精品解析：江苏省南京市职业学校2024-2025学年高一下学期期末统测数学试题

南京市职业学校2024～2025学年度第二学期统测试卷 《综高高一数学卷》 （满分150分，考试时间120分钟） 2025.06 注意事项： 1.本试卷包含选择题（第1题～第10题，共10题）、非选择题（第11～第23题，共13题）两部分.本试卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再涂选其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 4.如需作图，须用2B铅笔绘，写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 第Ⅰ卷（共40分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请将答题卡上对应项的方框涂满、涂黑） 1. 设集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义即可得解. 【详解】集合，，且， 所以，则实数的取值范围是， 故选：. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 6 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用共轭复数及复数的乘法运算求解. 【详解】因为复数,则, 所以, 所以的虚部为. 故选：. 3. 若是方程的两根，设，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理可得的值，再由向量内积的坐标表示计算即可. 【详解】已知是方程的两根， 则，且， 则， 故选：B. 4. 已知直线过点两点，若直线的倾斜角为，则的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合斜率公式和斜率的定义，列出方程，即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又直线过点两点，则， 所以，解得. 故选：A. 5. 已知函数，则“”是“在内单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的基本性质，结合对称轴，即可求解. 【详解】函数，对称轴：， 故在对称轴左侧是单调递减的，即， 故时，在内单调递减，充分性成立， 但在内单调递减，可得，充分性不成立， 故“”是“在内单调递减”充分不必要条件. 故选：A. 6. 若，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性转化不等式求解即可. 【详解】已知在上为减函数， 由，可得， 可将不等式转换为，即， 解得，所以x的取值范围为， 故选：C. 7. 如图，正三棱柱的主视图是边长为的正方形，则此正三棱柱的左视图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由主视图确定三棱柱的棱长，得出左视图的长和宽，由此求面积即可. 【详解】由主视图可知，此三棱柱的高为，底面边长为， 所以底面三角形的高为， 所以左视图为宽为，长为的矩形，其面积为， 故选：B. 8. 若函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出两段函数的值域，取并集得到答案. 【详解】因为函数， 当时，根据指数函数的性质可得其值域为， 当时，其函数的图像为开口向下的抛物线，对称轴为轴， 所以函数在区间上单调递减，最大值为，则其值域为， 综上所述函数的值域为. 故选：C. 9. 已知圆关于直线对称，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的一般式方程化为标准方程求出圆心与半径，根据题意将圆心坐标代入直线方程中求出的值，利用方程表示圆的条件求出的取值范围即可得解. 【详解】圆，化为标准方程为， 圆心坐标为， 因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 则，解得， 又因为，解得， 所以，则的取值范围为， 故选：. 10. 已知实数均为正数，且满足，那么的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，则，运用基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件． 【详解】由，得，所以， 因为实数均为正数，所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值. 故选：B. 二、填空题（本大题共5小题，共20分） 11. 若直线与向量相互平行，则直线的斜率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据方向向量与直线斜率的关系进行求解即可. 【详解】因为直线与向量相互平行， 所以是直线的一个方向向量， 所以直线l的斜率为. 故答案为：. 12. 样本中共有五个个体，其值分别为，若该样本的平均值为1，则样本方差为_________. 【答案】（人教版）；（高教版） 【解析】 【分析】先由样本数据的平均数的计算公式，求得 的值，再根据方差的计算公式，求得数据的方差，得到答案. 【详解】由样本的平均值为，可得，解得， 解法一（对应人教版）： 样本的方差为：. 解法二（对应高教版）： 样本的方差为：. 故答案为：（人教版）；（高教版） 13. 若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先由复数的除法运算法则化简，再使其虚部等于0，列方程求解即可. 【详解】已知复数 ， 因为复平面内对应的点位于实轴上，即虚部等于0， 所以，解得， 故答案为：. 14. 如图，某四边形用斜二测画法得到的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则原四边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法的概念得出原四边形的底和高与直观图的关系，由此求出面积即可. 【详解】由斜二测画法可知， 平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的， 不一样的是两个梯形的高，因为， 所以直观图中的高为，即， 原图形中的高，所以 ， 所以原四边形的面积为直观图面积的倍， 因为直观图面积为，所以原四边形的面积为， 故答案为：. 15. 过点作圆的切线，切点分别为，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆的方程求出圆心和半径，根据切线性质和两点间的距离公式求出以、的面积，即可求得四边形的面积. 【详解】将圆化为标准方程为， 所以圆C的圆心为，半径为， 由切线性质可知，， 又因为，所以， 所以， 所以的面积为， 的面积为， 所以四边形的面积为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明及证明过程） 16. 已知方程，（）无实数根. （1）求实数的取值范围； （2）解不等式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况列不等式求解即可. （2）根据指数函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 已知方程，（）无实数根， 则，得，即， 解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为， 所以在R上为减函数， 所以由， 可转化为， 整理得， 解得或， 所以不等式的解集为. 17. 已知二次函数，其中 （1）若对任意实数都有成立，且上恒成立，求的取值范围； （2）若函数是偶函数，且，求： ①的值； ②函数在范围上的值域. 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）由对任意实数都有成立得函数的对称轴为，则，又上恒成立，则即可求解. （2）①由（1）得，根据函数为偶函数得，又代入式中即可求解. ②由①可得，根据二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为对任意实数都有成立， 所以函数的对称轴为即：，解得：， 所以，又因为在上恒成立， 则，解得， 所以的取值范围. 【小问2详解】 ①因为函数是偶函数，即：函数为偶函数， 所以，解得，又，解得：， ②由①知， 函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为， 所以当时，函数取得最小值：， 当时，函数取得最大值：， 所以函数在范围上的值域为. 18. 如图所示，四边形是矩形，且， ，若将图中阴影部分绕旋转一周，阴影部分形成的几何体的体积及表面积. 【答案】 【解析】 【分析】根据图形可知，，再由圆柱和球的体积公式和表面积公式求值即可. 【详解】由图可知，， 其中球的半径为，圆柱的底面半径为，高为， 所以，， 所以阴影部分形成的几何体的体积， 由图可知，， 所以. 19. 求满足下列条件的直线方程 （1）已知直线平行于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为12，求直线的方程； （2）在直线上任取一点，在圆任取一点，当取最小值时，求过点的直线方程； 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意设直线为，分别令和，根据三角形面积列式即可求解. （2）由圆的方程求出圆心坐标和半径，由图可知：当三点共线，且时，取最小值，直线可设为：，将点C代入方程中即可求解. 【小问1详解】 因为直线平行于直线，所以直线可设为：， 将代入直线方程得， 将代入直线方程得：， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积为 解得， 所以直线的方程或. 【小问2详解】 由圆可知圆心，半径， 由图可知，当三点共线，且时，取最小值， 即的最小值为圆心到直线的距离减去半径， 所以直线可设为， 因为圆心在直线上，代入为 解得， 所以过点的直线方程：， 20. 已知，且， （1）求的值； （2）求的值； （3）求与的夹角. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的运算法则，结合已知条件逐步计算. （2）根据模长的概念，结合向量的运算法则，即可求解. （3）根据内积的定义，结合向量的运算法则，求解向量夹角. 【小问1详解】 可化为， 由，，得 解得. 【小问2详解】 由（1）知， 即. 【小问3详解】 记与的夹角记为， 则， 又因为，所以. 21. 已知复数，且，复平面中所对应的点在第二象限． （1）若复数是方程的两个根，求的值； （2）若为纯虚数，求的值． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据复数模公式结合题意求出的值，结合实数系一元二次方程的复数根互为共轭复数，利用韦达定理即可得解. （）根据复数的运算法则，结合纯虚数的定义即可得解. 【小问1详解】 复数， ， ∴由得，解得：， 又∵所对应的点在第二象限，∴，， 又∵复数是方程的两个根，∴方程的另一个根为， ∴由韦达定理知，解得， 所以. 【小问2详解】 ， ∵为纯虚数，∴，则， ∴. 22. 某研究机构为了了解各年龄层对江苏省职教高考的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制如图所示的频率分布直方图（分第一至五组区间分别为） （1）求选取的市民年龄在内的人数； （2）若从第三，四组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，并从中选取2人在座谈会中作重点发言. ①试写出该试验的样本空间； ②求作重点发言的两名市民中至少有一人的年龄在内的概率. 【答案】（1）20人 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，先计算频率，再根据频数（人数）=总数×频率，即可求解. （2）先根据频率比确定分层抽样抽取人数，列举法列出所有可能得到样本空间；再结合样本空间总基本事件数，利用对立事件概率，得到所求概率. 【小问1详解】 由题意可知，年龄在内的频率为， 所以，年龄在内的市民人数为人. 【小问2详解】 由频率分布直方图的信息可知， 年龄在内的市民人数为人 年龄在内的市民人数为人 从第三，四组用分层抽样的方法选取5名市民， 则从年龄在内的市民中抽取人，分别记为：， 从年龄在内的市民中抽取人，分别记为：， ①从这5名市民中随机选出2名作为重点发言人，共包含10个样本点，样本空间为： ②记事件名市民中随机选出2名重点发言，至少有一人的年龄在内}， 所以事件A共包含7个样本点，即， ∴作重点发言的两名名市民中至少有一人的年龄在内的概率为. 23. 已知圆C的圆心在直线上，且过圆上一点的切线方程为. （1）求圆C的方程； （2）若过点M且斜率存在的直线与圆交于另一点，求面积的最大值及此时的直线方程. 【答案】（1） （2）5，或 【解析】 【分析】（1）设圆C方程设为，根据题意列式即可求解. （2）设直线的方程为，圆心C到直线的距离为，根据题意列出面积的方程求出d的值，即可求解直线方程. 【小问1详解】 设圆C方程设为， 由题意知：，解得：， 所以圆C方程设为. 【小问2详解】 当过点M的直线没有斜率时，其方程为， 此时圆心到直线的距离为，， 则的面积为； 当过点M的直线有斜率时，其方程设为：，即， 设圆心C到直线的距离为， 由题意可知： 令，则 所以当时，的面积的最大值，即， 综上，的面积的最大值为， 此时，即，解得：或， 直线的方程：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市职业学校2024～2025学年度第二学期统测试卷 《综高高一数学卷》 （满分150分，考试时间120分钟） 2025.06 注意事项： 1.本试卷包含选择题（第1题～第10题，共10题）、非选择题（第11～第23题，共13题）两部分.本试卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再涂选其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 4.如需作图，须用2B铅笔绘，写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 第Ⅰ卷（共40分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请将答题卡上对应项的方框涂满、涂黑） 1. 设集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 6 D. 2 3. 若是方程的两根，设，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线过点两点，若直线的倾斜角为，则的值为 （ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则“”是“在内单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正三棱柱的主视图是边长为的正方形，则此正三棱柱的左视图的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆关于直线对称，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数均为正数，且满足，那么的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，共20分） 11. 若直线与向量相互平行，则直线的斜率为________． 12. 样本中共有五个个体，其值分别为，若该样本的平均值为1，则样本方差为_________. 13. 若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则________． 14. 如图，某四边形用斜二测画法得到的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则原四边形的面积为_______． 15. 过点作圆的切线，切点分别为，则四边形的面积为________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明及证明过程） 16. 已知方程，（）无实数根. （1）求实数的取值范围； （2）解不等式：． 17. 已知二次函数，其中 （1）若对任意实数都有成立，且上恒成立，求的取值范围； （2）若函数是偶函数，且，求： ①的值； ②函数在范围上的值域. 18. 如图所示，四边形是矩形，且， ，若将图中阴影部分绕旋转一周，阴影部分形成的几何体的体积及表面积. 19. 求满足下列条件的直线方程 （1）已知直线平行于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为12，求直线的方程； （2）在直线上任取一点，在圆任取一点，当取最小值时，求过点的直线方程； 20. 已知，且， （1）求的值； （2）求的值； （3）求与的夹角. 21. 已知复数，且，复平面中所对应的点在第二象限． （1）若复数是方程的两个根，求的值； （2）若为纯虚数，求的值． 22. 某研究机构为了了解各年龄层对江苏省职教高考的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制如图所示的频率分布直方图（分第一至五组区间分别为） （1）求选取的市民年龄在内的人数； （2）若从第三，四组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，并从中选取2人在座谈会中作重点发言. ①试写出该试验的样本空间； ②求作重点发言的两名市民中至少有一人的年龄在内的概率. 23. 已知圆C的圆心在直线上，且过圆上一点的切线方程为. （1）求圆C的方程； （2）若过点M且斜率存在的直线与圆交于另一点，求面积的最大值及此时的直线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $