第五章 万有引力与宇宙航行（教师用书）-【新高考方案】2026年高考物理一轮总复习（培优进阶版）

第五章　万有引力与宇宙航行 大单元分层教学设计 基础　 落实课 第1讲　万有引力定律 第2讲　天体运动与人造卫星 综合　 融通课 第3讲　天体运动中的三类典型问题 第1讲　万有引力定律(基础落实课) 一、开普勒行星运动定律 定律 内容 图示或公式 开普勒 第一定律 (轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒 第二定律 (面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在任意相等的时间内扫过的面积相等 开普勒 第三定律 (周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 =k,k是一个与行星无关的常量 二、万有引力定律 1.表达式:F=G,G为引力常量,通常取G=6.67×10-11 N·m2/kg2。　 2.适用条件 (1)公式适用于质点间的相互作用,当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时,物体可视为质点。 (2)质量分布均匀的球体可视为质点,r是两球球心间的距离,如图所示。 微点判断 1.(鲁科必修2P92T2·改编)在太阳系中,火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行。根据开普勒行星运动定律,判断下列说法的正误: ①太阳位于木星运行轨道的中心。 (×) ②火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等。 (×) ③火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方。 (√) ④在相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积。 (×) 2.行星在椭圆轨道上的运行速率是变化的,离太阳越远,运行速率越大。 (×) 3.(教科必修2P60T2·选摘)关于行星绕太阳的运动,判断下列说法的正误: ①所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动。 (×) ②离太阳越近的行星公转周期越小。 (√) 4.牛顿总结了前人的科研成果,在此基础上,经过研究得出了万有引力定律。 (√) 5.地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。 (√) 6.两物体间的距离趋近于零时,万有引力趋近于无穷大。 (×) 逐点清(一)　开普勒行星运动定律 |题|点|全|练| 1.[对开普勒第一定律的理解] (多选)下列说法正确的是 (　　) A.太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点 B.行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向 C.行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直 D.太阳是静止不动的 解析:选AB　太阳系中八大行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,且太阳位于八大行星椭圆轨道的一个共同焦点上,故A正确;行星的运动轨道为椭圆,即行星做曲线运动,速度方向沿轨道的切线方向,故B正确;椭圆上某点的切线并不一定垂直于此点与焦点的连线,故C错误;太阳并非静止,它围绕银河系的中心不断转动,故D错误。 2.[开普勒第二定律的应用] 某行星沿椭圆形轨道绕太阳运动,近日点离太阳距离为a,远日点离太阳距离为b,行星在近日点的速率为va,则行星在远日点的速率为 (　　) A.vb=va B.vb=va C.vb=va D.vb=va 解析:选C　根据开普勒第二定律可得avaΔt=bvbΔt,可得vb=va,故选C。 3.[开普勒第三定律的应用] (2024·浙江6月选考)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示,假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内,地球的公转半径为R,小行星甲的远日点到太阳的距离为R1,小行星乙的近日点到太阳的距离为R2,则 (　　) A.小行星甲在远日点的速度大于在近日点的速度 B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C.小行星甲与乙的运行周期之比= D.甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比= 解析:选D　根据开普勒第二定律,小行星甲在远日点的速度小于在近日点的速度,故A错误;根据万有引力提供向心力有=ma,小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度,故B错误;根据开普勒第三定律,小行星甲与乙的运行周期之比==,故C错误;甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比等于周期之比,=,故D正确。 |精|要|点|拨| 对开普勒行星运动定律的三点说明 (1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 (2)开普勒第三定律=k中,k值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体k值不同。 (3)开普勒行星运动定律也适用于其他天体,例如月球、卫星绕地球的运动。   逐点清(二)　万有引力定律的理解及应用 1.万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F向,如图所示。 (1)在赤道上:G=mg1+mω2R。 (2)在两极上:G=mg2。 2.不同位置处重力加速度的比较 地面 地下 天上 两极(或不计自转) 赤道 g== (R-h) g== g= g=-R [考法全训] 考法1　万有引力与重力的大小关系 1.(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量,随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M,引力常量为G,将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是 (　　) A.在北极地面称量时,弹簧测力计读数为F0=G B.在赤道地面称量时,弹簧测力计读数为F1=G C.在北极上空高出地面h处称量时,弹簧测力计读数为F2=G D.在赤道上空高出地面h处称量时,弹簧测力计读数为F3=G 解析:选AC　在北极地面称量时,物体不随地球自转,万有引力等于重力,则有F0=G,故A正确;在赤道地面称量时,万有引力等于重力加上物体随地球一起自转所需要的向心力,则有F1<G,故B错误;在北极上空高出地面h处称量时,万有引力等于重力,则有F2=G,故C正确;在赤道上空高出地面h处称量时,F3<G,故D错误。 考法2　天体表面的重力加速度的计算 2.被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜(FAST)已取得一系列重大科学成果,发现新脉冲星数量超过900颗。脉冲星就是旋转的中子星,某中子星的质量是太阳质量的20倍,自转周期为0.01 s,半径是地球绕太阳运动的轨道半径的。已知地球绕太阳做匀速圆周运动的向心加速度约为6.0×10-3 m/s2,则该中子星两极表面的重力加速度大小约为 (　　) A.4.0×108 m/s2 B.6.0×1010 m/s2 C.1.2×1011 m/s2 D.2.0×1013 m/s2 解析:选C　在该中子星两极表面万有引力等于重力,有mg中=G,地球绕太阳做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力有man=G,根据题意有m中=20m太,R中=r,联立可得,该中子星两极表面的重力加速度大小约为g中=1.2×1011 m/s2,故选C。 考法3　地球表面某高度或深度的重力加速度 3.(2025·昆明高三检测)假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体引力为零,地球表面处重力加速度为g,不计地球自转影响。则关于地球重力加速度a随地球球心到某点距离r的变化图像正确的是 (　　) 解析:选B　若距离大于地球半径,则根据万有引力提供重力可得=ma,得到加速度a=,随着距离增大,加速度变小。当在地球球壳内即距离小于地球半径,此时距离地心r~R范围内的球壳对物体引力为零,那么地球对其产生的引力就是半径为r的中心球体对其产生的引力,因此a===Gρ·πr,即加速度与距离成正比,故选B。 