第5章 第1讲 万有引力定律(基础落实课)（课件）-【新高考方案】2026年高考物理一轮总复习（培优进阶版）

第五章 万有引力与宇宙航行 1 大单元分层教学设计   基础落实课 第1讲　万有引力定律 第2讲　天体运动与人造卫星 综合融通课 第3讲　天体运动中的三类典型问题 万有引力定律(基础落实课) 第 1 讲 1 课前基础先行 2 逐点清(一)　开普勒行星运动定律 CONTENTS 目录 4 课时跟踪检测 3 逐点清(二)　万有引力定律的理解及应用 课前基础先行 一、开普勒行星运动定律 定律 内容 图示或公式 开普勒 第一定律 (轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是______，太阳处在椭圆的一个焦点上 椭圆 开普勒 第二定律 (面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在任意相等的时间内扫过的______相等 开普勒 第三定律 (周期定律) 所有行星轨道的半长轴的________跟它的公转周期的________的比都相等 =k，k是一个与行星无关的常量 续表 面积 三次方 二次方 二、万有引力定律 1.表达式:F=_______，G为引力常量，通常取G=6.67×10-11 N·m2/kg2。　 G 2.适用条件 (1)公式适用于_____间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球______间的距离，如图所示。 质点 球心 1.(鲁科必修2P92T2·改编)在太阳系中，火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行。根据开普勒行星运动定律，判断下列说法的正误: ①太阳位于木星运行轨道的中心。 ( ) ②火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等。 ( ) ③火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方。 ( ) ④在相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积。 ( ) 微点判断 × × √ × 2.行星在椭圆轨道上的运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。 ( ) 3.(教科必修2P60T2·选摘)关于行星绕太阳的运动，判断下列说法的正误: ①所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动。 ( ) ②离太阳越近的行星公转周期越小。 ( ) 4.牛顿总结了前人的科研成果，在此基础上，经过研究得出了万有引力定律。 ( ) 5.地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。 ( ) 6.两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。 ( ) × × √ √ √ × 逐点清(一)　开普勒行星 运动定律 课 堂 √ 题点全练 1.[对开普勒第一定律的理解] (多选)下列说法正确的是(　　) A.太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点 B.行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向 C.行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直 D.太阳是静止不动的 √ 解析:太阳系中八大行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳位于八大行星椭圆轨道的一个共同焦点上，故A正确；行星的运动轨道为椭圆，即行星做曲线运动，速度方向沿轨道的切线方向，故B正确；椭圆上某点的切线并不一定垂直于此点与焦点的连线，故C错误；太阳并非静止，它围绕银河系的中心不断转动，故D错误。 2.[开普勒第二定律的应用] 某行星沿椭圆形轨道绕太阳运动，近日点离太阳距离为a，远日点离太阳距离为b，行星在近日点的速率为va，则行星在远日点的速率为(　　) A.vb=va B.vb=va C.vb=va D.vb=va 解析:根据开普勒第二定律可得avaΔt=bvbΔt，可得vb=va，故选C。 √ 3.[开普勒第三定律的应用] (2024·浙江6月选考)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则 (　　) A.小行星甲在远日点的速度大于在近日点的速度 B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C.小行星甲与乙的运行周期之比= D.甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比= √ 解析:根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于在近日点的速度，故A错误；根据万有引力提供向心力有=ma，小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误；根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比==，故C错误；甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比等于周期之比，=，故D正确。 对开普勒行星运动定律的三点说明 (1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 (2)开普勒第三定律=k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。 (3)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 精要点拨 逐点清(二)　万有引力定律的理解及应用 课 堂 1.万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上:G=mg1+mω2R。 (2)在两极上:G=mg2。 2.不同位置处重力加速度的比较 地面 地下 天上 两极(或不计自转) 赤道 g==(R-h) g== g= g=-R 考法1　万有引力与重力的大小关系 1.(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是(　　) 考法全训 A.在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0=G B.在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1=G C.在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2=G D.在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3=G √ √ 解析:在北极地面称量时，物体不随地球自转，万有引力等于重力，则有F0=G，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上物体随地球一起自转所需要的向心力，则有F1<G，故B错误；在北极上空高出地面h处称量时，万有引力等于重力，则有F2=G，故C正确；在赤道上空高出地面h处称量时，F3<G，故D错误。 考法2　天体表面的重力加速度的计算 2.被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜(FAST)已取得一系列重大科学成果，发现新脉冲星数量超过900颗。脉冲星就是旋转的中子星，某中子星的质量是太阳质量的20倍，自转周期为0.01 s，半径是地球绕太阳运动的轨道半径的。已知地球绕太阳做匀速圆周运动的向心加速度约为6.0×10-3 m/s2，则该中子星两极表面的重力加速度大小约为(　　) A.4.0×108 m/s2 B.6.0×1010 m/s2 C.1.2×1011 m/s2 D.2.0×1013 m/s2 √ 解析:在该中子星两极表面万有引力等于重力，有mg中=G，地球绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有man=G，根据题意有m中=20m太，R中=r，联立可得，该中子星两极表面的重力加速度大小约为g中=1.2×1011 m/s2，故选C。 考法3　地球表面某高度或深度的重力加速度 3.(2025·昆明高三检测)假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体引力为零，地球表面处重力加速度为g，不计地球自转影响。则关于地球重力加速度a随地球球心到某点距离r的变化图像正确的是(　　) √ 解析:若距离大于地球半径，则根据万有引力提供重力可得=ma，得到加速度a=，随着距离增大，加速度变小。当在地球球壳内即距离小于地球半径，此时距离地心r~R范围内的球壳对物体引力为零，那么地球对其产生的引力就是半径为r的中心球体对其产生的引力，因此a===Gρ·πr，即加速度与距离成正比，故选B。 4.(2025·广州五校联考)若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零。中国空间站轨道距离地面高度为h，所在处的重力加速度为g1；“蛟龙”号载人潜水器下潜深度为d，所在处的重力加速度为g2；地表处重力加速度为g，不计地球自转影响，下列关系式正确的是 (　　) A.g1=g B.g2=g C.g1=g2 D.g1=g2 √ 解析:对于中国空间站，根据万有引力提供向心力可得=mg1，解得g1=，在地球表面=mg，因此g1=g，A错误；设地球密度为ρ，在地球表面万有引力等于重力，即=m1g，又因为m地=ρV=，代入得g=，由于质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零，因此g2==g，B错误；由以上各式联立可得=，C正确，D错误。 课时跟踪检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (说明:标★的为推荐讲评题目) 一、单项选择题 1.(2024·广西高考)潮汐现象出现的原因之 一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不 相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在(　　) A.a处最大 　 B.b处最大 C.c处最大 　 D.a、c处相等，b处最小 √ 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:根据万有引力公式F=G可知，题图中a处距离月球最近，单位质量的海水受月球的引力最大。故选A。 1 2 3 4 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(2023·江苏高考)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是 (　　) A.质量 B.向心力大小 C.向心加速度大小 D.受到地球的万有引力大小 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:根据G=ma，可得a=，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度大小相同；因该卫星的质量与月球质量不一定相等，则向心力大小以及受到地球的万有引力大小均不一定相等。故选C。 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(2024·全国甲卷)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是(　　) 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.在环月飞行时，样品所受合力为零 B.若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零 C.样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同 D.样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:在环月飞行时，样品所受合力提供其所需的向心力，不为零，故A错误；若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小，由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的，则样品在地球表面的重力大于在月球表面的重力，所以样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小，故B错误，D正确；样品在不同过程中受到的引力不同，但样品的质量相同，故C错误。 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(2025·山东青岛调研)编号为2020FD2的小行星是中国科学院紫金山天文台发现的一颗近地小行星。科学家们观测到它的轨道如图所示，轨道的半长轴大于地球轨道半径，小于木星轨道半径，近日点在水星轨道内，远日点在木星轨道外。