直线与椭圆的综合题型【8个题型】讲义-2025年暑假新高二数学常考题型归纳

2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【直线与椭圆的综合题型】 总览 题型梳理 一．直线与椭圆的位置关系及公共点个数（共7小题） 二．由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数（共4小题） 三．椭圆的切线方程及性质（共5小题） 四．椭圆的弦及弦长（共7小题） 五．椭圆的焦点弦及焦半径（共8小题） 六．椭圆的焦点三角形（共6小题） 七．椭圆的中点弦（共5小题） 八．椭圆与平面向量（共8小题） 【知识点清单】 1．直线与椭圆的综合 【知识点的认识】 直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则： 直线与椭圆相交⇔Δ＞0； 直线与椭圆相切⇔Δ＝0； 直线与椭圆相离⇔Δ＜0； 【解题方法点拨】 （1）直线与椭圆位置关系的判断方法 ①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断； ②借助直线和椭圆的几何性质来判断． 根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难点所在． （2）弦长的求法 设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则|AB|（k为直线斜率） 注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式． （3）中点弦、弦中点常见问题 ①过定点被定点平分的弦所在直线的方程； ②平行弦中点的轨迹； ③过定点的弦的中点的轨迹． 解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”，这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点． （4）椭圆切线问题 ①直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点； ②过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切； ③过椭圆上一点只能作一条切线． （5）最值与范围问题的解决思路 ①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解； ②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解． 在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等可利用条件． 【命题方向】 1．由已知条件求椭圆的方程或离心率； 2．由已知条件求直线的方程； 3．中点弦或弦的中点问题； 4．弦长问题； 5．与向量结合求参变量的取值． 2．直线与椭圆的位置关系及公共点个数 【知识点的认识】 直线与椭圆的位置关系包括相交、相切和不相交三种情况．公共点个数可以通过代入直线方程到椭圆方程中求解． 【解题方法点拨】 1．代入直线方程：将直线方程代入椭圆方程，形成二次方程． 2．分析解的个数：根据二次方程的判别式判断公共点的个数（0、1、2）． 3．由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数 【知识点的认识】 根据直线与椭圆的公共点个数可以推导出直线的方程或椭圆的参数． 【解题方法点拨】 1．利用方程个数：由交点个数推导直线方程或椭圆参数． 2．计算交点：解方程组，确定交点个数． 4．椭圆的切线方程及性质 【知识点的认识】 椭圆的切线方程可以用点的坐标和椭圆的方程来表示．标准方程的切线方程为： 【解题方法点拨】 1．代入点坐标：用切点（x0，y0）代入切线方程公式． 2．验证性质：检查切线的性质，如与椭圆的切点唯一性． 5．椭圆的弦及弦长 【知识点的认识】 椭圆的弦是连接椭圆上两点的线段，弦长可以用椭圆的参数和弦的方程计算． 【解题方法点拨】 1．计算弦长：利用椭圆的参数和弦的方程计算弦长． 2．联立方程，通过二次方程根与系数关系，求得弦长． 6．椭圆的焦点弦及焦半径 【知识点的认识】 焦点弦是通过椭圆的焦点并且与椭圆交于两点的弦．焦半径是焦点到椭圆上某点的距离． 【解题方法点拨】 1．计算焦点弦长度：焦点弦的长度与焦点到弦中点的距离有关． 2．应用焦半径公式：利用焦点和椭圆的标准方程计算焦半径． 7．椭圆的焦点三角形 【知识点的认识】 焦点三角形是由椭圆的两个焦点和椭圆上的一点形成的三角形．三角形的面积和其他性质可以通过椭圆的参数计算． 【解题方法点拨】 1．计算三角形面积：使用焦点坐标和椭圆上的点计算三角形的面积． 2．应用公式：三角形面积公式为： 8．椭圆的中点弦 【知识点的认识】 中点弦是指经过椭圆内部某点P的弦，且点P为弦的中点． 【解题方法点拨】 1．设出弦所在直线的方程． 2．联立方程并得到二次方程，根根与系数的关系，结合中点条件解决问题． 9．椭圆与平面向量 【知识点的认识】 椭圆与平面向量的关系涉及椭圆的参数、平面向量的方向和椭圆的标准方程． 【解题方法点拨】 1．使用向量：利用向量表示椭圆的长轴和短轴． 2．计算夹角：利用平面向量计算椭圆的参数和方程． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/30 11:34:48；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：215576 题型分类 知识讲解与常考题型 一．直线与椭圆的位置关系及公共点个数（共7小题） 1．已知椭圆，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，P为线段AB的中点，则直线AB的斜率为（　　） A． B． C． D． 【考点】直线与椭圆的位置关系及公共点个数．版权所有 【分析】由题意，设出A，B两点的坐标，根据点在椭圆上以及斜率公式求解即可． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 因为A，B两点均在椭圆上， 所以， 两式相减得， 即0， 因为P为线段AB的中点， 所以x1+x2＝2，y1+y2＝2， 可得， 所以， 则直线AB的斜率为． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题． 2．已知椭圆C：1（a＞b＞0），直线l：x+2y﹣6＝0与C交于M，N两点，与两坐标轴分别交于点A，B，且M，N是线段AB的三等分点，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】直线与椭圆的位置关系及公共点个数．版权所有 【分析】根据平面向量的线性运算的坐标表示结合题意先求出M（2，2），N（4，1），再代入椭圆方程求解即可． 【解答】解：由直线l：x+2y﹣6＝0，不妨设A（0，3），B（6，0），设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则，，， 如图，因为M，N是线段AB的三等分点， 则，， 则， 解得x1＝2，y1＝2，x2＝4，y2＝1， 则M（2，2），N（4，1），又M，N两点在椭圆C上， 所以， 解得a2＝20，b2＝5， 所以椭圆C的方程为． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆方程的应用，属于中档题． 3．已知椭圆，过点P（1，1）的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段AB的中点，则直线AB的方程为（　　） A．x+3y﹣4＝0 B．3x+y﹣4＝0 C．x﹣3y+2＝0 D．3x﹣y﹣2＝0 【考点】直线与椭圆的位置关系及公共点个数．版权所有 【分析】判断点P在椭圆内，利用点差法求出直线AB的斜率即可得其方程． 【解答】解：根据题目可知：过点P（1，1）的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段AB的中点， 椭圆，由，得点P在椭圆内，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则，两式相减得， 而x1+x2＝2，y1+y2＝2，因此，即直线AB的斜率为， 所以直线AB的方程为，即x+3y﹣4＝0． 故选：A． 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系及公共点个数，属于中等题． 4．已知直线y＝x+3与椭圆有公共点，则m的取值范围是（　　） A．（0，4] B．（﹣∞，0]∪[4，+∞） C．[4，+∞） D．[4，5）∪（5，+∞） 【考点】直线与椭圆的位置关系及公共点个数．版权所有 【分析】联立，消y可得：（5+m）x2+30x+45﹣5m＝0，则Δ＝900﹣4（5+m）（45﹣5m）≥0，然后求解即可． 【解答】解：已知直线y＝x+3与椭圆有公共点， 联立， 消y可得：（5+m）x2+30x+45﹣5m＝0， 则Δ＝900﹣4（5+m）（45﹣5m）≥0， 即m2﹣4m≥0， 又m＞0且m≠5， 即m≥4且m≠5． 故选：D． 【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，属中档题． 5．直线与椭圆的位置关系为（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【考点】直线与椭圆的位置关系及公共点个数．版权所有 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可． 【解答】解：因为直线过点（a，0），（0，b）， 而（a，0），（0，b）为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交． 故选：C． 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的判断，属于基础题． 6．椭圆上的点到直线x﹣y+6＝0的距离的最小值为　　 ． 【考点】直线与椭圆的位置关系及公共点个数．版权所有 【分析】由题意，将点到直线的距离的最值转化为平行线之间的距离，设与直线y＝x+6平行且与椭圆相切的直线为y＝x+m，与椭圆联立方程组，由Δ＝0，求得m，进而可解． 【解答】解：设直线y＝x+m与直线x﹣y+6＝0的距离为d， 联立，消去y并整理得4x2+6mx+3m2﹣3＝0， 此时Δ＝（6m）2﹣4×4×（3m2﹣3）＝0， 解得m＝±2， 当m＝2时，， 则椭圆上的点到直线x﹣y+6＝0的距离的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题． 7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上在第二象限内的一点，且|PF2|﹣|PF1|＝2，则直线PF2的斜率为 　　 ． 【考点】直线与椭圆的位置关系及公共点个数．版权所有 【分析】由题意，根据椭圆的性质求出|PF1|，|PF2|的值，然后可确定PF1⊥F1F2，进而得到点P的坐标，从而求出直线的斜率． 【解答】解：由椭圆的性质可知，|PF2|+|PF1|＝2a＝8， 又|PF2|﹣|PF1|＝2， 所以|PF2|＝5，|PF1|＝3， 因为|F1F2|＝4， 所以△PF1F2为直角三角形， 此时PF1⊥F1F2， 因为P在第二象限， 所以P（﹣2，3）， 因为F2（2，0）， 所以直线PF2的斜率为． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题． 二．由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数（共4小题） 8．若直线l：y＝x+m与椭圆C：没有公共点，则m的取值范围为（　　） A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C． D． 【考点】由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数．版权所有 【分析】利用直线方程和椭圆方程后利用判别式可求m的取值范围． 【解答】解：由，整理可得：14x2+18mx+9m2﹣45＝0， 故Δ＝324m2﹣56（9m2﹣45）＜0，解得或， 即实数m的取值范围为（﹣∞，）∪（，+∞）． 故选：D． 【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，属于基础题． 9．已知直线kx+y+2k＝0与椭圆相切，则k的值为（　　） A．2 B． C．±2 D． 【考点】由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数．版权所有 【分析】联立直线与椭圆方程，由相切得到Δ＝0，从而得解． 【解答】解：依题意，联立，消去y得：（4+3k2）x2+12k2x+12k2﹣12＝0， 因为直线kx+y+2k＝0与椭圆相切， 所以Δ＝（12k2）2﹣4×（4+3k2）×（12k2﹣12）＝0， 化简整理得k2﹣4＝0，所以k＝±2． 故选：C． 【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题． 10．若对任意的实数k，直线kx﹣y+1＝0与椭圆恒有公共点，则实数n的取值范围为 　[1，6）∪（6，+∞）　 ． 【考点】由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数．版权所有 【分析】结合椭圆的性质求解即可． 【解答】解：因为kx﹣y+1＝0恒过定点（0，1）， 又对任意的实数k，直线kx﹣y+1＝0与椭圆恒有公共点， 则， 即n≥1， 又n≠6， 则实数n的取值范围为[1，6）∪（6，+∞）． 故答案为：[1，6）∪（6，+∞）． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属基础题． 11．若动直线mx+ny﹣m﹣n＝0始终与椭圆有公共点，则a的取值范围是 　　 ． 【考点】由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数．版权所有 【分析】首先得动直线所过的定点，进一步由已知列不等式，求解即可． 【解答】解：根据mx+ny﹣m﹣n＝0整理得m（x﹣1）+n（y﹣1）＝0，易知其过定点（1，1）， 如果mx+ny﹣m﹣n＝0始终与有公共点， 那么可得，所以，且， 因此a∈． 故答案为：． 【点评】本题考查直线与椭圆综合应用，属于中档题． 三．椭圆的切线方程及性质（共5小题） 12．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P（1，m）为椭圆上一点，若已知过点P且与椭圆相切的切线方程为，PM垂直于直线l且与x轴交于点M，若M为OF2的中点，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆的切线方程及性质．版权所有 【分析】根据l⊥PM求出直线PM的方程，令y＝0，得M点的横坐标，再根据M为OF2的中点，求出c＝1，，再根据离心率公式可求出结果． 【解答】解：因为P（1，m）在椭圆上， 所以， 若m＝0，则a＝±1，不符合题意，所以m≠0． 由切线l的方程得切线斜率， 由l⊥PM得PM的斜率， 所以直线PM的方程为y﹣m＝a2m（x﹣1）， 令y＝0，得﹣m＝a2m（x﹣1），因为m≠0，所以， 因为M为OF2的中点，且F2（c，0）， 所以，又a2＝c2+1，联立可得c＝1，， 所以该椭圆的离心率． 故选：C． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，方程思想，属中档题． 13．在平面直角坐标xOy中，已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点为C上一点，记C在点P处的切线l，过点F1作l′⊥l于点M，则PM的长为 　　 ． 【考点】椭圆的切线方程及性质；根据椭圆的几何特征求标准方程．版权所有 【分析】首先求切线l的方程，再求直线m的方程，即可求交点M的坐标，即可求解． 【解答】解：因为椭圆C：的离心率为， 且点为C上一点， 所以， 解得a2＝8，b2＝c2＝4， 所以椭圆， 所以在点处的切线方程为， 即， 因为F1（﹣2，0）， 所以直线， 联立， 解得x＝0，， 即，且 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆方程的应用，属于中档题． 14．已知椭圆的一个焦点的坐标为（1，0），一条切线的方程为x+y＝7，则C的离心率e＝　　 ． 【考点】椭圆的切线方程及性质．版权所有 【分析】设出切点坐标，利用切线方程，转化求解a，b，然后求解离心率即可． 【解答】解：设椭圆与x+y＝7相切于（m，n），可得切线方程为：，又切线的方程为x+y＝7， 可得ma2，nb2，m+n＝7，可得a2+b2＝49， 椭圆的一个焦点的坐标为（1，0）， 可得a2﹣b2＝1，可得a＝5，b＝2，c＝1， 所以椭圆的离心率为：e． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题． 15．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点A（x0，y0）处的切线方程为．试运用该性质解决以下问题：椭圆C：，点B为C在第一象限中的任意一点，过点B作C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于M，N两点，则△OMN面积的最小值为 　2　 ． 【考点】椭圆的切线方程及性质．版权所有 【分析】设B（x1，y1），（x1＞0，y1＞0），根据题意，求得过点B的切线l的方程，即可求得M、N坐标，代入面积公式，即可求得△OMN面积S的表达式，利用基本不等式，即可求得答案． 【解答】解：设B（x1，y1），（x1＞0，y1＞0），由题意得，过点B的切线l的方程为：， 令y＝0，可得，令x＝0，可得， 所以△OMN面积， 又点B在椭圆上，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以△OCD面积的最小值为2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题． 16．已知椭圆的焦距为2，圆x2+y2＝4与椭圆C恰有两个公共点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知结论：若点（x0，y0）为椭圆上一点，则椭圆在该点处的切线方程为．若椭圆C的短轴长小于4，过点T（8，t）作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB过定点． 【考点】椭圆的切线方程及性质．版权所有 【分析】（1）设椭圆C的半焦距为c，再分圆x2+y2＝4在椭圆C的内部和外部两种情况分别求解即可； （2）由题意椭圆C的方程为，再设A（x1，y1），B（x2，y2），得出切线AT，BT的方程，将T（8，t）代入AT，BT可得A，B的坐标都满足方程6x+ty﹣3＝0即可得定点． 【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距为c， 当圆x2+y2＝4在椭圆C的内部时，b＝2，c＝1，a2＝b2+c2＝5，椭圆C的方程为：． 当圆x2+y2＝4在椭圆C的外部时，a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，椭圆C的方程为：． 所以椭圆的方程为：或； （2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）． 因为椭圆C的短轴长小于4，所以C的方程为：． 则由已知可得，切线AT的方程为：的方程为：， 将T（8，t）代入AT，BT的方程整理可得， 6x1+ty1﹣3＝0，6x2+ty2﹣3＝0． 显然A，B的坐标都满足方程6x+ty﹣3＝0， 故直线AB的方程为6x+ty﹣3＝0， 令y＝0，可得，即直线AB过定点． 【点评】本题考查椭圆的方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题． 四．椭圆的弦及弦长（共7小题） 17．已知F是椭圆的左焦点，经过坐标原点的直线与C交于P，Q两点，若|PF|＝2|QF|，则|PQ|＝（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆的弦及弦长；椭圆的焦点弦及焦半径．版权所有 【分析】根据椭圆定义求出，后，再利用余弦定理解三角形计算即可求解． 【解答】解：设F′为C的右焦点，连接PF′，QF′，如图， 因为PQ与FF'互相平分，所以四边形PFQF′为平行四边形， 所以|QF|＝|PF′|，由椭圆定义知，|PF|+|PF′|＝2|QF|+|QF|＝4， 所以，， 在△PFF′中，， 所以． 在△PQF中，|PQ|2＝|PF|2+|QF|2﹣2|PF||QF|cos∠PFQ ，解得|PQ|． 故选：C． 【点评】本题主要考查求椭圆的弦长，属于中档题． 18．过椭圆C：的一个焦点作x轴的垂线l，若l交C于A，B两点，则|AB|＝（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆的弦及弦长．版权所有 【分析】取直线l的方程为x＝2，联立，然后求解即可． 【解答】解：已知椭圆C：， 则，，c＝2， 不妨取F（2，0）， 则直线l的方程为x＝2， 联立， 则或， 即|AB|． 故选：D． 【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，属基础题． 19．已知椭圆C：的一个焦点是F，过原点的直线与C相交于点A，B，△ABF的面积是，则|AB|＝（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆的弦及弦长．版权所有 【分析】由题意，设出直线AB的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及三角形面积公式求出直线AB的斜率，再代入弦长公式中即可求解． 【解答】解：因为椭圆C的方程为， 所以a＝3，b＝1，c＝2， 易知直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y＝kx， 此时S△ABF＝S△OBF+S△AOF|xB﹣xA|， 联立，消去y并整理得（9+k2）x2﹣9＝0， 由韦达定理得， 所以， 解得k＝±6， 则|AB|． 故选：D． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 20．已知椭圆的焦点为F，过坐标原点的直线与椭圆C交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆的弦及弦长．版权所有 【分析】根据椭圆的对称性得到|BF|＝|AF1|，然后结合椭圆定义得到|AF|，|BF|，最后分别在三角形AFF1和三角形AFB中利用余弦定理计算即可． 【解答】解：已知椭圆的坒駡点为F，过坐标原点的直线与椭圆C交于A，B两点， 取椭圆的右焦点为F1，根据椭圆的对称性可知|BF|＝|AF1|， 则四边形AFBF1为平行四边形， 根据椭圆的定义得|AF|+|AF1|＝|AF|+|BF|＝2a＝6， 又|AF|＝2|BF|， 所以|AF|＝4，|AF1|＝|BF|＝2， 在三角形AFF1中，， 在三角形AFB中，， 解得． 故选：A． 【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆的定义，属中档题． 21．如图，斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于点M，N，若|AN|＝|NM|＝|MB|，则椭圆C的焦距为 　　 ． 【考点】椭圆的弦及弦长．版权所有 【分析】由椭圆的性质，结合直线与椭圆的位置关系及中点坐标公式求解即可． 【解答】解：设直线AB的方程为， 令x＝0， 则y＝m， 令y＝0， 则x＝﹣2m， 即N（0，m），M（﹣2m，0）， 联立， 消y可得：（1+b2）x2+4mx+4m2﹣4b2＝0， 则，， 又|AN|＝|NM|＝|MB|， 则线段MN与线段AB的中点重合， 即， 即b2＝1， 则c2＝a2﹣b2＝3， 即， 即椭圆C的焦距为． 故答案为：． 【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了直线与椭圆的位置关系及中点坐标公式，属中档题． 22．已知A（4，0）和，直线AP与椭圆切于点P． （1）求C的离心率； （2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为，求l的方程． 【考点】椭圆的弦及弦长；根据椭圆上的点求椭圆的标准方程；求椭圆的离心率．版权所有 【分析】（1）根据点在椭圆上，可得，再根据直线与椭圆相切，列方程，可得椭圆方程，进而可得离心率； （2）设点B（x0，y0），由已知可确定AP方程与|AP|，结合三角形面积可得，再由点B在椭圆上，可得方程组，联立方程组即可得解． 【解答】解：（1）A（4，0）和， ∵直线AP与椭圆切于点P． ∴点在椭圆上，∴， ，即， 又直线AP与椭圆相切， 联立直线与椭圆，得（a2+2b2）x2﹣8a2x+（16a2﹣2a2b2）＝0， 即Δ＝（﹣8a2）2﹣4（a2+2b2）（16a2﹣2a2b2）＝0， 化简可得a2+2b2﹣16＝0， 联立，解得， 则c2＝4，即，b＝2，c＝2， ∴C的离心率为； （2）过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为， 由（1）得椭圆方程为， 设B（x0，y0）， 由已知AP：yx+2，且|AP|， 则点B到直线AP的距离为d， 又△ABP的面积为， 化简可得， 又点B（x0，y0）在椭圆上，则， 联立方程组，解得，则B（﹣2，）， ∴PB：y，整理得直线l的方程为yx． 【点评】本题考查椭圆的离心率、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 23．已知椭圆C上任意一点P到C的两个焦点，，0）的距离之和为． （1）求C的方程； （2）已知直线与C相交于A，B两点，若|AB|＝5，求m的值． 【考点】椭圆的弦及弦长；根据定义求椭圆的标准方程；根据椭圆的几何特征求标准方程．版权所有 【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的方程组，求解即得； （2）将直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式建立方程，解之即得． 【解答】解：（1）由已知得，，a2＝b2+c2，，解得a2＝12，b2＝4， 故C的方程为； （2）联立，得， ，解得， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则， ， 解得，即m的值为． 【点评】本题主要考查求椭圆的标准方程以及由椭圆的弦长求参数，属于中档题． 五．椭圆的焦点弦及焦半径（共8小题） 24．椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆外一点，且在第一象限，已知|PF2|，线段PF2交椭圆于点Q，若，则λ＝（　　） A． B． C． D．1 【考点】椭圆的焦点弦及焦半径．版权所有 【分析】设P（m，n），m＞0，n＞0，由，及数量积的坐标运算得3﹣m2﹣2m＝n2，又，得（m﹣1）2+n2＝2，即可得，再由，得，代入椭圆方程求解λ即可． 【解答】解：因为椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2， 所以F1（﹣1，0），F2（1，0）， 设P（m，n），m＞0，n＞0， 则， 因为， 所以1﹣m2﹣n2＝2m﹣2， 即3﹣m2﹣2m＝n2， 又， 所以， 所以（m﹣1）2+n2＝2， 两式联立求得（负根舍去），所以， 又，λ＞0，所以， 所以， 即， 代入椭圆方程， 得 化简得4λ2+12λ﹣7＝0， 解得或（负根舍去）． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆方程的应用，属于中档题． 25．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，P为Γ上一点，则的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．4 【考点】椭圆的焦点弦及焦半径．版权所有 【分析】利用椭圆的定义知|PF1|+|PF2|＝4，然后利用基本不等式即可求出的最小值． 【解答】解：由题，|PF1|+|PF2|＝2a＝4， 由基本不等式可得：， 当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时等号成立， 所以|PF1|•|PF2|≤4， 所以， 即的最小值为1． 故选：A． 【点评】本题考查了椭圆的性质及基本不等式的应用，属于中档题． 26．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，经过坐标原点的直线与C交于A，B，若|AF1|＝3|AF2|，则cos∠AF1B＝（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆的焦点弦及焦半径；椭圆的焦点三角形．版权所有 【分析】根据方程可得a，b，c，结合椭圆定义可得|AF1|＝6，|AF2|＝2，再利用余弦定理以及几何性质分析求解． 【解答】解：因为椭圆中，a＝4，b＝3，c，所以|F1F2|＝2c， 因为|AF1|+|AF2|＝2a＝8，且|AF1|＝3|AF2|，解得|AF1|＝6，|AF2|＝2， 所以， 由椭圆性质可知：|OF1|＝|OF2|，|OA|＝|OB|，所以四边形AF1BF2为平行四边形， 所以． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，属中档题． 27．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，关于原点对称的点M，N在C上，若|MN|＝|F1F2|，则四边形MF1NF2的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】椭圆的焦点弦及焦半径．版权所有 【分析】由对称性，且|MN|＝|F1F2|，四边形MF1NF2是矩形，则结合定义求|MF1|•|MF2|即可． 【解答】解：已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，关于原点对称的点M，N在C上， 则，， 则， 又M，N关于原点对称，且|MN|＝|F1F2|， 则四边形MF1NF2是矩形， 则MF1⊥MF2， 则， 联立解方程，可得． 故选：B． 【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆的定义，属中档题． 28．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为M，点N在椭圆C上，且∠NF1F2＝60°，若|NF2|＝2|MF2|，则m＝（　　） A．1 B．2 C． D．3 【考点】椭圆的焦点弦及焦半径．版权所有 【分析】根据椭圆的几何性质结合椭圆的定义求解即可． 【解答】解：已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为M，点N在椭圆C上， 则|MF2|＝a﹣c， 又|NF2|＝2|MF2|， 故|NF2|＝2a﹣2c， 故|NF1|＝2c， 在△NF1F2中，|F1F2|＝2c，且∠NF1F2＝60°， 故△NF1F2为等边三角形， 故2a﹣2c＝2c， 得a＝2c， 则． 故选：D． 【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆的定义，属基础题． 29．已知椭圆C：和圆A：x2﹣2x+y2＝0，P，Q分别为椭圆C和圆A上的动点，若F为椭圆C的左焦点，则|PQ|+|PF|的最小值为（　　） A．6 B．5 C．9 D．8 【考点】椭圆的焦点弦及焦半径；根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系．版权所有 【分析】依题意将点到圆上点距离最值转化为点到圆心距离问题，再结合椭圆定义并利用三点共线求得点P在（﹣4，0）处时，使得|PQ|+|PF|的最小值为6． 【解答】解：已知椭圆C：， 则a＝4，b， 则c2， 即可得F（﹣2，0）， 又圆A：x2﹣2x+y2＝0可化为（x﹣1）2+y2＝1， 其圆心为A（1，0），半径r＝1， 易知椭圆右焦点F′（2，0），显然F′在圆A上， 易知椭圆上一点P到圆A上任意一点Q的最小距离为|PQ|＝|PA|﹣r＝|PA|﹣1， 因此可将|PQ|+|PF|的最小值转化为求|PA|+|PF|﹣1的最小值， 由椭圆定义可得|PA|+|PF|﹣1＝|PA|+2a﹣|PF′|﹣1＝|PA|﹣|PF′|+7≥﹣|AF′|+7＝6； 此时点P在（﹣4，0）处，使得|PQ|+|PF|的最小值为6． 故选：A． 【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了圆的性质及椭圆的定义，属中档题． 30．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交C于A、B两点，若AF1⊥AF2，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】椭圆的焦点弦及焦半径．版权所有 【分析】设|AF2|＝t（t＞0），由离心率得到，再由垂直关系利用勾股定理求出，再由|AF1|2+|AB|2+|BF1|2，求出|BF2|，即可得解． 【解答】解：设|AF2|＝t（t＞0），由椭圆的性质可得|AF1|＝2a﹣t， 因为椭圆的离心率，则， 由AF1⊥AF2，则， 即（2a﹣t）2+t2＝4c2，解得， 则，， 又， 即|AF1|2+（|AF2|+|BF2|）2＝（2a﹣|BF2|）2， 即2c2+（c+|BF2|）2＝（2c﹣|BF2|）2， 整理可得6c|BF2|＝4c2， 解得， 所以． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆的性质的应用，属于中档题． 31．已知椭圆，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则|PO|＝（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆的焦点弦及焦半径．版权所有 【分析】由椭圆的性质及定义，结合余弦定理求解． 【解答】解：已知椭圆，F1，F2为两个焦点， 则， 又O为原点，P为椭圆上一点， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 不妨m＞n， 可得m+n＝6，① 结合余弦定理可得：4c2＝m2+n2﹣2mncos∠F1PF2， 又， 即，② 结合①②可得，m2+n2＝21， 又， 可得 ． 可得． 故选：B． 【点评】本题考查了椭圆的性质及定义，重点考查了余弦定理，属中档题． 六．椭圆的焦点三角形（共6小题） 32．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，设O为坐标原点，A为C上一点，若△AF1F2的面积为，则|OA|＝（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆的焦点三角形．版权所有 【分析】根据面积求出点A的纵坐标，代入椭圆可出A的坐标． 【解答】解：因为椭圆， 所以c2＝a2﹣b2＝4﹣3＝1， 可得F1（﹣1，0），F2（1，0），|F1F2|＝2， 设A（m，n）， 所以， 解得， 因为点A在椭圆上， 所以， 可得， 则． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题． 33．已知椭圆上两点P、Q关于原点对称，F2为椭圆的右焦点，PF2交椭圆E于点M，QF2⊥MF2，|QF2|＝3|MF2|，则椭圆E的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆的焦点三角形；求椭圆的离心率．版权所有 【分析】设椭圆E的左焦点为F1，不妨设|MF2|＝1，根据题意分析可得|MF1|＝2a﹣1，|PM|＝2a﹣2，结合勾股定理可得a，c，即可得离心率． 【解答】解：设椭圆E的左焦点为F1，连接PF1，QF1，如图所示， 不妨设|MF2|＝1，则|QF2|＝3|MF2|＝3， 由椭圆上两点P、Q关于原点对称， 可知|OP|＝|OQ|，|OF1|＝|OF2|，∵QF2⊥MF2，∴四边形QF1PF2为矩形， 则|PF1|＝|QF2|＝3，|PF2|＝|QF1|， 又∵|QF1|+|QF2|＝2a，|MF1|+|MF2|＝2a， 即|PF2|+3＝2a，|MF1|+1＝2a 可得|PF2|＝2a﹣3，|MF1|＝2a﹣1，则|PM|＝2a﹣2， 在Rt△PMF1中，， 即9+（2a﹣2）2＝（2a﹣1）2，解得a＝3， 可得|PF2|＝3，则， 即，可得， ∴椭圆E的离心率为． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，焦点三角形的应用，是中档题． 34．已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且，则△PF1F2的面积为（　　） A． B．2 C．3 D．4 【考点】椭圆的焦点三角形．版权所有 【分析】求得椭圆的a，b，c，运用椭圆的定义和条件可设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2，运用勾股定理和三角形的面积公式计算可得所求值． 【解答】解：椭圆中a，b，c，则|PF1|+|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2， ∵，∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n， ∴m2+n2＝（2）2， ∴（m+n）2﹣2mn＝12， 解得mn＝6， 则△PF1F2的面积为|PF1|•|PF2|3． 故选：C． 【点评】本题考查焦点三角形的面积的求法，考查运算求解能力，属中档题． 35．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在椭圆C上，且，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆的焦点三角形；求椭圆的离心率．版权所有 【分析】利用向量相等，设出边长，通过余弦定理，转化求解椭圆的离心率即可． 【解答】解：由题意设|F2N|＝m．则|F1M|＝3m，则|MF2|＝2a﹣3m，|F1N|＝2a﹣m， 由余弦定理可得：9m2+4c2﹣（2a﹣3m）2＝2×3m×2ccos30°， m2+4c2﹣（2a﹣m）2＝2×m×2ccos150°， 化简可得ac，所以e． 故选：C． 【点评】本题考查椭圆的焦点三角形的应用，离心率的求法，是中档题． 36．已知椭圆Z：的左、右焦点分别为F1，F2，若Z上的点A，B满足，|AF1|＝5|AF2|，则Z的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆的焦点三角形；求椭圆的离心率．版权所有 【分析】根据给定条件，利用椭圆定义及余弦定理列式求解． 【解答】解：椭圆Z：的左、右焦点分别为F1，F2，Z上的点A，B， 如图，由|AF1|＝5|AF2|及|AF1|+|AF2|＝2a，得， 由，得， 在△ABF1中，， 令椭圆Z的焦距为2c，在△AF1F2中，， 则，， ∴Z的离心率． 故选：D． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，焦点三角形的应用，离心率的求法，是中档题． 37．由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积．已知椭圆C：的离心率为，F1，F2分别为C的左、右焦点，C上一点P满足，且△PF1F2的面积为，则C的面积为（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆的焦点三角形；直线与椭圆的综合．版权所有 【分析】由椭圆的性质，结合椭圆焦点三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：由题意可得：， 即，① 又F1，F2分别为C的左、右焦点，C上一点P满足，且△PF1F2的面积为， 则∠F1PF2＝90°， 则b2，② 则， 即C的面积为． 故选：D． 【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆焦点三角形的面积公式，属中档题． 七．椭圆的中点弦（共5小题） 38．已知椭圆E：1（a＞b＞0）的左焦点为F，如图，过点F作倾斜角为60°的直线与椭圆E交于A，B两点，M为线段AB的中点，若5|FM|＝|OF|（O为坐标原点），则椭圆E的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆的中点弦．版权所有 【分析】根据椭圆的倾斜角的焦半径公式，化归转化，即可求解． 【解答】解：先证明椭圆的倾斜角的焦半径公式： 设A到左准线x的距离为d，直线AB的倾斜角为θ， 则，∴， 解得，同理可得， ∴根据题意及椭圆的倾斜角的焦半径公式可得： ，， ∴|FM|c， ∴，∴，∴， 解得，∴e． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆的离心率的求解，属中档题． 39．已知椭圆与直线l交于A，B两点，若点P（﹣1，1）为线段AB的中点，则直线l的方程是（　　） A．9x+4y﹣13＝0 B．9x﹣4y+13＝0 C．4x﹣9y+13＝0 D．4x﹣9y+3＝0 【考点】椭圆的中点弦．版权所有 【分析】设点A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程相减整理后得：4（y1+y2）（y1﹣y2）+9（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，利用P为AB中点，结合斜率公式，整理得直线l的斜率，即可求出直线l的方程． 【解答】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2）， 则由点P（﹣1，1）为线段AB的中点，得x1+x2＝﹣2，y1+y2＝2①， 又 ②， ③， 由②﹣③，可得4（y1+y2）（y1﹣y2）+9（x1+x2）（x1﹣x2）＝0， 将①代入上式，化简得kl， 所以直线l的方程为：， 即9x﹣4y+13＝0． 故选：B． 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，点差法的应用，属于中档题． 40．已知斜率存在的直线l与椭圆1交于A，B两点，且l与圆C：（x﹣1）2+y2＝1切于点P．若P为线段AB的中点，则直线PC的斜率为（　　） A．2 B． C．2或﹣2 D．或 【考点】椭圆的中点弦．版权所有 【分析】利用点差法，结合点P的坐标满足圆方程，以及CP与直线AB垂直，联立方程组求得点P的坐标，即可求得直线PC的斜率． 【解答】解：设点A，B，P的坐标分别为：（x1，y1），（x2，y2），（m，n）， 则1，1，作差得0， ∴•0，∴； 又∵CP与直线AB垂直，故可得1， ∴4，解得m， 又∵p在圆C上，故可得（m﹣1）2+n2＝1，解得n＝±， ∴±2，即直线PC的斜率为±2． 故选：C． 【点评】本题考查直线的斜率的求法，考查点差法的应用，属中档题． 41．已知椭圆，过点M（x0，y0）作倾斜角为的直线与C交于A，B两点，当M为线段AB的中点时，直线OM（O为坐标原点）的斜率为，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆的中点弦．版权所有 【分析】利用点差法可得，由，，可得，可求椭圆的离心率． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以， 两式相减得， 即， 又，所以， 整理得， 又，， 所以，所以， 所以椭圆C的离心率． 故选：D． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题． （多选）42．已知椭圆C：内一点M（1，2），直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论不正确的是（　　） A．C的焦点坐标为（2，0），（﹣2，0） B．C的长轴长为 C．直线l的方程为x+y﹣3＝0 D． 【考点】椭圆的中点弦．版权所有 【分析】由椭圆标准方程确定a，b，c，即可得到选项A，B错误；利用点差法可求直线l方程，得到选项C正确；联立直线和椭圆方程，利用弦长公式可得选项D正确． 【解答】解：由题可得，，b＝2，，且焦点在y轴上， 对于A，B，椭圆的焦点坐标为（0，2），（0，﹣2）， 长轴长为，故A、B错误； 对于C，如图，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 因为M（1，2）为线段AB的中点，所以x1+x2＝2，y1+y2＝4， 则，， 两式作差变形得：， 即直线l的斜率k＝﹣1， 所以直线l的方程为y﹣2＝﹣（x﹣1），即x+y﹣3＝0，故C正确； 对于D，联立，化简得3x2﹣6x+1＝0，则Δ＝36﹣12＞0， 所以x1+x2＝2，， 所以，故D正确． 故选：AB． 【点评】本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的综合应用，属于中档题． 八．椭圆与平面向量（共8小题） 43．设椭圆C：1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1，若点F2关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆与平面向量．版权所有 【分析】由题意可得|PF1|＝|F1F2|＝2c，推出|PF2|＝2a﹣2c，求得cos∠F1PF2，进而由，可求离心率． 【解答】解：由题意直线l过点F1，若点F2关于l的对称点P恰好在椭圆C上，可得|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝2a﹣2c， cos∠F1PF2， ∵，∴2c×2cb2， ∴4c2+8ac﹣4a2＝2a2﹣2c2，∴3a2﹣4ac﹣3c2＝0， ∴3e2+4e﹣3＝0，e∈（0，1），∴e． 故选：D． 【点评】本题考查椭圆的离心率，考查运算求解能力，属中档题． 44．已知点P为椭圆C：1上任意一点，直线l过⊙M：x2+y2﹣4x+3＝0的圆心且与⊙M交于A，B两点，则•的取值范围是（　　） A．[3，35] B．（3，35] C．[2，6] D．（2，6] 【考点】椭圆与平面向量．版权所有 【分析】由题意可得，所以 ，再由|PM|的范围，可得•的取值范围． 【解答】解：由椭圆C的方程可知a＝4，b＝2， 可得c2， 易知圆M：（x﹣2）2+y2＝1的圆心M（2，0），半径为1， 因为，所以 ， 可知M恰为椭圆C的右焦点，所以2， 所以． 故选：A． 【点评】本题考查圆的性质及椭圆的性质的应用，数量积的运算性质的应用，属于中档题． 45．椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线l与椭圆交于B，C两点．若，则l的斜率的取值范围是　　 ． 【考点】椭圆与平面向量．版权所有 【分析】令B（x1，y1），C（x2，y2），而A（0，b），F（c，0），应用向量线性关系的坐标表示得，再由B，C在椭圆上得到，且中点在椭圆内得，结合对勾函数的性质求范围． 【解答】解：令B（x1，y1），C（x2，y2），而A（0，b），F（c，0）， 由，作差得，则①， 又，，， ，所以，整理得②， 将②代入①，可得l的斜率k， 因为B，C的中点在椭圆内，所以， 整理可得a2＝b2+c2＞3c2，即， 所以， 令，且在上单调递增，值域为， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查椭圆与平面向量、椭圆与直线的综合，属于较难题． 46．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，经过F1的直线交椭圆于A，B，△ABF2的内切圆的圆心为I，若，则该椭圆的离心率是　　 ． 【考点】椭圆与平面向量；求椭圆的离心率．版权所有 【分析】首先根据题意，利用向量变形得，如图在BF2上取一点M，使得|BM|：|MF2|＝5：3，连接IM，则，再结合内心的性质得到，然后在△ABF2中，由余弦定理得，在△AF1F2中，由余弦定理即可求解． 【解答】解：由题可得，， 如图，在BF2上取一点M，使得|BM|：|MF2|＝5：3，连接IM， 则， 则点I为AM上靠近点M的三等分点， 所以， 所以|AF2|：|BF2|：|AB|＝3：4：5，设|AF2|＝3x，则|BF2|＝4x，|AB|＝5x， 所以|AF2|+|BF2|+|AB|＝4a，即12x＝4a，解得：， 故|AF2|＝a，，|AF1|＝a， 故点A与上顶点重合，在△ABF2中，由余弦定理得：， 在△AF1F2中，， 解得：，即e． 故答案为：． 【点评】本题考查了椭圆性质的应用，属于中档题． 47．已知点P为椭圆上任意一点，EF为圆N：（x﹣1）2+y2＝4的任意一条直径，则的取值范围是 　[﹣3，5]　 ． 【考点】椭圆与平面向量．版权所有 【分析】由题意，利用向量运算将转化成，通过求|NP|的取值范围进行求解． 【解答】解：易知圆N的圆心为N（1，0），半径为2， 因为 ， 因为椭圆的方程为， 所以a＝2，，c＝1， 则N（1，0）为椭圆的右焦点， 设P（x0，y0）， 因为点P在椭圆上， 所以， 即， 此时 2， 因为﹣2≤x0≤2， 所以， 则3， 所以|NP|∈[1，3]， 可得|NP|2∈[1，9]， 则． 故答案为：[﹣3，5]． 【点评】本题考查椭圆与平面向量，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力，属于中档题． 48．椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，已知0，，则椭圆C的离心率为 　　 ． 【考点】椭圆与平面向量．版权所有 【分析】由已知向量关系化简可得|AF2|＝|F1F2|＝2c，所以|AF1|＝2a﹣2c，再根据已知向量关系求出|BF1|（a﹣c），得到|BF2|a，然后设AF1的中点为H，由F2H⊥AB，利用勾股定理得到关于a，c的方程，进一步求出离心率． 【解答】解：设|F1F2|＝2c， 因为， 所以|AF2|＝|F1F2|＝2c， 因为|AF1|＝2a﹣2c， 因为， 所以|BF1|（a﹣c）， 所以|BF2|a， 设AF1的中点为H，则F2H⊥AB， |AH|＝a﹣c，|BH|（a﹣c）， |F2A|2﹣|AH|2＝|F2B|2﹣|BH|2， 即4c2﹣（a﹣c）2＝（a）2（a﹣c）2， 整理可得7c2﹣12ac+5a2＝0， 即7e2﹣12e+5＝0， 解得e或1（舍去）， 所以离心率为， 故答案为：． 【点评】本题考查了椭圆的定义与性质，涉及到向量的运算性质，考查了学生的运算能力，属于中档题． 49．如图，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1、F2，左顶点为P，焦距为2，若△PF1F2为正三角形． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F1，斜率为的直线与椭圆相交于M，N两点，求MN的长； （3）过点F1的直线与椭圆相交于AB两点，若，求直线AB的方程． 【考点】椭圆与平面向量．版权所有 【分析】（1）由焦距的值，可得c的值，再由△PF1F2为正三角形，可得b与c的关系，再由a，b，c之间的关系可得a的值，进而求出椭圆的方程； （2）由题意可得直线MN的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，代入弦长公式，可得弦长|MN|的值； （3）设直线AB的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，由向量的关系，可得 A，B的横坐标的关系，与两根之和及两根之积联立，可得直线AB的斜率，进而求出直线AB的方程． 【解答】解：（1）由焦距为2可得2c＝2，再由△PF1F2为正三角形，P为左顶点，可得b•2c， 所以a2＝b2+c2＝3+1＝4， 所以椭圆的方程为：1； （2）由（1）可得上焦点F1（0，1）， 由题意可设直线MN的方程为：yx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立整理可得5x2+2x﹣9＝0， 可得Δ＞0，x1+2，x1x2， 所以弦长|MN|•； （3）当直线AB的斜率不存在时，则过F1的直线为x轴，可得A，B为短轴的顶点， 因为，设A（0，），B（0，），F1（0，1），则（0，1），（0，1）， 显然2，所以直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的方程为y＝kx+1， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，整理可得：（4+3k2）x2+6kx﹣9＝0， 可得x1+x2，x1x2， 因为，即（﹣x1，1﹣y1）＝2（x2，y2﹣1）， 可得﹣x1＝2x2，即x1＝﹣2x2，代入x1+x2，可得x2，x1， 再代入x1x2，可得•（）， 解得：k2， 可得k＝±， 所以直线AB的方程为y＝±x+1． 【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，向量的运算性质，属于中档题． 50．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E与直线相切． （1）求椭圆C的方程； （2）过定点Q（1，0）斜率为k的直线与椭圆C交于M，N两点，若，求实数k的值及△MON的面积． 【考点】椭圆与平面向量．版权所有 【分析】（1）由题意，根据离心率公式，点到直线的距离公式以及a，b，c之前的关系列出等式，求出a和b的值，进而可得椭圆C的方程； （2）设出直线MN的方程，将直线MN的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量的坐标运算即可求出k的值，再结合弦长公式，点到直线的距离公式和三角形面积公式进行求解即可． 【解答】解：（1）已知椭圆C的离心率， 所以， 即，① 因为以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E与直线相切， 所以，② 联立①②，解得a2＝4，b2＝3， 则椭圆C的方程为； （2）不妨设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，消去y并整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0， 又韦达定理得， 此时， 因为， 整理得k2＝2， 解得， 此时， 则， 又点O到直线的距离， 故△MON的面积． 【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【直线与椭圆的综合题型】 总览 题型梳理 一．直线与椭圆的位置关系及公共点个数（共7小题） 二．由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数（共4小题） 三．椭圆的切线方程及性质（共5小题） 四．椭圆的弦及弦长（共7小题） 五．椭圆的焦点弦及焦半径（共8小题） 六．椭圆的焦点三角形（共6小题） 七．椭圆的中点弦（共5小题） 八．椭圆与平面向量（共8小题） 【知识点清单】 1．直线与椭圆的综合 【知识点的认识】 直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则： 直线与椭圆相交⇔Δ＞0； 直线与椭圆相切⇔Δ＝0； 直线与椭圆相离⇔Δ＜0； 【解题方法点拨】 （1）直线与椭圆位置关系的判断方法 ①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断； ②借助直线和椭圆的几何性质来判断． 根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难点所在． （2）弦长的求法 设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则|AB|（k为直线斜率） 注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式． （3）中点弦、弦中点常见问题 ①过定点被定点平分的弦所在直线的方程； ②平行弦中点的轨迹； ③过定点的弦的中点的轨迹． 解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”，这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点． （4）椭圆切线问题 ①直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点； ②过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切； ③过椭圆上一点只能作一条切线． （5）最值与范围问题的解决思路 ①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解； ②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解． 在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等可利用条件． 【命题方向】 1．由已知条件求椭圆的方程或离心率； 2．由已知条件求直线的方程； 3．中点弦或弦的中点问题； 4．弦长问题； 5．与向量结合求参变量的取值． 2．直线与椭圆的位置关系及公共点个数 【知识点的认识】 直线与椭圆的位置关系包括相交、相切和不相交三种情况．公共点个数可以通过代入直线方程到椭圆方程中求解． 【解题方法点拨】 1．代入直线方程：将直线方程代入椭圆方程，形成二次方程． 2．分析解的个数：根据二次方程的判别式判断公共点的个数（0、1、2）． 3．由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数 【知识点的认识】 根据直线与椭圆的公共点个数可以推导出直线的方程或椭圆的参数． 【解题方法点拨】 1．利用方程个数：由交点个数推导直线方程或椭圆参数． 2．计算交点：解方程组，确定交点个数． 4．椭圆的切线方程及性质 【知识点的认识】 椭圆的切线方程可以用点的坐标和椭圆的方程来表示．标准方程的切线方程为： 【解题方法点拨】 1．代入点坐标：用切点（x0，y0）代入切线方程公式． 2．验证性质：检查切线的性质，如与椭圆的切点唯一性． 5．椭圆的弦及弦长 【知识点的认识】 椭圆的弦是连接椭圆上两点的线段，弦长可以用椭圆的参数和弦的方程计算． 【解题方法点拨】 1．计算弦长：利用椭圆的参数和弦的方程计算弦长． 2．联立方程，通过二次方程根与系数关系，求得弦长． 6．椭圆的焦点弦及焦半径 【知识点的认识】 焦点弦是通过椭圆的焦点并且与椭圆交于两点的弦．焦半径是焦点到椭圆上某点的距离． 【解题方法点拨】 1．计算焦点弦长度：焦点弦的长度与焦点到弦中点的距离有关． 2．应用焦半径公式：利用焦点和椭圆的标准方程计算焦半径． 7．椭圆的焦点三角形 【知识点的认识】 焦点三角形是由椭圆的两个焦点和椭圆上的一点形成的三角形．三角形的面积和其他性质可以通过椭圆的参数计算． 【解题方法点拨】 1．计算三角形面积：使用焦点坐标和椭圆上的点计算三角形的面积． 2．应用公式：三角形面积公式为： 8．椭圆的中点弦 【知识点的认识】 中点弦是指经过椭圆内部某点P的弦，且点P为弦的中点． 【解题方法点拨】 1．设出弦所在直线的方程． 2．联立方程并得到二次方程，根根与系数的关系，结合中点条件解决问题． 9．椭圆与平面向量 【知识点的认识】 椭圆与平面向量的关系涉及椭圆的参数、平面向量的方向和椭圆的标准方程． 【解题方法点拨】 1．使用向量：利用向量表示椭圆的长轴和短轴． 2．计算夹角：利用平面向量计算椭圆的参数和方程． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/30 11:34:48；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：215576 题型分类 知识讲解与常考题型 一．直线与椭圆的位置关系及公共点个数（共7小题） 1．已知椭圆，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，P为线段AB的中点，则直线AB的斜率为（　　） A． B． C． D． 2．已知椭圆C：1（a＞b＞0），直线l：x+2y﹣6＝0与C交于M，N两点，与两坐标轴分别交于点A，B，且M，N是线段AB的三等分点，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 3．已知椭圆，过点P（1，1）的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段AB的中点，则直线AB的方程为（　　） A．x+3y﹣4＝0 B．3x+y﹣4＝0 C．x﹣3y+2＝0 D．3x﹣y﹣2＝0 4．已知直线y＝x+3与椭圆有公共点，则m的取值范围是（　　） A．（0，4] B．（﹣∞，0]∪[4，+∞） C．[4，+∞） D．[4，5）∪（5，+∞） 5．直线与椭圆的位置关系为（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 6．椭圆上的点到直线x﹣y+6＝0的距离的最小值为　 　 ． 7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上在第二象限内的一点，且|PF2|﹣|PF1|＝2，则直线PF2的斜率为 　 　 ． 二．由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数（共4小题） 8．若直线l：y＝x+m与椭圆C：没有公共点，则m的取值范围为（　　） A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C． D． 9．已知直线kx+y+2k＝0与椭圆相切，则k的值为（　　） A．2 B． C．±2 D． 10．若对任意的实数k，直线kx﹣y+1＝0与椭圆恒有公共点，则实数n的取值范围为 　 　 ． 11．若动直线mx+ny﹣m﹣n＝0始终与椭圆有公共点，则a的取值范围是 　 　 ． 三．椭圆的切线方程及性质（共5小题） 12．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P（1，m）为椭圆上一点，若已知过点P且与椭圆相切的切线方程为，PM垂直于直线l且与x轴交于点M，若M为OF2的中点，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 13．在平面直角坐标xOy中，已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点为C上一点，记C在点P处的切线l，过点F1作l′⊥l于点M，则PM的长为 　 　 ． 14．已知椭圆的一个焦点的坐标为（1，0），一条切线的方程为x+y＝7，则C的离心率e＝　 　 ． 15．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点A（x0，y0）处的切线方程为．试运用该性质解决以下问题：椭圆C：，点B为C在第一象限中的任意一点，过点B作C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于M，N两点，则△OMN面积的最小值为 　 　 ． 16．已知椭圆的焦距为2，圆x2+y2＝4与椭圆C恰有两个公共点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知结论：若点（x0，y0）为椭圆上一点，则椭圆在该点处的切线方程为．若椭圆C的短轴长小于4，过点T（8，t）作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB过定点． 四．椭圆的弦及弦长（共7小题） 17．已知F是椭圆的左焦点，经过坐标原点的直线与C交于P，Q两点，若|PF|＝2|QF|，则|PQ|＝（　　） A． B． C． D． 18．过椭圆C：的一个焦点作x轴的垂线l，若l交C于A，B两点，则|AB|＝（　　） A． B． C． D． 19．已知椭圆C：的一个焦点是F，过原点的直线与C相交于点A，B，△ABF的面积是，则|AB|＝（　　） A． B． C． D． 20．已知椭圆的焦点为F，过坐标原点的直线与椭圆C交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝（　　） A． B． C． D． 21．如图，斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于点M，N，若|AN|＝|NM|＝|MB|，则椭圆C的焦距为 　 　 ． 22．已知A（4，0）和，直线AP与椭圆切于点P． （1）求C的离心率； （2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为，求l的方程． 23．已知椭圆C上任意一点P到C的两个焦点，，0）的距离之和为． （1）求C的方程； （2）已知直线与C相交于A，B两点，若|AB|＝5，求m的值． 五．椭圆的焦点弦及焦半径（共8小题） 24．椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆外一点，且在第一象限，已知|PF2|，线段PF2交椭圆于点Q，若，则λ＝（　　） A． B． C． D．1 25．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，P为Γ上一点，则的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．4 26．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，经过坐标原点的直线与C交于A，B，若|AF1|＝3|AF2|，则cos∠AF1B＝（　　） A． B． C． D． 27．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，关于原点对称的点M，N在C上，若|MN|＝|F1F2|，则四边形MF1NF2的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 28．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为M，点N在椭圆C上，且∠NF1F2＝60°，若|NF2|＝2|MF2|，则m＝（　　） A．1 B．2 C． D．3 29．已知椭圆C：和圆A：x2﹣2x+y2＝0，P，Q分别为椭圆C和圆A上的动点，若F为椭圆C的左焦点，则|PQ|+|PF|的最小值为（　　） A．6 B．5 C．9 D．8 30．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交C于A、B两点，若AF1⊥AF2，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 31．已知椭圆，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则|PO|＝（　　） A． B． C． D． 六．椭圆的焦点三角形（共6小题） 32．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，设O为坐标原点，A为C上一点，若△AF1F2的面积为，则|OA|＝（　　） A． B． C． D． 33．已知椭圆上两点P、Q关于原点对称，F2为椭圆的右焦点，PF2交椭圆E于点M，QF2⊥MF2，|QF2|＝3|MF2|，则椭圆E的离心率为（　　） A． B． C． D． 34．已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且，则△PF1F2的面积为（　　） A． B．2 C．3 D．4 35．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在椭圆C上，且，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 36．已知椭圆Z：的左、右焦点分别为F1，F2，若Z上的点A，B满足，|AF1|＝5|AF2|，则Z的离心率为（　　） A． B． C． D． 37．由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积．已知椭圆C：的离心率为，F1，F2分别为C的左、右焦点，C上一点P满足，且△PF1F2的面积为，则C的面积为（　　） A． B． C． D． 七．椭圆的中点弦（共5小题） 38．已知椭圆E：1（a＞b＞0）的左焦点为F，如图，过点F作倾斜角为60°的直线与椭圆E交于A，B两点，M为线段AB的中点，若5|FM|＝|OF|（O为坐标原点），则椭圆E的离心率为（　　） A． B． C． D． 39．已知椭圆与直线l交于A，B两点，若点P（﹣1，1）为线段AB的中点，则直线l的方程是（　　） A．9x+4y﹣13＝0 B．9x﹣4y+13＝0 C．4x﹣9y+13＝0 D．4x﹣9y+3＝0 40．已知斜率存在的直线l与椭圆1交于A，B两点，且l与圆C：（x﹣1）2+y2＝1切于点P．若P为线段AB的中点，则直线PC的斜率为（　　） A．2 B． C．2或﹣2 D．或 41．已知椭圆，过点M（x0，y0）作倾斜角为的直线与C交于A，B两点，当M为线段AB的中点时，直线OM（O为坐标原点）的斜率为，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． （多选）42．已知椭圆C：内一点M（1，2），直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论不正确的是（　　） A．C的焦点坐标为（2，0），（﹣2，0） B．C的长轴长为 C．直线l的方程为x+y﹣3＝0 D． 八．椭圆与平面向量（共8小题） 43．设椭圆C：1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1，若点F2关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 44．已知点P为椭圆C：1上任意一点，直线l过⊙M：x2+y2﹣4x+3＝0的圆心且与⊙M交于A，B两点，则•的取值范围是（　　） A．[3，35] B．（3，35] C．[2，6] D．（2，6] 45．椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线l与椭圆交于B，C两点．若，则l的斜率的取值范围是　 　 ． 46．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，经过F1的直线交椭圆于A，B，△ABF2的内切圆的圆心为I，若，则该椭圆的离心率是　 　 ． 47．已知点P为椭圆上任意一点，EF为圆N：（x﹣1）2+y2＝4的任意一条直径，则的取值范围是 　 　 ． 48．椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，已知0，，则椭圆C的离心率为 　 　 ． 49．如图，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1、F2，左顶点为P，焦距为2，若△PF1F2为正三角形． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F1，斜率为的直线与椭圆相交于M，N两点，求MN的长； （3）过点F1的直线与椭圆相交于AB两点，若，求直线AB的方程． 50．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E与直线相切． （1）求椭圆C的方程； （2）过定点Q（1，0）斜率为k的直线与椭圆C交于M，N两点，若，求实数k的值及△MON的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$