4.(2025·广州五校联考)若地球半径为R,把地球看作质量分布均匀的球体,已知质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零。中国空间站轨道距离地面高度为h,所在处的重力加速度为g1;“蛟龙”号载人潜水器下潜深度为d,所在处的重力加速度为g2;地表处重力加速度为g,不计地球自转影响,下列关系式正确的是 (　　) A.g1=g　　　　 B.g2=g C.g1=g2 D.g1=g2 解析:选C　对于中国空间站,根据万有引力提供向心力可得=mg1,解得g1=,在地球表面=mg,因此g1=g,A错误;设地球密度为ρ,在地球表面万有引力等于重力,即=m1g,又因为m地=ρV=,代入得g=,由于质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零,因此g2==g,B错误;由以上各式联立可得=,C正确,D错误。 [课时跟踪检测] (说明:标★的为推荐讲评题目) 一、单项选择题 1.(2024·广西高考)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在 (　　) A.a处最大 　B.b处最大 C.c处最大 　D.a、c处相等,b处最小 解析:选A　根据万有引力公式F=G可知,题图中a处距离月球最近,单位质量的海水受月球的引力最大。故选A。 2.(2023·江苏高考)设想将来发射一颗人造卫星,能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行,该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比,一定相等的是 (　　) A.质量 B.向心力大小 C.向心加速度大小 D.受到地球的万有引力大小 解析:选C　根据G=ma,可得a=,因该卫星与月球的轨道半径相同,可知向心加速度大小相同;因该卫星的质量与月球质量不一定相等,则向心力大小以及受到地球的万有引力大小均不一定相等。故选C。 3.(2024·全国甲卷)2024年5月,嫦娥六号探测器发射成功,开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球,飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是 (　　) A.在环月飞行时,样品所受合力为零 B.若将样品放置在月球正面,它对月球表面压力等于零 C.样品在不同过程中受到的引力不同,所以质量也不同 D.样品放置在月球背面时对月球的压力,比放置在地球表面时对地球的压力小 解析:选D　在环月飞行时,样品所受合力提供其所需的向心力,不为零,故A错误;若将样品放置在月球正面,它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小,由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的,则样品在地球表面的重力大于在月球表面的重力,所以样品放置在月球背面时对月球的压力,比放置在地球表面时对地球的压力小,故B错误,D正确;样品在不同过程中受到的引力不同,但样品的质量相同,故C错误。 4.(2025·山东青岛调研)编号为2020FD2的小行星是中国科学院紫金山天文台发现的一颗近地小行星。科学家们观测到它的轨道如图所示,轨道的半长轴大于地球轨道半径,小于木星轨道半径,近日点在水星轨道内,远日点在木星轨道外。已知木星绕太阳公转的周期为11.86年,关于该小行星,下列说法正确的是 (　　) A.在近日点的加速度比在远日点小 B.在近日点的运行速度比在远日点小 C.公转周期一定小于11.86年 D.在近日点的机械能比在远日点小 解析:选C　根据G=ma可知,该小行星在近日点的加速度比在远日点大,故A错误;根据开普勒第二定律,该小行星在近日点的运行速度比在远日点大,故B错误;该小行星轨道的半长轴小于木星轨道半径,已知木星绕太阳公转的周期为11.86年,根据开普勒第三定律可知,该小行星的公转周期一定小于11.86年,故C正确;在同一轨道上,只有万有引力做功,机械能守恒,该小行星在近日点的机械能等于在远日点的机械能,故D错误。 5.某星球质量约为地球质量的300倍,半径约为地球半径的10倍,则一物体在该星球和地球表面的重量比约为 (　　) A.3 B.30 C.900 D.9 000 解析:选A　设中心天体质量为M,由万有引力提供重力得G=mg,解得重力加速度g=,该星球质量约为地球质量的300倍,半径约为地球半径的10倍,则该星球与地球表面的重力加速度之比为3∶1,即一物体在该星球和地球表面的重量比约为3。故选A。 6. (2024年1月·甘肃高考适应性演练)我国酒泉卫星发射中心在2022年将“夸父一号”卫星送入半径为r1的晨昏轨道;2023年又将“星池一号A星”送入半径为r2的晨昏轨道,“夸父一号”与“星池一号A星”在绕地球运行中,周期之比为 (　　) A.1∶1 B.r1∶r2 C.∶ D.∶ 解析:选C　由开普勒第三定律=得,“夸父一号”与“星池一号A星”在绕地球运行中,周期之比为=,故选C。 7.(2024·安徽高考)2024年3月20日,我国探月工程四期鹊桥二号中继卫星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时,鹊桥二号开始进行近月制动,并顺利进入捕获轨道运行,如图所示,轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整,进入冻结轨道运行,轨道的半长轴约为9 900 km,周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时 (　　) A.周期约为144 h B.近月点的速度大于远月点的速度 C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 解析:选B　冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球,根据开普勒第三定律得=,解得在捕获轨道运行周期T2=T1≈288 h,A错误;根据开普勒第二定律得,近月点的速度大于远月点的速度,B正确;鹊桥二号从捕获轨道到冻结轨道进行近月制动,在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度,C错误;在两轨道的近月点所受的万有引力相同,根据牛顿第二定律可知,在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度,D错误。 8.位于贵州的“中国天眼”(FAST)可以测量地球与木星之间的距离。当FAST接收到来自木星的光线传播方向恰好与地球公转线速度方向相同时,测得地球球心与木星球心的距离是地球球心与太阳球心距离的k倍。若地球和木星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动且轨道共面,则可知木星的公转周期为 (　　) A.年 B.年 C.年 D.年 解析:选A　设地球球心与太阳球心距离为r,根据几何关系可知,木星球心与太阳球心的距离R==r(1+k2,设木星的公转周期为T,根据开普勒第三定律,则有=,T地=1年,解得T=(1+k2年,A正确,B、C、D错误。 9.(2024·甘肃高考)小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内,通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度,可行的是 (　　) A.用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力 B.测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期 C.从高处释放一个重物,测量其下落高度和时间 D.测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径 解析:选D　在天宫实验室内,物体处于完全失重状态,重力提供物体绕地球做匀速圆周运动的向心力,故选项A、B、C中的实验均无法得到天宫实验室轨道处的重力加速度。由重力提供天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的向心力得mg=mr,解得天宫实验室轨道处的重力加速度为g=r,故可行的是测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径,D正确。 10.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)假设航天员驾驶宇宙飞船登陆某一行星,该行星是质量分布均匀的球体。通过测量发现,某一物体在该行星两极处的重力为G,在该行星赤道处的重力为0.75G,则此物体在赤道处随行星自转的向心力为 (　　) A.G　　B.G　　C.G　　D.G 解析:选B　设该行星的质量为M,半径为R,引力常量为G',物体在该行星两极处有=G,在该行星赤道处有=0.75G+F向,联立可得此物体在赤道处随行星自转的向心力为F向=G,故选B。 11.如图所示,将一个半径为R、质量为M的均匀大球,沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球,并把其中一个放在球外与大球靠在一起。若挖去的小球的球心、球外小球球心、大球球心在一条直线上,则大球中剩余部分与球外小球之间的万有引力大小约为(已知引力常量为G) (　　) A.0.01 B.0.02 C.0.05 D.0.04 解析:选D　由题意知,所挖出小球的半径为,质量为,则挖出小球前大球对球外小球的万有引力大小为F=G=,将所挖出的其中一个小球填在原位置,则填入左侧原位置小球对球外小球的万有引力为F1=G=,填入右侧原位置小球对球外小球的万有引力为F2=G=,大球中剩余部分对球外小球的万有引力大小为F3=F-F1-F2≈0.04,D正确。 12.(2023·山东高考)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引,这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质,且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍,地球表面的重力加速度为g,根据牛顿的猜想,月球绕地球公转的周期为 (　　) A.30π B.30π C.120π D.120π 解析:选C　设月球所在高度处重力加速度为g',由F引=得,在地球表面附近g=,同理在月球所在高度处g'=,由于r=60R,则g'=g,对月球由牛顿第二定律得m'g'=m'r,解得T=120π,故C正确。 13.(2025·四川成都模拟)如图所示,A、B两颗卫星绕地球做匀速圆周运动,O为地心,在两卫星运行过程中,AB连线和OA连线的夹角最大为θ,则A、B两卫星 (　　) A.做圆周运动的周期之比为2 B.做圆周运动的周期之比为 C.与地心O连线在相等时间内扫过的面积之比为 D.与地心O连线在相等时间内扫过的面积之比为 解析:选C　夹角最大时,OB与AB垂直,根据几何关系有rB=rAsin θ,由开普勒第三定律可得=,则=,A、B错误;t时间内,卫星与地心连线扫过的面积S=·πr2,则=·=,C正确,D错误。 二、多项选择题 14.天问一号火星探测器被火星捕获,经过一系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”,为着陆火星做准备。如图所示,阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线每秒扫过的面积,下列说法正确的是 (　　) A.图中两阴影部分的面积不相等 B.从“调相轨道”进入“停泊轨道”,探测器周期变大 C.从“调相轨道”进入“停泊轨道”,探测器机械能变大 D.探测器在P点的加速度大于在N点的加速度 解析:选AD　根据开普勒第二定律可知探测器在同一轨道上相等时间内与火星的连线扫过的面积相等,但是题图中两阴影部分不在同一轨道,故面积不相等,故A正确;从“调相轨道”进入“停泊轨道”,探测器的轨道半长轴变小,根据开普勒第三定律可知周期变小,故B错误;从“调相轨道”进入“停泊轨道”,探测器做向心运动,需要减速,探测器机械能变小,故C错误;根据公式=ma,可得探测器在P点的加速度大于在N点的加速度,故D正确。 15.(2025·广东清远检测)如图所示是某小行星绕太阳运动的椭圆轨道,M、N、P是小行星依次经过的三个位置,F1、F2为椭圆的两个焦点。小行星由M到N和由N到P的过程中,通过的路程相等,小行星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2。已知由M到N过程中,太阳的引力对小行星做正功。下列判断正确的是 (　　) A.太阳位于焦点F1处 B.S1>S2 C.在M和N处,小行星的动能EkM>EkN D.在N和P处,小行星的加速度aN<aP 解析:选BD　已知由M到N过程中,太阳的引力对小行星做正功,说明小行星靠近太阳运动,所以太阳位于焦点F2处,A错误;小行星由M到P的过程中,太阳的引力对小行星做正功,速度逐渐增大,小行星由M到N和由N到P的过程中,通过的路程相等,所以小行星由M到N的运动时间大于由N到P的运动时间,由开普勒第二定律可知S1>S2,B正确;由M到N过程中,万有引力做正功,则动能增大,即EkM<EkN,C错误;根据万有引力公式F=G,可知小行星在N处的引力小于在P处的引力,由牛顿第二定律得F=ma,可得aN<aP,D正确。 16.(2025·河南郑州模拟)二十四节气的命名反映了季节、物候现象和气候变化,节气早在《淮南子》中就有记载。地球沿椭圆轨道绕太阳运行时,所处不同位置对应的中国节气如图所示(2025年),太阳在椭圆的一个焦点上,下列说法正确的是 (　　) A.地球在夏至运行速度最小,在冬至运行速度最大 B.地球在夏至和冬至绕太阳公转时相同时间内转过的角度相等 C.地球绕太阳公转到夏至时加速度最小 D.根据地球的公转周期和太阳与地球之间的距离可估算出地球的质量 解析:选AC　根据开普勒第二定律可知,地球在夏至处于远日点运行速度最小,在冬至处于近日点运行速度最大,故A正确;由开普勒第二定律可知,地球与太阳连线在相同时间内扫过的面积相同,但由于地球与太阳间的距离不断变化,所以相同时间内转过的角度不相等,故B错误;地球绕太阳公转到夏至时与太阳间的距离最大,根据牛顿第二定律可知G=ma,解得a=,此时地球的加速度最小,故C正确;由万有引力定律和牛顿第二定律,根据地球的公转周期和太阳与地球的距离可估算出的是中心天体太阳的质量,不能估算地球的质量,故D错误。 第2讲　天体运动与人造卫星(基础落实课) 一、天体运动问题分析 1.将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动,其所需向心力由万有引力提供。 2.基本关系式 G= 二、宇宙速度 1.第一宇宙速度:v1=7.9 km/s,是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度。这是人造卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度,也是人造卫星的最小发射速度。 (1)计算公式1:由G=m得v=; (2)计算公式2:由mg=m得v=。 2.第二宇宙速度:v2=11.2 km/s,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度,也叫脱离速度。 3.第三宇宙速度:v3=16.7 km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度,也叫逃逸速度。 三、绝对时空观和相对论时空观 1.绝对时空观:时间与空间都是独立于物体及其运动而存在的。 2.相对论时空观:物体占有的空间以及物理过程、化学过程,甚至还有生命过程的持续时间,都与它们的运动状态有关。 微点判断 1.绕同一中心天体运行的两颗行星,公转半径越大,向心加速度越大。 (×) 2.(鲁科必修2P111T4·改编)地球静止卫星相对地面静止不动,犹如悬在空中一样,以实现对同一地区的连续监测。判断下列说法的正误: ①静止卫星处于平衡状态。 (×) ②静止卫星绕地心的角速度与地球自转的角速度相同。 (√) ③静止卫星的速率一定大于7.9 km/s。 (×) 3.火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度。 (√) 4.月球的第一宇宙速度也是7.9 km/s。 (×) 5.(人教必修2P71T2·改编)发射人造地球卫星时发射场一般选择在尽量靠近赤道的地方。 (√) 6.若物体的速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度,则物体可绕太阳运行。 (√) 7.绕同一中心天体运动且质量不同的两颗行星,若轨道半径相同,速率不一定相等。 (×) 8.近地卫星不能通过地球的南、北两极。 (×) 逐点清(一)　天体质量、密度的计算 方法1　“自力更生”法(g-R) 　　利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G=mg,得天体质量M=。 (2)天体密度ρ===。 (3)GM=gR2称为黄金代换公式。 　　[例1]　假设一航天员在地球的表面上以一定的速度竖直跳起,能跳到的最大高度为h1;若他在另一星球a的表面上以相同的速度竖直跳起,能跳到的最大高度为h2。地球、星球a均视为球体,地球与星球a的半径之比为k,不考虑两星球自转的影响,则地球与星球a的平均密度之比为 (　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. [解析]　根据竖直上抛运动的规律,有v2=2gh,解得g=;在星球表面有mg=,星球体积V=πR3,M=ρV,联立解得ρ==,故==,故选A。 [答案]　A 方法2　“借助外援”法(T-r) 　　测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。 (1)由G=mr,得天体的质量M=。 (2)若已知天体的半径R,则天体的密度ρ===。 (3)若卫星绕天体表面运行时,可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度ρ=,可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。 　　[例2]　(2024·海南高考)嫦娥六号进入环月圆轨道,周期为T,轨道高度与月球半径之比为k,引力常量为G,则月球的平均密度为 (　　) A. B. C. D.(1+k)3 [解析]　设月球的半径为R,质量为M,对嫦娥六号分析,根据万有引力提供向心力有G=m·(k+1)R,月球的体积V=πR3,月球的平均密度ρ=,联立可得ρ=(1+k)3。故选D。 [答案]　D 逐点清(二)　卫星运行参量的分析 |题|点|全|练| 1.(2024·江西高考)“嫦娥六号”探测器于2024年5月8日进入环月轨道,后续经调整环月轨道高度和倾角,实施月球背面软着陆。当探测器的轨道半径从r1调整到r2时(两轨道均可视为圆形轨道),其动能和周期从Ek1、T1分别变为Ek2、T2。下列选项正确的是 (　　) A.=,=　　 B.=,= C.=,= D.=,= 解析:选A　由万有引力提供向心力,可得=mr=m,解得T=,v=,则=,又Ek=mv2,所以=,故A正确。 2.(2025年1月·八省联考云南卷)神舟十九号载人飞船与中国空间站完成自主交会对接后形成一个组合体。该组合体在距地面高约400 km(高于近地轨道高度)的轨道上运行，其轨道可近似视为圆。已知地球同步卫星位于地面上方高度约36 000 km处，则该组合体 (　　) A.运行速度大于7.9 km/s，运行周期小于地球同步卫星的周期 B.运行速度大于7.9 km/s，运行周期大于地球同步卫星的周期 C.运行速度小于7.9 km/s，运行周期小于地球同步卫星的周期 D.运行速度小于7.9 km/s，运行周期大于地球同步卫星的周期 解析:选C　根据G=m=mr，可得v=，T=2π，组合体的轨道半径大于地球半径，可知组合体的运行速度小于7.9 km/s；组合体的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，可知组合体的运行周期小于地球同步卫星的周期。故选C。 3.(2025年1月·八省联考河南卷)水星是太阳系中距离太阳最近的行星,其平均质量密度与地球的平均质量密度可视为相同。已知水星半径约为地球半径的,则靠近水星表面运动的卫星与地球近地卫星做匀速圆周运动的线速度之比约为 (　　) A.64∶9 B.8∶3 C.3∶8 D.9∶64 解析:选C　由万有引力提供向心力有G=m，解得v===，所以===，故选C。 |精|要|点|拨| 1.解答人造地球卫星运行问题的策略 (1)一种模型:无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。 (2)两条关系 ①万有引力提供向心力: G=ma=m=mω2r=mr。 ②近地卫星:=mg(R、g分别是地球的半径、地球表面重力加速度)。 2.静止卫星的六个“一定”(注:静止卫星是地球同步卫星的一个特例) 逐点清(三)　宇宙速度 |题|点|全|练| 1.[对宇宙速度的理解] (2024·湖南高考)(多选)2024年5月3日,“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道,正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”,本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱,返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道,半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的,月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动,下列说法正确的是 (　　) A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度 B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度 C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 解析:选BD　返回舱在该绕月轨道上运动时,万有引力提供向心力,且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道,半径近似为月球半径,则有G=m,在月球表面万有引力和重力的关系为G=mg月,联立解得v月=,同理可得v地=,代入题中数据可得v月=v地,故A错误,B正确;根据线速度和周期的关系有T=r,根据以上分析可得T月=T地,故C错误,D正确。 2.[第一宇宙速度的计算] (2025年1月·八省联考四川卷)我国某研究团队提出以磁悬浮旋转抛射为核心的航天器发射新技术。已知地球和月球质量之比约为81∶1,半径之比约为4∶1。若在地球表面抛射绕地航天器,在月球表面抛射绕月航天器,所需最小抛射速度的比值约为 (　　) A.20 B.6 C.4.5 D.1.9 解析:选C　在天体表面抛射航天器,所需要的最小速度为天体的第一宇宙速度,根据万有引力提供向心力，有G=m,可得天体的第一宇宙速度为v=,已知地球和月球质量之比约为81∶1,半径之比约为4∶1,则地球和月球的第一宇宙速度之比为==4.5,即所需最小抛射速度的比值约为4.5。故选C。 3.[第二宇宙速度的计算] (2025·长沙期中检测)使物体脱离星球的引力束缚,不再绕星球运行,从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度,星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系为v2=v1。已知某星球的半径为R,其表面的重力加速度大小为地球表面重力加速度大小g的k(k>1)倍。不计其他星球的影响,则该星球的第二宇宙速度为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由重力提供向心力,可得kmg=m,解得该星球的第一宇宙速度为v1=,该星球的第二宇宙速度为v2=v1=,故选D。 |精|要|点|拨| 1.两种速度——环绕速度与发射速度的比较 (1)不同高度处的人造地球卫星在圆轨道上运动的速度即环绕速度v环绕=,其大小随轨道半径的增大而减小。但是,由于在人造地球卫星的发射过程中火箭要克服地球引力做功,势能增大,所以将卫星发射到离地球越远的轨道,在地面上所需的发射速度就越大,此时v发射>v环绕。 (2)人造地球卫星的最小发射速度对应将卫星发射到近地轨道运行,该速度为卫星绕地球运行的最大速度。 2.宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发=7.9 km/s时,卫星绕地球做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s<v发<11.2 km/s时,卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时,卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。 (4)v发≥16.7 km/s时,卫星将挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳系以外的空间。 [课时跟踪检测] 一、单项选择题 1.(2025年1月·八省联考陕晋宁青卷)神舟十九号载人飞船与中国空间站在2024年10月顺利实现第五次“太空会师”,飞船太空舱与空间站对接成为整体,对接后的空间站整体仍在原轨道稳定运行,则对接后的空间站整体相对于对接前的空间站 (　　) A.所受地球的万有引力变大 B.在轨飞行速度变大 C.在轨飞行周期变大 D.在轨飞行加速度变大 解析:选A　对接后的空间站整体质量变大，轨道半径不变，根据万有引力表达式F=G，可知空间站所受地球的万有引力变大，故A正确；根据万有引力提供向心力有G=ma=m=mr，可得a=，v=，T=2π，空间站运行的轨道半径不变，则在轨飞行速度大小不变，在轨飞行周期不变，在轨飞行加速度大小不变，故B、C、D错误。 2.(2024·贵州高考)土星的部分卫星绕土星的运动可视为匀速圆周运动,其中的两颗卫星轨道半径分别为r1、r2且r1≠r2,向心加速度大小分别为a1、a2,则 (　　) A.