第六章 直线与圆的方程（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 基础模块下册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【河南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖河南省对口高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第六章直线与圆的方程的考点梳理卷，主要梳理和考查了两点间距离公式和线段中点坐标公式、直线方程及位置关系、圆、直线与圆位置关系等常见考点。 第六章 直线与圆的方程 目录 考点一 两点间距离公式及中点坐标公式应用 1 考点二 直线倾斜角与斜率互求 2 考点三 直线的点斜式与斜截式方程求解 2 考点四 直线一般式方程的转化与应用 2 考点五 两直线平行的判定与参数求解 3 考点六 两直线垂直及交点坐标的求解 3 考点七 点到直线、平行直线间距离公式应用 3 考点八 圆的标准方程的求解与应用 4 考点九 圆的一般方程的应用 4 考点十 点与圆位置关系的判定 4 考点十一 直线与圆位置关系的判定 4 考点十二 直线与圆相交时的弦长计算 5 考点十三 圆的切线方程求解 5 考点十四 直线与圆方程的综合应用 5 考点一 两点间距离公式及中点坐标公式应用 1．已知点，，求A、B两点间的距离和线段的中点坐标． 【答案】；. 【分析】根据两点间距离公式及中点坐标公式即可得解. 【详解】点，， 所以两点间的距离为， 中点坐标为即. 2．如图，已知三角形的三个顶点分别是． (1)求的中点D坐标； (2)求边上中线的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由中点坐标公式求解即可； （2）由两点间距离坐标公式求解即可. 【详解】（1）三角形的三个顶点分别是， 则的中点D坐标为，即. （2）由（1）得，且， 故边上中线的长度. 考点二 直线倾斜角与斜率互求 3．根据条件求直线的斜率： (1)直线的倾斜角为； (2)直线与轴平行； (3)已知直线过点. 【答案】(1)不存在. (2)0. (3). 【分析】（）根据直线倾斜角为，斜率不存在即可得解. （）根据题意得出直线的倾斜角为，结合斜率的定义即可得解. （）根据题意结合两点斜率公式即可得解. 【详解】（1）直线的倾斜角为，则该直线斜率不存在. （2）直线与轴平行， 则直线的倾斜角为，所以斜率， 所以直线斜率为. （3）直线过点， 则斜率， 所以直线斜率为. 4．已知点在直线上，若直线的倾斜角是，求实数m的值． 【答案】 【分析】由两点斜率公式建立关于m的方程，解出即可． 【详解】点在直线上，直线的倾斜角是，， 可得， 解得. 故实数m的值为. 考点三 直线的点斜式与斜截式方程求解 5．你能写出下列直线的点斜式方程吗？没有点斜式方程的直线和斜率为0的直线如何表示？ (1)经过点，斜率是3； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点，与轴平行； (4)经过点，与轴垂直. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据点和斜率写出直线的点斜式方程即可. （2）根据倾斜角确定斜率，再根据点和斜率写出直线的点斜式方程即可. （3）根据过点与轴平行的直线方程为即可解答. （4）根据过点与轴垂直的直线方程为即可解答. 【详解】（1）已知直线经过点，斜率是3， 则直线点斜式方程为. （2）已知直线经过点，倾斜角是， 则斜率为， 所以直线点斜式方程为. （3）已知直线经过点，与轴平行， 则斜率， 所以直线方程为. （4）已知直线经过点，与轴垂直， 则直线斜率不存在，无法用点斜率表示， 所以直线方程为. 6．（1）求过点且倾斜角为的直线方程. （2）已知直线的斜率是3，在轴上的截距是5，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据倾斜角求出直线斜率，再由点斜式方程求解即可. （2）代直线斜截式方程求解即可. 【详解】（1）倾斜角为的直线斜率为， 则所求直线方程为：，整理得：. （2）直线的斜率是，在轴上的截距是， 则直线的方程为：. 考点四 直线一般式方程的转化与应用 7．根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且平行于轴； (3)在轴和轴上的截距分别是，； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点斜式方程的定义先写出直线的点斜式方程，再化为一般式方程； （2）根据与轴平行的直线斜率为0，可直接写出直线的方程； （3）由直线在轴和轴上的截距分别是，，即直线过点，，即可求出直线的斜率，从而求出直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率是，且经过点， 所以直线的点斜式方程为， 故直线的一般式方程为． （2）因为直线与轴平行且斜率为0，且过过点， 所以直线的一般式方程为． （3）因为直线在轴和轴上的截距分别是，， 所以直线过点，， 故直线的斜率为， 所求直线的斜截式方程为， 故直线一般式方程为． 8．设直线的方程为． (1)已知直线在轴上的截距为，求的值； (2)已知直线的斜率为1，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，令可得直线在轴上的截距，由题意列出关于的方程求解即可； （2）由题意知，由直线化为斜截式方程得出斜率，由题意列出关于的方程求解即可. 【详解】（1）由题意知，即且， 令，得， 直线在轴上的截距为， 即，解得或（舍去）． ． （2）由题意知，，即且． 由直线化为斜截式方程得 由题意直线的斜率为， 即，解得或（舍去）． ． 考点五 两直线平行的判定与参数求解 9．判断下列各小题中的直线与是否平行： (1)经过点经过点； (2)的斜率为经过点； (3)经过点经过点； (4)经过点经过点． 【答案】(1)不平行． (2)平行或重合. (3)平行. (4)平行. 【分析】根据题意结合两条直线平行的特点即可得解. 【详解】（1）由题意，，与不平行． （2）由题意，，故或与重合. （3）由题意，，则有， 又，则不共线， 故． （4）由已知点的坐标，得与均与轴垂直且不重合，故有. 10．已知直线与直线平行，求实数的值． 【答案】2或 【分析】根据两直线平行，直线方程各系数的关系即可求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或． 当时，，与不重合，． 当时，与不重合，. 故的值为2或． 考点六 两直线垂直及交点坐标的求解 11．已知的顶点为，求： (1)BC边所在的直线方程； (2)BC边上的高所在的直线方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）首先设出直线的方程，再将两点坐标代入求解即可. （2）根据（1）的结果以及利用垂直关系求高所在直线方程. 【详解】（1）设直线方程为，因为直线过点， 所以将代入得，即 所以直线方程为. （2）BC边上的高垂直于BC，所以所求直线的斜率为. 设直线的方程为. 又因为直线经过A点，所以将代入方程中得， 故直线方程为，即. 12．已知相交于点P． (1)求P的坐标； (2)求过点P且与互相垂直的直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两个直线方程联立求交点坐标即可. （2）根据直线的垂直的性质以及点斜式方程求解即可. 【详解】（1）由解得， . （2）设， 由得. ， ， . 即. 考点七 点到直线、平行直线间距离公式应用 13．求点到下列直线的距离： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)3 (3)1 【分析】（1）（2）（3）根据点到直线的距离公式求值即可. 【详解】（1）已知点， 则直线， 点到直线的距离公式知. （2）已知点， 直线方程化为一般式为， 由点到直线的距离公式. （3）已知点， 直线为， 由点到直线的距离公式得. 14．求经过直线和直线的交点，且与直线平行的直线方程，并求这两条平行线间的距离． 【答案】， 【分析】联立两直线方程可得交点，再由平行关系设所求平行线，进而点代入求得平行直线的方程；再利用平行线间的距离公式即可得解. 【详解】联立，解得， 所以直线和直线的交点为， 由题意，设所求平行线，， 因为点在直线上，所以，可得， 所以所求直线的方程为； 两条平行线间的距离. 考点八 圆的标准方程的求解与应用 15．求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在，半径是3； (2)已知圆经过两点，圆心在轴上. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆的圆心和半径由圆的标准方程即可求解圆的方程. （2）根据圆的圆心在x轴设出圆心坐标，再由圆上的点与圆心之间的距离为圆的半径即可求解圆心，再由两点间距离公式即可求解半径，即可求解圆的方程. 【详解】（1）因为圆的圆心在，半径是3， 所以圆的标准方程为. （2）因为圆的圆心在轴上，设圆心为， 又因为圆经过两点， 所以圆的半径，即， 整理可得，即，解得， 所以圆的圆心为， 即圆的半径， 所以圆的标准方程为. 16．求圆心C在直线上，且经过原点及点的圆C的方程. 【答案】 【分析】由题意设出圆心坐标，利用圆的半径相等，求出圆心，即可求出圆的方程. 【详解】由题意设圆的圆心，半径为，则， 即：，解得， 所以圆心坐标为，半径为， 所以圆C的方程为. 考点九 圆的一般方程的应用 17．写出下列圆的圆心坐标和半径． (1)； (2)． 【答案】(1)圆心为，半径为3． (2)圆心为，半径为． 【分析】把圆的方程化为标准方程即可得答案. 【详解】（1）由得， 所以该圆的圆心为，半径为3． （2）由可得， 所以该圆的圆心为，半径为． 18．已知圆经过三点，求圆的方程. 【答案】 【分析】先设圆的方程为，再根据圆经过三点列式求解即可. 【详解】设圆的方程为， 圆经过三点， ， ， 圆的方程为. 考点十 点与圆位置关系的判定 19．判断下列各点与圆的位置关系，并说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)点在圆上，理由见解析 (2)点在圆外，理由见解析 (3)在圆内，理由见解析 【分析】把各点坐标代入圆的方程的左侧，和右侧的5比较大小即可得出结论. 【详解】（1）因为圆的方程为，且， 所以点在圆上． （2）因为圆的方程为，且， 所以点在圆外． （3）因为圆的方程为，且， 所以点在圆内． 20．求以点为圆心，为半径的圆的标准方程，并判断点，，是否在圆上. 【答案】 点在圆上，点在圆内，点在圆外 【分析】由圆心坐标和半径确定圆的标准方程，再计算判断三个点是否在圆上. 【详解】以点为圆心，为半径的圆，其标准方程为 ， 对于点，因为，故点在圆上， 对于点，因为，故点在圆内， 对于点，因为，故点在圆外. 考点十一 直线与圆位置关系的判定 21．已知直线与圆，若直线与圆相交，求k的取值范围． 【答案】. 【分析】将圆的一般式方程化为标准方程求出圆心与半径，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】将圆的一般方程配方得， 所以圆心坐标为，半径为3， 因为直线与圆相交，则，化简得， 解得， 所以k的取值范围为. 22．判断直线与圆的位置关系. 【答案】相离 【分析】根据圆的一般方程求出圆心和半径，再比较圆心到直线的距离与半径的大小即可求解. 【详解】圆的圆心为， 半径为， 则圆心到直线的距离为： ， 所以直线与圆相离. 考点十二 直线与圆相交时的弦长计算 23．已知一个圆的圆心为，且该圆过原点.求： (1)该圆的标准方程； (2)直线被该圆截得的弦长. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据两点间的距离公式求出圆的半径，根据圆心半径即可得到圆的标准方程. （2）根据点到直线的距离公式，结合直线被圆截的弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意得，所求圆的半径为， 且圆心为， 所以该圆的标准方程为：. （2）把直线方程化为一般式：， 则圆心到直线的距离， 由（1）得，圆的半径， 所以直线被圆截得的弦长是. 24．过点且倾斜角为的直线与圆相交于两点 (1)求的方程； (2)求弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合直线的倾斜角，先求出直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解； （2）根据题意，先把圆的一般式方程转化为标准式方程，求出圆心坐标和半径，继而求得圆心到直线的距离，结合半径、弦心距、弦长的一半三者之间的关系，利用勾股定理，即可求解. 【详解】（1）因为直线过点且倾斜角为， 所以直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即； （2）因为圆，化为标准式方程得， 所以圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线l的距离为， 所以. 考点十三 圆的切线方程求解 25．已知点在圆外，经过点作圆的切线，求切线方程. 【答案】或 【分析】根据题意判断得所求切线斜率存在，再利用圆的切线的性质与点线距离公式得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 依题意，易知过点的圆的切线的斜率存在， 设所求切线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 即，解得或， 所以或， 即所求切线方程为或. 26．已知点在圆外，经过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】或 【分析】分直线斜率存在和直线不存在两种情况讨论求解即可． 【详解】当直线斜率不存在时，直线过点且与相切， 所以直线方程为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即. 直线与圆心为，半径为2的圆相切， 所以直线到圆心的距离：， 解得 ，所以圆的切线方程为. 综上所述，切线的方程为：或. 考点十四 直线与圆方程的综合应用 27．已知圆，过点向这个圆作两条切线，则两切线的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆的一般方程求得圆心和半径，再根据两点的距离公式求得点P到圆心C的距离，得出切线与直线PC的夹角的正弦值，运用余弦的二倍角公式可得选项. 【详解】因为圆，所以，所以圆心为，半径， 又点，所以点P到圆心C的距离为，所以切线与直线PC的夹角的正弦值为， 所以两切线的夹角的余弦值为， 故选：A. 28．过原点作圆的两条切线，切点分别为、． (1)求这两条切线的方程 (2)求的面积． 【答案】(1)切线方程为和； (2)10 【分析】（1）由圆的方程可知其标准方程，数形结合可知一条切线方程为，又知切线方程过原点可得结果； （2）由题（1）可解得点和的坐标，即可解得三角形的面积. 