专题2.3 有理数的乘方（知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题）-2025-2026学年人教版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题2.3 有理数的乘方 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：有理数的乘方 2 知识点梳理02：有理数的混合运算顺序 2 知识点梳理03：科学记数法 2 知识点梳理04：近似数 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：有理数幂的概念理解 3 考点2：有理数的乘方运算 4 考点3：有理数乘方逆运算 5 考点4：乘方运算的符号规律 6 考点5：乘方的应用 7 考点6：程序流程图与有理数计算 8 考点7：算"24” 点 8 考点8：含乘方的有理数混合运算 9 考点9：用科学记数法表示绝对值大于1的数 10 考点10：将用科学记数法表示的数变回原数 10 考点11：求一个数的近似数 10 考点12：求近似数的精确度 10 考点13：近似数推断取值范围 11 中考真题 实战演练 11 难度分层 拔尖冲刺 12 基础夯实 12 培优拔高 14 知识点梳理01：有理数的乘方 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 知识点梳理02：有理数的混合运算顺序 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 知识点梳理03：科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 知识点梳理04：近似数 1. 接近实际数值的数，叫作近似数． 2. 近似数与准确数的接近程度，我们用精确度来表示． 3. 一般地，一个近似数四舍五人到哪一位，就说这个数精确到哪一位．例如（精确到0.01，或叫作精确到百分位）． 考点1：有理数幂的概念理解 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”一般地，把记作，读作“a的下n次方”． （1）直接写出计算结果：______，______． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：______，______． （3）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：______． （4）【结论应用】计算：． 【变式训练】（24-25七年级上·广东深圳·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等． 类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_____，______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式： ______，=_______，=______（其中，n为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算： ． 考点2：有理数的乘方运算 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）阅读并解决下列问题： (1)验证：_______，_______． (2)猜想_______，_______，_______……（用“>”或“<”或“=”填空） (3)通过验证，归纳得出：_______，_______． (4)请应用上述性质计算：． 【变式训练】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数满足：，且，则请求的值． 考点3：有理数乘方逆运算 【典例精讲】（24-25七年级上·四川南充·期中）年第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字． 八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． 某同学设计了一个进制数， 换算成十进制数是， 则的值为（      ） A． B． C． D． 【变式训练】（22-23七年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料，并解决下面的问题: 我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子可以变形为也可以变形为.在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为一般地，若则叫做以为底的对数，记为，且具有性质： 其中且 根据上面的规定，请解决下面问题: (1) _______ ；(请直接写出结果) 已知，则______；（用含y的代数式来表示） (2)已知请你用含m的代数式来表示n，其中(请写出必要的过程). 考点4：乘方运算的符号规律 【典例精讲】（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 【变式训练】（22-23七年级上·山东济南·期末）记：，，，…，． (1)计算的值； (2)计算的值； (3)猜想与的关系． 考点5：乘方的应用 【典例精讲】（22-23七年级上·辽宁锦州·期中）如图，将一个边长为2的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为2的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，则图中阴影部分以外的面积是 ． 【变式训练】（24-25七年级上·北京·期中）一所学校的学生编号构造为“毕业年份班级学号”，例如“20262919”就为2026届29班19号同学 为方便记录学生作业完成情况，编程社团的小李同学设计了一种识别码，如图1，这种识别码由的正方形网格构造，我们规定第行第列的正方形网格所代表的数据记为，每列编译后为代表信息，第行都代表相同的二进制数位． 每个网格有两种状态，分别为1和0，分别代表当前网格的二进制数位数字．如图2，第1列所代表的数据就计算为 如果学生编号中，毕业年份的前两位为“20”．如图2，第1、2列分别代表的是毕业年份的后两位数字，第3列代表的是班级，第4、5列分别代表学号的两位数字．那么根据这种计算方法，完成下列各题： (1)请计算出图2所代表的学生编号： ． (2)请在图1填写出学生编号为20251406的识别码图象． (3)这种编号系统一直适用吗？请说明理由． 考点6：程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（24-25七年级上·四川成都·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 【变式训练】（23-24七年级上·贵州遵义·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为 ． 考点7：算"24” 点 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知五个数分别为：，，，，． (1)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来； (2)将前四个数通过有理数的混合运算（每个数只能算一次），得到运算结果“24”，请写出算式． 【变式训练】24-25七年级上·四川成都·期中）“24点”游戏规则：从一副扑克牌抽去大小王剩下1~13这52张牌（A代表1），J、Q、K分别代表11、12、13，任意抽取4张牌称为牌组，黑色代表正数，红色代表负数，用加、减、乘、除、乘方把牌面上的数算成24，每张牌必须且只能用一次．如果抽到黑桃Q、红桃Q、梅花3、方块A，请列出一个含有乘方运算的算式，将该牌面上的数字凑成24： ． 考点8：含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算∶ (1) (2) (2) (4) 【变式训练】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）计算 (1) (2) (2) (4) (5) (6) 考点9：用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）年元月，合肥市财政收入为亿元，请将亿用科学记数法表示为（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式训练】（2025·天津·模拟预测）地球与月球的平均距离大约为，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 考点10：将用科学记数法表示的数变回原数 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为平方米，则原数为 万平方米． 【变式训练】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）西柏坡纪念馆开展“我与祖国共成长”庆祝中华人民共和国成立周年主题活动，国庆七天假期，西柏坡纪念馆参观人数约有人次．“”的原数中“”共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 考点11：求一个数的近似数 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）青海省第七次全国人口普查主要数据公报显示：全省常住人口为5923957人，横线上的数读作 ，用“四舍五入”法省略万后面的尾数约是 万． 【变式训练】（24-25七年级上·北京·期中）根据要求，用四舍五入法取近似数： （精确到百分位）． 考点12：求近似数的精确度 【典例精讲】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列近似数中，说法正确的是（   ） A．0.2与0.20精确度相同 B．精确到了十万位 C．精确到了十分位 D．1.2万精确到了万位 【变式训练】（24-25七年级上·北京·期中）数用四舍五入精确到0.1得到 ，近似数精确到 位． 考点13：近似数推断取值范围 【典例精讲】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）[四舍五入]截至 2023年1月21 日11 点，2023 河南春晚全网阅读量约127亿．如果这个阅读量是一个两位小数，那么这个两位小数最大是 ，最小是 ． 【变式训练】（23-24七年级上·河南周口·期中）近似数是由四舍五入得到的，那么（    ） A． B． C． D． 1．（2025·山东青岛·中考真题）2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星2016HO3和主带彗星311P开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到亿公里．亿，将374000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·中考真题）据年月日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到人次．将数据用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川南充·中考真题）2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了一枚“东风-31AG”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒．用科学记数法表示“东风-31AG”导弹的平均速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 4．（2023·辽宁营口·中考真题）有下列四个算式：①；②；③；④．其中，正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2024·山东日照·中考真题）交通运输部2024年4月发布的全国港口货物吞吐量数据显示，日照港2024年第一季度吞吐量为15493万吨，居全国主要港口第6位．将数据154930000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（24-25七年级上·福建福州·期中）下列比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·福建福州·期中）在，，，，0中，负数共有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客万人次，把万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·浙江·开学考试）一个两位小数，用“四舍五入”法取近似值得．这个两位小数最大是( )，最小是( ) 6．（25-26七年级上·浙江·开学考试）一架国产大型客机的售价为七亿一千六百六十五万八千元．横线上的数写作( )元、省略亿后面的尾数，约为( )亿元． 7．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）记者从河南省文化和旅游厅获悉：2024年元旦假日期间，全省统计接待游客1613.7万人次，旅游收入78.7亿元．数据“78.7亿”用科学记数法表示为 ． 8．（24-25七年级上·福建福州·期中）计算： (1)； (2)． 9．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们按照从小到大的顺序排列． 10．（24-25七年级上·江西赣州·期中）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：__________，__________． （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有__________；（横线上填写序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； ③圈n次方等于它本身的数是1或； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【实践应用】 （3）计算：． 培优拔高 11．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（24-25七年级上·福建漳州·期中）若计算机按如图所示程序工作，若输入的数是4，则输出的数是（     ） A．-396 B．36 C．-36 D．396 13．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）下列各说法中，正确的个数有（   ） ①若，则x一定是负数； ②平方等于它本身的数只有1和0； ③除以一个数，等于乘这个数的倒数； ④若，则； ⑤若，则且； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2025·四川广安·模拟预测）一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式 ． 15．（24-25七年级上·广东东莞·期末）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高，规模最大的学术盛会，第十四届国际数学教育大会（）于年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会会徽中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份（注：），则八进制数换算成十进制数是 ． 16．（24-25七年级上·黑龙江双鸭山·期末）在日常生活中，我们用十进制来表示数，计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10，那么二进制中的110101表示十进制中的 ． 17．（24-25七年级上·四川雅安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（24-25七年级上·甘肃天水·期中）计算 (1)； (2)； (3) ； (4)． 19．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方 乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 20．（24-25七年级上·河南南阳·期中）综合与实践： 【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”． 一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ________（a为有理数且），________． 【归纳结论】 （3）一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：________． 【结论应用】 （4）计算：． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 有理数的乘方 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：有理数的乘方 2 知识点梳理02：有理数的混合运算顺序 2 知识点梳理03：科学记数法 2 知识点梳理04：近似数 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：有理数幂的概念理解 3 考点2：有理数的乘方运算 6 考点3：有理数乘方逆运算 7 考点4：乘方运算的符号规律 9 考点5：乘方的应用 12 考点6：程序流程图与有理数计算 14 考点7：算"24” 点 16 考点8：含乘方的有理数混合运算 17 考点9：用科学记数法表示绝对值大于1的数 20 考点10：将用科学记数法表示的数变回原数 20 考点11：求一个数的近似数 21 考点12：求近似数的精确度 22 考点13：近似数推断取值范围 22 中考真题 实战演练 23 难度分层 拔尖冲刺 25 基础夯实 25 培优拔高 30 知识点梳理01：有理数的乘方 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 知识点梳理02：有理数的混合运算顺序 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 知识点梳理03：科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 知识点梳理04：近似数 1. 接近实际数值的数，叫作近似数． 2. 近似数与准确数的接近程度，我们用精确度来表示． 3. 一般地，一个近似数四舍五人到哪一位，就说这个数精确到哪一位．例如（精确到0.01，或叫作精确到百分位）． 考点1：有理数幂的概念理解 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”一般地，把记作，读作“a的下n次方”． （1）直接写出计算结果：______，______． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：______，______． （3）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：______． （4）【结论应用】计算：． 【答案】（1），2；（2），；（3）；（4） 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义． （1）由新定义列出算式计算即可； （2）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （3）根据（2）的计算结果得出规律即可； （4）先根据乘方的定义和（3）的计算结果计算，再算乘除和加减即可． 【规范解答】解：（1）； ， 故答案为：，2； （2） ， ， 故答案为：，； （3） ， 故答案为：； （4） ． 【变式训练】（24-25七年级上·广东深圳·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等． 类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_____，______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式： ______，=_______，=______（其中，n为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算： ． 【答案】（1），；（2），，；（3）43 【思路引导】本题考查了新定义、新定义运算的应用及有理数的混合运算； （1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （2）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （3）根据的运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算出结果． 【规范解答】解：（1）， ， ， ， 故答案为：，； （2） ， ， ， ， ， 故答案为：，，； （3）原式， ， ， ． 考点2：有理数的乘方运算 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）阅读并解决下列问题： (1)验证：_______，_______． (2)猜想_______，_______，_______……（用“>”或“<”或“=”填空） (3)通过验证，归纳得出：_______，_______． (4)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)，， (3)， (4) 【思路引导】本题考查了乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）分别计算和即可验证； （2）根据上面的验证计算即可； （3）根据上面的验证计算即可； （4）根据上面的验证计算即可． 【规范解答】（1）解：， ， 故答案为：1，1； （2）解：猜想：，，， 理由：； ； ； 故答案为：，，； （3）解：依题意得：，； 验证：； ； 故答案为：，； （4）解：原式 ． 【变式训练】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数满足：，且，则请求的值． 【答案】4或8或 【思路引导】本题考查绝对值的意义，有理数的乘方，根据绝对值的意义，和乘方法则，求出的值，再进行减法运算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴， ∴，或，或 ∴或或． 考点3：有理数乘方逆运算 【典例精讲】（24-25七年级上·四川南充·期中）年第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字． 八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． 某同学设计了一个进制数， 换算成十进制数是， 则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查有理数乘方逆运算的应用，根据题意得，即可求得的值．熟练掌握该运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：∵一个进制数， 换算成十进制数是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴的值为． 故选：D． 【变式训练】（22-23七年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料，并解决下面的问题: 我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子可以变形为也可以变形为.在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为一般地，若则叫做以为底的对数，记为，且具有性质： 其中且 根据上面的规定，请解决下面问题: (1) _______ ；(请直接写出结果) 已知，则______；（用含y的代数式来表示） (2)已知请你用含m的代数式来表示n，其中(请写出必要的过程). 【答案】(1)1；2； (2) 【思路引导】（1）根据乘方逆运算的法则解答即可； （2）先将所求的式子变形为，再根据乘方逆运算的法则求解即可. 【规范解答】（1）∵， ∴， ∵，， ∴； ∵， ∴； 故答案为：1；2；； （2）∵， ∴ . 【考点剖析】本题考查了有理数的乘方，正确理解乘方逆运算法则是关键. 考点4：乘方运算的符号规律 【典例精讲】（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍 (3)点表示的数为或0或3或4 【思路引导】（1）利用绝对值的非负性及乘方运算的符号规律即可求解； （2）利用数轴上两点之间的距离公式及数量关系列出算式即可求得点表示的数为2，进而可求得，再根据速度、时间及路程之间的关系即可求解； （3）分类讨论：①点在点右侧，两点同向而行，②当点在点左侧，两点同向而行，③当点在点左侧，两点背向而行，④当点在点右侧，两点背向而行，进而可求解． 【规范解答】（1）解：， ，，， ，，． （2）由（1）可知，， 因为点在之间，且点到点的距离是到点距离的3倍， 所以， 因为点表示的数为8，点在点的左边， 所以点表示的数为：， 所以， 因为点以每秒1个单位长度的速度运动， 所以当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍． （3）能，理由如下： 点从点运动到点需要秒，而点从点运动到点需要秒，点到达点时，此时点表示的数为2， 所以当点从点运动到点的过程中，点从点运动到点，又从点返回，因此可分为四种情况讨论： 点到达点之前： ①点在点右侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ②当点在点左侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； 点从点返回后： ③当点在点左侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ④当点在点右侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为． 综上所述，点表示的数为或0或3或4． 【考点剖析】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值的非负性、乘方运算的符号规律，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式及分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【变式训练】（22-23七年级上·山东济南·期末）记：，，，…，． (1)计算的值； (2)计算的值； (3)猜想与的关系． 【答案】(1) (2)0 (3)互为相反数 【思路引导】（1）根据已知算式即可求解； （2）观察已知算式发现规律即可求值； （3）分两种情况讨论，当为奇数和偶数时，为偶数和奇数，进而可以说明． 【规范解答】（1）解：（1）， ， ， ， 的值为：； （2）的值为： ； （3）与的关系：互为相反数的关系．理由如下： ， ， 当为奇数时，为偶数， 与互为相反数； 当为偶数时，为奇数， 与互为相反数； 所以与的关系：互为相反数的关系． 【考点剖析】本题考查了规律型数字的变化类，解决本题的关键是观察已知条件寻找规律并运用规律． 考点5：乘方的应用 【典例精讲】（22-23七年级上·辽宁锦州·期中）如图，将一个边长为2的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为2的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，则图中阴影部分以外的面积是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查图形的变化以及乘方的应用，根据题意和图形中的数据，可以得到阴影部分的面积，并计算出空白的面积． 【规范解答】解：部分①是边长为2的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半， 阴影部分的面积是， ． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级上·北京·期中）一所学校的学生编号构造为“毕业年份班级学号”，例如“20262919”就为2026届29班19号同学 为方便记录学生作业完成情况，编程社团的小李同学设计了一种识别码，如图1，这种识别码由的正方形网格构造，我们规定第行第列的正方形网格所代表的数据记为，每列编译后为代表信息，第行都代表相同的二进制数位． 每个网格有两种状态，分别为1和0，分别代表当前网格的二进制数位数字．如图2，第1列所代表的数据就计算为 如果学生编号中，毕业年份的前两位为“20”．如图2，第1、2列分别代表的是毕业年份的后两位数字，第3列代表的是班级，第4、5列分别代表学号的两位数字．那么根据这种计算方法，完成下列各题： (1)请计算出图2所代表的学生编号： ． (2)请在图1填写出学生编号为20251406的识别码图象． (3)这种编号系统一直适用吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)这种编号系统不能一直适用，理由见解析 【思路引导】本题考查有理数乘方，有理数的加法，有理数的乘法以及图形的变化类，掌握有理数加法、乘法、乘方的运算的方法是正 确解答的关键． （1）根据编码规则以及二进制的计算方法进行计算即可； （2）根据编码规则以及二进制的计算方法将2，5，14，0，6分别用二进制表示即可； （3）根据的正方形网格中的第3列所能表示的最大数进行判断即可． 【规范解答】（1）解：第1列所代表的数据为：； 第2列所代表的数据为：； 第3列所代表的数据为：； 第4列所代表的数据为：； 第5列所代表的数据为：； 图2所代表的学生编号：； （2）解：∵学生编号为20251406，即2025届14班06号同学， 第1列所代表的数据为：； 第2列所代表的数据为：； 第3列所代表的数据为：； 第4列所代表的数据为：； 第5列所代表的数据为：； ∴编号为20251406的识别码图象如图所示： （3）解：这种编号系统不能一直适用， ∵第3列所能表示的最大数为：， 当班级数 超过31个班时就无法表示出来， ∴这种编号系统不能一直适用． 考点6：程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（24-25七年级上·四川成都·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 【答案】2或7或37 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意列式计算求出符合题意的答案即可． 【规范解答】解：如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217， 则； ； ； 故答案为：2或7或37． 【变式训练】（23-24七年级上·贵州遵义·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了程序框图，含乘方的有理数的混合运算．理解程序框图中的运算规则是解题的关键． 由题意知，第一次输入的数是，则，由，可知第二次输入的数是，则，由，可输出结果． 【规范解答】解：由题意知，第一次输入的数是， ∴， ∵， ∴第二次输入的数是， ∴， ∵， ∴输出结果为， 故答案为：． 考点7：算"24” 点 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知五个数分别为：，，，，． (1)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来； (2)将前四个数通过有理数的混合运算（每个数只能算一次），得到运算结果“24”，请写出算式． 【答案】(1)在数轴上表示各数见解析， (2)（答案不唯一） 【思路引导】本题考查绝对值的化简与有理数的运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键， （1）先把各点在数轴上表示出来，从左到右用“”连接起来即可； （2）根据有理数混合运算，列式计算即可． 【规范解答】（1）解：， 如图， 由图可知，； （2）解：由题可得： ． 【变式训练】24-25七年级上·四川成都·期中）“24点”游戏规则：从一副扑克牌抽去大小王剩下1~13这52张牌（A代表1），J、Q、K分别代表11、12、13，任意抽取4张牌称为牌组，黑色代表正数，红色代表负数，用加、减、乘、除、乘方把牌面上的数算成24，每张牌必须且只能用一次．如果抽到黑桃Q、红桃Q、梅花3、方块A，请列出一个含有乘方运算的算式，将该牌面上的数字凑成24： ． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查含乘方的有理数的混合运算，先根据题干描述写出抽到的四张牌所代表的数分别为：12，，3，，由可以想到通过计算变成12，再根据即可列式． 【规范解答】解：由题意知，抽到的四张牌所代表的数分别为：12，，3，， 可得， 故答案为：． 考点8：含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算∶ (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算． （1）先算乘方，再算乘法，后算加减； （2）利用乘法分配律计算即可； （3）先利用乘法分配律计算，再算乘法，后算加减； （4）利用乘方的意义计算即可． 【规范解答】（1） （2） （3） （4） 【变式训练】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)1 (2) (3) (4)22 (5)1 (6)8 【思路引导】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算的法则是解题的关键． （1）直接利用有理数加法法则计算即可． （2）直接利用有理数减法法则计算即可． （3）先计算各绝对值，再按有理数混合运算法则计算即可． （4）按照有理数混合运算法则计算即可． （5）先将除法转化为乘法，再运用乘法分配律计算即可． （6）逆用乘法分配律计算即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 考点9：用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）年元月，合肥市财政收入为亿元，请将亿用科学记数法表示为（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【思路引导】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法表示数，将数表示成，其中，为整数，即可得到答案． 【规范解答】解：亿用科学记数法表示为， 故选A． 【变式训练】（2025·天津·模拟预测）地球与月球的平均距离大约为，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【规范解答】解：． 故选B． 考点10：将用科学记数法表示的数变回原数 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为平方米，则原数为 万平方米． 【答案】792 【思路引导】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，科学记数法的表示形式为为正整数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据科学记数法表示形式解答即可． 【规范解答】解： 平方米，则原数为792万平方米． 故答案为：792． 【变式训练】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）西柏坡纪念馆开展“我与祖国共成长”庆祝中华人民共和国成立周年主题活动，国庆七天假期，西柏坡纪念馆参观人数约有人次．“”的原数中“”共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【思路引导】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法和科学记数法还原成原数的表示方法是解题的关键．数还原成原数时，将的小数点向右移动位即可，据此解答即可． 【规范解答】解：， 故“”的原数中“”共有个， 故选：B． 考点11：求一个数的近似数 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）青海省第七次全国人口普查主要数据公报显示：全省常住人口为5923957人，横线上的数读作 ，用“四舍五入”法省略万后面的尾数约是 万． 【答案】 五百九十二万三千九百五十七 592 【思路引导】本题考查数的读法和精确，根据数的读法，以及四舍五入法进行作答即可． 【规范解答】解：青海省第七次全国人口普查主要数据公报显示：全省常住人口为5923957人，横线上的数读作五百九十二万三千九百五十七，用“四舍五入”法省略万后面的尾数约是592万． 故答案为：五百九十二万三千九百五十七，592 【变式训练】（24-25七年级上·北京·期中）根据要求，用四舍五入法取近似数： （精确到百分位）． 【答案】 【思路引导】此题考查了近似数，掌握近似数精确到哪一位，应当看末尾数字实际在哪一位是解题的关键． 根据近似数的精确度把千分位上的数字4进行四舍五入即可． 【规范解答】用四舍五入法取近似数：． 故答案为：． 考点12：求近似数的精确度 【典例精讲】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列近似数中，说法正确的是（   ） A．0.2与0.20精确度相同 B．精确到了十万位 C．精确到了十分位 D．1.2万精确到了万位 【答案】B 【思路引导】本题考查近似数的精确度判断，需根据各选项还原数值并确定其最后一位有效数字所在的数位；根据题目要求逐项判断即可． 【规范解答】A. 0.2精确到十分位，0.20精确到百分位，精确度不同，错误； B. 还原为10,700,000，末位7位于十万位，故精确到十万位，正确； C. 还原为1100，末位0位于十位，精确到十位，而非十分位，错误； D. 1.2万还原为12000，末位2位于千位，精确到千位，而非万位，错误； 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级上·北京·期中）数用四舍五入精确到0.1得到 ，近似数精确到 位． 【答案】 十 【思路引导】此题考查了科学记数法与近似数，不是用科学记数法表示的数需要确定精确到哪一位，主要看最后一位是什么位，就是精确到哪一位，如果是用科学记数法表示的数先把原数还原，再看它所在位的位置即可． 根据四舍五入法即可得出答案． 【规范解答】解：数用四舍五入精确到得到，近似数精确到十位． 故答案为：，十． 考点13：近似数推断取值范围 【典例精讲】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）[四舍五入]截至 2023年1月21 日11 点，2023 河南春晚全网阅读量约127亿．如果这个阅读量是一个两位小数，那么这个两位小数最大是 ，最小是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查四舍五入求解近似数，解题的关键是“四舍和五入”． 根据四舍五入求解近似数的规则，即“四舍和五入”，由原数的取值范围并利用改规则求解即可． 【规范解答】解：根据“四舍”的规则，要使这个两位小数最大， 则这个两位小数最大是； 根据“五入”的规则，要使这个两位小数最小， 则这个两位小数最小是． 故答案为：①；② ． 【变式训练】（23-24七年级上·河南周口·期中）近似数是由四舍五入得到的，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了近似数近似数与精确数的接近程度，可根据近似数的精确度求解． 【规范解答】解：根据题意得． 故选：B． 1．（2025·山东青岛·中考真题）2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星2016HO3和主带彗星311P开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到亿公里．亿，将374000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【规范解答】解：将374000000用科学记数法表示为． 故选：B． 2．（2025·天津·中考真题）据年月日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到人次．将数据用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【规范解答】解：将数据用科学记数法表示应为． 故选：B． 3．（2025·四川南充·中考真题）2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了一枚“东风-31AG”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒．用科学记数法表示“东风-31AG”导弹的平均速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】B 【思路引导】本题主要考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法中（ ）与（整数位数减 ）的确定是解题的关键． 先根据1马赫的速度算出25马赫的速度，再转化为科学记数法形式． 【规范解答】解：计算25马赫的速度：（米/秒） 用科学记数法表示：（米/秒）, 故选：B． 4．（2023·辽宁营口·中考真题）有下列四个算式：①；②；③；④．其中，正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路引导】本题考查有理数加、减、乘、除及乘方运算法则，解题关键是准确运用对应法则计算各算式并判断对错． 运用有理数加、减、乘、除及乘方运算法则逐个计算判断即可解答． 【规范解答】①，原式计算错误； ②，原式计算错误；； ③，原式计算正确； ④，原式计算正确； 综上所述：计算正确的有③④共2个； 故选：C． 5．（2024·山东日照·中考真题）交通运输部2024年4月发布的全国港口货物吞吐量数据显示，日照港2024年第一季度吞吐量为15493万吨，居全国主要港口第6位．将数据154930000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【规范解答】解：， 故选：B． 基础夯实 1．（24-25七年级上·福建福州·期中）下列比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数的乘方运算、绝对值、有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算有理数的乘方、化简绝对值，再根据有理数的大小比较即可得． 【规范解答】解：A、，，，则，此项错误，不符合题意； B、，，，则，此项错误，不符合题意； C、，，，则，此项正确，符合题意； D、，则，此项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·福建福州·期中）在，，，，0中，负数共有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【思路引导】本题考查了乘方、化简多重符号、化简绝对值、负数，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算乘方、化简多重符号、化简绝对值，再根据负数的定义即可得． 【规范解答】解：，是负数， ，是正数， ，是负数， ，是负数， 0既不是正数也不是负数， 综上，负数共有3个， 故选：A． 3．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 【答案】B 【思路引导】此题考查了有理数的混合运算．把代入程序中计算，判断结果与的大小，即可． 【规范解答】解：若输入1，则 ， 即输出的结果是． 故选：B 4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客万人次，把万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将万写成其中，n为整数的形式即可． 【规范解答】解：万． 故选C． 5．（25-26七年级上·浙江·开学考试）一个两位小数，用“四舍五入”法取近似值得．这个两位小数最大是( )，最小是( ) 【答案】 【思路引导】本题考查了取一个数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，根据题目要求灵活掌握解答方法，要考虑是一个两位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的最大是，“五入”得到的最小是，由此解答问题即可求解． 【规范解答】一个两位小数，用“四舍五入”法取近似数的结果为，这个两位小数最大是，最小是； 故答案为：，． 6．（25-26七年级上·浙江·开学考试）一架国产大型客机的售价为七亿一千六百六十五万八千元．横线上的数写作( )元、省略亿后面的尾数，约为( )亿元． 【答案】 【思路引导】本题考查了大数的读写，亿以上数的写法，从最高位写起，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字． 【规范解答】解：一架国产大型客机的售价为七亿一千六百六十五万八千元．横线上的数写作元、省略亿后面的尾数，约为亿元． 故答案为：；． 7．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）记者从河南省文化和旅游厅获悉：2024年元旦假日期间，全省统计接待游客1613.7万人次，旅游收入78.7亿元．数据“78.7亿”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【规范解答】解：亿． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·福建福州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了有理数的加减计算，含乘方的有理数混合计算： （1）根据有理数加减计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： 9．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们按照从小到大的顺序排列． 【答案】数轴见解析， 【思路引导】本题考查了相反数和绝对值的性质，用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，注意，在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 先将各数能化简的化简，再在数轴上表示出来，根据数轴上右边的数总大于左边的数，进行排列即可作答． 【规范解答】，，，，， 在数轴上表示为： ． 10．（24-25七年级上·江西赣州·期中）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：__________，__________． （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有__________；（横线上填写序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； ③圈n次方等于它本身的数是1或； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【实践应用】 （3）计算：． 【答案】 （1）， （2）①②④ （3） 【思路引导】本题主要考查新定义，有理数的乘除法运算，理解新定义的运算，有理数乘除法运算法则是关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据新定义运算的计算法则判定即可； （3）根据新定义运算的计算法则计算即可． 【规范解答】解：（1）：，， 故答案为：，； （2）若n为任意正整数， ①，故任何非零数的圈2次方都等于1，正确； ②，故任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确； ③，即的圈2次方不等于它本身，故圈n次方等于它本身的数是1或，错误； ④，，即根据有理数乘除法运算中的“奇负偶正”的都负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确； 综上所述，正确的有①②④； （3） ． 培优拔高 11．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【思路引导】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，发现规律是解题的关键．根据输入的x的值分别计算，直到找出规律为止，然后计算即可． 【规范解答】解：第1次输入的，则输出， 第2次输入的，则输出， 第3次输入的，则输出， 第4次输入的，则输出， 第5次输入的，则输出， 第6次输入的，则输出， 第7次输入的，则输出， ， 可以得出：从第3次开始，6，3，6，3，，循环出现， ∴， ∴第2012次输出的结果为3， 故选：A． 12．（24-25七年级上·福建漳州·期中）若计算机按如图所示程序工作，若输入的数是4，则输出的数是（     ） A．-396 B．36 C．-36 D．396 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了有理数的四则运算，根据新定义题型的意义，列出算式即可； 【规范解答】解：∵， 而， ∴， 而， ∴结果输出． 故选项：A 13．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）下列各说法中，正确的个数有（   ） ①若，则x一定是负数； ②平方等于它本身的数只有1和0； ③除以一个数，等于乘这个数的倒数； ④若，则； ⑤若，则且； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了绝对值的性质，有理数的运算，熟练掌握概念和性质是解题的关键 根据绝对值、平方、除法等相关数学概念和运算法则，对每个说法逐一进行分析判断． 【规范解答】①根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是．当时，可能是负数，此时（例如，）；也可能是，因为．所以是负数或，即非正数，故原说法错误； ②对于大于1的正数，结果比原数大， 1的平方等于它本身，负数的平方是正数，和原来的负数不相等，0的平方0，等于它本身．该说法正确． ③根据有理数的除法法则，除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数，即．原说法没有强调除数不为这个条件，因为没有倒数，所以该说法错误． ④根据绝对值的定义，表示在数轴上所对应点到原点的距离，表示在数轴上所对应点到原点的距离．若，说明和到原点的距离相等，那么和相等或者互为相反数，即．例如，此时 ；，此时 ． 所以该说法正确． ⑤根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与相乘，积仍为．当时，有两种情况：且，此时（例如，，）； 且，此时（例如，，）．所以原说法错误． 综上，说法②和④正确，正确的个数是个， 故选：B． 14．（2025·四川广安·模拟预测）一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数乘方，计算出，，，即可解答，数熟练计算是解题的关键． 【规范解答】解：， ，，， ， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·广东东莞·期末）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高，规模最大的学术盛会，第十四届国际数学教育大会（）于年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会会徽中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份（注：），则八进制数换算成十进制数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，理解八进制数换算为十进制数的方法是解答本题的关键． 根据题目中八进制数换算成十进制数的方法计算即可． 【规范解答】解：八进制数换算成十进制数是， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·黑龙江双鸭山·期末）在日常生活中，我们用十进制来表示数，计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10，那么二进制中的110101表示十进制中的 ． 【答案】53 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法进行计算，即可解答． 【规范解答】解：， 故答案为：53． 17．（24-25七年级上·四川雅安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，加减混合运算，有理数的乘法运算律，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据有理数的加减法则进行计算，即可作答． （2）先运算乘除，再运算加减，即可作答． （3）运用乘法运算律进行计算，即可作答． （4）先运算乘方，再化简绝对值以及运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 18．（24-25七年级上·甘肃天水·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)17 (3) (4)113 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）先计算有理数的除法，再计算加减即可； （2）先计算有理数的乘法，再计算加减即可； （3）先计算括号，再利用有理数的除法法则计算即可； （4）先计算括号，再按先乘方、再乘除、后加减的运算顺序计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方 乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 【答案】（1）， （2） （3） （4） （5） 【思路引导】本题主要考查了有理数的除法运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算等知识点，读懂题意，深刻理解题中所给除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的定义进行计算即可； （2）根据除方的定义逐项分析判断即可； （3）根据题中所给示例进行计算即可得出答案； （4）分别求出和，然后比较即可； （5）根据除方的定义进行计算即可． 【规范解答】解：（1）由题知：， ， 故答案为：，； （2）由题知： A．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； B．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； C．当为正数时，的次商表示个相除，结果是正数， 当为负数时，奇数个负数相除结果为负，偶数个负数相除结果为正， 该说法错误，故选项符合题意； D．由除方的定义可知，次商等于它本身的数是， 该说法正确，故选项不符合题意； 故选：； （3）由题知： ， 故答案为：； （4），， ， 故答案为：； （5） ． 20．（24-25七年级上·河南南阳·期中）综合与实践： 【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”． 一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ________（a为有理数且），________． 【归纳结论】 （3）一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：________． 【结论应用】 （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【思路引导】（1）分别按公式计算即可； （2）根据发现的规律解答即可； （3）根据发现的规律解答即可； （4）根据发现的规律解答即可． 本题考查了有理数的乘除混合运算，含有乘方的混合运算，解题的关键是根据新定义的计算公式逐步计算． 【规范解答】解：（1），， 故答案为：； （2）； ， 故答案为：； （3） ， 故答案为：． （4）解：原式 ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$