= B.= C.a1r1=a2r2 D.a1=a2 解析:选D　设土星的质量为M,两颗卫星的质量分别为m1、m2,对两颗卫星,根据牛顿第二定律有G=m1a1,G=m2a2,整理可得a1=a2。故选D。 3.(2024·新课标卷)天文学家发现,在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行,其中行星GJ1002c 的轨道近似为圆,轨道半径约为日地距离的0.07倍,周期约为0.06年,则这颗红矮星的质量约为太阳质量的 (　　) A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1 000倍 解析:选B　设红矮星质量为M1,行星质量为m1,轨道半径为r1,周期为T1;太阳的质量为M2,地球质量为m2,到太阳距离为r2,周期为T2;根据万有引力定律有G=m1r1,G=m2r2,联立可得=·,由于行星轨道半径约为日地距离的0.07倍,周期约为0.06年,可得≈0.1,故选B。 4.(2024·山东高考)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行,其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r,则月球与地球质量之比可表示为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　根据万有引力提供向心力得=mr,整理得M=,因为“鹊桥二号”中继星环绕月球运行的周期与地球同步卫星环绕地球运行的周期相等,故=,故选D。 5.(2025·南昌高三模拟)卫星是人类的“千里眼”“顺风耳”,如图所示三颗静止通信卫星就能实现全球通信,已知卫星之间的距离均为L,地球自转的周期为T,地球的第一宇宙速度为v0,引力常量为G,下列说法正确的是 (　　) A.三颗通信卫星受到的万有引力大小相等 B.三颗通信卫星的轨道半径为L C.地球的质量为 D.地球的第一宇宙速度与通信卫星的速度之比为 解析:选D　由于三颗通信卫星的质量不一定相等,则受到的万有引力大小不一定相等,故A错误;由几何关系得rsin 60°=,解得卫星的轨道半径为r=L,故B错误;静止通信卫星的周期为T,由万有引力提供向心力得=mr,解得M=,故C错误;地球的第一宇宙速度为v0,通信卫星的速度为v=r=,速度之比为=,D正确。 6.若某载人宇宙飞船绕地球做圆周运动的周期为T,由于地球遮挡,航天员发现有时间会经历“日全食”过程,如图所示,已知引力常量为G,太阳光可看作平行光,则地球的平均密度ρ为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　设地球质量为M,飞船运动半径为r,对飞船研究可知G=mr,解得M=,由几何关系可知R=,则地球密度ρ=,V=πR3,解得ρ=,故选C。 7.(2025·河南开封模拟)2024年9月,中非北斗卫星导航系统及遥感应用联合实验室在北京航空航天大学揭牌。我国的北斗系统主要由地球同步轨道卫星和中轨道卫星组成,若其中两卫星在同一平面内环绕地球做匀速圆周运动,且绕行方向相同。如图,质量为m1的同步轨道卫星在以地球中心为圆心、半径为r1的圆轨道上运动,周期为T1;质量为m2的中轨道卫星绕地球做轨道半径为r2的匀速圆周运动。下列说法不正确的是 (　　) A.地球的质量为M= B.地球表面的重力加速度大小为g= C.同步轨道卫星与中轨道卫星速度大小之比为= D.中轨道卫星做圆周运动的周期为T2=T1 解析:选B　根据万有引力提供向心力得G=m1,解得地球的质量M=,故A正确;设地球的半径为R,根据G=mg,可得地球表面的重力加速度大小g==,但因为地球半径未知,故无法求出地球表面的重力加速度,故B错误;根据万有引力提供向心力得G=m,解得v=,可得 =,故C正确;根据开普勒第三定律可知=,整理可得T2=T1,故D正确。 8.(2024年1月·安徽高考适应性演练)如图所示,有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动,两颗卫星的近地点均与星球表面相距很近(可视为相切),卫星1和卫星2的轨道远地点到星球表面的最近距离分别为h1、h2,卫星1和卫星2的环绕周期之比为k。忽略星球自转的影响,已知引力常量为G,星球表面的重力加速度为gc。则星球的平均密度为 (　　) A. 　B. C. 　D. 解析:选A　设星球的半径为R,卫星1、卫星2轨道的半长轴分别为a1=,a2=,由开普勒第三定律得==k,整理得R=,星球表面的重力加速度为gc,根据万有引力等于重力得G=mgc,又星球的质量M=ρR3,联立得ρ==,故选A。 9.(2025·云南玉溪模拟)从“玉兔”登月到“祝融”探火,我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。“祝融”号火星探测器测得火星两极的重力加速度为g0,火星赤道的重力加速度为g,并且火星探测器近距离(贴近火星表面)绕行火星一周的时间为T,引力常量为G,利用以上数据不能计算得出的是 (　　) A.火星的自转周期 B.火星的质量 C.火星探测器近距离绕行火星时的动能 D.火星的同步卫星距火星表面的高度 解析:选C　设火星的质量为M,火星的半径为R,火星的自转周期为T0,在火星两极有=mg0,在火星赤道有=mg+mR,火星探测器近距离(贴近火星表面)绕行火星一周的时间为T,由万有引力提供向心力可得=m'R,联立以上方程可得R=,M=,T0=T,故A、B不符合题意要求;由于火星探测器的质量未知,所以无法得出火星探测器近距离绕行火星时的动能,故C符合题意要求;设火星的同步卫星距火星表面的高度为h,由万有引力提供向心力可得=m0(R+h),可得h=-R,故D不符合题意要求。 10.假设某探月航天器先绕地球表面附近做匀速圆周运动,周期为T1,线速度大小为v1;然后飞向月球,绕月球表面附近做匀速圆周运动,周期为T2,线速度大小为v2。已知地球的质量大于月球的质量,地球的半径为月球半径的4倍,地球与月球均视为质量分布均匀的球体,则下列说法正确的是 (　　) A.2v1<v2 B.T1>8T2 C.地球与月球质量的比值为64 D.地球与月球平均密度的比值为 解析:选D　由万有引力提供向心力可知G=m,解得v=,故==>,故2v1>v2,A错误;由T=可知==<,故T1<8T2,B错误;由万有引力提供向心力可知G=m,解得M=,故==64,C错误;由上述分析可知ρ===,得=,D正确。 二、多项选择题 11.(2024·福建高考)据报道,我国计划发射的“巡天号”望远镜将运行在离地面约400 km的轨道上,其视场比“哈勃”望远镜的更大。已知“哈勃”运行在离地面约550 km的轨道上,若两望远镜绕地球近似做匀速圆周运动,则“巡天号” (　　) A.角速度大小比“哈勃”的小 B.线速度大小比“哈勃”的小 C.运行周期比“哈勃”的小 D.向心加速度大小比“哈勃”的大 解析:选CD　根据万有引力提供向心力可得=mω2r=m=mr=ma,可得ω=,v=,T=,a=,由于“巡天号”的轨道半径小于“哈勃”的轨道半径,则有ω巡>ω哈,v巡>v哈,T巡<T哈,a巡>a哈,故选C、D。 12.(2025·辽宁模拟)中国空间站的运动可以近似看成在距离地面高h处以周期T绕地球的匀速圆周运动,若地球看作半径为R、质量分布均匀的球体,自转周期为T,引力常量为G。下列说法正确的是 (　　) A.地球的质量可表示为 B.地球的密度可表示为 C.质量为m的航天员在空间站中受到的地球引力大小为 D.质量为m的航天员在空间站中受到的地球引力大小为0 解析:选AC　根据=m0,解得地球的质量可表示为M=,故A正确;地球的密度可表示为ρ===,故B错误;质量为m的航天员在空间站中受到的地球引力大小为F==,故C正确,D错误。 13.(2024·广东高考)如图所示,探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞,在接近某行星表面时以60 m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”,探测器与背罩断开连接,背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1 000 kg,背罩质量为50 kg,该行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小取g=10 m/s2。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有 (　　) A.该行星表面的重力加速度大小为4 m/s2 B.该行星的第一宇宙速度为7.9 km/s C.“背罩分离”后瞬间,背罩的加速度大小为 80 m/s2 D.