顺利完成垂直起降回收试验,此次试验飞行高度约178.4 m,飞行总时间50.8 s,顺利落回起点,全过程的速度随时间变化的图像如图所示,运动路径可看作直线。下列说法正确的是 (　　) A.t2时刻火箭上升到最高点 B.0~t2与t3~t4时间内的位移相同 C.0~t1时间内,火箭做匀加速运动 D.0~t4时间内,火箭的平均速度为0 解析:选AD　0~t2时间内速度始终为正,说明火箭一直在向上运动,t2~t3时间内火箭的速度为0,说明火箭处于静止状态,t3~t4时间内速度始终为负,说明火箭一直在向下运动,故t2时刻火箭上升到最高点,故A正确;火箭在t4时刻落回起点,0~t2时间内火箭向上运动,t3~t4时间内火箭向下运动,两段位移大小相等、方向相反,故B错误;v⁃t图像的斜率的绝对值表示加速度大小,则0~t1时间内加速度大小发生变化,故不是匀加速运动,故C错误;火箭落回起点,故0~t4时间内火箭的位移为0,平均速度为0,故D正确。 三、计算题 12.(12分)(2025·辽宁朝阳模拟)如图甲所示的“冰爬犁”是北方儿童在冬天的一种游戏用具:“上坐一人,双手握铁篙,向后下方用力点冰,则爬犁前进如飞”。在空旷的水平冰面上,有一小孩从静止开始,连续三次“点冰”后,爬犁沿直线继续滑行了x=12.96 m后停下。某同学用v⁃t图像描述了上述运动过程(三次“点冰”过程中爬犁的加速度相同),如图乙所示。运动过程中,空气阻力不计,爬犁与冰面间的动摩擦因数不变。 (1)求爬犁减速滑行时加速度a1的大小和运动中的最大速率vmax;(5分) (2)求小孩“点冰”时爬犁加速度a2的大小。(7分) 解析:(1)爬犁滑行时水平方向只受摩擦力的作用,做匀减速直线运动,其逆过程可视为初速度为零的匀加速直线运动,因此有x=a1 将x=12.96 m、t3=(12.0-4.8)s=7.2 s代入上式,解得a1=0.5 m/s2 根据x=vmaxt3 解得最大速率为vmax=3.6 m/s。 (2)小孩“点冰”加速过程中速度的增加量与滑行过程中速度的减小量相等,根据v⁃t图像可知,每次点冰时间为0.8 s,下一次点冰到上一次点冰的时间间隔为1.2 s 减速的时间共计t1=1.2 s+1.2 s+7.2 s=9.6 s 加速的时间共计t2=0.8 s+0.8 s+0.8 s=2.4 s 根据a1t1=a2t2 代入数据解得a2=2 m/s2。 答案:(1)0.5 m/s2　3.6 m/s　(2)2 m/s2 第5讲　微专题——追及、相遇问题(综合融通课) (一) 解决追及、相遇问题的一般方法 　　追及、相遇问题的实质是研究两个物体的时空关系,只要满足两个物体在同时到达同一地点,即说明两个物体相遇。 1.分析思路 可概括为“一个临界条件”和“两个等量关系”。 (1)一个临界条件:速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件,也是分析、判断问题的切入点。 (2)两个等量关系:时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。 2.常用分析方法 情境 分析法 抓住“两物体能否同时到达空间同一位置”这一关键,认真审题,挖掘题目中的隐含条件,建立物体运动关系的情境图 二次 函数法 设运动时间为t,根据条件列方程,得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系,Δx=0时,表示两者相遇。 ①若Δ>0,即有两个解,说明可以相遇两次; ②若Δ=0,即有一个解,说明刚好追上或相遇; ③若Δ<0,无解,说明追不上或不能相遇。 当t=-时,函数有极值,代表两者距离的最大或最小值 变换 参考 系法 一般情况下,我们习惯于选地面为参考系,但有时在研究两个或以上相对运动物体间的运动时,如果能巧妙选取合适的参考系,会简化解题过程,起到化繁为简的效果 　　[典例]　在同一水平直轨道上有A和B两列无人驾驶货运车厢相距x,A车厢在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车厢同时做初速度为0、加速度为a的匀加速直线运动,两车厢运动方向相同。要使两车厢不相撞,求A车厢的初速度v0应满足的条件。 [解析]　两车厢不相撞的临界条件是A车厢追上B车厢时其速度与B车厢速度相等。设从A、B两车厢相距x到A车厢追上B车厢时,A车厢的位移为xA、末速度为vA、所用时间 为t,B车厢的位移为xB、末速度为vB,运动过程如图所示。现用三种方法解答如下: 解法一　分析法 根据位移公式和速度公式 对A车厢有xA=v0t+(-2a)t2,vA=v0+(-2a)t 对B车厢有xB=at2,vB=at 两车厢位移关系有x=xA-xB 追上时,两车厢不相撞的临界条件是vA=vB 联立以上各式解得v0= 故要使两车厢不相撞,A车厢的初速度应满足的条件是v0≤。 解法二　函数法 两车厢相遇时有xA=x+xB 即v0t+(-2a)t2=x+at2 整理得3at2-2v0t+2x=0 这是一个关于时间t的一元二次方程,当根的判别式Δ=(-2v0)2-4×3a×2x=0时,两车厢刚好不相撞,所以要使两车厢不相撞,A车厢的初速度应满足的条件是v0≤。 解法三　变换参考系法 以B为参考系,A、B相对初速度为vAB=v0-0,A、B相对加速度为aAB=-2a-a=-3a,A相对B做匀变速直线运动,恰好不相撞的条件为相遇时vAB'=0,代入2aABx=vAB'2-,得v0=,所以要使两车厢不相撞,A车厢的初速度应满足的条件是v0≤。 [答案]　 v0≤ [应用体验] 1.(多选)某学校田径运动会上正进行接力比赛。如图所示,静止在O处等待接棒的运动员甲,观察到运动员乙以大小为v的速度运动到P处时,甲从静止开始以大小为a的加速度做匀加速直线运动,当甲速度达到v时,运动员乙恰好追上甲。在此过程中运动员乙做匀速直线运动,则 (　　) A.运动员甲的运动时间为 B.运动员甲的运动时间为 C.OP距离为 D.OP距离为 解析:选AD　设从甲出发到乙追上甲所用时间为t,甲做匀加速直线运动,则有v=at,v2-0=2ax甲,解得t=,x甲=,故A正确,B错误;设P、O两点之间的距离为x,则有vt=x+x甲,解得x=,故C错误,D正确。 2.汽车A以vA=4 m/s的速度向右做匀速直线运动,发现前方相距x0=7 m处、以vB=10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动,其刹车的加速度大小a=2 m/s2。从此刻开始计时。求: (1)A追上B前,A、B间的最远距离是多少; (2)经过多长时间A恰好追上B。 解析:(1)当A、B两汽车速度相等时,两车间的距离最远,即v=vB-at=vA,解得t=3 s 此时汽车A的位移xA=vAt=12 m 汽车B的位移xB=vBt-at2=21 m 故最远距离Δxmax=xB+x0-xA=16 m。 (2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1==5 s,运动的位移xB'==25 m 汽车A在t1时间内运动的位移 xA'=vAt1=20 m 此时相距Δx=xB'+x0-xA'=12 m 汽车A需再运动的时间t2==3 s 故A追上B所用时间t总=t1+t2=8 s。 答案:(1)16 m　(2)8 s |升|维|训|练| (1)在上述第2题第(2)问中,若某同学应用关系式vBt-at2+x0=vAt,解得经过t=7 s(另解舍去)时A恰好追上B。这个结果合理吗?为什么? (2)若汽车A以vA=4 m/s的速度向左匀速运动,其后方在同一车道相距x0=7 m处、以vB=10 m/s的初速度同方向运动的汽车B正向左开始匀减速刹车直到静止后保持不动,B刹车的加速度大小为a=2 m/s2,则B车能否追上A车? 提示:(1)这个结果不合理。因为汽车B运动的时间最长为t==5 s<7 s,说明汽车A追上汽车B时汽车B已停止运动。 (2)可由位移关系式:vBt-at2=x0+vAt,解得t1=(3-)s,t2=(3+)s(舍去),t1时两车已相遇。 (二) 图像法在追及、相遇问题中的综合应用 两种常见的追及情境 (1)速度小者追速度大者 情境 图像 说明 匀加速 追匀速 ①t=t0以前,后面物体与前面物体间距离增大 ②t=t0时,两物体相距最远,为x0+Δx(x0为两物体初始距离) ③t=t0以后,后面物体与前面物体间距离减小 ④能追上且只能相遇一次 匀速追 匀减速 匀加速 追匀 减速 特别提醒:若被追赶的物体做匀减速直线运动,一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。 (2)速度大者追速度小者 情境 图像 说明 匀减速 追匀速 开始追赶时,两物体间距离为x0,之后两物体间的距离减小,当两物体速度相等时,即t=t0时刻: ①若Δx=x0,则恰能追上,两物体只能相遇一次,这也是避免相撞的临界条件 ②若Δx<x0,则不能追上,此时两物体间最小距离为x0-Δx ③若Δx>x0,则相遇两次,设t1时刻Δx=x0,两物体第一次相遇,则t2时刻两物体第二次相遇(t2-t0=t0-t1) 匀速追 匀加速 匀减速追 匀加速 　　 [典例]　(2025·景德镇模拟)(多选)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向运动,它们的v⁃t图像如图所示。下列判断正确的是 (　　) A.乙车启动时,甲车在其前方25 m处 B.乙车超过甲车后,两车有可能第二次相遇 C.乙车启动15 s后正好追上甲车 D.运动过程中,乙车落后甲车的最大距离为75 m [解析]　由题图可知,乙在t=10 s时启动,根据v⁃t图像与时间轴包围的面积表示位移,可知此时甲的位移为x=×10×10 m=50 m,即乙车启动时,甲车在乙车前方50 m处,故A错误;乙车超过甲车后,由于乙车的速度大,所以两车不可能再次相遇,故B错误;由于两车从同一地点沿同一方向运动,设甲车启动t'时间两车才相遇,有×20=×10,解得t'=25 s,即乙车启动15 s后正好追上甲车,故C正确;当两车的速度相等时,两车相距最远,则乙车落后甲车的最大距离为Δx=×(5+15)×10 m-×10×5 m=75 m,故D正确。 [答案]　CD [应用体验] 1.(2025·陕西铜川模拟)为了测试某品牌新能源汽车的性能,现有甲、乙两辆汽车沿平直的公路运动,t=0时刻甲车在乙车前方x0=60 m处,该时刻两车开始刹车,此后过程中两辆汽车的速度随时间的变化规律如图所示。则下列说法正确的是 (　　) A.甲、乙两车的加速度大小之比为4∶3 B.t=10 s时两车之间的距离最小 C.两车可能发生碰撞 D.t=30 s时两车相距10 m 解析:选D　v⁃t图像的斜率表示加速度,则a甲=- m/s2=-2 m/s2、a乙=- m/s2=-1 m/s2,则甲、乙两车的加速度大小之比为2∶1,故A错误;因为甲车在前、乙车在后,且在10 s之前甲车的速度大于乙车的速度,在10 s之后甲车的速度小于乙车的速度,所以在10 s时两车相距最远,故B错误;根据题图可知,甲车运动的总位移为x甲=×40×20 m=400 m,乙车运动的总位移为x乙=×30×30 m=450 m,则两车之间的最小距离为Δx=x0+x甲-x乙=10 m,则两车不可能发生碰撞,故C错误,D正确。 2.(2025·广东广州模拟)(多选)甲、乙两车并排在同一平直公路上从同一起点同向运动,甲车由静止开始做匀加速直线运动,乙车做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化关系如图所示。下列说法正确的是 (　　) A.t0~2t0时间内,甲、乙两车行驶的路程相等 B.在t0时刻,甲图线的切线必定与乙图线相交于某一点 C.在t0时刻,甲、乙两车之间的距离为 D.在2t0时刻,甲图线的切线必定经过坐标原点 解析:选CD　做单向直线运动的物体的位移等于位置坐标之差,且位移大小等于路程,所以t0~2t0时间内,甲车行驶的路程较大,故A错误;x⁃t图像上某点切线的斜率表示瞬时速度,因此乙车的速度v乙=,t0时刻甲车的速度等于0~2t0的平均速度,即=,则此时甲图线的切线与乙图线平行,故B错误;在t0时刻,乙车的位移x1=v乙t0=,甲车的位移x2=t0=,甲、乙两车的间距Δx=x1-x2=,故C正确;因为=,所以甲车在2t0时刻的速度=2=,在2t0时刻,甲图线的切线必定经过坐标原点,故D正确。 [课时跟踪检测]　 (说明:标★的为推荐讲评题目) 一、单项选择题 1.甲、乙两辆汽车沿同一平直公路行驶,两汽车的速度随时间变化的关系图像如图所示,t=9 s时两车第二次相遇,则两车第一次相遇的时刻为 (　　) A.2.25 s B.3 s C.4.5 s D.6 s 解析:选B　由数学知识可知,两图线的交点的横坐标为t=6 s,因为v⁃t图线与时间轴围成的面积表示位移,故两汽车在t=3 s到t=9 s时间内的位移相同,t=9 s时两车第二次相遇,则两车第一次相遇的时刻为t=3 s。 2.两辆完全相同的汽车,沿平直道路一前一后匀速行驶,速度均为v0。若前车突然以恒定的加速度a刹车,在它刚停住时,后车以恒定的加速度2a开始刹车。已知前车在刹车过程中所行驶的路程为s,若要保证两辆车在上述情况中不发生碰撞,则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为 (　　) A.s B.s C.2s D.s 解析:选B　画出从前车开始刹车到两车都停下过程两车运动的v⁃t图像,如图所示,因后车以加速度2a开始刹车,刹车过程行驶的距离为s;在前车刹车过程的时间内,后车匀速运动的距离为2s,所以,两车在匀速行驶时保持的距离至少应为2s+s-s=s。 3.(2025·辽宁盘锦期中)中国高铁向世界展示了中国速度。和谐号与复兴号相继从沈阳站点由静止出发,沿同一方向做匀加速直线运动,两车运动的速度—时间图像如图所示,下列说法正确的是 (　　) A.复兴号追上和谐号前,t=70 s时两车相距最远 B.复兴号经过95 s加速达到最大速度 C.t=140 s时,复兴号追上和谐号 D.复兴号追上和谐号前,两车最远相距4 900 m 解析:选B　由v⁃t图像可知,0<t<140 s时,和谐号速度大于复兴号,t>140 s时,和谐号速度小于复兴号,故复兴号追上和谐号前,t=140 s时两车相距最远,根据v⁃t图像与坐标轴围成的面积表示位移,可知复兴号追上和谐号前,两车最远相距Δx=×140×70 m-×(140-70)×70 m=2 450 m,故A、C、D错误;复兴号的加速度为a== m/s2=1 m/s2,复兴号加速达到最大速度所需的时间为t1== s=95 s,故B正确。 4.如图所示,甲、乙两辆玩具小汽车(可视为质点)并排沿平直的相邻轨道向前行驶,两车都装有蓝牙设备,这两个蓝牙设备可以在6 m以内实现通信。t=0时刻,甲、乙两车刚好位于图示位置,此时甲车的速度为6 m/s,乙车的速度为2 m/s,从该时刻起甲车以1 m/s2的加速度做匀减速运动直至停下,乙车保持原有速度做匀速直线运动。忽略轨道间距和信号传递时间,则从t=0时刻起,两车能利用蓝牙通信的时间为 (　　) A.2 s B.6 s C.8 s D.10 s 解析:选C　根据题意可知,当甲车在乙车前方x甲-x乙=6 m时,根据运动学公式有x甲=v甲t-at2,x乙=v乙t,解得t1=2 s,t2=6 s。由公式v=v0+at,解得t=6 s时甲车停止行驶,此时甲车在乙车前方6 m处,乙车继续行驶至甲车前方6 m的过程中,所用时间为t'=(6 m+6 m)÷2 m/s=6 s,所以两车能利用蓝牙通信的总时间为t总=2 s+6 s=8 s,故选C。 5.在同一平直路面上,从同一地点沿相同方向做匀变速直线运动的两辆汽车A、B,A车的运动图像如图线a所示,B车的运动图像如图线b所示,则 (　　) A.0~2 s内A车的速度大,2 s后B车速度大 B.t=2 s时,两车相遇 C.t=4 s时,两车相遇 D.A车的初速度大小为2 m/s,加速度大小为1 m/s2 解析:选B　根据公式=,可知表示平均速度,即t=2 s时两车平均速度相同,因从同一地点沿相同方向同时出发,所以此时两车相遇,故B正确,C错误;根据位移与时间关系式x=v0t+at2,变形得=v0+at,结合图像可知A车的初速度大小为2 m/s,斜率为ka==aA,解得加速度大小为aA=2 m/s2,同理可得B车初速度为零,加速度大小为aB=4 m/s2,由此可知t=1 s时,A车与B车速度大小相等,1 s后B车速度大,故A、D错误。 6.(2025·重庆沙坪坝模拟)甲、乙两汽车在同一直线上运动,经过同一位置时开始计时,它们的⁃图像如图所示,则 (　　) A.甲做加速度增大的运动 B.甲的加速度大小为1 m/s2 C.乙的初速度大小为4 m/s D.t=2 s时两车再次相遇 解析:选B　由运动学公式v=v0+at,变形可得=v0·+a,对比题图可知v甲0= m/s=4 m/s,a甲=1 m/s2,v乙0= m/s=2 m/s,a乙=2 m/s2,所以甲做匀加速直线运动,故B正确,A、C错误;设两车经过时间t再次相遇,则v甲0t+a甲t2=v乙0t+a乙t2,代入数据解得t=4 s,故D错误。 二、多项选择题 7.(2025·河南郑州模拟)甲、乙两辆汽车在同一平直公路上沿相同方向运动,甲车在前。初始时刻两车间距离为10 m,此后两车速率的平方与位移的关系图像如图所示。当两车间距离不超过4 m时可以实现蓝牙配对。下列说法正确的是 (　　) A.4 s时两车间距离最小 B.两车间的最小距离为4 m C.两车均停止运动时,它们之间的距离为4 m D.两车能够实现蓝牙配对的时长为4 s 解析:选AD　根据匀变速直线运动的速度位移关系v2=+2ax,可知v2⁃x图像的斜率等于2a,由题图可知甲、乙两车的加速度大小分别为a甲= m/s2=1 m/s2,a乙= m/s2=2 m/s2,甲、乙两车的初速度大小分别为v甲= m/s=8 m/s,v乙= m/s=12 m/s,设两车速度大小相等时所经历的时间为t1,则v甲-a甲t1=v乙-a乙t1,解得t1=4 s,0~4 s内甲车的位移x甲=8×4 m-×1×42 m=24 m,乙车的位移x乙=12×4 m-×2×42 m=32 m,因为x甲+10 m>x乙,故4 s前两车不会相遇,即4 s时两车间距离最小,故A正确;两车间的最小距离d=10 m+v甲t1-a甲-=2 m,故B错误;甲、乙两车停止运动时的位移分别为32 m和36 m,故两车均停止运动时,它们之间的距离为10 m+32 m-36 m=6 m,故C错误;设两车间距离为4 m时所经历的时间为t2,则10 m+v甲t2-a甲-=4 m,解得t2=2 s或t2=6 s,故两车能够实现蓝牙配对的时长为4 s,故D正确。 8.小明到汽车站时,汽车正以8 m/s的速度沿平直道路匀速驶离车站,司机听到呼喊声,反应0.5 s后立即以2 m/s2的加速度匀减速刹车。设司机听到呼喊声时,小明距离汽车8 m,正以4 m/s的速度匀速追赶汽车。则从司机听到呼喊声到小明追上汽车,下列说法正确的是 (　　) A.经过2 s小明和汽车间距离最大 B.经过6 s小明追上汽车 C.小明和汽车间的最大距离为14 m D.汽车的位移为20 m 解析:选CD　当汽车与小明速度相等时,小明和汽车间距离最大,则v1-at1=v2,解得t1=2 s,从司机听到呼喊声到小明和汽车间距离最大经过的时间t=t0+t1=0.5 s+2 s=2.5 s,故A错误;2.5 s内汽车通过的位移x1=v1t0+v1t1-a=8×0.5 m+8×2 m-×2×4 m=16 m,2.5 s内小明通过的位移x2=v2t=4×2.5 m=10 m,小明和汽车间的最大距离为Δx=x1+x0-x2=16 m+8 m-10 m=14 m,故C正确;从汽车开始刹车到停止运动经过的时间t3== s=4 s,汽车刹车通过的位移x3=t3=×4 m=16 m,从司机听到呼喊声到汽车停止运动汽车通过的位移x=v1t0+x3=8×0.5 m+16 m=20 m,汽车停止运动时,小明通过的位移x4=v2(t0+t3)=4×(0.5+4)m=18 m,由于x0+x>x4,则汽车停止运动时小明没追上汽车,从汽车停止运动到小明追上汽车经过的时间t4== s=2.5 s,则从司机听到呼喊声到小明追上汽车经过的时间t'=t0+t3+t4=0.5 s+4 s+2.5 s=7 s,故B错误,D正确。 9.(2025·河北保定模拟)A、B两辆汽车从同一地点同时出发,沿同一方向做直线运动,它们的速度平方(v2)随位移(x)的变化图像如图所示,下列说法正确的是 (　　) A.汽车A的初速度大小为24 m/s,加速度大小为4 m/s2 B.汽车B的初速度大小为0,加速度大小为1 m/s2 C.汽车A、B经4 s在x=4 m处相遇 D.汽车A、B经2 s相遇,相遇时在x=6 m处 解析:选BD　由匀变速直线运动位移与速度关系式v2-=2ax,整理有v2=2ax+,结合题图可知=24 m2/s2,=0,2aA= m/s2,2aB= m/s2,解得v0A=2 m/s,v0B=0,aA=-2 m/s2,aB=1 m/s2,故A错误,B正确;汽车A的速度与时间关系式为v=v0A+aAt,可得A车停止运动所需时间为t= s,此时汽车B的位移为xB=aBt2=3 m<6 m,即汽车A停在6 m处时,汽车B还未追上A,则两车在x=6 m处相遇,相遇时间满足x=aBt'2,解得t'=2 s,故C错误,D正确。 三、计算题 10.(12分)如图所示为某城市十字路口道路示意图,道路为双向四车道,每个车道宽度为2.4 m。一自行车从道路左侧车道线沿停车线向右匀速行驶,速率为14.4 km/h,同时一辆汽车在最右侧车道正中间行驶,速率为54 km/h,汽车前端距离停车线20 m。已知汽车的宽度与自行车的长度均为1.8 m,汽车的车身长4.8 m。汽车司机为避免与自行车相撞马上采取刹车制动,最大制动加速度大小为5 m/s2。 (1)求汽车的最短刹车距离xm;(4分) (2)请通过计算判断当汽车以最大加速度刹车时,是否能够避免相撞。(8分) 解析:(1)已知v1=14.4 km/h=4 m/s,v2=54 km/h=15 m/s。设汽车以最大加速度刹车,则-2axm=0-,代入数据解得xm=22.5 m。 (2)汽车以最大加速度刹车,设汽车车头到达停车线所用时间为t,则x=v2t-at2, 解得t=2 s或者t=4 s, 又因为汽车停下的时间为t'== s=3 s,故t=4 s不符合实际,舍去; 以最左侧车道线为起点,车头左侧距起点x1=2.4×3 m+ m=7.5 m,车头右侧距起点x2=2.4×4 m-m=9.3 m,车头所占位置到最左侧车道线范围为7.5 m~9.3 m, 设自行车在t=2 s的时间内行驶的位移为x自,则有x自=v1t=4×2 m=8 m,自行车此时所占位置到最左侧车道线范围为6.2 m~8 m。 由此可知,它们的位置范围有重叠,不能避免相撞。 答案:(1)22.5 m　(2)见解析 11.(13分)强行超车是道路交通安全的极大隐患之一。如图是汽车超车过程的示意图,汽车甲和货车分别以36 km/h和57.6 km/h的速度在限速90 km/h的路面上匀速行驶,其中甲车车身长L1=5 m、货车车身长L2=8 m,某时刻货车在甲车前s=3 m处,若此时甲车司机开始迅速加速从货车左侧超车,加速度大小为2 m/s2,假定货车速度保持不变,不计车辆变道和转向的时间及车辆的宽度,求: (1)甲车在不超速的前提下完成超车的最短时间(结果保留2位小数);(5分) (2)一般情况下,汽车时速超过限速不到10%的,仅给予警告,不予扣分和罚款。若甲车开始超车时,看到道路正前方的乙车迎面驶来,此时二者车头相距208 m,乙车速度为43.2 km/h,甲车超车的整个过程中,乙车速度始终保持不变,请通过计算分析,甲车在不被扣分和罚款的前提下,能否安全超车?若甲车不能安全超车,则乙车至少以多大的加速度减速才能使甲车安全超车?(8分) 解析:(1)甲车初速度为v1=36 km/h=10 m/s 货车速度为v2=57.6 km/h=16 m/s 公路限速为vm=90 km/h=25 m/s 甲车从v1加速至vm所用时间为 t1==7.5 s 该段时间内甲车和货车的位移分别为 x1=t1=131.25 m x2=v2t1=120 m 因为x1<x2+s+L1+L2 所以甲车加速至vm后还需要匀速行驶一段时间才能完成超车, 该时间为t2=≈0.53 s 则甲车在不超速的前提下完成超车的最短时间为tmin= t1+t2=8.03 s。 (2)假设甲车在超车过程中一直加速,设超车时间为t3, 根据位移关系有v1t3+a1-v2t3=L1+L2+s,解得t3=8 s 超车完毕时甲车速度为 v1'=v1+a1t3=26 m/s<1.1vm 乙车初速度为v3=43.2 km/h=12 m/s t3时间内甲、乙两车行驶的路程之和为 l=v1t3+a1+v3t3=240 m>208 m 所以甲车在不被扣分和罚款的前提下不能安全超车 若要甲车能够安全超车,乙车在t3时间内行驶的路程最大值为 smax=208 m-=64 m 此时对应乙车刹车的加速度最小,则 smax=v3t3-amin 解得amin=1 m/s2。 答案:(1)8.03 s　(2)见解析　1 m/s2 第6讲　探究小车速度随时间变化的规律(重点实验) 一、实验知能/系统归纳 一、理清原理与操作 (1)不需要平衡阻力。 (2)不需要满足悬挂槽码质量远小于小车质量。 (1)平行:细绳、纸带与长木板平行。 (2)靠近:小车释放前,应靠近打点计时器的位置。 (3)先后:实验时先接通电源,后释放小车;实验后先断开电源,后取下纸带。 (4)防撞:小车到达滑轮前让其停止运动,防止与滑轮相撞或掉下桌面摔坏。 (5)适当:悬挂槽码质量要适当,避免纸带打出的点太少或过于密集。 二、掌握数据处理方法 1.由纸带判断物体做匀变速直线运动的方法 如图所示,0、1、2、…为时间间隔相等的各计数点,x1、x2、x3、…为相邻两计数点间的距离,若Δx=x2-x1=x3-x2=x4-x3=C(常量),则与纸带相连的物体的运动为匀变速直线运动。 2.由纸带求物体运动速度的方法 匀变速直线运动某段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度,即vn=。 3.利用纸带求物体加速度的两种方法 (1)用逐差法求加速度 根据x4-x1=x5-x2=x6-x3=3aT2(T为相邻两计数点间的时间间隔)求出a1=、a2=、a3=,再算出平均值,即a=。 (2)用图像法求加速度 先根据vn=求出所选的各计数点对应的瞬时速度,后作出v⁃t图像,图像的斜率即等于物体运动的加速度。 三、注意实验细节 1.平行:纸带和细绳要与木板平行。 2.两先两后:实验开始时应先接通电源,后让小车运动;实验完毕应先断开电源,后取下纸带。 3.防止碰撞:在到达长木板末端前应让小车停止运动,要防止槽码落地和小车与滑轮相撞。 4.纸带选取:选择一条点迹清晰的纸带,舍弃打点密集部分,适当选取计数点。 5.区分计时点和计数点:计时点是指打点计时器在纸带上打下的点。计数点是指测量和计算时在纸带上所选取的点,要注意“每5个点取一个计数点”与“每隔4个点取一个计数点”取点方法是一样的,时间间隔均为0.1 s。 6.准确作图:在坐标纸上,纵、横轴选取合适的单位(避免所描点过密或过疏而导致误差过大),仔细描点连线,不能连成折线,应作一条直线,让各点尽量落到这条直线上,落不到直线上的各点应均匀分布在直线的两侧。 四、做好误差分析 1.根据纸带测量的位移有误差。 2.电源频率不稳定,造成相邻两点的时间间隔不完全相等。 3.纸带运动时打点不稳定引起测量误差。 4.用作图法描点时有误差,作出的v⁃t图像并不是真实的直线。 5.木板的粗糙程度并非完全相同,这样测量得到的加速度只能是所测量段的平均加速度。 二、实验关键/重点解读 　　利用纸带分析物体的运动特点、测量物体的速度及加速度,是纸带类实验的基础。本实验常利用纸带求解各计数点的速度,用逐差法、图像法、公式法求解物体的加速度,同时对有效数字知识进行考查,难度相对较小。 关键点(一) 　 有效数字的认知   [题点训练] 1.在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中,实验装置如图1所示。 (1)需要的实验操作有　　　　(多选)。  A.调节滑轮使细线与轨道平行 B.倾斜轨道以平衡阻力 C.小车靠近打点计时器由静止释放 D.先接通电源再释放小车 (2)经正确操作后打出一条纸带,截取其中一段如图2所示。选取连续打出的点0、1、2、3、4为计数点,则计数点1的读数为　　　　cm。已知打点计时器所用交流电源的频率为50 Hz,则打计数点2时小车的速度大小为:　　　　m/s(结果保留三位有效数字)。  解析:(1)实验时,应调节滑轮使细线与轨道平行,小车从靠近打点计时器的地方由静止释放,并且要先接通电源后释放小车,实验中没必要平衡阻力,故选A、C、D。 (2)计数点1的读数为2.75 cm。打计数点2时小车的速度大小为v2==×10-2 m/s≈1.48 m/s。 答案:(1)ACD　(2)2.75(2.70~2.80均可) 1.48(1.45~1.50均可) 2.某同学利用如图所示的装置测量重力加速度,其中光栅板上交替排列着等宽度的遮光带和透光带(宽度用d表示)。实验时将光栅板置于光电传感器上方某高度,令其自由下落穿过光电传感器。光电传感器所连接的计算机可连续记录遮光带、透光带通过光电传感器的时间间隔Δt。 (1)除图中所用的实验器材外,该实验还需要　　　　(填“天平”或“刻度尺”);  (2)该同学测得遮光带(透光带)的宽度为4.50 cm,记录时间间隔的数据如表所示: 编号 1遮光带 2透光带 3遮光带 … Δt/(×10-3s) 73.04 38.67 30.00 … 根据上述实验数据,可得编号为3的遮光带通过光电传感器的平均速度大小为v3=　　　　m/s(结果保留两位有效数字);  (3)某相邻遮光带和透光带先后通过光电传感器的时间间隔分别为Δt1、Δt2,则重力加速度g=　　　　(用d、Δt1、Δt2表示)。  解析:(1)实验中,我们不需要测质量,但需要测遮光带和透光带的宽度,故需要刻度尺; (2)根据平均速度定义可得v3==1.5 m/s; (3)根据匀变速直线运动中平均速度等于中间时刻速度,分别求出相邻两个遮光带和透光带通过光电传感器的中间时刻速度后,根据加速度定义式表示g,即g=,整理可得g=。 答案:(1)刻度尺　(2)1.5　(3) [归纳建模] 1.刻度尺测量值有效数字的最后一位是测量者估读出来的,是偶然误差的来源。如第1题第(2)问中,1、3两计数点所在位置的刻度尺读数中,最后一位数字就是估读出来的。 2.有效数字的位数:在一个数中,自左向右,从第一个不为零的数字起,到右边最末一位数字止(包括末位数为零的数字),共有几个数字,就是几位有效数字。如第2题第(2)问v3的计算结果保留两位有效数字,v3=1.5 m/s,若要求结果保留三位有效数字,则v3=1.50 m/s。 3.科学记数法:如36 500,从左向右,如果第3位数“5”不可靠,则应记为3.65×104;如果第4位数“0”不可靠,应记为3.650×104。 关键点(二)　逐差法的活学妙用　　   [题点训练] 1.实验小组利用如图1所示的装置探究小车速度随时间变化的规律,打点计时器所接电源的频率为50 Hz。 (1)实验操作前,　　　　平衡阻力(选填“需要”或者“不需要”)。  (2)规范操作后,得到一条纸带,以纸带上能够看清的某个点作为0点,每5个点取一个计数点,测量各计数点与0点的距离,如图2所示,则纸带上打计数点2时小车速度大小v2=　　　　m/s,打计数点4时小车速度大小v4=　　　　m/s。(结果均保留3位有效数字)  (3)利用各计数点计算得到的速度作出小车运动的v⁃t图像,得到一条倾斜的直线,说明小车做匀加速直线运动,则小车运动的加速度大小a=　　　　m/s2。(结果保留3位有效数字)  解析:(1)本实验是探究速度随时间的变化规律,因此不需要平衡阻力。 (2)相邻计数点间的时间间隔为T=0.1 s,打计数点2时小车速度大小v2==0.504 m/s,打计数点4时小车速度大小v4=≈0.805 m/s。 (3)加速度大小a==1.50 m/s2。 答案:(1)不需要　(2)0.504　0.805　(3)1.50 2.在“利用打点计时器研究匀加速直线运动”实验中,某同学对同一个运动重复实验,得到两条纸带。由于打出的点间隔近,该同学每隔四个点取一个计数点,以便分析计算。用刻度尺测量相邻点间距,发现两条纸带有一组数据不同,如图所示(已知打点计时器所用电源频率为50 Hz): (1)通过匀加速直线运动规律判断,测量错误的纸带是　　　　;(选填“甲”或“乙”)  (2)D点速度大小为　　　　m/s;(保留两位有效数字)  (3)匀加速直线运动的加速度大小为　　　　m/s2。(保留两位有效数字)  解析:(1)做匀变速直线运动的物体在相邻相等时间间隔内的位移差相等,即满足Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1,甲纸带BC段、CD段、DE段与相邻的前一段的位移差均为0.51 cm,而EF段与DE段的位移差为0.62 cm,不满足匀变速直线运动的物体在相邻相等时间间隔内的位移差相等的规律,故甲纸带测量错误。 (2)每隔四个点取一个计数点,可知相邻计数点的时间间隔为T=5×0.02 s=0.1 s,选择乙纸带研究,D点为CE段中间时刻,则有vD== m/s≈0.43 m/s。 (3)选择乙纸带研究,由逐差法可得加速度大小为 a= = m/s2 =0.51 m/s2。 答案:(1)甲　(2)0.43　(3)0.51 [归纳建模] 1.如图甲所示,有连续的6段位移: 则加速度a=。 如第1题第(3)问中小车加速度的计算。 2.如图乙所示,有连续的5段位移: (1)可以去掉最短的x1,则有: a= (2)也可以去掉中间的x3,则有: a= 如第2题第(3)问中加速度大小计算就去掉中间的一段,采用(2)中的公式计算的。 3.如图丙所示,有不连续的两段位移: 则加速度a=。 关键点(三) 其他方法求解加速度   [题点训练] 1.(2025·湖南长沙质检)某兴趣小组用皮尺和带闪光灯的遥控汽车研究其启动时的运动规律,如图甲所示。实验步骤如下: (1)已知相邻两次闪光时间间隔相同,从某次闪光开始计时并计数1次,在第50次闪光结束计时,总时间为9.80 s; (2)将皮尺铺在平直的水平路面上,遥控汽车平行放置在皮尺旁,闪光时能照亮皮尺上的刻度。一位同学遥控小车让其从静止开始做直线运动,小车刚启动瞬间恰好发出第一次闪光,另一位同学用手机录像记录下小车运动情况; (3)用手机视频编辑软件查看视频,读出小车每次闪光时后轮的位置坐标,记录在下面的表格中; 闪光序数 1 2 3 4 5 6 7 小车位置x/m 0.01 0.06 0.17 0.33 0.52 0.70 0.90 小车速度v/ (m·s-1) 0 0.40 v3 0.88 0.93 0.95 — (4)用v=近似计算小车在不同位置的速度,其中v3=　　　　 m/s(保留2位有效数字);  (5)根据上表中的数据在乙图中描点作出小车的v⁃t图像,由图像可知小车启动过程加速度　　　　　(填“变大”“变小”或“不变”)。  解析:(4)由题意可知,相邻两次闪光时间间隔为t= s=0.2 s 则v3== m/s≈0.68 m/s。 (5)描点绘图如图所示 v⁃t图像斜率的绝对值表示加速度大小,由图像可知小车启动过程加速度变小。 答案:(4)0.68　(5)见解析图　变小 2.(2025·陕西西安期中)用图甲所示的实验装置来测量匀变速直线运动的加速度。 (1)实验的主要步骤: ①安装实验装置; ②测量挡光片的宽度d; ③用刻度尺测量挡光片的中心A点到光电门的中心B点之间的水平距离x; ④滑块从A点静止释放(已知砝码落地前挡光片已通过光电门); ⑤读出挡光片通过光电门所用的时间t,由此可知滑块的加速度表达式为a=　　　　;(用测量的物理量d、x、t表示)  ⑥用以上方法计算出来的加速度比真实的加速度　　　　　;(选填“偏大”“偏小”或“相等”)  ⑦用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量遮光片的宽度d,结果如图乙所示,可读出其读数为　　　　 cm。  (2)根据以上实验测得的数据,以x为横坐标,为纵坐标,在坐标纸中作出⁃x图线如图丙所示,再利用⑦测得的d值,求得该滑块的加速度是　　　　m/s2。(计算结果保留两位有效数字)  解析:(1)⑤根据速度与位移关系v2-=2ax 得a===。 ⑥题述方法是利用很短时间内的平均速度代替位移中点的瞬时速度(此处位移大小为挡光片的宽度d),而在匀加速直线运动中,位移中点的瞬时速度大于这段时间内的平均速度,所以用题述方法计算出来的加速度比真实的加速度偏小。 ⑦读数为d=1.8 cm+7×0.1 mm=1.87 cm。 (2)根据(1)中的表达式整理得=x 故斜率k= 代入数据解得加速度为a≈4.2 m/s2。 答案:(1)⑤　⑥偏小　⑦1.87　(2)4.2 3.(2023·全国甲卷)某同学利用如图(a)所示的实验装置探究物体做直线运动时平均速度与时间的关系。让小车左端和纸带相连,右端用细绳跨过定滑轮和钩码相连。钩码下落,带动小车运动,打点计时器打出纸带。某次实验得到的纸带和相关数据如图(b)所示。 (1)已知打出图(b)中相邻两个计数点的时间间隔均为0.1 s。以打出A点时小车的位置为初始位置,将打出B、C、D、E、F各点时小车的位移Δx填到表中,小车发生对应位移所用时间和平均速度分别为Δt和。表中ΔxAD=　　　　cm,=　　　　cm/s。  位移区间 AB AC AD AE AF Δx(cm) 6.60 14.60 ΔxAD 34.90 47.30 (cm/s) 66.0 73.0 87.3 94.6 (2)根据表中数据得到小车平均速度随时间Δt的变化关系,如图(c)所示。在图(c)中补全实验点。 (3)从实验结果可知,小车运动的 ⁃Δt图线可视为一条直线,此直线用方程=kΔt+b表示,其中k=　　　　cm/s2,b=　　　　cm/s。(结果均保留3位有效数字)  (4)根据(3)中的直线方程可以判定小车做匀加速直线运动,得到打出A点时小车的速度大小vA=　　　　,小车的加速度大小a=　　　　。(结果用字母k、b表示)  解析:(1)根据纸带的数据可得ΔxAD=xAB+xBC+xCD=6.60 cm+8.00 cm+9.40 cm=24.00 cm 平均速度为==80.0 cm/s。 (2)根据第(1)小题结果补全实验点,如图甲所示。 (3)从实验结果可知,小车运动的 ⁃Δt图线可视为一条直线,如图乙所示 此直线用方程=kΔt+b表示,由图像可知其中k=cm/s2=70.0 cm/s2,b=59.0 cm/s。 (4)小车做匀加速直线运动,由位移公式x=v0t+at2,整理得=v0+at,即=vA+at,故根据图像的斜率和截距可得vA=b,a=2k。 答案:(1)24.00　80.0　(2)见解析图甲 (3)70.0　59.0　(4)b　2k [归纳建模] 1.利用图像求物体的加速度 利用v⁃t 图像 图像的斜率表示物体的加速度,如第1题利用此方法求加速度 利用 ()⁃t 图像 由x=v0t+at2,得==v0+at,图像的斜率k=,物体的加速度a=2k。如第3题第(4)问利用此方法求加速度 2.利用速度与位移关系式求物体的加速度 利用光电门测出物体经过相邻两光电门的速度v1、v2,两光电门间距为x,则由-=2ax,可得物体的加速度a=。如第2题第(1)⑤问利用此方法求加速度。 [课时跟踪检测]　 (说明:标★的为推荐讲评题目) 1.(6分)某一物理兴趣实验小组利用节拍器和手机摄像功能来研究摩托车启动过程中速度随时间变化的规律。如图所示,节拍器工作原理与单摆类似,摆杆每次经过中间标尺位置时会发出“啪”的一声响。实验时首先调节节拍器的周期T=1.0 s,摩托车启动时节拍器刚好响了一声“啪”,并计序号为0,通过拍摄影像,确定每一次“啪”声对应车的位置,数据如下表: 节拍器 声响序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 摩托车 位置/m 0 0.48 1.24 2.32 3.72 5.46 7.53 9.91 12.60 根据表格内容可知(结果均保留两位小数) (1)由表格数据可判断摩托车近似做匀加速直线运动,理由是　　　　　　　　　　　　　　　　　;  (2)当x=1.24 m时摩托车的速度为　　　　m/s;  (3)摩托车的加速度大小为　　　　m/s2。  解析:(1)由表格数据可知,摩托车在相邻相等时间间隔内的位移差近似等于0.32 m,由此可知,摩托车近似做匀加速直线运动。 (2)节拍器工作原理与单摆类似,则一个周期内摆杆经过两次中间标尺位置,则相邻两次“啪”声间的时间间隔为0.5 s。x=1.24 m时摩托车的速度为v= m/s=1.84 m/s。 (3)由逐差法可知,摩托车的加速度为 a= m/s2=1.29 m/s2。 答案:(1)相邻相等时间间隔内的位移差近似相等 (2)1.84　(3)1.29 2.(6分)(2025·四川攀枝花模拟)研究小组用如图甲所示的装置来研究自由落体运动。图乙是实验中利用电磁打点计时器记录自由落体运动的轨迹时得到的一条纸带,图乙中的点是从放手开始打下的连续的计数点,其中相邻两计数点之间的距离为s1=9.6 mm、s2=13.4 mm、s3=17.3 mm、s4=21.1 mm,电源频率为f=50 Hz。 (1)下列说法正确的是　　　　。  A.电磁打点计时器的工作电压是220 V B.实验中使用秒表测量时间 C.实验时应先由静止释放纸带,然后赶紧接通电源 D.求出的加速度一般比9.8 m/s2小,是因为纸带和重物受到阻力 (2)根据纸带上的数据,D点的速度vD=　　　　m/s,重物的加速度大小为　　　　m/s2。(计算结果均保留两位有效数字)  解析:(1)电磁打点计时器的工作电压约为8 V,故A错误;打点计时器直接可以记录时间,不需要秒表,故B错误;实验时应先接通电源,后释放纸带,故C错误;求出的加速度一般比9.8 m/s2小,是因为纸带和重物受到阻力,使得加速度小于g,故D正确。 (2)电源频率为f=50 Hz,打点周期为T=0.02 s,根据纸带上的数据,由中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度可得,D点的速度vD=≈0.58 m/s。 利用逐差法可得加速度大小为a== m/s2≈9.6 m/s2。 答案:(1)D　(2)0.58　9.6 3.(6分)用图(a)所示的实验装置测量重力加速度。在竖直杆上装有两个光电门A和B,用直尺测量光电门之间的距离h,用光电门计时器测量小球从光电门A到B的时间t。 实验中某同学采用固定光电门B的位置,改变光电门A的位置进行多次测量,表中给出了测量数据。数据处理后作出函数图像,如图(b)。 h/m 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 t/s 0.076 0.120 0.168 0.220 0.283 0.368 (1)请补充图(b)中纵坐标的物理量　　　　。  A.小球在光电门A处的速度vA B.小球在光电门B处的速度vB C.小球在任意位置的速度 D.小球在A、B间的平均速度 (2)写出图(b)中直线的函数关系式　　　　(用h、t、g、vB表示)。  (3)由图(b)计算出直线斜率的值为-4.889,则测得的重力加速度为　　　　m/s2(保留3位有效数字)。  解析:(1)小球做自由落体运动,则小球从A到B的过程有h=vBt-gt2,整理得==vB-gt,题图(b)中纵坐标的物理量为小球在A、B间的平均速度。故选D。 (2)由上述分析可知题图(b)中直线的函数关系式为=vB-gt。 (3)直线斜率的值为k=-g=-4.889,则测得的重力加速度为g≈9.78 m/s2。 答案:(1)D　(2)=vB-gt　(3)9.78 4.(8分)(2025·北京海淀模拟)在高中阶段,我们学习了多种测量物体加速度的方法。 (1)利用打点计时器,可以测量小车的加速度。实验装置如图甲所示。通过实验得到了一条点迹清晰的纸带,找一个合适的点当作计时起点O(t=0),然后每隔0.1 s选取一个计数点,如图乙中A、B、C、D、E、F…所示。某同学测量了相邻两计数点间的距离:OA=7.05 cm,AB=7.68 cm,BC=8.31 cm,CD=8.95 cm,DE=9.57 cm,EF=10.20 cm,请计算该小车的加速度a1=　　　　m/s2(保留小数点后两位)。  (2)利用光电门,同样可以测量物体的加速度。如图丙,滑块上安装了宽度为2.0 cm的遮光条,滑块在牵引力作用下先后通过两个光电门,配套的数字计时器记录了遮光条通过第一个光电门的时间Δt1=0.20 s,通过第二个光电门的时间Δt2=0.05 s,遮光条从开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个光电门的时间t=2.5 s,试估算滑块的加速度a2=　　　　m/s2(保留两位有效数字),该估算值与真实值相比　　　　(选填“偏大”“偏小”或“相同”)。  (3)频闪照片也是一种测量加速度的方法。在暗室中,照相机的快门处于常开状态,频闪仪每隔一定时间发出一次短暂的强烈闪光,照亮运动的物体,于是胶片上记录了物体在几个闪光时刻的位置。某时刻,将一小球从O点由静止释放,频闪仪每隔0.04 s闪光一次。以O点为原点,以竖直向下为正方向建立坐标轴,并测量小球各时刻的位置坐标x1、x2、x3…。如图丁是小球自由下落时的部分频闪照片示意图,照片中的数字是小球下落的距离(单位:cm)。小崔同学为了减小偶然误差,他建议做x⁃t2图像,把实验数据代入(如=0.001 6 s2,x1=0.21 cm;=0.006 4 s2,x2=1.76 cm…),得到一条过原点的直线,再通过该直线的斜率得到加速度a3。请问该方案是否可行?如果可行,请求出加速度的值(结果保留两位有效数字);如果不可行,请说明原因________________________________________________________________________。  解析:(1)相邻两个计数点间的时间间隔T=0.1 s, 根据逐差法,该小车的加速度a1=≈0.63 m/s2。 (2)遮光条宽度d=2.0 cm,遮光条通过第一个光电门的速度v1=,通过第二个光电门的速度v2=,滑块的加速度a2==0.12 m/s2。 光电门测量的是遮光条从开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个光电门的时间,实际时间为遮光条通过第一个光电门中间时刻到通过第二个光电门中间时刻的时间,显然测量的时间偏大,故测得的加速度偏小。 (3)不可行。理由:取由O到A点下落时间为0.04 s,重力加速度约为9.8 m/s2,由h=gt2≈0.8 cm>0.21 cm,可知第一段OA的下落时间小于0.04 s,因此x⁃t2不是一条直线。 答案:(1)0.63　(2)0.12　偏小 (3)见解析 5.(8分)(2025·曲靖高三检测)某物理活动小组利用光电计时器探究滑块在斜面上速度变化的规律,实验装置如图(a)所示。光电计时器固定在斜面底端,把宽度为d的遮光片固定在滑块上。让滑块从距离光电计时器x处由静止释放,遮光片经过光电计时器的遮光时间为t。改变滑块释放位置,记录不同位置释放时,遮光片距离光电计时器的距离x及经过光电计时器的遮光时间t。 (1)遮光片经过光电计时器的速度v=　　　　(用题中所给字母表示);  (2)用游标卡尺测出遮光片的宽度如图(b)所示,遮光片的宽度d=　　　　mm;  (3)图(c)是根据实验数据描绘的x⁃图线,它近似为一条直线,则可知滑块做匀变速直线运动。由图中数据及已测数据可得,滑块加速度a=　　　　m/s2(结果保留2位有效数字)。  解析:(1)遮光片经过光电计时器的速度为v=。 (2)游标卡尺的读数为主尺读数与游标尺读数之和,所以d=1 mm+15×0.05 mm=1.75 mm。 (3)根据题意有v2=2ax,v=,所以x=· 结合图线可得=, 解得a≈3.1 m/s2。 答案:(1)　(2)1.75　(3)3.1 10 / 83 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$