【详解】（1）解：由题知圆的方程为，即可知其标准方程为， 圆心为，半径为，且由题图可知直线为圆的一条切线，又因为切线过原点， 可设另外一条切线为，即由圆心到切线的距离为半径可知，，解得， 故此切线方程为.综上所述，切线方程为和； （2）由题图可知直线与圆切于点，直线与圆切于点，把和代入圆的方程， 可解得点，且点到直线的距离为， 故可求得三角形的面积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套【河南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖河南省对口高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第六章直线与圆的方程的考点梳理卷，主要梳理和考查了两点间距离公式和线段中点坐标公式、直线方程及位置关系、圆、直线与圆位置关系等常见考点。 第六章 直线与圆的方程 目录 考点一 两点间距离公式及中点坐标公式应用 1 考点二 直线倾斜角与斜率互求 2 考点三 直线的点斜式与斜截式方程求解 2 考点四 直线一般式方程的转化与应用 2 考点五 两直线平行的判定与参数求解 3 考点六 两直线垂直及交点坐标的求解 3 考点七 点到直线、平行直线间距离公式应用 3 考点八 圆的标准方程的求解与应用 4 考点九 圆的一般方程的应用 4 考点十 点与圆位置关系的判定 4 考点十一 直线与圆位置关系的判定 4 考点十二 直线与圆相交时的弦长计算 5 考点十三 圆的切线方程求解 5 考点十四 直线与圆方程的综合应用 5 考点一 两点间距离公式及中点坐标公式应用 1．已知点，，求A、B两点间的距离和线段的中点坐标． 2．如图，已知三角形的三个顶点分别是． (1)求的中点D坐标； (2)求边上中线的长度． 考点二 直线倾斜角与斜率互求 3．根据条件求直线的斜率： (1)直线的倾斜角为； (2)直线与轴平行； (3)已知直线过点. 4．已知点在直线上，若直线的倾斜角是，求实数m的值． 考点三 直线的点斜式与斜截式方程求解 5．你能写出下列直线的点斜式方程吗？没有点斜式方程的直线和斜率为0的直线如何表示？ (1)经过点，斜率是3； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点，与轴平行； (4)经过点，与轴垂直. 6．（1）求过点且倾斜角为的直线方程. （2）已知直线的斜率是3，在轴上的截距是5，求直线的方程. 考点四 直线一般式方程的转化与应用 7．根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且平行于轴； (3)在轴和轴上的截距分别是，； 8．设直线的方程为． (1)已知直线在轴上的截距为，求的值； (2)已知直线的斜率为1，求的值． 考点五 两直线平行的判定与参数求解 9．判断下列各小题中的直线与是否平行： (1)经过点经过点； (2)的斜率为经过点； (3)经过点经过点； (4)经过点经过点． 10．已知直线与直线平行，求实数的值． 考点六 两直线垂直及交点坐标的求解 11．已知的顶点为，求： (1)BC边所在的直线方程； (2)BC边上的高所在的直线方程. 12．已知相交于点P． (1)求P的坐标； (2)求过点P且与互相垂直的直线l的方程． 考点七 点到直线、平行直线间距离公式应用 13．求点到下列直线的距离： (1)； (2)； (3)． 14．求经过直线和直线的交点，且与直线平行的直线方程，并求这两条平行线间的距离． 考点八 圆的标准方程的求解与应用 15．求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在，半径是3； (2)已知圆经过两点，圆心在轴上. 16．求圆心C在直线上，且经过原点及点的圆C的方程. 考点九 圆的一般方程的应用 17．写出下列圆的圆心坐标和半径． (1)； (2)． 18．已知圆经过三点，求圆的方程. 考点十 点与圆位置关系的判定 19．判断下列各点与圆的位置关系，并说明理由． (1)； (2)； (3)． 20．求以点为圆心，为半径的圆的标准方程，并判断点，，是否在圆上. 考点十一 直线与圆位置关系的判定 21．已知直线与圆，若直线与圆相交，求k的取值范围． 22．判断直线与圆的位置关系. 考点十二 直线与圆相交时的弦长计算 23．已知一个圆的圆心为，且该圆过原点.求： (1)该圆的标准方程； (2)直线被该圆截得的弦长. 24．过点且倾斜角为的直线与圆相交于两点 (1)求的方程； (2)求弦长. 考点十三 圆的切线方程求解 25．已知点在圆外，经过点作圆的切线，求切线方程. 26．已知点在圆外，经过点作圆的切线，求切线的方程． 考点十四 直线与圆方程的综合应用 27．已知圆，过点向这个圆作两条切线，则两切线的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 28．过原点作圆的两条切线，切点分别为、． (1)求这两条切线的方程 (2)求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$