“背罩分离”后瞬间,探测器所受重力对其做功的功率为30 kW 解析:选AC　在星球表面,根据G=mg,可得g=,该行星的质量和半径分别为地球的和,地球表面重力加速度大小取g=10 m/s2,可得该行星表面的重力加速度大小g'=4 m/s2,故A正确;在星球表面上空,根据万有引力提供向心力,有G=m,可得星球的第一宇宙速度v=,该行星的质量和半径分别为地球的和,可得该行星的第一宇宙速度v行=v地,地球的第一宇宙速度为7.9 km/s,所以该行星的第一宇宙速度v行=×7.9 km/s,故B错误;“背罩分离”前,探测器及其保护背罩和降落伞整体做匀速直线运动,对探测器受力分析,可知探测器与保护背罩之间的作用力F=mg'=4 000 N,“背罩分离”后瞬间,背罩所受的合力大小为4 000 N,根据牛顿第二定律F=m'a,解得背罩的加速度大小a=80 m/s2,故C正确;“背罩分离”后瞬间,探测器所受重力对其做功的功率P=mg'v=1 000×4×60 W=240 kW,故D错误。 14.(2024·河北高考)2024年3月20日,鹊桥二号中继星成功发射升空,为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通信。鹊桥二号采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道(如图),近月点A距月心约为2.0×103 km,远月点B距月心约为1.8×104 km,CD为椭圆轨道的短轴,下列说法正确的是 (　　) A.鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12 h B.鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1 C.鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线 D.鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s 且小于11.2 km/s 解析:选BD　鹊桥二号围绕月球做椭圆运动,根据开普勒第二定律可知,从A→C→B做减速运动,从B→D→A做加速运动,则从C→B→D的运动时间大于半个周期,即大于12 h,故A错误;鹊桥二号在A点根据牛顿第二定律有G=maA,同理在B点有G=maB,代入题中数据联立解得aA∶aB=∶=81∶1,故B正确;由于鹊桥二号做曲线运动,则可知鹊桥二号的速度方向应为轨道的切线方向,则可知鹊桥二号在C、D两点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线,故C错误;由于鹊桥二号环绕月球运动,而月球为地球的“卫星”,则鹊桥二号未脱离地球的束缚,故鹊桥二号的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9 km/s,小于地球的第二宇宙速度11.2 km/s,故D正确。 第3讲　天体运动中的三类典型问题(综合融通课) (一)卫星变轨与对接问题 　　若卫星要从轨道Ⅰ变换到轨道Ⅲ,则需要在A处、B处各点火加速一次;若卫星要从轨道Ⅲ变换到轨道Ⅰ,则需要在B处、A处各制动减速一次。各种物理量的比较如下表所示: 速度关系 vⅡA>vⅠ>vⅢ>vⅡB (向心)加速度关系 aⅠ=aⅡA>aⅡB=aⅢ 能量关系 EⅠ<EⅡ<EⅢ 　　卫星变轨问题的实质是卫星所受的万有引力F万与卫星所需的向心力F向之间的供需关系: ①当F万=F向时,卫星沿着圆形轨道做匀速圆周运动; ②当F万<F向时,卫星将偏离原轨道做离心运动; ③当F万>F向时,卫星将偏离原轨道做近心运动。 　　[例1]　(2024·湖北高考)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动,如图中实线所示。为了避开碎片,空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体,使空间站获得一定的反冲速度,从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示,其半长轴大于原轨道半径。则 (　　) A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同 B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小 D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 [解析]　空间站变轨前、后在P点所受到的万有引力不变,根据牛顿第二定律可知,空间站变轨前、后在P点的加速度相同,故A正确;因为变轨后轨道的半长轴大于原轨道半径,根据开普勒第三定律可知,空间站变轨后的运动周期比变轨前的运动周期大,故B错误;变轨时,空间站喷气加速,因此空间站变轨后在P点的速度比变轨前的大,故C错误;由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前的速度大,比在近地点的速度小,则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的速度小,故D错误。 [答案]　A 　　[例2]　(2025·广州模拟)2024年5月3日嫦娥六号发射成功,5月8日成功实施近月制动,并顺利进入环月轨道飞行,示意图如图所示。假设登月探测器在环月轨道1上的P点实施变轨,进入椭圆轨道2,再由近月点Q点进入圆轨道3,已知轨道1的半径为3r,轨道3的半径为r,登月探测器在轨道3的运行周期为T,则登月探测器 (　　) A.在轨道1上运行的周期为3T B.从轨道2上的Q点进入圆轨道3时,需要点火加速 C.沿轨道1过P点比沿轨道2过P点时的加速度大 D.沿轨道2运行时,经P点和Q点时的加速度大小之比为1∶3 [解析]　根据开普勒第三定律=,解得T1=3T,故A正确;从轨道2上的Q点进入圆轨道3时,由离心运动变为圆周运动,需要减速,故B错误;根据万有引力提供向心力得G=ma,解得a=,沿轨道1过P点的加速度等于沿轨道2过P点时的加速度,故C错误;根据a=,沿轨道2运行时,经P点和Q点时的加速度大小之比为1∶9,故D错误。 [答案]　A (二)天体的追及与相遇问题 　　绕同一中心天体,在同一轨道平面内不同高度上同向运行的卫星,因运行周期的不同,两颗卫星有时相距最近,有时又相距最远,这就是天体中的“追及相遇”问题。 由最 远到 最近 当两卫星和中心天体在同一直线上且位于中心天体的两侧时,两卫星相距最远,从运动关系上,两卫星应满足(ωA-ωB)t=(2n-1)π(n=1,2,3,…) 由最 近到 最近 当两卫星和中心天体在同一直线上且位于中心天体的同侧时,两卫星相距最近,从运动关系上,两卫星应满足(ωA-ωB)t=2nπ(n=1,2,3,…) 　　 [例1]　(人教版教材必修2,P72T6)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间,且三者几乎排成一条直线的现象,天文学称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 根据题中信息,试计算木星相邻两次冲日的时间间隔,哪颗地外行星相邻两次冲日的时间间隔最短? [解析]　行星相邻两次冲日的时间间隔就是地球比该行星多运动一周的时间,设相邻两次冲日的时间间隔为t,有-=1,即t==,再根据开普勒第三定律有=,即=,故t=。将地球和木星的轨道半径代入,可得t木≈1.1年。海王星的轨道半径最大,海王星相邻两次冲日的时间间隔最短。 [答案]　1.1年　海王星相邻两次冲日的时间间隔最短。 　　 [例2]　(2023·湖北高考)2022年12月8日,地球恰好运行到火星和太阳之间,且三者几乎排成一条直线,此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动,火星与地球公转轨道半径之比约为3∶2,如图所示。根据以上信息可以得出 (　　) A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8 B.当火星与地球相距最远时,两者的相对速度最大 C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4 D.下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前 [解析]　火星和地球均绕太阳运动,由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2,根据开普勒第三定律有=,可得==,故A错误;火星和地球绕太阳做匀速圆周运动,速度大小均不变,当火星与地球相距最远时,由于两者的速度方向相反,故此时两者相对速度最大,故B正确;在星球表面根据万有引力近似等于重力,有G=mg,g=,由于不知道火星和地球的质量比,故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度之比,故C错误;火星和地球绕太阳做匀速圆周运动,有ω火=,ω地=,要发生下一次火星冲日,则有t=2π,得t=>T地,可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后,故D错误。 [答案]　B |考|教|衔|接| 　 　　湖北高考题直接借用教材中“行星冲日”这一情境案例作为命题素材,对训练角度稍加变换就成了一道非常“接地气”(考查生活中的天文现象)的高考题。这启示我们,在平常的教学中,要对教材题目进行多维度发掘训练,不仅要让学生知道“是什么”,更要知道“为什么”“还能怎么样”。 　　[例3]　(多选)赤道平面内的某颗卫星自西向东绕地球做圆周运动,该卫星离地面的高度小于地球同步卫星的高度,赤道上一观测者发现,该卫星连续两次出现在观测者正上方的最小时间间隔为t,已知地球自转周期为T0,地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,由此可知该卫星绕地球运动的周期T和离地面的高度H为 (　　) A.T=　　　　 B.H=-R C.T= D.H=-R [解析]　设卫星的周期为T,则有t=2π,解得T=,由万有引力提供物体运动所需的向心力有G=m(R+H),又在地表处有mg=,联立解得H=-R,故选A、B。 　　[答案]　AB (三)双星及多星问题 宇宙中的双星及多星模型分析 模型 图示 向心力来源(解题规律) 双星 模型 彼此的万有引力 G=m1r1=m2r2 r1+r2=L ω1=ω2 三星 模型 (直线　 排列) B、C两个星球对A万有引力的合力 G+G=mω2R 三星 模型 (正三　 角形 排列) 其中两个星球对另外一个星球万有引力的合力 G×cos 30°×2=mω2r rcos 30°= 四星 模型 (正方形 排列) 其中三个星球对另外一个星球万有引力的合力 G×cos 45°×2+G=mω2r rcos 45°= [考法全训] 考法1　双星模型 1.(多选)如图甲所示,河外星系中有两个黑洞,质量分别为M1和M2,它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。为研究方便简化为如图乙所示示意图,黑洞A和黑洞B均可看成球体,OA>OB,且黑洞A的半径大于黑洞B的半径。根据所学的知识,下列说法正确的是 (　　) A.两个黑洞质量之间的关系一定是M1<M2 B.双星的质量一定,双星之间的距离越大,其转动周期越大 C.黑洞A的运行角速度小于黑洞B的运行角速度 D.人类要把航天器发射到距黑洞A较近的区域进行探索,发射速度大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度 解析:选AB　两个黑洞绕O点旋转的角速度相等,设两个黑洞之间距离为L,有G=M1ω2r1=M2ω2r2,因OA>OB,即r1>r2,则有M1<M2,故A正确,C错误;根据万有引力提供向心力得G=M1r1=M2r2,又r1+r2=L,联立可得T=,则双星的质量一定,双星之间的距离越大,其转动周期越大,故B正确;人类要把航天器发射到距黑洞A较近的区域进行探索,发射速度应大于第三宇宙速度,故D错误。 考法2　三星模型 2.宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行,如图甲所示,周期为T1;另一种是三颗星位于边长为R的等边三角形的三个顶点上,并沿等边三角形的外接圆运行,如图乙所示,周期为T2。则T1∶T2为 (　　) A.　　B.2　　C.3　　D.4 解析:选B　第一种形式下,左边星体受到中间星体和右边星体两个万有引力作用,它们的合力提供向心力,则G+G=mR,解得T1=4πR;第二种形式下,三颗星体之间的距离均为R,由几何关系知,三颗星体做圆周运动的半径为R'=R,任一星体所受的合力提供向心力,即有F合=2G××cos 30°=m×R,解得T2=2πR,则=2,故B正确。 考法3　四星模型 3.宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每颗星的质量均为m,半径均为R,四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于宇宙四星系统,下列说法错误的是 (　　) A.四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动 B.四颗星的轨道半径均为 C.四颗星表面的重力加速度均为 D.四颗星的周期均为2πa 解析:选B　其中一颗星在其他三颗星的万有引力作用下,合力方向指向对角线的交点,围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,由几何知识可得轨道半径均为a,故A正确,B错误;在每颗星表面,根据万有引力近似等于重力,可得G=m'g,解得g=,故C正确;由万有引力的合力提供向心力得+=m·,解得T=2πa,故D正确。 [课时跟踪检测]　 (说明:标★的为推荐讲评题目) 一、单项选择题 1.(2025·湖北模拟)2024年6月25日,嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域,标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功,成功实现世界首次月球背面采样返回。嫦娥六号采样返回地球,需要经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。下列说法正确的是 (　　) A.发射嫦娥六号的速度大于第二宇宙速度 B.返回器在月面加速起飞阶段处于超重状态 C.返回器在环月飞行时,样品所受合力为零 D.载有月壤样本的返回器在变轨进入月地转移轨道时需要点火减速 解析:选B　嫦娥六号并没有脱离地球的约束,所以发射嫦娥六号速度应大于第一宇宙速度,小于第二宇宙速度,故A错误;返回器在月面加速起飞阶段,加速度方向向上,处于超重状态,故B正确;返回器在环月飞行时,样品所受万有引力提供所需的向心力,不为零,故C错误;载有月壤样本的返回器在变轨进入月地转移轨道时,即从低轨道变轨到高轨道时,需要点火加速,故D错误。 2.(2025·辽宁模拟)2024年6月4日,嫦娥六号上升器携带月球样品自月球背面起飞,大约经过6分钟,进入近月点15 km、远月点180 km的上升目标轨道Ⅰ,再经过几次变轨,进入高度约210 km的环月圆轨道Ⅱ。不考虑上升器的质量变化,下列说法正确的是 (　　) A.上升器在轨道Ⅰ上由近月点向远月点运动过程中机械能增加 B.上升器在环月圆轨道Ⅱ的机械能大于其在目标轨道Ⅰ的机械能 C.上升器在环月圆轨道Ⅱ的动能大于其在目标轨道Ⅰ近月点的动能 D.上升器在环月圆轨道Ⅱ的运行周期小于其在目标轨道Ⅰ的运行周期 解析:选B　上升器在轨道Ⅰ上由近月点向远月点运动过程中只有万有引力做功,机械能不变,故A错误;上升器由目标轨道Ⅰ加速做离心运动变轨到环月圆轨道Ⅱ,所以在环月圆轨道Ⅱ的机械能大于其在目标轨道Ⅰ的机械能,故B正确;根据=m,解得v=,又Ek=mv2,可知上升器在环月圆轨道Ⅱ的动能小于其在与目标轨道Ⅰ近月点等距离圆轨道的动能,由变轨条件可知上升器在目标轨道Ⅰ近月点的动能大于其在与目标轨道Ⅰ近月点等距离圆轨道的动能,所以上升器在环月圆轨道Ⅱ的动能小于其在目标轨道Ⅰ近月点的动能,故C错误;依题意,环月圆轨道Ⅱ的半径大于目标轨道Ⅰ的半长轴,根据开普勒第三定律=,可知上升器在环月圆轨道Ⅱ的运行周期大于其在目标轨道Ⅰ的运行周期,故D错误。 3.依托我国自主研制的国家重大科技基础设施郭守敬望远镜,我国科学家发现了一颗迄今为止质量最大的恒星级黑洞LB⁃1。这个黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统,黑洞和恒星都绕二者的中心连线某点做圆周运动。恒星的质量约为8M0,M0为太阳的质量;恒星距黑洞的距离约为1.5R0,R0为日地距离;恒星做圆周运动的周期约为0.21T0,T0为地球绕太阳的运动周期。由以上数据可估算这个黑洞的质量约为 (　　) A.30M0 B.50M0 C.70M0 D.90M0 解析:选C　设黑洞质量为m1,恒星质量为m2,相距为L,周期为T,根据万有引力提供向心力有=m1r1=m2r2,其中r1+r2=L,解得m1=-m2,地球绕太阳做匀速圆周运动,则有=mR0,可得T0=,又m2=8M0,L=1.5R0,T=0.21T0,联立解得m1≈68.5M0≈70M0,故C正确,A、B、D错误。 4.(2025·四川南充模拟)如图所示,人造地球卫星1在圆形轨道Ⅰ上运行,人造地球卫星2在椭圆轨道Ⅱ上运行,其中椭圆轨道上的A点为远地点,B点为近地点,设地球表面重力加速度为g,地球半径为R,两轨道相切于A点,下列说法正确的是 (　　) A.卫星1在轨道Ⅰ上的速度小于 B.卫星1在A点的加速度大于卫星2在B点的加速度 C.卫星1和卫星2在相同时间内与地球连线扫过的面积相等 D.