已知 木星绕太阳公转的周期为11.86年， 关于该小行星，下列说法正确的 是 (　　) 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.在近日点的加速度比在远日点小 B.在近日点的运行速度比在远日点小 C.公转周期一定小于11.86年 D.在近日点的机械能比在远日点小 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:根据G=ma可知，该小行星在近日点的加速度比在远日点大，故A错误；根据开普勒第二定律，该小行星在近日点的运行速度比在远日点大，故B错误；该小行星轨道的半长轴小于木星轨道半径，已知木星绕太阳公转的周期为11.86年，根据开普勒第三定律可知，该小行星的公转周期一定小于11.86年，故C正确；在同一轨道上，只有万有引力做功，机械能守恒，该小行星在近日点的机械能等于在远日点的机械能，故D错误。 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.某星球质量约为地球质量的300倍，半径约为地球半径的10倍，则一物体在该星球和地球表面的重量比约为 (　　) A.3 B.30 C.900 D.9 000 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:设中心天体质量为M，由万有引力提供重力得G=mg，解得重力加速度g=，该星球质量约为地球质量的300倍，半径约为地球半径的10倍，则该星球与地球表面的重力加速度之比为3∶1，即一物体在该星球和地球表面的重量比约为3。故选A。 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. (2024年1月·广西高考适应性演练)我国酒泉卫星发射中心在2022年将“夸父一号”卫星送入半径为r1的晨昏轨道；2023年又将“星池一号A星”送入半径为r2的晨昏轨道，“夸父一号”与“星池一号A星”在绕地球运行中，周期之比为(　　) A.1∶1 B.r1∶r2 C.∶ D.∶ 解析:由开普勒第三定律=得，“夸父一号”与“星池一号A星”在绕地球运行中，周期之比为=，故选C。 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(2024·安徽高考)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继卫星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时 (　　) 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.周期约为144 h B.近月点的速度大于远月点的速度 C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得=，解得在捕获轨道运行周期T2=T1≈288 h，A错误；根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；鹊桥二号从捕获轨道到冻结轨道进行近月制动，在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；在两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.位于贵州的“中国天眼”(FAST)可以测量地球与木星之间的距离。当FAST接收到来自木星的光线传播方向恰好与地球公转线速度方向相同时，测得地球球心与木星球心的距离是地球球心与太阳球心距离的k倍。若地球和木星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动且轨道共面，则可知木星的公转周期为 (　　) A.年 B.年 C.年 D.年 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:设地球球心与太阳球心距离为r，根据几何关系可知，木星球心与太阳球心的距离R==r(1+k2，设木星的公转周期为T，根据开普勒第三定律，则有=，T地=1年，解得T=(1+k2年，A正确，B、C、D错误。 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(2024·甘肃高考)小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内，通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度，可行的是 (　　) A.用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力 B.测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期 C.从高处释放一个重物，测量其下落高度和时间 D.测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:在天宫实验室内，物体处于完全失重状态，重力提供物体绕地球做匀速圆周运动的向心力，故选项A、B、C中的实验均无法得到天宫实验室轨道处的重力加速度。由重力提供天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的向心力得mg=mr，解得天宫实验室轨道处的重力加速度为g=r，故可行的是测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径，D正确。 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)假设航天员驾驶宇宙飞船登陆某一行星，该行星是质量分布均匀的球体。通过测量发现，某一物体在该行星两极处的重力为G，在该行星赤道处的重力为0.75G，则此物体在赤道处随行星自转的向心力为 (　　) A.G　　B.G　　C.G　　D.G 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:设该行星的质量为M，半径为R，引力常量为G'，物体在该行星两极处有=G，在该行星赤道处有=0.75G+F向，联立可得此物体在赤道处随行星自转的向心力为F向=G，故选B。 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如图所示，将一个半径为R、质量为M的均匀大球，沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起。若挖去的小球的球心、球外小球球心、大球球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球之间的万有引力大小约为(已知引力常量为G) (　　) A.0.01 B.0.02 C.0.05 D.0.04 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:由题意知，所挖出小球的半径为，质量为，则挖出小球前大球对球外小球的万有引力大小为F=G=，将所挖出的其中一个小球填在原位置，则填入左侧原位置小球对球外小球的万有引力为F1=G=，填入右侧原位置小球对球外小球的万有引力为F2=G=，大球中剩余部分对球外小球的万有引力大小为F3=F-F1-F2≈0.04，D正确。 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(2023·山东高考)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为(　　) A.30π B.30π C.120π D.120π 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:设月球所在高度处重力加速度为g'，由F引=得，在地球表面附近g=，同理在月球所在高度处g'=，由于r=60R，则g'=g，对月球由牛顿第二定律得m'g'=m'r，解得T=120π，故C正确。 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(2025·四川成都模拟)如图所示，A、B两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，O为地心，在两卫星运行过程中，AB连线和OA连线的夹角最大为θ，则A、B两卫星 (　　) A.做圆周运动的周期之比为2 B.做圆周运动的周期之比为 C.与地心O连线在相等时间内扫过的面积之比为 D.与地心O连线在相等时间内扫过的面积之比为 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:夹角最大时，OB与AB垂直，根据几何关系有rB=rAsin θ，由开普勒第三定律可得=，则=，A、B错误；t时间内，卫星与地心连线扫过的面积S=·πr2，则=·=，C正确，D错误。 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题 14.天问一号火星探测器被火星捕获，经过一系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。如图所示，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线每秒扫过的面积，下列说法正确的是(　　) 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.图中两阴影部分的面积不相等 B.从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器周期变大 C.从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器机械能变大 D.探测器在P点的加速度大于在N点的加速度 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:根据开普勒第二定律可知探测器在同一轨道上相等时间内与火星的连线扫过的面积相等，但是题图中两阴影部分不在同一轨道，故面积不相等，故A正确；从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器的轨道半长轴变小，根据开普勒第三定律可知周期变小，故B错误；从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器做向心运动，需要减速，探测器机械能变小，故C错误；根据公式=ma，可得探测器在P点的加速度大于在N点的加速度，故D正确。 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(2025·广东清远检测)如图所示是某小行星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是小行星依次经过的三个位置，F1、F2为椭圆的两个焦点。小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，小行星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2。已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功。下列判断正确的是 (　　) A.太阳位于焦点F1处 B.S1>S2 C.在M和N处，小行星的动能EkM>EkN D.在N和P处，小行星的加速度aN<aP 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功，说明小行星靠近太阳运动，所以太阳位于焦点F2处，A错误；小行星由M到P的过程中，太阳的引力对小行星做正功，速度逐渐增大，小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，所以小行星由M到N的运动时间大于由N到P的运动时间，由开普勒第二定律可知S1>S2，B正确；由M到N过程中，万有引力做正功，则动能增大，即EkM<EkN，C错误；根据万有引力公式F=G，可知小行星在N处的引力小于在P处的引力，由牛顿第二定律得F=ma，可得aN<aP，D正确。 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(2025·河南郑州模拟)二十四节气的命名反映了季节、物候现象和气候变化，节气早在《淮南子》中就有记载。地球沿椭圆轨道绕太阳运行时，所处不同位置对应的中国节气如图所示(2025年)，太阳在椭圆的一个焦点上，下列说法正确的是 (　　) 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.地球在夏至运行速度最小，在冬至运行速度最大 B.地球在夏至和冬至绕太阳公转时相同时间内转过的角度相等 C.地球绕太阳公转到夏至时加速度最小 D.根据地球的公转周期和太阳与地球之间的距离可估算出地球的质量 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:根据开普勒第二定律可知，地球在夏至处于远日点运行速度最小，在冬至处于近日点运行速度最大，故A正确；由开普勒第二定律可知，地球与太阳连线在相同时间内扫过的面积相同，但由于地球与太阳间的距离不断变化，所以相同时间内转过的角度不相等，故B错误；地球绕太阳公转到夏至时与太阳间的距离最大，根据牛顿第二定律可知G=ma，解得a=，此时地球的加速度最小，故C正确；由万有引力定律和牛顿第二定律，根据地球的公转周期和太阳与地球的距离可估算出的是中心天体太阳的质量，不能估算地球的质量，故D错误。 2 3 4 $$