1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中物理选择性必修第二册（人教版2019）

第3节　带电粒子在匀强磁场中的运动 物理观念 科学思维 科学探究 科学态度与责任 知道带电粒子沿着与磁场垂直的方向射入匀强磁场会在磁场中做匀速圆周运动。 1.能推导出粒子做匀速圆周运动的半径公式和周期公式。 2．知道洛伦兹力作用下带电粒子做匀速圆周运动的周期与速度无关。能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。 经历实验验证带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，以及其运动半径与磁感应强度的大小和入射速度的大小有关的过程，体会物理理论必须经过实验检验的道理。 通过实验证明带电粒子在匀强磁场中做的是匀速圆周运动。在这一学习过程中对理论与实践相结合的研究方法有所体会。 [对应学生用书P21] 一、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．若v∥B，则带电粒子以速度v做匀速直线运动，其所受洛伦兹力F＝0。 2．若v⊥B，则速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向的平面内运动。 (1)洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。 (2)带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。 二、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1．半径 一个电荷量为q的粒子，在磁感应强度为B的匀强磁场中以速度v运动，那么带电粒子所受的洛伦兹力为F＝qvB，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝，由此可解得圆周运动的半径r＝。从这个结果可以看出，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与它的质量、速度成正比，与电荷量、磁感应强度成反比。 2．周期 由r＝和T＝，可得T＝。带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径和运动速度无关。 1．判断下列说法的正误。(对的画“√”，错的画“×”) (1)带电粒子进入匀强磁场中，一定做匀速圆周运动。 (　　×　　) (2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，轨道半径跟粒子的速率成正比。 (　　√　　) (3)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期随速度的增大而减小。 (　　×　　) (4)带电粒子以一定速度垂直射入匀强磁场，若只考虑洛伦兹力，则粒子的加速度不变 。 (　　×　　) 2．(教材拓展)如何确定圆心？ 提示：半径与表示速度的矢量线段(轨迹切线)垂直，两半径的交点或半径与弦的垂直平分线的交点为圆心。 [对应学生用书P22] 探究点一___带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题 如图所示的装置叫作洛伦兹力演示仪。玻璃泡内的电子枪(即阴极)发射出电子束，使玻璃泡内的稀薄气体发出辉光，这样就可显示出电子的轨迹。 [问题设计] (1)当没有磁场作用时，观察电子的运动轨迹，你看到了什么？ (2)当外加一个磁场，让电子垂直射入磁场时，电子的运动轨迹有什么变化？ (3)电子为什么会做圆周运动？向心力由谁提供？ 提示：(1)当没有磁场时，电子的运动轨迹为直线。 (2)当电子垂直射入磁场时，电子的运动轨迹为圆。 (3)电子垂直射入磁场，洛伦兹力不做功，只改变速度的方向，不改变速度的大小，电子将做圆周运动，此时的洛伦兹力提供向心力。 1．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即qvB＝m。 2．同一个粒子在同一个磁场中做匀速圆周运动，由r＝可知，r与v成正比；由T＝可知，T与速度无关，与半径无关。 3．对半径公式的理解 (1)成立条件：v⊥B。 (2)粒子在同一个匀强磁场中，由半径公式r＝知，r与m、q、v有关。 (3)同一个粒子在同一个磁场中，由r＝知，r与v成正比。 4．对周期公式的理解：两公式T＝和T＝都可以计算带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期，可灵活选用。当粒子垂直进入同一个匀强磁场中速度越大，半径越大，但周期相同，即周期与运动速度无关，与半径大小无关，而与带电粒子的比荷成反比。 [例1] (多选)粒子A和B带有等量的同种电荷，粒子A和B以垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场，不计重力，下列说法正确的是 (　　) A．如果两粒子的速度vA＝vB，则两粒子在该匀强磁场中做匀速圆周运动的半径RA＝RB B．如果两粒子的动能EkA＝EkB，则两粒子在该匀强磁场中做匀速圆周运动的周期TA＝TB C．如果两粒子的质量mA＝mB，则两粒子在该匀强磁场中做匀速圆周运动的周期TA＝TB D．如果两粒子的质量与速度的乘积mAvA＝mBvB，则两粒子在该匀强磁场中做匀速圆周运动的半径RA＝RB CD　解析：因为粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径r＝，周期T＝，又粒子电荷量相等且在同一磁场中，所以q、B相等，r与m、v有关，T只与m有关，A、B错误，C、D正确。 [练1] 薄铝板将同一个匀强磁场分成 Ⅰ 、 Ⅱ 两个区域，高速带电粒子可穿过铝板一次，在两个区域内运动的轨迹如图所示，半径R1>R2。假定穿过铝板前后粒子电荷量保持不变，则该粒子 (　　) A．带正电 B．在 Ⅰ 、 Ⅱ 区域的运动速度大小相同 C．在 Ⅰ 、 Ⅱ 区域的运动时间相同 D．从 Ⅱ 区域穿过铝板运动到Ⅰ区域 C　解析：粒子穿过铝板受到铝板的阻力，速度将减小。由r＝可得粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径将减小，故可得粒子由 Ⅰ 区域运动到 Ⅱ 区域，结合左手定则可知粒子带负电，A、B、D错误；由T＝可知粒子运动的周期不变，粒子在 Ⅰ 区域和 Ⅱ 区域中运动的时间均为t＝T＝，C正确。 探究点二___带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动 1．两种确定轨迹圆心的方法 (1)圆心一定在垂直于速度的直线上。已知粒子运动轨迹上两点的速度方向时，作这两点速度方向的垂线，交点即为圆心，如图甲所示。 (2)圆心一定在弦的中垂线上。已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向时，画出粒子轨迹上两点的连线(即过这两点的圆的弦)，然后作它的中垂线，并画出已知点速度方向的垂线，则弦的中垂线与速度方向的垂线的交点即为圆心，如图乙所示。 2．三种求半径的方法 (1)根据半径公式r＝求解。 (2)根据勾股定理求解。如图甲所示，若已知出射点相对于入射点发生的侧移为x，磁场的宽度为d，则满足关系式r2＝d2＋(r－x)2。 (3)根据三角函数求解。如图乙所示，若已知出射速度方向与入射方向的夹角为θ，磁场的宽度为d，则有关系式r＝。 3．四种角度关系 (1)如图甲所示，速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)。 (2)如图甲所示，圆心角α等于弦AB与速度方向的夹角(弦切角θ)的2倍(φ＝α＝2θ＝ωt)。 (3)如图甲所示，相对的弦切角(θ)相等。与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°。 (4)进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等，如图乙所示。 4．两种求时间的方法 (1)利用圆心角求解。若求出这部分圆弧对应的圆心角θ，则t＝T。 (2)利用弧长s和速度v求解，t＝。 [例2] 真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的粒子(不计重力)沿着与PQ夹角为30°的方向垂直于磁场射入，刚好能垂直于MN边界射出磁场。求粒子射入磁场的速度大小及在磁场中运动的时间。 答案：　 解析：粒子运动轨迹如图所示 由几何关系可得半径为 R＝＝ l 根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝ 解得v＝。 粒子运动轨迹对应的圆心角为 α＝90°－θ＝60° 粒子的运动周期为T＝ 则粒子在磁场中运动的时间为t＝·T＝。 [练2] (多选)如图所示，在xOy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一个带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°。粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴。已知OM＝a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则 (　　) A．粒子带负电荷 B．粒子速度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a D．N与O点相距(＋1)a AD　解析：粒子向下偏转由左手定则分析粒子在M点受的洛伦兹力，可知粒子带负电荷，A正确；粒子的运动轨迹如图所示，由于速度方向与y轴正方向夹角θ＝45°，根据几何关系可知∠OMO′＝∠OO′M＝45°，OM＝OO′＝a，所以O′为粒子做匀速圆周运动的圆心，其轨道半径R＝a，C错误；洛伦兹力提供向心力，qvB＝m，可求出v＝，B错误；由图可知，ON＝a＋a＝(＋1)a，D正确。 探究点三___带电粒子在有界磁场中的运动 1．直线边界 从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图所示。 2．平行边界 3．圆形边界 (1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。 (2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度与半径的夹角为θ，出射速度与半径的夹角也为θ，如图乙所示。 [例3] 如图所示，空间存在方向垂直于纸面(xOy平面)向里的磁场。在x≥0区域，磁感应强度的大小为B0；在x<0区域，磁感应强度的大小为λB0(常数λ>1)。一个质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子(不计重力)以速度v0从坐标原点O沿x轴正方向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿x轴正方向时，求： (1)粒子运动的时间； (2)粒子与O点间的距离。 答案：(1)(1＋)　(2)(1－) 解析：(1)在匀强磁场中，带电粒子做匀速圆周运动。设在x≥0区域，圆周运动轨迹半径为R1；在x<0区域，圆周运动轨迹半径为R2。由洛伦兹力公式及牛顿运动定律得qB0v0＝m qλB0v0＝m 粒子速度方向转过180°时，所需时间为t1＝ 粒子再转过180°时，所需时间为t2＝ 联立各式得，所求时间为 t＝t1＋t2＝(1＋)。 (2)由几何关系得，所求距离为 d＝2(R1－R2)＝(1－)。 [例4] 如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计粒子重力。则为 (　　) A． B． C． D． B　解析：设磁场区域的半径为R，根据几何关系可知，带电粒子以v1射入磁场时，在磁场中运动的轨迹半径r1＝R，带电粒子以v2射入磁场时，在磁场中运动的轨迹半径r2＝＝R，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得r＝，则＝＝，B正确。 [练3] 两个带等量异种电荷的粒子分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，求： (1)a、b粒子的带电性质； (2)a、b粒子的轨道半径之比Ra∶Rb； (3)a、b粒子的质量之比ma∶mb。 答案：(1)a为负电荷、b为正电荷　(2)∶1　 (3)2∶1 解析：(1)两带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，同时由A点出发，同时到达B点，由左手定则可判断，a粒子带负电，b粒子带正电。 (2)粒子做匀速圆周运动，粒子运动轨道圆心在AB的垂直平分线和过A点的速度垂直方向的交点，如图所示。 由几何知识可知 Ra＝＝d，Rb＝＝d 则有Ra∶Rb＝∶1。 (3)由几何知识可知从A运动到B，a粒子转过的中心角度为60°，b粒子转过的中心角度为120°，根据运动时间相同可得运动周期为Ta∶Tb＝2∶1 粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有 qvB＝m，T＝ 解得T＝ 电荷量相等，则有ma∶mb＝Ta∶Tb＝2∶1。 创新探究___解决实际问题 [例5] (科技情境)(2025·北京朝阳区月考)用洛伦兹力演示仪可以观察电子在磁场中的运动径迹。图甲是洛伦兹力演示仪的实物图，图乙是结构示意图，图丙是励磁线圈示意图。励磁线圈通电后可以产生垂直于纸面的匀强磁场，励磁线圈中的电流越大，产生的磁场越强。图乙中电子经电子枪中的加速电场加速后水平向左垂直于磁感线方向射入磁场。下列关于实验现象的分析正确的是 (　　) A．仅增大励磁线圈中的电流，电子束径迹的半径变大 B．仅升高电子枪加速电场的电压，电子束径迹的半径变大 C．仅使电子枪加速电压增加到原来的2倍，电子束径迹的半径也增加到原来的2倍 D．要使电子形成如图乙所示的运动径迹，图乙中励磁线圈应通以(沿垂直于纸面向里方向观察)逆时针方向的电流 B　解析：电子经电子枪中的加速电场加速，由动能定理可知eU＝mv，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有eBv0＝m，解得r＝＝，加速电压不变，仅增大励磁线圈中的电流，磁感应强度B增大，电子束径迹的半径变小；仅升高电子枪加速电场的电压U，电子束径迹的半径r变大，A错误，B正确；仅使电子枪加速电压增加到原来的2倍，由r＝可知，电子束径迹的半径增加到原来的倍，C错误；若励磁线圈通以逆时针方向的电流，由安培定则可知，产生的磁场方向向外，由左手定则可知，电子射入磁场时所受的洛伦兹力向下，电子运动的径迹不可能如题图乙所示，D错误。 [对应学生用书P26] 1．关于带电粒子在匀强磁场中的运动，下列说法正确的是 (　　) A．带电粒子进入匀强磁场后，一定做匀速圆周运动 B．静止的带电粒子在匀强磁场中将会做匀加速直线运动 C．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时洛伦兹力的方向总是和运动方向垂直 D．当洛伦兹力方向和运动方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中的运动一定是匀速圆周运动 C　解析：若带电粒子的速度方向与磁场方向平行(同向或反向)，此时洛伦兹力为零，带电粒子做匀速直线运动，A错误；静止的带电粒子不受洛伦兹力，仍保持静止，B错误；带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力总是跟速度方向垂直，即和运动方向垂直，C正确；如果带电粒子以与磁场方向成某一角度进入匀强磁场，洛伦兹力与运动方向垂直，带电粒子不做匀速圆周运动，D错误。 2．如图所示，一个水平边界的匀强磁场，一个带电粒子与边界成θ角度以v0初速度垂直射入磁场，一段时间后从磁场射出，若仅使粒子的初速度大小变为原来的2倍，则 (　　) A．粒子在磁场中运动的时间变为原来的2倍 B．粒子在磁场中运动的时间变为原来的 C．粒子离开磁场时速度与水平边界的夹角变大 D．粒子出射点与入射点间的距离变为原来的2倍 D　解析：由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝m，r＝，若仅使粒子的初速度大小变为原来的2倍，运动半径将变为原来2倍，如图所示，由几何关系，在磁场中运动的圆弧对应的圆心角都是2θ。两次运动时间相同均等于t＝T＝·＝，A、B错误；由几何关系，粒子离开磁场时速度与水平边界的夹角都是θ，不变，C错误；第一次粒子出射点与入射点间的距离x1＝2r sin θ，第二次粒子出射点与入射点间的距离x2＝2×2r sin θ＝4r sin θ，粒子出射点与入射点间的距离变为原来的2倍，D正确。 3．如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一对质量与电荷量都相等的正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，不计粒子重力，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为 (　　) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶ D．1∶1 B　解析：由洛伦兹力提供向心力有qvB＝，又T＝，解得T＝，则正、负粒子在磁场中的运动周期相等，运动时间t＝T，正、负粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，正粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为120°，负粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为60°，故时间之比为2∶1，B正确。 4．(多选)如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，O为圆心，A、B、C为圆形区域边界上的三点，BC为直径，∠AOC＝60°，现有一对质量相等、电荷量不等的正、负粒子，从A点沿AO方向以相同大小的速度垂直磁场射入，一个从B点离开磁场，另一个从C点离开磁场。粒子的重力及相互作用力均不计，则下列说法正确的是 (　　) A．从B点离开磁场的粒子带负电 B．正、负粒子的电荷量大小之比为1∶3 C．正、负粒子在磁场中运动的周期之比为1∶3 D．正、负粒子在磁场中运动的时间之比为2∶3 ACD　解析：带电粒子进入磁场，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，根据左手定则可以判断，从B点离开磁场的粒子带负电，A正确；由以上分析可得，从C点出去的为带正电的粒子，画出运动轨迹，圆心为O1，从B点出去的为带负电的粒子，画出运动轨迹，圆心为O2，设磁场的磁感应强度为B′，由几何关系得，匀速圆周运动中，洛伦兹力提供向心力，联立解得，同理得，联立得正负电荷的电荷量大小之比为q1∶q2＝3∶1，正、负粒子在磁场中运动的周期之比为T1∶T2＝1∶3，B错误，C正确；正、负粒子在磁场中运动的时间之比为t1∶t2＝T1∶T2＝2∶3，D正确。 5．如图甲所示有界匀强磁场Ⅰ的宽度与图乙所示圆形匀强磁场 Ⅱ 的半径相等，都为d，一个不计重力的粒子从左边界的M点以一定初速度水平向右垂直射入磁场 Ⅰ ，从右边界射出时速度方向偏转了θ角；该粒子以同样的初速度沿半径方向垂直射入磁场 Ⅱ ，射出磁场时速度方向偏转了2θ角。求： (1)粒子分别在磁场 Ⅰ 、 Ⅱ 做匀速圆周运动的轨道半径； (2)磁场 Ⅰ 、 Ⅱ 的磁感应强度大小B1与B2的比值。 答案：(1)　　(2)cos θ 解析：(1)设粒子在磁场 Ⅰ 、 Ⅱ 运动的轨道半径分别为r1、r2，由图甲、图乙结合几何关系可知 r1sin θ＝d，r2tan θ＝d，求得r1＝，r2＝。 (2)设粒子速度为v，质量为m，电荷量为q，洛伦兹力提供向心力做圆周运动，则在磁场 Ⅰ 中qvB1＝m，在磁场 Ⅱ 中qvB2＝m，得B1与B2的比值为＝cos θ。 学科网（北京）股份有限公司 $$