椭圆的标准方程与几何性质【11个题型】讲义-2025年暑假新高二数学常考题型归纳

2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【椭圆的标准方程与几何性质】 总览 题型梳理 一．椭圆的定义（共7小题） 二．椭圆的标准方程（共1小题） 三．根据椭圆的几何特征求标准方程（共5小题） 四．根据椭圆上的点求椭圆的标准方程（共1小题） 五．由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数（共4小题） 六．椭圆的范围（共4小题） 七．椭圆的对称性（共3小题） 八．求椭圆的离心率（共5小题） 九．由椭圆的离心率求解方程或参数（共3小题） 十．椭圆的准线及第二定义（共4小题） 十一．椭圆相关动点轨迹（共7小题） 【知识点清单】 1．椭圆的定义 【知识点的认识】 1．椭圆的第一定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距． 2．椭圆的第二定义 平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率． 3．注意要点 椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}． （1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆； （2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2； （3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹． 2．椭圆的标准方程 【知识点的认识】 椭圆标准方程的两种形式： （1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a） 对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1） 准线 x＝± y＝± 3．根据椭圆的几何特征求标准方程 【知识点的认识】 椭圆的几何特征包括长轴2a、短轴2b、焦点． 4．根据椭圆上的点求椭圆的标准方程 【知识点的认识】 椭圆上的点（x1，y1）可以用来求椭圆的标准方程．代入标准方程可以形成方程组来求解a和b． 5．由方程表示椭圆求解椭圆的标准方程或参数 【知识点的认识】 一般形式的椭圆方程可以通过完成平方转换为标准方程．例如，一般形式为： Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0 6．求椭圆的焦点和焦距 【知识点的认识】 椭圆的焦点位于，焦距c可以通过公式计算： 【解题方法点拨】 1．计算焦距：使用公式． 2．确定焦点位置：焦点坐标为． 7．由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数 【知识点的认识】 已知焦点位置和焦距c，可以通过公式c2＝a2﹣b2计算a和b． 【解题方法点拨】 1．计算a和b：使用c2＝a2﹣b2计算a和b． 2．代入标准方程：用计算出的a和b确定椭圆的标准方程． 8．椭圆的范围 【知识点的认识】 椭圆的范围 9．椭圆的长短轴 【知识点的认识】 长轴长度为2a，短轴长度为2b．长轴和短轴分别是椭圆的主要和次要轴． 10．椭圆的对称性 【知识点的认识】 椭圆关于x轴和y轴对称，且关于坐标原点中心对称． 11．求椭圆的离心率 【知识点的认识】 椭圆的离心率e由公式计算，其中． 【解题方法点拨】 1．计算离心率：使用公式计算离心率． 12．由椭圆的离心率求解方程或参数 【知识点的认识】 已知椭圆的离心率e和长轴a，可以计算b和焦距c： c＝ae 13．椭圆的准线及第二定义 【知识点的认识】 椭圆的第二定义 平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率． 【解题方法点拨】 1．计算准线位置：准线位置为． 2．应用第二定义：利用第二定义计算椭圆的准线． 14．椭圆相关动点轨迹 【知识点的认识】 动点在椭圆上的轨迹问题通常涉及到椭圆的参数和方程的变换． 【解题方法点拨】 1．求解轨迹：设定动点的运动规律，找到对应的椭圆方程或参数． 2．方程变换：通过变换确定动点的轨迹方程． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．椭圆的定义（共7小题） 1．已知椭圆的两焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则|PF1|+|PF2|的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 2．已知椭圆C：，的右焦点为F，P为椭圆C上任意一点，点A的坐标为，则|PA|+|PF|的最大值为（　　） A． B．5 C． D． 3．椭圆的两个焦点为F1，F2，椭圆C上有一点P，则△PF1F2的周长为（　　） A．12 B．18 C．16 D．20 4．已知F1，F2是椭圆的两焦点，点M在椭圆C上，则|MF1|•|MF2|的最小值是（　　） A．5 B．9 C．4 D．3 （多选）5．下列说法中正确的是（　　） A．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段 B．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）两点的距离之和等于点M（5，3）到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）距离相等的点的轨迹是椭圆 （多选）6．若方程所表示的曲线为C，则（　　） A．曲线C可能是圆 B．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则1＜m＜3 C．若1＜m＜5，则C为椭圆 D．当m＝2时，表示焦点在x轴上的椭圆，焦距为 7．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点到右焦点F2的距离为2，点P是C上一点，且|PF1|＝4，则|PF2|＝ 　 　 ． 二．椭圆的标准方程（共1小题） 8．“m＞1”是“椭圆的焦点在x轴上”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 三．根据椭圆的几何特征求标准方程（共5小题） 9．已知焦点在x轴上的椭圆，上顶点为M，左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的直线垂直平分线段MF2，且交椭圆于B，C两点，△MBC的周长为8，则椭圆的标准方程为（　　） A．x2+4y2＝1 B． C． D． 10．已知椭圆的中心在原点，两焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2作x轴的垂线交椭圆于点P．若直线PF1的斜率为，则该椭圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 11．已知动点M（x，y）满足，则动点M的轨迹方程是 　 　 ． 12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作平行于y轴的直线与C交于A，B两点，F1B与y轴交于点D，AD⊥F1B，且，则C的方程为 　 　 ． 13．已知F1，F2为椭圆C的左右焦点，直线l：x+y＝m与C相切于点P（点P在第一象限），过F1，F2作F1P1⊥l，F2P2⊥l，垂足分别为P1，P2，O为坐标原点，|OP1|＝|P1P2|＝2，则|F1F2|＝　 　 ，C的方程为　 　 ． 四．根据椭圆上的点求椭圆的标准方程（共1小题） 14．已知椭圆的两个焦点坐标分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点，则它的标准方程为（　　） A． B． C． D． 五．由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数（共4小题） 15．已知椭圆的长轴在y轴上，焦距为4，则m的值为 　 　 ． 16．椭圆的标准方程为，焦点在x轴上，焦距为，则n＝　 　 ． 17．与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆方程是 　 　 ． 18．已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F（2，0），，且满足BF⊥BM，则椭圆C的标准方程为　 　 ． 六．椭圆的范围（共4小题） 19．已知点P（x0，y0）是椭圆C：上的动点，若A（1，0），则|PA|的最小值为 　 　 ． 20．点P（x，y）是椭圆上的动点，若|x﹣y﹣5|+|x﹣y+m|的值为定值，则m的取值范围是 　 　 ． 21．已知O为坐标原点，P在椭圆上，则|PO|的最大值为 　 　 ． 22．已知点（3，2）在椭圆上，则点（﹣3，3）与椭圆的位置关系是 　 　 .（填写点在椭圆内、外或上） 七．椭圆的对称性（共3小题） 23．设椭圆C：的右焦点为F，动点P在椭圆C上，点A是直线4x﹣5y﹣12＝0上的动点，则|PA|﹣|PF|的最小值为（　　） A． B． C． D． 24．下列关于曲线的结论正确的是（　　） A．曲线Γ是椭圆 B．关于直线y＝x成轴对称 C．关于原点成中心对称 D．曲线Γ所围成的封闭图形面积小于4 25．已知为椭圆上一点，1，，P，M，N分别为C，C1，C2上动点，则|PM|+|PN|的最大值为 　 　 ． 八．求椭圆的离心率（共5小题） 26．已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆外一点，直线PF1的倾斜角为，|PF2|＝|F1F2|，线段PF2的中点在C上，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 27．已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，O是坐标原点，A是C上异于左、右顶点的点．若|AF1|＝6，∠F1AF2的角平分线上一点P满足，且|OP|＝2，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 28．已知椭圆C：的焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C交于P，Q两点，若|PF1|＝2|QF1|，|PQ|＝|QF2|，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 29．已知椭圆的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则C的离心率为　 　 ． 30．已知F为椭圆C：的右焦点，O为原点，A为C上一点，若，则C的离心率为 　 　 ． 九．由椭圆的离心率求解方程或参数（共3小题） 31．已知椭圆C：1（a＞b＞0）上存在两点M，N关于直线x﹣y﹣1＝0对称．若椭圆离心率为，则MN的中点坐标为（　　） A．（5，4） B．（4，3） C．（3，2） D．（2，1） 32．已知椭圆的离心率为，则C的长轴长为　 　 ． 33．已知椭圆C1：1（m＞0）和椭圆C2：1的离心率分别为e1和e2，若e1e2，则m＝ 　 　 ． 十．椭圆的准线及第二定义（共4小题） 34．已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，若该椭圆上存在两点A、B，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． （多选）35．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，直线l：y＝kx（k≠0）与椭圆C交于M，N两点，∠F1MF2的角平分线与x轴相交于点E，与y轴相交于点G（0，m），则（　　） A．四边形MF1NF2的周长为8 B．的最小值为9 C．直线BM，BN的斜率之积为 D．当时，|F1E|：|F2E|＝2：1 36．已知F是椭圆C：的左焦点，点P为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则|PF|+|PA|的最大值为 　 　 ；的最小值为 　 　 ． 37．已知椭圆C：离心率为e，F为椭圆C的右焦点，A，B是椭圆C上的两点，且|FA|＝λ|FB|．若FA⊥FB，则实数λ的取值范围是 　 　 ． 十一．椭圆相关动点轨迹（共7小题） 38．已知F1，F2分别为椭圆E：1的左、右焦点，P是椭圆E上一动点，G点是三角形PF1F2的重心，则点G的轨迹方程为（　　） A．x2+9y2＝1 B．x2+9y2＝1（y≠0） C． D． 39．动圆M与圆C1：（x+1）2+y2＝1外切，与圆C2：（x﹣1）2+y2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 40．设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足．动点P的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． （多选）41．已知椭圆E：y2＝1的左、右焦点为F1，F2，且经过F1的直线l交椭圆E于A，B两点，记线段AB，AF1的中点分别为M，N，则（　　） A．|AB|的最大值为3 B．若点M的坐标为，则 C．动点N的轨迹是椭圆 D．以线段AF1为直径的圆与圆x2+y2＝3相内切 （多选）42．下列命题错误的是（　　） A．若定点F1，F2满足|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|+|PF2|＝8，则动点P的轨迹是椭圆 B．若定点F1，F2满足|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|+|MF2|＝10，则M的轨迹是椭圆 C．当1＜k＜4时，曲线C：1表示椭圆 D．若动点M的坐标满足方程1，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为（±2，0） 43．已知P为椭圆上一动点，记原点为O，若，则点Q的轨迹方程为 　 　 ． 44．已知动点M（x，y）满足：． （1）求动点M的轨迹方程C； （2）若过点的直线l和曲线C相交于A，B两点，且P为线段AB的中点，求直线l的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【椭圆的标准方程与几何性质】 总览 题型梳理 一．椭圆的定义（共7小题） 二．椭圆的标准方程（共1小题） 三．根据椭圆的几何特征求标准方程（共5小题） 四．根据椭圆上的点求椭圆的标准方程（共1小题） 五．由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数（共4小题） 六．椭圆的范围（共4小题） 七．椭圆的对称性（共3小题） 八．求椭圆的离心率（共5小题） 九．由椭圆的离心率求解方程或参数（共3小题） 十．椭圆的准线及第二定义（共4小题） 十一．椭圆相关动点轨迹（共7小题） 【知识点清单】 1．椭圆的定义 【知识点的认识】 1．椭圆的第一定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距． 2．椭圆的第二定义 平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率． 3．注意要点 椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}． （1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆； （2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2； （3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹． 2．椭圆的标准方程 【知识点的认识】 椭圆标准方程的两种形式： （1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a） 对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1） 准线 x＝± y＝± 3．根据椭圆的几何特征求标准方程 【知识点的认识】 椭圆的几何特征包括长轴2a、短轴2b、焦点． 4．根据椭圆上的点求椭圆的标准方程 【知识点的认识】 椭圆上的点（x1，y1）可以用来求椭圆的标准方程．代入标准方程可以形成方程组来求解a和b． 5．由方程表示椭圆求解椭圆的标准方程或参数 【知识点的认识】 一般形式的椭圆方程可以通过完成平方转换为标准方程．例如，一般形式为： Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0 6．求椭圆的焦点和焦距 【知识点的认识】 椭圆的焦点位于，焦距c可以通过公式计算： 【解题方法点拨】 1．计算焦距：使用公式． 2．确定焦点位置：焦点坐标为． 7．由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数 【知识点的认识】 已知焦点位置和焦距c，可以通过公式c2＝a2﹣b2计算a和b． 【解题方法点拨】 1．计算a和b：使用c2＝a2﹣b2计算a和b． 2．代入标准方程：用计算出的a和b确定椭圆的标准方程． 8．椭圆的范围 【知识点的认识】 椭圆的范围 9．椭圆的长短轴 【知识点的认识】 长轴长度为2a，短轴长度为2b．长轴和短轴分别是椭圆的主要和次要轴． 10．椭圆的对称性 【知识点的认识】 椭圆关于x轴和y轴对称，且关于坐标原点中心对称． 11．求椭圆的离心率 【知识点的认识】 椭圆的离心率e由公式计算，其中． 【解题方法点拨】 1．计算离心率：使用公式计算离心率． 12．由椭圆的离心率求解方程或参数 【知识点的认识】 已知椭圆的离心率e和长轴a，可以计算b和焦距c： c＝ae 13．椭圆的准线及第二定义 【知识点的认识】 椭圆的第二定义 平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率． 【解题方法点拨】 1．计算准线位置：准线位置为． 2．应用第二定义：利用第二定义计算椭圆的准线． 14．椭圆相关动点轨迹 【知识点的认识】 动点在椭圆上的轨迹问题通常涉及到椭圆的参数和方程的变换． 【解题方法点拨】 1．求解轨迹：设定动点的运动规律，找到对应的椭圆方程或参数． 2．方程变换：通过变换确定动点的轨迹方程． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．椭圆的定义（共7小题） 1．已知椭圆的两焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则|PF1|+|PF2|的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【考点】椭圆的定义．版权所有 【分析】根据已知条件求得a，利用椭圆的定义求得正确答案． 【解答】解：由已知得，a＝3， 由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a＝6． 故选：D． 【点评】本题主要考查椭圆的定义，属于基础题． 2．已知椭圆C：，的右焦点为F，P为椭圆C上任意一点，点A的坐标为，则|PA|+|PF|的最大值为（　　） A． B．5 C． D． 【考点】椭圆的定义．版权所有 【分析】根据椭圆的定义，将|PA|+|PF|转化为4+|PA|﹣|PF1|，当P，A，F1三点共线时，|PA|﹣|PF1|取最大值即|AF1|，再利用两点距离公式就可求解． 【解答】解：如图， 设椭圆C的左焦点为F1（﹣1，0），由椭圆定义可得，|PF|＝4﹣|PF1|， 所以|PA|+|PF|＝4+|PA|﹣|PF1|≤4+|AF1| ． 故选：B． 【点评】本题主要考查椭圆的定义，属于基础题． 3．椭圆的两个焦点为F1，F2，椭圆C上有一点P，则△PF1F2的周长为（　　） A．12 B．18 C．16 D．20 【考点】椭圆的定义．版权所有 【分析】根据题意，结合椭圆的定义代入计算，即可得到结果． 【解答】解：由椭圆可得a＝5，b＝4， 所以， 故△PF1F2的周长为2a+2c＝16． 故选：C． 【点评】本题主要考查椭圆的定义，属于基础题． 4．已知F1，F2是椭圆的两焦点，点M在椭圆C上，则|MF1|•|MF2|的最小值是（　　） A．5 B．9 C．4 D．3 【考点】椭圆的定义．版权所有 【分析】根据椭圆的定义及基本不等式求解即可． 【解答】解：已知F1，F2是椭圆的两焦点，点M在椭圆C上， 由已知得|MF1|+|MF2|＝6，，a＝3， 设|MF1|＝x，则， 所以， 从而或时取最小值为4． 故选：C． 【点评】本题考查椭圆的定义及基本不等式，属于基础题． （多选）5．下列说法中正确的是（　　） A．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段 B．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）两点的距离之和等于点M（5，3）到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）距离相等的点的轨迹是椭圆 【考点】椭圆的定义．版权所有 【分析】根据已知条件，结合椭圆的定义，即可求解． 【解答】解：对于A，∵|F1F2|＝8， ∴平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，故A正确， 对于B，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，故B错误， 对于C，点M（5，3）到F1，F2的距离之和为|F1F2|＝8，其轨迹为椭圆，故C正确， 对于D，轨迹为线段F1F2的垂直平分线，故D错误． 故选：AC． 【点评】本题主要考查了椭圆的定义，考查了计算能力，属于基础题． （多选）6．若方程所表示的曲线为C，则（　　） A．曲线C可能是圆 B．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则1＜m＜3 C．若1＜m＜5，则C为椭圆 D．当m＝2时，表示焦点在x轴上的椭圆，焦距为 【考点】椭圆的定义；由方程表示椭圆求解椭圆的标准方程或参数．版权所有 【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果． 【解答】解：若方程所表示的曲线为C， 对于A，当5﹣m＝m﹣1，即m＝3时，曲线C：x2+y2＝2，表示圆，故A正确； 对于B，若C为椭圆，且焦点在x轴上， 则，解得1＜m＜3，故B正确； 对于C，由A知，当m＝3时，曲线C为圆，故C错误； 对于D，当m＝2时，曲线表示焦点在x轴上的椭圆， 其焦距为，故D错误． 故选：AB． 【点评】本题考查圆锥曲线的性质，属于中档题． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点到右焦点F2的距离为2，点P是C上一点，且|PF1|＝4，则|PF2|＝ 　2　 ． 【考点】椭圆的定义．版权所有 【分析】根据题意可得a﹣c＝2，然后根据椭圆的焦点位置和定义即可求解． 【解答】解：由题意可知：a﹣c＝2， 因为椭圆的焦点在x轴上时，a2＝t，b2＝8， 又因为a2＝b2+c2，所以a＝3，c＝1， 由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|＝2a＝6， 因为|PF1|＝4，则|PF2|＝6﹣4＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查椭圆的定义，属于中档题． 二．椭圆的标准方程（共1小题） 8．“m＞1”是“椭圆的焦点在x轴上”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】椭圆的标准方程；必要不充分条件的判断．版权所有 【分析】根据椭圆的几何性质可求解焦点在x轴时1＜m＜2，即可根据必要充分条件的定义求解． 【解答】解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以m＞2﹣m＞0，解得1＜m＜2， 所以“m＞1”是“椭圆的焦点在x轴上”的必要不充分条件． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，充分必要条件的判断，属于基础题． 三．根据椭圆的几何特征求标准方程（共5小题） 9．已知焦点在x轴上的椭圆，上顶点为M，左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的直线垂直平分线段MF2，且交椭圆于B，C两点，△MBC的周长为8，则椭圆的标准方程为（　　） A．x2+4y2＝1 B． C． D． 【考点】根据椭圆的几何特征求标准方程．版权所有 【分析】由题设条件易得a＝2c，结合图形将△MBC的周长转化为△BF2C的周长4a，从而求得a，b，c的值，即得椭圆方程． 【解答】解：如图， 因为线段MF2的垂直平分线经过点F1，所以|MF1|＝|F1F2|，即a＝2c， 又|MB|＝|F2B|，|CM|＝|CF2|，则△MBC的周长等于△BF2C的周长4a， 即4a＝8，解得a＝2，c＝1，，故椭圆的标准方程为． 故选：D． 【点评】本题主要考查求椭圆的标准方程，属于中档题． 10．已知椭圆的中心在原点，两焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2作x轴的垂线交椭圆于点P．若直线PF1的斜率为，则该椭圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】根据椭圆的几何特征求标准方程．版权所有 【分析】根据椭圆的定义及椭圆中a，b，c的含义确定a，b，c的值，可得椭圆标准方程． 【解答】解：由题意椭圆的中心在原点，两焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）， 可设椭圆的方程为，其中c＝1， 有，所以，． 又2a＝|PF1|+|PF2|＝4，所以a＝2， 所以b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆的标准方程为． 故选：B． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程、几何性质，是基础题． 11．已知动点M（x，y）满足，则动点M的轨迹方程是 　　 ． 【考点】根据椭圆的几何特征求标准方程．版权所有 【分析】根据椭圆的性质即可求解． 【解答】解：设F1（3，0），F2（﹣3，0），由已知得MF1+MF2＝10＞F1F2＝6， ∴点M的轨迹是以点（3，0）与点（﹣3，0）为焦点的椭圆， 则c＝3，a＝5，故椭圆轨迹方程为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题． 12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作平行于y轴的直线与C交于A，B两点，F1B与y轴交于点D，AD⊥F1B，且，则C的方程为 　1　 ． 【考点】根据椭圆的几何特征求标准方程．版权所有 【分析】由题意可得A，B，D的坐标，再由AD⊥F1B，可得△ABF1为等边三角形，且，可得a，b，c的值，即求出椭圆的方程． 【解答】解：由题意可得BA⊥x轴，设B在x轴的上方，则直线AB的方程为x＝c， 将x＝c代入椭圆的方程，可得y2，可得y＝±， 可得A（c，），B（c，）， 因为O为F1F2的中点，可得点D为F1B的中点，可得D（0，）， 因为AD⊥F1B，可得△ABF1为等边三角形， 所以•kAD＝﹣1，且|AD||AB|， 即4•，① 即•1，整理可得3b4＝4ac，② 又因为|AD|＝4，即c2＝48，③ b2＝a2﹣c2，④ 由①②③④可得a2＝36，b2＝24， 所以该椭圆的方程为：1． 故答案为：1． 【点评】本题考查椭圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，属于中档题． 13．已知F1，F2为椭圆C的左右焦点，直线l：x+y＝m与C相切于点P（点P在第一象限），过F1，F2作F1P1⊥l，F2P2⊥l，垂足分别为P1，P2，O为坐标原点，|OP1|＝|P1P2|＝2，则|F1F2|＝　　 ，C的方程为　　 ． 【考点】根据椭圆的几何特征求标准方程．版权所有 【分析】由两直线垂直斜率关系设F1P1方程，联立直线l方程，解出P1，P2坐标，利用两点间距离公式表示|P1P2|＝2可得焦距；再联立直线l和曲线方程由判别式等于零可得a2+b2＝m2，然后结合椭圆的a，b，c关系可得椭圆方程． 【解答】解：如图， 因为F1P1⊥l，F2P2⊥l， 因为直线l：x+y＝m，所以可设F1P1方程为y＝x+c， 所以由，可得， 同理可得， 因为|P1P2|＝2，即， 得，所以； 又|OP1|＝2，即，即m2+c2＝8，① 联立曲线和直线l：x+y＝m方程可得， 消去x可得（a2+b2）y2﹣2mb2+b2m2﹣a2b2＝0， 因为直线与椭圆相切，所以Δ＝4m2b4﹣4（a2+b2）（b2m2﹣a2b2）＝0， 化简可得a2+b2＝m2，由①得a2+b2＝6， 又由椭圆的性质可得a2﹣b2＝2，所以a2＝4，b2＝2， 所以椭圆方程为． 故答案为：；． 【点评】本题主要考查求椭圆的方程，直线与椭圆的综合，属于中档题． 四．根据椭圆上的点求椭圆的标准方程（共1小题） 14．已知椭圆的两个焦点坐标分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点，则它的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】根据椭圆上的点求椭圆的标准方程．版权所有 【分析】根据条件设出椭圆的标准方程，再代点列方程组求系数即可． 【解答】解：设椭圆的标准方程为， 由题意得，，解得a2＝10，b2＝6， 所以椭圆的标准方程为． 故选：B． 【点评】本题主要考查求椭圆的方程，属于基础题． 五．由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数（共4小题） 15．已知椭圆的长轴在y轴上，焦距为4，则m的值为 　8　 ． 【考点】由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数．版权所有 【分析】根据题意，可得a2、b2关于m的表达式，根据焦距可得c，根据c2＝a2﹣b2可得m的方程，可解出m． 【解答】解：由已知得，a2＝m﹣2，b2＝10﹣m，2c＝4， 所以c2＝4， 又c2＝a2﹣b2＝（m﹣2）﹣（10﹣m），所以（m﹣2）﹣（10﹣m）＝2m﹣12＝4， 解得m＝8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查由椭圆的焦距求参数，属于基础题． 16．椭圆的标准方程为，焦点在x轴上，焦距为，则n＝　16　 ． 【考点】由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数．版权所有 【分析】利用椭圆的标准方程及焦距的定义即可求解． 【解答】解：∵椭圆的标准方程为，焦距为，焦点在x轴上， ∴， ∴n＝16． 故答案为：16． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题． 17．与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆方程是 　　 ． 【考点】由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数；椭圆的长短轴；求椭圆的焦点和焦距．版权所有 【分析】先求得椭圆的半焦距，再根据所求椭圆的长轴长求得a，b，进而求得所求椭圆的方程． 【解答】解：∵椭圆的半焦距为，故所求椭圆，且焦点在x轴上， 又所求椭圆长轴长为，， ∴b2＝20﹣5＝15， ∴所求椭圆方程为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查椭圆焦距、长轴等概念，考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的几何性质，属于基础题． 18．已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F（2，0），，且满足BF⊥BM，则椭圆C的标准方程为　1　 ． 【考点】由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数．版权所有 【分析】根据题意，求出向量以及的坐标，又由BF⊥BM可得•a+b2＝0，变形可得b2a，结合椭圆的性质求出a、b的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，椭圆的上顶点为B，则B（0，b）， 则（2，﹣b），（，﹣b）， 若BF⊥BM，则有•a+b2＝0，则有b2a， 又由椭圆的右焦点为F（2，0），即c＝2，则有a2﹣b2＝c2＝4， 解可得：a＝2， 则b＝2， 则椭圆C的方程为：1； 故答案为：1． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆标准方程的计算，属于基础题． 六．椭圆的范围（共4小题） 19．已知点P（x0，y0）是椭圆C：上的动点，若A（1，0），则|PA|的最小值为 　　 ． 【考点】椭圆的范围．版权所有 【分析】由两点间的距离公式列出|PA|的表达式，利用点P在椭圆上进行消元转化为二次函数的最值问题． 【解答】解：由已知，|PA|，x0， 由y的单调性及对称性可知，当x0时，|PA|有最小值，为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查与椭圆有关的最值问题和椭圆上点的坐标取值范围，属于中档题． 20．点P（x，y）是椭圆上的动点，若|x﹣y﹣5|+|x﹣y+m|的值为定值，则m的取值范围是 　　 ． 【考点】椭圆的范围．版权所有 【分析】令x＝2cosα，y＝sinα，代入到已知式子中，结合三角函数的性质即可求解． 【解答】解：令x＝2cosα，y＝sinα， 则|x﹣y﹣5|+|x﹣y+m|＝|2cosα﹣sinα﹣5|+|2cosα﹣sinα+m| ＝|sin（α+φ）﹣5|+|sin（α+φ）+m|， 若|x﹣y﹣5|+|x﹣y+m|的值为定值，且sin（α+φ）﹣5＜0， 所以sin（α+φ）+m≥0恒成立， 又sin（α+φ）， 则m． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了椭圆参数方程的应用，还考查了三角函数性质的应用，属于中档题． 21．已知O为坐标原点，P在椭圆上，则|PO|的最大值为 　2　 ． 【考点】椭圆的范围．版权所有 【分析】利用两点距离公式，结合点在椭圆上，写出|PO|关于x的表达式，再利用二次函数的性质求其最大值，即可得到答案． 【解答】解：O为坐标原点，P在椭圆上， 设点P（x0，y0），则有，即． 所以，当y0＝0时，取最大值． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查计算能力，属于基础题． 22．已知点（3，2）在椭圆上，则点（﹣3，3）与椭圆的位置关系是 　点在椭圆外　 .（填写点在椭圆内、外或上） 【考点】椭圆的范围．版权所有 【分析】结合点与椭圆的位置关系求解． 【解答】解：已知点（3，2）在椭圆上， 则， 则， 则点（﹣3，3）与椭圆的位置关系是：点在椭圆外． 故答案为：点在椭圆外． 【点评】本题考查了点与椭圆的位置关系，属基础题． 七．椭圆的对称性（共3小题） 23．设椭圆C：的右焦点为F，动点P在椭圆C上，点A是直线4x﹣5y﹣12＝0上的动点，则|PA|﹣|PF|的最小值为（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆的对称性；椭圆的定义．版权所有 【分析】设椭圆的左焦点为F′（﹣1，0），结合椭圆定义，把问题转化为求点到直线的距离求解． 【解答】解：由题意得，椭圆C的左焦点F′（﹣1，0），右焦点F（1，0）， 由椭圆的定义得|PF|+|PF′|＝4，则|PF|＝4﹣|PF′|， 所以|PA|﹣|PF|＝PA﹣（4﹣|PF′|）＝|PA|+|PF′|﹣4， |PA|+|PF′|最小时，|PA|﹣|PF|最小， 而|PA|+|PF′|最小时，F'A垂直于直线4x﹣5y﹣12＝0，垂足为点A，且点P在线段AF′上， 因为F'到直线4x﹣5y﹣12＝0的距离， 所以|PA|﹣|PF|最小为． 故选：C． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆定义的应用，属于中档题． 24．下列关于曲线的结论正确的是（　　） A．曲线Γ是椭圆 B．关于直线y＝x成轴对称 C．关于原点成中心对称 D．曲线Γ所围成的封闭图形面积小于4 【考点】椭圆的对称性．版权所有 【分析】A根据椭圆的方程判断曲线不是椭圆；B把曲线Γ中的（x，y）同时换成（y，x），判断曲线Γ是否关于直线y＝x对称；C把曲线Γ中的（x，y）同时换成（﹣x，﹣y），判断曲线Γ是否关于原点对称；D根据|x|⩽2，|y|⩽1，判断曲线所围成的封闭面积是否小于4． 【解答】解：∵曲线，不是椭圆方程，∴曲线Γ不是椭圆， ∴A错误； 把曲线Γ中的（x，y）同时换成（y，x），方程变为， ∴曲线Γ不关于直线y＝x对称，B错误； 把曲线Γ中的（x，y）同时换成（﹣x，﹣y），方程不变， ∴曲线Γ关于原点对称，C正确； ∵|x|⩽2，|y|⩽1， ∴曲线所围成的封闭面积小于4×2＝8， 令，∴， 所以曲线Γ上的四点，围成的矩形面积为， 所以选项D错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了方程所表示的曲线以及曲线的对称性问题，解题时应结合圆雉曲线的定义域性质进行解答，是中档题． 25．已知为椭圆上一点，1，，P，M，N分别为C，C1，C2上动点，则|PM|+|PN|的最大值为 　42　 ． 【考点】椭圆的对称性；椭圆的定义．版权所有 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义及圆的性质求解即得． 【解答】解：圆的圆心C1（﹣2，0），半径r1＝1， 圆的圆心C2（2，0），半径r2＝1， 由在椭圆上，得， 解得a2＝8，， 则椭圆的焦点C1（﹣2，0），C2（2，0）， 由椭圆的定义可得：， 因此， 当且仅当M，N分别为线段PC1，PC2的延长线与圆C1，C2的交点， 所以|PM|+|PN|的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的定义的应用及圆的性质的应用，属于中档题． 八．求椭圆的离心率（共5小题） 26．已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆外一点，直线PF1的倾斜角为，|PF2|＝|F1F2|，线段PF2的中点在C上，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】求椭圆的离心率．版权所有 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合离心率的意义求解． 【解答】解：如图， 设椭圆半焦距为c，M为线段PF2的中点，连接MF1， 由，|PF2|＝|F1F2|，得△PF1F2为等边三角形，则， 所以C的离心率为． 故选：B． 【点评】本题主要考查求椭圆的离心率，属于中档题． 27．已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，O是坐标原点，A是C上异于左、右顶点的点．若|AF1|＝6，∠F1AF2的角平分线上一点P满足，且|OP|＝2，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】求椭圆的离心率．版权所有 【分析】根据题意可得PA⊥PF1，延长F1P与AF2交于点H，根据几何关系求出a，结合离心率公式即可进一步求解． 【解答】解：根据题意可知，∠F1AF2的角平分线上一点P满足， 则PA⊥PF1，延长F1P与AF2交于点H，由等腰三角形三线合一可知|AH|＝|AF1|＝6， 由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|＝2a，所以|AF2|＝2a﹣6， 所以|HF2|＝6﹣（2a﹣6）＝12﹣2a，由OP是△F1F2H的中位线， 可得|F2H|＝2|OP|＝4，所以12﹣2a＝4，解得a＝4， 所以C的离心率为． 故选：B． 【点评】本题考查了椭圆的定义，属于基础题． 28．已知椭圆C：的焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C交于P，Q两点，若|PF1|＝2|QF1|，|PQ|＝|QF2|，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】求椭圆的离心率．版权所有 【分析】设|QF1|＝t，根据椭圆的定义可得|PF2|＝2t，从而得到点P为椭圆的上顶点或下顶点，在△PQF2中由余弦定理可得cos∠QPF2的值，最后在△PF1F2中由余弦定理可得结果． 【解答】解：如图， 设|QF1|＝t，则|PF1|＝2t，|QF2|＝2t+t＝3t， 由|PF1|+|PF2|＝|QF1|+|QF2|＝2a，可得|PF2|＝2t， 因为|PF1|＝|PF2|，所以点P为椭圆的上顶点或下顶点， 在△PQF2中，， 在△PF1F2中，，即，． 故选：B． 【点评】本题主要考查求椭圆的离心率，属于中档题． 29．已知椭圆的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则C的离心率为　　 ． 【考点】求椭圆的离心率．版权所有 【分析】利用已知条件列出方程，综合求解离心率即可． 【解答】解：椭圆的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍， 可得2，即2a2﹣c2＝8c2，2a2＝9c2，e． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题． 30．已知F为椭圆C：的右焦点，O为原点，A为C上一点，若，则C的离心率为 　　 ． 【考点】求椭圆的离心率．版权所有 【分析】在△AOF和△AFF1中利用余弦定理求得cos∠OFA即可建立等式，进而可求离心率． 【解答】解：根据题意可知，椭圆C：， 设F1为椭圆C的左焦点，由椭圆的定义|AF1|+|AF|＝2a，得， 又|OF|＝c，|FF1|＝2c，则在△AOF和△AFF1中， 由余弦定理，得， 化简得3c2＝2a2，所以离心率． 故答案为：． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题． 九．由椭圆的离心率求解方程或参数（共3小题） 31．已知椭圆C：1（a＞b＞0）上存在两点M，N关于直线x﹣y﹣1＝0对称．若椭圆离心率为，则MN的中点坐标为（　　） A．（5，4） B．（4，3） C．（3，2） D．（2，1） 【考点】由椭圆的离心率求解方程或参数．版权所有 【分析】设点M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点为E（x0，y0），由已知条件可得出，利用点差法以及点M在直线x﹣y﹣1＝0上，可得出关于x0、y0的值，解出这两个量的值，即可得出线段MN的中点坐标． 【解答】解：已知椭圆C：1（a＞b＞0）上存在两点M，N关于直线x﹣y﹣1＝0对称， 设点M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点为E（x0，y0）， 则， 由题意，椭圆的离心率为， 可得， 因为M、N关于直线x﹣y﹣1＝0对称，且直线x﹣y﹣1＝0的斜率为1， 则， 将点M、N的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得， 即， 即， 即2x0＝3y0，① 又因为点E（x0，y0）在直线x﹣y﹣1＝0上， 则x0﹣y0﹣1＝0，② 联立①②可得， 故线段MN的中点为E（3，2）． 故选：C． 【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了点差法，属中档题． 32．已知椭圆的离心率为，则C的长轴长为　　 ． 【考点】由椭圆的离心率求解方程或参数．版权所有 【分析】根据题意可得a2＝m+3，b2＝m，c2＝3，利用离心率计算m的值即可得到结果． 【解答】解：∵m+3＞m＞0，∴b2＝m，a2＝m+3，c2＝a2﹣b2＝3， ∴椭圆离心率，解得m＝3， ∴，∴C的长轴长为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查由椭圆的离心率求参数，属于基础题． 33．已知椭圆C1：1（m＞0）和椭圆C2：1的离心率分别为e1和e2，若e1e2，则m＝ 　8或　 ． 【考点】由椭圆的离心率求解方程或参数．版权所有 【分析】根据离心率定义求椭圆C2的离心率，结合条件确定椭圆C1的离心率，讨论焦点位置列方程求m． 【解答】解：依题意，椭圆C2的离心率为， 又， 所以， 设椭圆C1的长半轴长为a1，短半轴长为b1，半焦距为c1， 则，所以， 所以， 当椭圆C1的焦点在x轴上时，，所以m＝8， 当椭圆C1的焦点在y轴上时，，所以， 所以m＝8或． 故答案为：8或． 【点评】本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题． 十．椭圆的准线及第二定义（共4小题） 34．已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，若该椭圆上存在两点A、B，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆的准线及第二定义．版权所有 【分析】延长AF1交椭圆于A1，根据对称性可得|A1F1|＝|BF2|，过A，B分别作椭圆的左准线的垂线，垂足分别为M，N，过A1作A1D⊥AM，于D，设|A1F1|＝m，根据椭圆的第二定义可得则cosθ∈（0，1），从而求解． 【解答】解：延长AF1交椭圆于A1，根据对称性可得|A1F1|＝|BF2|， 因为，所以2|A1F1|＝|AF1|， 如图，过A，B分别作椭圆的左准线的垂线，垂足分别为M，N， 过A1作A1D⊥AM，于D，设|A1F1|＝m， 根据椭圆的第二定义可得|AD|＝|AM|﹣|A1N|， 令直线AA1的倾斜角为θ，且0， 则cosθ∈（0，1）， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查椭圆的性质，椭圆的第二定义应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题． （多选）35．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，直线l：y＝kx（k≠0）与椭圆C交于M，N两点，∠F1MF2的角平分线与x轴相交于点E，与y轴相交于点G（0，m），则（　　） A．四边形MF1NF2的周长为8 B．的最小值为9 C．直线BM，BN的斜率之积为 D．当时，|F1E|：|F2E|＝2：1 【考点】椭圆的准线及第二定义．版权所有 【分析】对A选项，由椭圆的定义知，四边形MF1NF2的周长为4a即可求解；对B选项，由直线y＝kx（k≠0）与椭圆相交的对称性知：|NF1|＝|MF2|，∴，借助基本不等式可得的最小值；对C选项，设M（x1，y1），则N（﹣x1，﹣y1），由点M（x1，y1）在椭圆上，即可化得kBM•kBN的值；对D选项，设出E（t，0）（﹣1＜t＜1），由条件推出|MF1|＝2（t+1），|MF2|＝2（1﹣t），又在椭圆C中，由其第二定义得，从而得到M，E，G三点坐标，再根据其三点共线，化简求解即可． 【解答】解：对A选项，由椭圆的定义知，四边形MF1NF2的周长为2a+2a＝4a＝8，A正确； 对B选项，， 当且仅当时等号成立，故B错误； 对C选项，设M（x1，y1），则N（﹣x1，﹣y1），又，所以． 因为点M（x1，y1）在椭圆上，所以，即， 所以，C正确； 对D选项，设E（t，0）（﹣1＜t＜1），则，|MF1|+|MF2|＝4， 所以|MF1|＝2（t+1），|MF2|＝2（1﹣t）， 在椭圆C：中， 由其第二定义（d指的是椭圆上的点到相应的准线的距离）得， ∴|MF1|＝2， 所以x1＝4t， 故M（4t，y1），E（t，0），， 因为三点共线，所以，解得，则，解得， 当时，，当时，，故D错误． 故选：AC． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习加以强化，考查运算求解能力，属于中档题． 36．已知F是椭圆C：的左焦点，点P为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则|PF|+|PA|的最大值为 　8　 ；的最小值为 　　 ． 【考点】椭圆的准线及第二定义．版权所有 【分析】由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a＝6，利用三角形三边大小关系可得：|PF1|+|PA|＝8﹣|PF2|+|PA|≤8+|AF2|即可得出．利用椭圆的第二定义，转化求解最小值即可． 【解答】解：如图所示： 由椭圆C：可得a＝3，F（﹣2，0），右焦点F2（2，0）． 在椭圆内部， ∵|PF|+|PF2|＝2a＝6， ∴|PF|+|PA|＝6﹣|PF2|+|PA|≤6+|AF2| ＝82+6＝8． ∴当且仅当三点P，F2，A共线时，|PF|+|PA|取得最大值为8． 椭圆的离心率为：e，过P作PN垂直椭圆的左准线于N，左准线方程为x． |PF|； ， 的最小值为． 故答案为：8；． 【点评】本题考查了椭圆的定义、三角形三边大小关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 37．已知椭圆C：离心率为e，F为椭圆C的右焦点，A，B是椭圆C上的两点，且|FA|＝λ|FB|．若FA⊥FB，则实数λ的取值范围是 　　 ． 【考点】椭圆的准线及第二定义．版权所有 【分析】以椭圆的右焦点为极点，建立极坐标系，设，可表示出，再由|FA|＝λ|FB|可得，此时表示C（2，2）与D（﹣cosθ，sinθ）两点的连线的斜率，由几何意义求解即可得出实数λ的取值范围． 【解答】解：以椭圆的右焦点为极点，建立极坐标系，设， 过点A作AH⊥l交l于点H，l为椭圆的右准线， 过点A作AM⊥极轴交极轴于点M， 由椭圆的第二定义知：，则AO＝ρ， 所以，则，代入化简可得：， 同理可得：， 由|FA|＝λ|FB|可得，， λ表示C（2，2）与D（﹣cosθ，sinθ）两点的连线的斜率，而D（﹣cosθ，sinθ）可看作圆x2+y2＝1上任意一点， 所以λ的几何意义为圆x2+y2＝1上一点与C（2，2）两点的连线的斜率，过点C（2，2）作圆的切线可求出z的最大值和最小值， 由分析知，过点C（2，2）直线的斜率一定存在，设为y﹣2＝k（x﹣2）， kx﹣y﹣2k+2＝0，故圆心（0，0）到直线kx﹣y﹣2k+2＝0的距离为：， 化简可得：3k2﹣8k+3＝0，解得：或， 所以，故． 故答案为：． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题． 十一．椭圆相关动点轨迹（共7小题） 38．已知F1，F2分别为椭圆E：1的左、右焦点，P是椭圆E上一动点，G点是三角形PF1F2的重心，则点G的轨迹方程为（　　） A．x2+9y2＝1 B．x2+9y2＝1（y≠0） C． D． 【考点】椭圆相关动点轨迹．版权所有 【分析】根据三角形的重心坐标公式及“相关点“法即可求解． 【解答】解：设G（x，y），（y≠0），设P为（m，n）， 又易知F1（，0），F2（，0）， ∴根据三角形的重心坐标公式可得： ，∴，∴P（3x，3y）， 又P在椭圆E：1上， ∴，（y≠0）， 即x2+9y2＝1（y≠0）， ∴G的轨迹方程为x2+9y2＝1（y≠0）， 故选：B． 【点评】本题考查“相关点“法求轨迹方程，三角形的重心坐标公式，属基础题． 39．动圆M与圆C1：（x+1）2+y2＝1外切，与圆C2：（x﹣1）2+y2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆相关动点轨迹．版权所有 【分析】首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆，然后根据相关的两求出椭圆的方程． 【解答】解：设动圆的圆心为：M（x，y），半径为R， 动圆与圆M1：（x+1）2+y2＝1外切，与圆M2：（x﹣1）2+y2＝25内切， ∴|MM1|+|MM2|＝1+R+5﹣R＝6， ∵|MM1|+|MM2|＞|M1M2|， 因此该动圆是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆，2a＝6，c＝1 解得a＝3， 根据a、b、c的关系求得b2＝8， ∴椭圆的方程为：． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点：椭圆的定义，椭圆的方程及圆与圆的位置关系，相关的运算问题． 40．设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足．动点P的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆相关动点轨迹；椭圆与平面向量．版权所有 【分析】由题意可设：，根据向量的坐标运算结合两点间距离公式分析求解． 【解答】解：由题意可设：， 则， 因为，则，解得， 又因为， 则，整理得， 所以动点P的轨迹方程为． 故选：A． 【点评】本题主要考查了点的轨迹方程的求解，属于中档题． （多选）41．已知椭圆E：y2＝1的左、右焦点为F1，F2，且经过F1的直线l交椭圆E于A，B两点，记线段AB，AF1的中点分别为M，N，则（　　） A．|AB|的最大值为3 B．若点M的坐标为，则 C．动点N的轨迹是椭圆 D．以线段AF1为直径的圆与圆x2+y2＝3相内切 【考点】椭圆相关动点轨迹；椭圆的弦及弦长．版权所有 【分析】由椭圆的性质即可判断A；由点差法即可判断B；由椭圆的定义可判断C；由两圆的位置关系可判断D． 【解答】解：由椭圆E：， 可得，b＝1，， 所以左焦点， 对于A，由椭圆的性质可得，|AB|最大值为，故A错误； 对于B，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以，， 所以， ， 即， 因为线段AB为M，又点M的坐标为， 所以， 所以，故B正确； 对于C，设点O为坐标原点，因为点N，O分别为AF1，F1F2的中点， 所以， 所以点N的轨迹是椭圆，故C正确； 对于D，圆x2+y2＝3的圆心为（0，0），半径为，设AF1的中点为M， 所以， 所以两个圆内切，故D正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查椭圆的定义和性质的应用，长度的求解，考查学生的运算求解、逻辑推理能力，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理，属于难题． （多选）42．下列命题错误的是（　　） A．若定点F1，F2满足|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|+|PF2|＝8，则动点P的轨迹是椭圆 B．若定点F1，F2满足|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|+|MF2|＝10，则M的轨迹是椭圆 C．当1＜k＜4时，曲线C：1表示椭圆 D．若动点M的坐标满足方程1，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为（±2，0） 【考点】椭圆相关动点轨迹．版权所有 【分析】A中，由椭圆的定义可得P不是椭圆，判断A的真假；B中，由椭圆的定义可知，M的轨迹为椭圆，判断B的真假；C中，由题意的定义可知4﹣k≠k﹣1，可得k的值，判断C的真假；D中，可有椭圆的方程可得焦点坐标，判断D的真假． 【解答】解：A中，若定点F1，F2满足|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|+|PF2|＝8＝|F1F2|，可得P的轨迹为以F1，F2为端点的线段，所以A不正确； B中，若定点F1，F2满足|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|+|PF2|＝10＞＝|F1F2|，由椭圆的定义可知，M的轨迹为椭圆，所以B正确； C中，当1＜k＜4时，曲线C：1，当4﹣k＝k﹣1，即k时，曲线为圆，其他情况，曲线都表示椭圆，所以C不正确； D中，若动点M的坐标满足方程1，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为（±，0），所以D不正确； 故选：ACD． 【点评】本题考查椭圆的定义的应用及命题真假的判断方法，属于基础题． 43．已知P为椭圆上一动点，记原点为O，若，则点Q的轨迹方程为 　　 ． 【考点】椭圆相关动点轨迹．版权所有 【分析】先设点Q（x，y），再由应用相关点法求轨迹方程即可． 【解答】解：设点Q（x，y），由得点P（2x，2y），而点P为椭圆上的任意一点， 所以，整理得， 所以点Q的轨迹方程是． 故答案为：． 【点评】本题考查轨迹方程的求解，相关点法的应用，属中档题． 44．已知动点M（x，y）满足：． （1）求动点M的轨迹方程C； （2）若过点的直线l和曲线C相交于A，B两点，且P为线段AB的中点，求直线l的方程． 【考点】椭圆相关动点轨迹．版权所有 【分析】（1）利用两点间的距离公式识别已知条件为M到定点F（1，0），F'（﹣1，0）的距离之和等于定值2，结合椭圆的定义，即可得出答案． （2）根据椭圆的标准方程，利用点差法求得以P为中点的直线l的斜率，进而得到方程． 【解答】解：（1）因为动点M（x，y）满足， 所以点M的轨迹为以（﹣1，0），（1，0）为焦点的椭圆， 所以c＝1，a， 所以b2＝a2﹣c2＝1， 所以y2＝1． （2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）， 则， 作差得， 除以x1﹣x2得， 代入中点坐标，则k＝﹣1， 直线l的方程是． 【点评】本题考查椭圆的定义与标准方程，中点弦问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 1 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