卫星1在轨道Ⅰ上通过A点的动能大于在卫星2在轨道Ⅱ上通过A点的动能 解析:选A　根据=,=mg,解得v==,轨道Ⅰ的半径r大于地球半径R,故卫星1在轨道Ⅰ上的速度小于,故A正确;根据=ma,可知加速度a=,因为A点到地球球心的距离大于B点到地球球心的距离,卫星1在A点的加速度小于卫星2在B点的加速度,故B错误;根据开普勒第二定律,卫星在相同轨道、相等时间内与地球连线扫过的面积相等,卫星1和卫星2不在同一轨道,故C错误;卫星在轨道Ⅱ上A点需加速才能运动到轨道Ⅰ上,故卫星1在轨道Ⅰ上通过A点的速度大于卫星2在轨道Ⅱ上通过A点的速度,但因为两卫星的质量关系不知道,故无法判断两卫星通过A点的动能大小,故D错误。 5.(2025·山西朔州模拟)万有引力在发现未知行星上起到了重要的作用,例如某行星A运行的轨道半径为R,周期为T,但天文学家在观测中发现,其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离,且每隔时间t发生一次最大的偏离。形成这种现象的原因可能是A外侧还存在着一颗行星B,它对A的万有引力引起行星A轨道的偏离,假设其运动轨道与A运动轨道在同一平面内,且与A的绕行方向相同,若行星B的运行半径为NR,则= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　设行星B的周期为T',根据开普勒第三定律可得=,可得T'=T,根据题意有·t-·t=2π,解得==,故选A。 6.(2025·山西太原模拟)中国科学院紫金山天文台发现两颗小行星:2022OS1和2022ON1,它们在同一平面内绕太阳做同向的匀速圆周运动(仅考虑小行星与太阳之间的引力),测得两颗小行星之间的距离Δr随时间变化的关系如图所示,已知2022OS1的周期大于2022ON1的周期,下列说法正确的是 (　　) A.2022OS1和2022ON1做圆周运动的半径之比为3∶1 B.2022OS1运动的周期为64T0 C.2022ON1运动的周期为7T0 D.2022OS1与2022ON1所受太阳引力之比为1∶16 解析:选C　设小行星2022OS1距太阳的距离为r1,小行星2022ON1距太阳的距离为r2,根据图像可知r1-r2=3r,r1+r2=5r,联立解得r1=4r,r2=r,即半径之比为4∶1,故A错误;因经过时间8T0两小行星再次相距最近,设小行星2022OS1与小行星2022ON1绕太阳运动的周期分别为T1、T2,则-=,根据开普勒第三定律可知=,解得T1=56T0,T2=7T0,故B错误,C正确;由于两小行星质量关系未知,故无法确定其所受太阳引力之比,故D错误。 7.(2024·重庆高考)在万有引力作用下,太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动。假设a、b两个天体的质量均为M,相距为2r,其连线的中点为O,另一天体c(图中未画出)质量为m(m≪M),若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置,a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动,且相对位置不变,忽略其他天体的影响。引力常量为G。则 (　　) A.c的线速度大小为a的倍 B.c的向心加速度大小为b的一半 C.c在一个周期内的路程为2πr D.c的角速度大小为 解析:选A　a、b、c三个天体角速度相同,由于m≪M,则对a天体有G=Mω2r,解得ω=,故D错误;设c与a、b的连线跟a、b连线中垂线的夹角为α,对c天体有2Gcos α=mω2,解得α=30°,则c的轨道半径为rc==r,由v=ωr,可知c的线速度大小为a的倍,故A正确;由a=ω2r,可知c的向心加速度大小是b的倍,故B错误;c在一个周期内运动的路程为s=2πrc=2πr,故C错误。 二、多项选择题 8.(2025·湖北武汉模拟)进行宇宙探索过程中,经常要对航天器进行变轨。某次发射Z卫星时,先将Z卫星发射至近地圆轨道Ⅰ,Z卫星到达轨道Ⅰ的A点时实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ,到达轨道Ⅱ的远地点B时,再次实施变轨进入半径为4R(R为地球半径)的圆轨道Ⅲ绕地球做圆周运动。下列判断正确的是 (　　) A.Z卫星可能是一颗地球同步卫星 B.Z卫星在轨道Ⅰ上运动的周期大于在轨道Ⅱ上运动的周期 C.Z卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度 D.Z卫星在圆轨道Ⅲ上运行时的加速度小于它在圆轨道Ⅰ上运行时的加速度 解析:选CD　地球半径约为6 400 km,该卫星的离地高度约为h=3R=19 200 km,而地球同步卫星的离地高度约为36 000 km,故Z卫星不是地球同步卫星,故A错误;轨道Ⅰ的半径小于轨道Ⅱ的半长轴,根据开普勒第三定律知,Z卫星在轨道Ⅰ上运行的周期小于在轨道Ⅱ上运行的周期,故B错误;卫星从轨道Ⅱ上B点进入圆轨道Ⅲ,由近心运动变为圆周运动,需加速,故Z卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度,故C正确;卫星绕地球运动时,由万有引力提供向心力得=ma,可得a=,可见离地球越远(r越大),加速度越小,故Z卫星在圆轨道Ⅲ上运行时的加速度小于它在圆轨道Ⅰ上运行时的加速度,故D正确。 9.(2025·重庆模拟)吸血鬼恒星是一种理论上的天体,它通过从伴星吸取物质来维持自身的光和热。这种恒星通常处于双星系统中,吸血鬼恒星通过这种方式获得额外的物质,从而延长自己的寿命,这种现象在天文学中被称为质量转移或吸积过程。假设两恒星中心之间的距离保持不变,忽略因热核反应和辐射等因素导致的质量亏损,经过一段时间演化后,则 (　　) A.两恒星的周期不变 B.两恒星的轨道半径保持不变 C.吸血鬼恒星的线速度增大 D.伴星的线速度增大 解析:选AD　设吸血鬼恒星的质量为m1,伴星的质量为m2,两者中心之间的距离为L,根据双星运动的特点,对于吸血鬼恒星有G=m1r1,对于伴星有G=m2r2,又有r1+r2=L,联立解得T=,由题意知两恒星的总质量不变,两恒星中心距离L也不变,则周期不变,故A正确;由以上分析,联立可解得r1=L,r2=L,根据题意可知,m1增大,m2减小,故r1减小,r2增大,又有v=,则吸血鬼恒星的线速度减小,伴星的线速度增大,故B、C错误,D正确。 10.水星是在地球上较难观测到的行星,因为它离太阳太近,总是湮没在太阳的光辉里,只有水星和太阳的距角(地球和水星连线与地球和太阳连线的夹角)达到最大时(称为大距,如图所示),公众才最有希望目睹水星。已知水星公转周期约为地球公转周期的,水星和地球公转轨道均视为圆形。则 (　　) A.可以求出水星与地球质量之比 B.一年内至少可以看到6次水星大距 C.大距时,水星和太阳距角的正弦值约为 D.水星和地球分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等 解析:选BC　由=mr,可得r3=,可以求出水星与地球轨道半径之比,无法求得质量之比,故A错误;一年时间设为T,则T地=T,T水=,两星球公转角速度大小为ω地=,ω水=,两次西大距时间间隔为Δt==,一年内能看到水星西大距的次数为n==3,则一年内看到东大距和西大距的次数均为3次,故B正确;设水星和太阳的距角最大为θ,可知sin θ===,故C正确;开普勒第二定律是针对同一环绕天体而言的,水星和地球分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不相等,故D错误。 三、计算题 11.(10分)如图所示,质量分别为m和M的两个星球A和B在相互引力作用下都绕O点做匀速圆周运动,星球A和B两者中心之间距离为L。已知星球A、B的中心和O三点始终共线,星球A和B分别在O的两侧,引力常量为G。 (1)求两星球做圆周运动的周期;(4分) (2)在地月系统中,若忽略其他星球的影响,可以将月球和地球看成上述星球A和B,月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做匀速圆周运动的,这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1两者平方之比。(计算结果保留四位有效数字)(6分) 解析:(1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动,其角速度相同,周期也相同,其所需向心力由两者间的万有引力提供,设A、B的轨道半径分别为r1、r2,由牛顿第二定律,对B有G=Mr2 对A有G=mr1,又有r1+r2=L 联立解得T=2πL。 (2)设地月距离为L', 若认为地球和月球都围绕中心连线上某点做匀速圆周运动,由以上分析可知地球和月球绕其轨道中心的运行周期为T1=2π 若认为月球围绕地心做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力得=m月L' 解得T2=2π 则有T2与T1两者平方之比为=≈1.012。 答案:(1)2πL　(2)1.012 34 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $$