精品解析：江苏省苏州市职教高考班2024-2025学年高一下学期期末数学试题

苏州市职业学校2024～2025学年职教高考班一年级调研测试试卷 《数学》 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．两卷满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页． 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列命题正确的是（ ） A. 单位向量均相等 B. 任一向量与它的相反向量不相等 C. 模为零的向量与任一向量平行 D. 模相等的两个共线向量是相同的向量 2. 已知，点P是线段上的点，且，则P点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（ ） A. 12 B. C. 16 D. 6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数据的平均数和方差分别为5和4，则数据的平均数和方差分别为（ ） A. 20，16 B. 19，15 C. 9，8 D. 9，16 8. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2024年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游比例，如图所示，则估计2024年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的（ ） A. B. C. D. 9. 已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，直线，直线被圆所截得的弦长最短时，实数的值为（ ） A. 0 B. C. D. 第Ⅰ卷（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 直线的倾斜角为_______． 12. 已知向量，且向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是_______． 13. 从集合中随机取一个数，从集合中随机取一个数字，则向量与向量垂直的概率为_______. 14. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，一个焦点为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为_______． 15. 已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当的值最小时，点的坐标为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知直线，直线． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值，并求与之间的距离． 17. 已知向量． （1）求； （2）已知，且，求向量与向量的夹角． 18. 已知某简单组合体的三视图如图所示，根据图中所示数据（单位：cm）．求该几何体的表面积和体积． 19. 已知直线经过点，圆． （1）若直线将圆分成面积相等的两部分，求直线的方程； （2）若直线与圆只有一个公共点，求直线的方程； （3）若直线与圆相交所得的弦长为，求直线的方程． 20. （1）设，且，求直线的斜率小于0的概率； （2）设，求关于的一元二次方程有实根的概率． 21. 某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中a的值； （2）估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数； （3）为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率． 22. 已知椭圆的一个焦点为，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆交于两点，其中为坐标原点，求的面积． 23. 已知椭圆的短轴长为2，一条准线为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程； （3）若过点的直线与椭圆交于两点，且满足，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市职业学校2024～2025学年职教高考班一年级调研测试试卷 《数学》 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．两卷满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页． 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列命题正确的是（ ） A. 单位向量均相等 B. 任一向量与它的相反向量不相等 C. 模为零的向量与任一向量平行 D. 模相等的两个共线向量是相同的向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合单位向量、相等向量、零向量、共线向量、相反向量的概念，即可判断求解. 【详解】因为单位向量的长度都为1，但是方向可能不同，故不一定相等，故选项A错误； 因为任一非零向量与它的相反向量长度相等、方向相反，故不相等， 但零向量的相反向量仍是零向量，故零向量与它的相反向量相等，故选项B错误； 因为模为零的向量是零向量，零向量与任一向量平行，故选项C正确； 因为模相等的两个共线向量的方向可能相同或相反，故不一定是相同的向量，故选项D错误； 故选：C. 2. 已知，点P是线段上的点，且，则P点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设P点的坐标为，再根据向量的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知，P点的坐标为， 则， ， 由可得， ， 即，解得， 所以P点的坐标为. 故选：D. 3. 以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆与轴相切得到半径，结合圆心坐标得到圆的标准方程即可. 【详解】因为圆与轴相切，且圆心到轴的距离为， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为：. 故选：A. 4. 已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出抛物线的焦点坐标，结合关于轴对称的点的坐标特点即可得解. 【详解】抛物线，所以焦点在轴正半轴上， 且，所以焦点坐标为， 因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以的焦点与抛物线的焦点也关于轴对称， 所以抛物线C的焦点坐标为， 故选：. 5. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（ ） A. 12 B. C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图作出原平面图形，结合直观图的定义算出各边长即可得解. 【详解】 如图所示，作出原平面图形，为平行四边形， 直观图为正方形的边长为2，，则，， ， 所以原平面图形的周长为， 故选：. 6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱和圆锥的底面半径均为，根据侧面积相等可求出，然后利用圆锥的体积公式求解． 【详解】由题意，设圆柱和圆锥的底面半径均为，高均为， ∴圆锥的母线长为， ∵侧面积相等，∴，即，解得， ∴圆锥的体积为， 故选：B． 7. 已知数据的平均数和方差分别为5和4，则数据的平均数和方差分别为（ ） A. 20，16 B. 19，15 C. 9，8 D. 9，16 【答案】D 【解析】 【分析】利用数据经过线性变换后平均数和方差的变化规律 【详解】因为数据的平均数和方差分别为5和4， 则数据的平均数为， 方差为， 故选：D. 8. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2024年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游比例，如图所示，则估计2024年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由饼状图求得青年人占总游客的比例，再利用条形图即可得解. 【详解】由饼状图可知老年人占，中年人占， 因为各年龄段比例之和为， 所以青年人占总游客的比例为：， 由条形图可知青年人自助游比例为， 所以选择自助游的青年人占总游客人数的比例为：. 故选：C. 9. 已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出的值，再由椭圆的定义得出的周长为，即可得出答案. 【详解】椭圆的离心率为，左焦点， 所以且，解得， 所以的周长为 ， 故选：A． 10. 已知圆，直线，直线被圆所截得的弦长最短时，实数的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得直线所过定点，再判断该定点在圆内，进而由圆的弦长性质得到当时，直线被圆所截得的弦长最短，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】将直线的方程变形为， 令，解得，所以直线过定点， 因为圆的方程为，其圆心，半径， 所以，所以点在圆内， 易知当时，直线被圆所截得的弦长最短， 又直线的斜率为， 设直线的斜率为，则， 又直线的方程为，其斜率， 所以，解得， 所以实数的值为， 故选：C. 第Ⅰ卷（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 直线的倾斜角为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由直线的方程求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系求解． 【详解】设直线的倾斜角为， 直线的斜率为，从而， 因为，所以， 故答案为：． 12. 已知向量，且向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合平面向量为锐角的条件求出的取值范围，排除两个平面向量共线的情况即可得解. 【详解】向量， 因为向量与的夹角是锐角，所以， 因为，所以，即，解得， 当且时，，两向量夹角为不是锐角， 此时，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 13. 从集合中随机取一个数，从集合中随机取一个数字，则向量与向量垂直的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用分步乘法计数原理求得基本事件总数，再利用向量垂直的坐标表示求得满足的基本事件个数，从而利用古典概型的概率公式即可得解. 【详解】从集合中取一个数，有4种取法； 从集合中取一个数，有3种取法， 根据分步乘法计数原理，基本事件总数， 若向量与向量垂直， 则，即，得， 上述取法中满足的情况有：，共2种， 则所求概率. 故答案为：. 14. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，一个焦点为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出渐近线的方程，利用点到直线的距离公式即可得解. 【详解】双曲线的一条渐近线的斜率为，可得此渐近线的方程为，即， 又双曲线的一个焦点为， 所以焦点到渐近线的距离为， 故答案为：. 15. 已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当的值最小时，点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出抛物线的焦点坐标，结合抛物线的定义即可得解. 【详解】 根据题意，作出图像， 抛物线，焦点在轴正半轴上，且， 所以焦点坐标为，准线方程为， 根据抛物线的定义可知，过点作准线的垂线，交抛物线于点， 此时的值最小， 此时点的纵坐标为，则，解得， 所以， 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知直线，直线． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值，并求与之间的距离． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据两条直线垂直列出关于的方程即可得解； （2）根据两条直线平行的条件列出关于的方程，求出，然后利用两平行线间的距离公式求解． 【小问1详解】 若，必有，即，解得； 【小问2详解】 当时，直线，直线，两直线不平行，故． 若，必有，整理得，解得． 当时，，即； ，即， 所以两平行线与之间的距离为． 17. 已知向量． （1）求； （2）已知，且，求向量与向量的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示求解； （2）由题知，，结合已知条件及向量内积的运算求解即可． 【小问1详解】 由题知，，所以， 所以． 【小问2详解】 设向量与向量的夹角为， 由题知，，， 所以，即， 解得，因为，所以， 所以向量与向量的夹角为． 18. 已知某简单组合体的三视图如图所示，根据图中所示数据（单位：cm）．求该几何体的表面积和体积． 【答案】表面积为，体积为 【解析】 【分析】根据三视图换原几何体，结合球及正方体的表面积与体积公式即可得解. 【详解】组合体为一个半径为5cm的球和长宽高分别为的长方体组合而成． 球的表面积为， 长方体的表面积为 所以该几何体的表面积为． 球的体积为， 长方体的体积为， 所以几何体的体积为． 19. 已知直线经过点，圆． （1）若直线将圆分成面积相等的两部分，求直线的方程； （2）若直线与圆只有一个公共点，求直线的方程； （3）若直线与圆相交所得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）若直线平分圆，则直线过圆心，由此求解直线方程即可； （2）分类讨论直线斜率是否存在，根据圆心到直线的距离等于半径求解直线的方程． （3）先判定直线的斜率是否存在，设直线的方程，根据弦长得出圆心到直线的距离，即可求得斜率，得到直线方程． 【小问1详解】 圆的圆心，半径为． 根据题意得，直线过圆心，又因为直线过点， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为：，即． 【小问2详解】 因为直线与圆只有一个公共点，即直线与圆相切， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即：， 由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离， 即，解得， 所以直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或． 【小问3详解】 由（2）可知，当直线的斜率不存在时，直线与圆相切，不合题意， 故直线的斜率必存在， 设直线的方程为，即， 因为弦长为，即，所以， 即圆心到直线的距离为， 则，解得或， 所以直线的方程为或， 即直线的方程为或． 20. （1）设，且，求直线的斜率小于0的概率； （2）设，求关于的一元二次方程有实根的概率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（）写出基本事件，找出符合的情况，结合古典概型公式即可得解. （）写出基本事件，根据，找出符合的情况，结合古典概型公式即可得解. 【详解】（1）设事件为“直线的斜率小于0”， 基本事件为：， ，基本事件总数为12个， 事件满足，即：， 事件包含的基本事件有，共4个， 所以， 所以直线的斜率小于0的概率为． （2）设事件为“关于的一元二次方程有实根”， 基本事件为：， 基本事件有12个， 事件满足：，又，即， 所以事件包含的基本事件有， 事件共有9个， 所以， 所以关于的一元二次方程有实根的概率为． 21. 某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中a的值； （2）估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数； （3）为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率． 【答案】（1） （2）93分． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图的性质求解参数即可； （2）根据频率直方图求解平均数即可； （3）根据频率直方图确定抽取区间的人数，进而由分层抽样确定抽取人数，进而由概率的定义求解即可； 【小问1详解】 由频率直方图可得， ， 可得． 【小问2详解】 根据率分布直方图，设平均数为， 则（分）； 据此可以估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数约为93分． 【小问3详解】 由题意分数段的人数为， 分数段的人数为， 用分层抽样的方法抽取5名学生， 则需在分数段内抽取2人，分别记为，， 分数段内抽取3人，分别记为，，． 设“从这5名学生中任取2名学生的分数不在同一组内”为事件A， 则样本空间，共包含10个样本点，而事件A包含6个样本点， 所以， 所以抽取的这2名学生分数不在同一组内的概率为． 22. 已知椭圆的一个焦点为，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆交于两点，其中为坐标原点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据题意列出方程组求出的值即可得解. （）联立方程组结合韦达定理与弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，代入三角形面积公式即可得解. 【小问1详解】 由题意得，椭圆的焦点在轴上，且， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 设两交点为， 联立，消去得， 所以， 所以， 直线，化成一般式方程为， 又因为坐标原点到直线的距离为为， 所以． 23. 已知椭圆的短轴长为2，一条准线为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程； （3）若过点的直线与椭圆交于两点，且满足，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的短轴长、准线及椭圆中的关系，即可列方程组，解得的值，继而求得标准方程； （2）根据题意，易得直线斜率存在，设出直线方程，结合中点坐标，利用点差法，即可求得直线的斜率，继而求得直线方程； （3）根据题意，易得直线斜率存在，设出直线方程，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理，及向量垂直的坐标表示，即可求得直线的斜率，继而求得直线的方程. 【小问1详解】 因为椭圆的短轴长为2，一条准线为 所以，即，所以， 即，解得，，， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则直线与椭圆无交点， 则直线的斜率必存在，设两交点为， 因为中点为，所以，即， 将两点代入椭圆得， 两式相减可得，即， 所以， 所以， 所以直线的方程为，即； 【小问3详解】 若直线的斜率不存在，则直线与椭圆无交点， 故直线的斜率必存在，设直线的方程为， 直线与椭圆的两交点为， 联立方程组，消去得 所以， 因为，所以， 因为， 所以， 因为 所以，即， 所以，解得，代入式检验，所以符合题意． 所以直线的方程为，即或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $