2.3.2 两点间的距离公式(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.3.2　两点间的距离公式 [对应学生用书P45] 学习目标 1．掌握两点间距离公式并会应用． 2．用坐标法证明简单的平面几何问题． 知识点　两点间的距离公式 观察下面图形，思考后面的问题： 图1 　　 图2 1．如何求图1中A，B两点间的距离？ 2．图2中能否用数轴上两点A，B间距离求出任意两点间距离？ 1．两点间的距离公式 平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 2．两点间距离的特殊情况 原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝． (1)两点间的距离与这两点的先后顺序无关． (2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|. (3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|. [例1] 已知A(－1，3)，B(3，3)，C(1，2＋3)，证明：△ABC是等边三角形． 证明：因为A(－1，3)，B(3，3)，C(1，2＋3)， 所以|AB|＝＝4， |AC|＝＝＝4， |BC|＝＝＝4， 所以|AB|＝|AC|＝|BC|，所以△ABC是等边三角形． 两点间距离公式的应用 两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一，它主要解决线段的长度问题，体现了数形结合思想的应用． [练1] (2025·咸阳高二期末)在y轴上且与点A(－2，1)和点B(－1，0)距离相等的点是(　　) A．(0，2) B．(0，－) C．(0，－2) D．(0，) A　解析：设该点坐标为(0，a)，因为该点与点A(－2，1)和点B(－1，0)的距离相等，所以22＋(a－1)2＝12＋a2，解得a＝2，故该点为(0，2). 综合应用：用“坐标法”解决平面几何问题 　用坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点： (1)让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算； (2)如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴． [例2] 如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点，求证：|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|. 证明：如图，以BC边的中点为原点O，BC边所在的直线为x轴，BC的垂直平分线OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设A(0，a)，B(－b，0)，C(b，0)，D(m，0)(－b＜m＜b).则|AB|2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2，|AD|2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2，|BD|·|DC|＝|m＋b|·|b－m|＝(b＋m)(b－m)＝b2－m2， ∴|AD|2＋|BD|·|DC|＝a2＋b2， ∴|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|. 利用坐标法解平面几何问题常见的步骤 (1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量； (3)将几何关系转化为坐标运算； (4)把代数运算结果“翻译”成几何结论． [练2] 用坐标法证明：如果四边形ABCD是长方形，而对任一点M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2成立． 证明：取长方形ABCD的两条边AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 设长方形ABCD的四个顶点为A(0，0)，B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)，在平面上任取一点M(m，n)， 则|AM|2＋|CM|2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2， |BM|2＋|DM|2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2， 所以|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2. 1．知识清单：两点间的距离公式． 2．方法归纳：待定系数法、坐标法． 3．常见误区：已知距离求参数问题易漏解． ◎随堂演练 1．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于(　　) A．5 B． C． D．4 A　解析：|MN|＝＝5.故选A． 2．(2025·徐州高二调研)已知过A(m，2)，B(－m，m－1)两点的直线的倾斜角是45°，则A，B两点间的距离为(　　) A．2 B． C．2 D．3 C　解析：由题知，＝tan 45°＝1， 解得m＝1，故A(1，2)，B(－1，0)， 则A，B两点间的距离为＝2. 3．点A在第四象限，若点A到x轴的距离为3，到原点的距离为5，则点A的坐标为 ． 答案：(4，－3)　解析：由题意得，点A的纵坐标为－3，设A(x，－3)，则＝5，解得x＝±4. 又点A在第四象限，∴x＝4，∴A(4，－3). 4．求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． 证明：如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点． 设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)， 则|AB|＝|c|. 由中点坐标公式，得D(，)，E(，)， ∴|DE|＝＝， ∴|DE|＝|AB|， 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． 学科网（北京）股份有限公司 $$