1.3.1 空间直角坐标系(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1　空间直角坐标系 [对应学生用书P11] 学习目标 1．了解空间直角坐标系． 2．能在空间直角坐标系中写出所给点、向量的坐标． 知识点一　空间直角坐标系 在一条直线上可以建立数轴，将每个点的位置用一个实数x来表示．在一个平面上可以建立平面直角坐标系，将每个点的位置用两个实数组成有序数对(x，y)来表示． (1)在空间中怎样表示一个点的位置呢？ (2)如何用坐标刻画正在飞行的飞机的位置呢？ 1．空间直角坐标系及相关概念 空间 直角 坐标 系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系 x轴、 y轴、 z轴都叫 坐标轴 相关 概念 O 叫做原点 三个坐标平面把空间分成八个部分 i，j，k 都叫做坐标向量 通过每两条坐标轴的平面 叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 图解右手系 知识点二　空间一点的坐标 在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示．空间直角坐标系中每一个点和向量是否有类似的表示？ 1．空间中一点的坐标 前提 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定 已知 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk 结论 在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标 2.空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 空间中向量的坐标与点的坐标之间的关系 如果点A在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量的坐标也为(x，y，z). [例1] 如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD．已知正方形的边长为2，OP＝2，连接AP，BP，CP，DP，M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点，{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系．若E，F分别为PA，PB的中点，求点A，B，C，D，E，F的坐标． 解：由题意知，点B的坐标为(1，1，0). 由点A与点B关于x轴对称，得A(1，－1，0)， 由点C与点B关于y轴对称，得C(－1，1，0)， 由点D与点C关于x轴对称，得D(－1，－1，0). 又P(0，0，2)，E为AP的中点，F为PB的中点， 所以由中点坐标公式可得E(，－，1)，F(，，1). 求空间中点的坐标的策略 (1)建立空间直角坐标系的原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上． ②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点M的坐标的方法： [练1] 在如图所示的坐标系中，已知P­ABCD是正四棱锥，ABCD­A1B1C1D1是正方体．其中AB＝2，PA＝.则点P的坐标为 ． 答案：(1，1，4)　解析：如图所示．连接AC交BD于点Q，连接PQ，则PQ⊥底面ABCD． ∵AQ＝AB·sin 45°＝， ∴|PQ|＝＝＝2.∴P(1，1，4). [例2] 如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1．试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标． 解：∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD， ∴，，是两两垂直的单位向量． 设＝e1，＝e2，＝e3，以点A为原点，以{e1，e2，e3}为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz.如图所示， ∵＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(＋)＝－＋＋(＋＋)＝＋＝e2＋e3，∴＝(0，，). 空间向量坐标的求法 (1)点A的坐标和向量的坐标形式完全相同； (2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得． [练2] 已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标． 解：设＝i，＝j，＝k，以点A为原点，以{i，j，k}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， ＝4i＋0j＋0k＝(4，0，0)， ＝＋＝0i＋4j＋4k＝(0，4，4)， ∴＝＋＝＋＋＝－4i＋4j＋4k＝(－4，4，4). 1．知识清单 (1)空间直角坐标系的概念． (2)点的坐标． (3)向量的坐标． 2．方法归纳：数形结合、类比联想． 3．常见误区 混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同． ◎随堂演练 1．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是(　　) A．(1，0，0) B．(1，0，1) C．(1，1，1) D．(1，1，0) C　解析：点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1，1，1)，故选C． 2．在空间直角坐标系中，P(2，3，4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是(　　) A．关于x轴对称 B．关于Oyz平面对称 C．关于坐标原点对称 D．以上都不对 C　解析：当三个坐标均相反时，两点关于原点对称． 3．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于(　　) A．(0，，－1) B．(－，0，1) C．(0，－，1) D．(，0，－1) C　解析：设＝i，＝j，＝k，则＝＋＝k－j＝(0，－，1). 4．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为 ． 答案：(4，－8，3)，(－2，－3，7)　解析：由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a＝(4，－8，3)，b＝(－2，－3，7). 学科网（北京）股份有限公司 $$