第一章 特殊平行四边形（举一反三单元测试·拔尖卷）数学北师大版九年级上册

第一章 特殊平行四边形·拔尖卷 【北师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2025·广西来宾·模拟预测）如图，在边长为8的菱形中，为锐角，是边上一点，过点作与边交于点F，与边交于点，且，连接，若，菱形的面积为48，则的长为（   ） A．6 B．8 C． D． 2．（3分）（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，P是矩形的对角线上一点，，于点E，于点F，连接，则的最小值为（         ） A． B．5 C． D．10 3．（3分）（2025·四川绵阳·二模）如图，在正方形中，E是边上一点，以为边作正方形，H是的中点，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（3分）（2025·河北邯郸·三模）如图，，，交于点E，M为斜边的中点，若，．对于和之间的数量关系，三位同学给出了不同的猜测：甲：，乙：，丙：，其中正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙都有可能 5．（3分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在正方形内有一点 ，且 ，连接，，，要求的面积，只需要知道下列哪条线段的长（    ） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在矩形纸片中，，点是边上一点，先将沿折叠，使得点落在点处，与交于点；再折叠矩形纸片，使得点与点重合，点落在点处，折痕为，则的面积是（    ） A．10 B．8 C．12 D． 7．（3分）（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，两张长方形纸条叠放在一起，若点恰好在的平分线上，则两张纸条的宽与的关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（　　） A．50 B．50 C．100 D．100 9．（3分）（24-25八年级下·北京密云·期末）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是边上的一个动点（不与、两点重合），过点作射线交边于点，作线段的垂直平分线分别交、边于点、，得到四边形．在点的运动过程中，下列结论正确的是（    ） ①存在无数个四边形是平行四边形； ②存在无数个四边形是矩形； ③存在无数个四边形是菱形； ④至少存在一个四边形是正方形． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于点D，以AB为边作矩形ABEF，使得AF＝AD，延长CD，交EF于点G，作AN⊥AC交GF于点N，作MN⊥AN交CB的延长线于点M，MN分别交BE，DG于点H，P，若NP＝HP，NF＝2，则四边形ABMN的面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在中，对角线与交于点． （1）添加一个条件 ，则可判定四边形是矩形； （2）若，，则与的周长之差为 ． 12．（3分）（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，D，E分别是，的中点，，，若，，则四边形的面积为 ． 13．（3分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点 H，若平分，则的长为 ． 14．（3分）（24-25八年级下·上海奉贤·期中）同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）含有相同角的三角板都全等，同一套三角板中的三角形斜边上的高均为6厘米，那么中间留白部分的平行四边形面积为 ． 15．（3分）（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，已知中，，，点E是的中点，连接，将沿翻折，的对应边所在直线交于点F，则长为 ． 16．（3分）（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，点E为矩形的边上一点，将沿翻折得，点B的对应点为点F，交于点G，交于点H．若，，则的长为 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，点在对角线上，，，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 18．（6分）（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图1，四边形和四边形都是菱形，其中点E在边的延长线上，点G在边的延长线上，点H在边上，连接，，，，． (1)求证：． (2)如图2，连接，将菱形绕点B顺时针旋转，使点E落在上，点F落在上，点G落在的延长线上，连接，．若，求的长． 19．（8分）（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1． (1)画出以为对角线的正方形，点E、F在小正方形的顶点上； (2)画以为底边的等腰，点M在小正方形的顶点上，且的面积为7.5，连接，请直接写出长． 20．（8分）（24-25九年级上·全国·期中）如图，中，，，将绕点按顺时针方向旋转角得到，且，连接相交于点． (1)求证：； (2)当时，求四边形的面积． 21．（10分）（24-25八年级下·湖南湘西·期末）在正方形中，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，为点关于直线的对称点，． (1)求的大小（用含的式子表示）； (2)用等式表示线段、和之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，连接，若，，是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 22．（10分）（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当 时，四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 23．（12分）（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，正方形中，已知，对角线与交于点O，点E为射线上的一个动点不与点B重合，点M为线段的中点．现将线段绕点M顺时针旋转得到线段，连结，．    (1)若点M在线段OD上且，求线段OF及EF的长． (2)当点E在线段OB上运动时，请判断的形状，并说明理由． (3)在点E的运动过程中，当时，求线段BE的长． 24．（12分）（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，．       (1)如图1，若，，，求四边形的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，且，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊平行四边形·拔尖卷 【北师大版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2025·广西来宾·模拟预测）如图，在边长为8的菱形中，为锐角，是边上一点，过点作与边交于点F，与边交于点，且，连接，若，菱形的面积为48，则的长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的面积公式可求，等腰直角三角形的判定和性质可得出，由可证，可得，通过证明四边形是矩形，可得，，，由勾股定理可求的长，即可求解 【详解】解：如图，延长交的延长线于M，过点E作与H，于N， ∵菱形的面积为48，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质添加恰当辅助线是解题的关键． 2．（3分）（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，P是矩形的对角线上一点，，于点E，于点F，连接，则的最小值为（         ） A． B．5 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，连接，由矩形的性质得到，证明四边形是矩形，得到，则，故当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， 故选：C． 3．（3分）（2025·四川绵阳·二模）如图，在正方形中，E是边上一点，以为边作正方形，H是的中点，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点N，作交的延长线于点M，连接，则四边形是矩形．由勾股定理先求出，再求出，可得，证明得，从而四边形是正方形，设，则，然后根据即可求解． 【详解】如图，作于点N，作交的延长线于点M，连接，则四边形是矩形． ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故选A． 4．（3分）（2025·河北邯郸·三模）如图，，，交于点E，M为斜边的中点，若，．对于和之间的数量关系，三位同学给出了不同的猜测：甲：，乙：，丙：，其中正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙都有可能 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 根据题意可得，，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证，继而证明，解得，最后根据三角形内角和定理，分别解得和的关系，整理即可解题． 【详解】解：， ， M为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故甲正确，乙丙都不正确， 故选A． 5．（3分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在正方形内有一点 ，且 ，连接，，，要求的面积，只需要知道下列哪条线段的长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，过作于点，作于点，由正方形性质可得，，然后证明四边形是矩形，则，设，，故有，由勾股定理得：，，所以，然后通过由 的面积为即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点，作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 设，， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， ∴，即， 由的面积为， ∴要求的面积，只需要知道线段的长， 故选：． 6．（3分）（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在矩形纸片中，，点是边上一点，先将沿折叠，使得点落在点处，与交于点；再折叠矩形纸片，使得点与点重合，点落在点处，折痕为，则的面积是（    ） A．10 B．8 C．12 D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，，证明、、在同一直线上，得出，设，则，由勾股定理可得，证明，即可得解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ， 由折叠的性质可得：，， ， ∴、、在同一直线上， ， 设，则， 由勾股定理可得，即， 解得：，即， ， ， ， ， ， 则的面积是， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 7．（3分）（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，两张长方形纸条叠放在一起，若点恰好在的平分线上，则两张纸条的宽与的关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的判定方法，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可得四边形是平行四边形，再证明平行四边形是菱形，证明出，得到，即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴四边形是平行四边形， 如图所示，连接， ∵点恰好在的平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，即， 故选：B ． 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（　　） A．50 B．50 C．100 D．100 【答案】B 【分析】根据题意过D作DN⊥BF于N，连接DI，进而结合全等三角形的判定与性质得出S1+S2+S3+S4+S5＝Rt△ABC的面积×4进行分析计算即可. 【详解】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10， ∴BC＝AB＝5，AC＝＝5， 过D作DN⊥BF于N，连接DI， 在△ACB和△BND中， ， ∴△ACB≌△BND（AAS）， 同理，Rt△MND≌Rt△OCB， ∴MD＝OB，∠DMN＝∠BOC， ∴EM＝DO， ∴DN＝BC＝CI， ∵DN∥CI， ∴四边形DNCI是平行四边形， ∵∠NCI＝90°， ∴四边形DNCI是矩形， ∴∠DIC＝90°， ∴D、I、H三点共线， ∵∠F＝∠DIO＝90°，∠EMF＝∠DMN＝∠BOC＝∠DOI， ∴△FME≌△DOI（AAS）， ∵图中S2＝SRt△DOI，S△BOC＝S△MND， ∴S2+S4＝SRt△ABC．S3＝S△ABC， 在Rt△AGE和Rt△ABC中， ， ∴Rt△AGE≌Rt△ACB（HL）， 同理，Rt△DNB≌Rt△BHD， ∴S1+S2+S3+S4+S5 ＝S1+S3+（S2+S4）+S5 ＝Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积 ＝Rt△ABC的面积×4 ＝5×5÷2×4 ＝50． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的应用和全等三角形的判定，解题的关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用． 9．（3分）（24-25八年级下·北京密云·期末）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是边上的一个动点（不与、两点重合），过点作射线交边于点，作线段的垂直平分线分别交、边于点、，得到四边形．在点的运动过程中，下列结论正确的是（    ） ①存在无数个四边形是平行四边形； ②存在无数个四边形是矩形； ③存在无数个四边形是菱形； ④至少存在一个四边形是正方形． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、正方形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．先画出图形，根据菱形的性质可得，再证出、，根据全等三角形的性质可得，，然后根据平行四边形和菱形的判定即可得①③正确；若菱形是正方形时，证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据正方形的判定即可得④正确，②错误． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴必经过的中点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形， 又∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵点是边上的一个动点（不与、两点重合）， ∴存在无数个四边形是平行四边形，则结论①正确； 存在无数个四边形是菱形，则结论③正确； 若菱形是正方形时（正方形是特殊的菱形，在此只证明存在性）， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴当菱形是正方形时，菱形是正方形， ∵点是边上的一个动点（不与、两点重合）， ∴至少存在一个四边形是正方形，则结论④正确； 不存在无数个四边形是矩形，则结论②错误； 综上，结论正确的是①③④， 故选：C． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于点D，以AB为边作矩形ABEF，使得AF＝AD，延长CD，交EF于点G，作AN⊥AC交GF于点N，作MN⊥AN交CB的延长线于点M，MN分别交BE，DG于点H，P，若NP＝HP，NF＝2，则四边形ABMN的面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】先证明，得CD=NF=2，AC=AN，设NG=GE=x，则BD=x，AD=FG=2+x，AB=FE=2+2x，在中，在中，在中，利用勾股定理，得到，结合，即可得到答案． 【详解】解：∵CD⊥AB，四边形ABEF是矩形， ∴∠ADC=∠F=90°， ∴∠1+∠DAN=∠2+∠DAN， ∴∠1=∠2， 又∵AF＝AD， ∴， ∴CD=NF=2，AC=AN， 又∵∠ACB=∠CAN=∠ANM=90°， ∴四边形ANMC是正方形， ∵NP＝HP，PG∥HE， ∴NG=GE， 设NG=GE=x，则BD=x，AD=FG=2+x，AB=FE=2+2x， ∵在中，, 在中，， ∴在中，+=，即：， ∴， ∴= ==4+6=10． 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，设NG=GE=x，用含x的代数式表示相关线段长和相关面积，是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在中，对角线与交于点． （1）添加一个条件 ，则可判定四边形是矩形； （2）若，，则与的周长之差为 ． 【答案】 （答案不唯一） 2 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定． （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，添加一个条件即可； （2）根据平行四边形的性质，结合三角形的周长表达式，计算即可． 【详解】解：（1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加一个条件， 故答案为：（答案不唯一）； （2）∵平行四边形中，对角线与交于点O，，， ∴，，， ∴与的周长之差为， 故答案为：2． 12．（3分）（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，D，E分别是，的中点，，，若，，则四边形的面积为 ． 【答案】4 【分析】连接交于M，连接，根据，可判定四边形是平行四边形，再证为的中位线，从而得，然后根据等腰三角形的性质得，据此，可得出，进而证得四边形为菱形，根据等腰三角形的性质得，可在中利用勾股定理求出，然后证为的中位线，可得的长，进而求出，根据菱形的面积公式即可求得答案． 【详解】解：如图，连接交于M，连接， ，， 四边形是平行四边形， 点D，E分别是，的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ，， ，点E为的中点， ， 在中，，， 由勾股定理得， 又点D为的中点， 为的中位线， ， ， 菱形的面积． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是理解等腰三角形的底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线重合三线合一；三角形的两边中点的线段是三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 13．（3分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点 H，若平分，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识点，弄清线段间的关系成为解题的关键． 如图：连接，由矩形的性质得，由翻折得，则，所以，求得，则，可证明四边形是正方形，则，再证明，求，则，可证明，则，然后求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是矩形，， ∴， 由翻折得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 14．（3分）（24-25八年级下·上海奉贤·期中）同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）含有相同角的三角板都全等，同一套三角板中的三角形斜边上的高均为6厘米，那么中间留白部分的平行四边形面积为 ． 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，角直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 过点分别作，则四边形为矩形，，在中，利用角直角三角形的性质以及勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，由勾股定理求出，然后同理可求，而，那么即可求出，即可求解面积． 【详解】解：过点分别作， 由题意得，，，， ∴四边形为矩形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， 即中间留白部分的平行四边形的面积为平方厘米， 故答案为：平方厘米． 15．（3分）（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，已知中，，，点E是的中点，连接，将沿翻折，的对应边所在直线交于点F，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，勾股定理，三线合一，正确作出辅助线是解题的关键． 延长交于点M，过点E作点P，证明四边形是菱形，继而证明，则，，由折叠，得，可证是的高，根据，，可得，即可解答． 【详解】解：延长交于点M，过点E作点P，延长到点N，使得，连接，如图， 有， ∵中，，，点E是的中点，， ∴四边形是菱形，，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴，， 由折叠，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． ∴． 故答案为：． 16．（3分）（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，点E为矩形的边上一点，将沿翻折得，点B的对应点为点F，交于点G，交于点H．若，，则的长为 【答案】 【分析】先过点分别作，结合折叠的性质以及全等三角形的性质，得，再结合，，证明，运用四边形是矩形，得，根据三个角都是直角的四边形是矩形得四边形是矩形，再证明四边形是正方形，运用等腰三角形的性质得，根据勾股定理算出，即可作答． 【详解】解：如图，过点分别作，垂足分别为N、M， ∴， ∵将沿翻折得， 则， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ 即， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴ ∵，， ∴， 在中，， 即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，点在对角线上，，，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正方形，理由见解析 【分析】（）证明得，进而得，得到四边形是平行四边形，再根据即可求证； （）先证四边形是平行四边形，得到，可得，进而得到，即可得，得到，即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：四边形是正方形，理由如下： 由（）知，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形是正方形． 18．（6分）（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图1，四边形和四边形都是菱形，其中点E在边的延长线上，点G在边的延长线上，点H在边上，连接，，，，． (1)求证：． (2)如图2，连接，将菱形绕点B顺时针旋转，使点E落在上，点F落在上，点G落在的延长线上，连接，．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定（）、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。解题的关键是灵活运用菱形的边平行且相等、对角相等的性质，结合辅助线构造特殊图形（如矩形、等边三角形），通过等量代换和几何判定定理解决问题。 (1)利用菱形性质得出；推导得出；根据“”判定 (2)作，结合判定四边形是矩形，得出；证明是等边三角形和，得出；结合和，计算出的长度，再用勾股定理求出的长。 【详解】（1）解：证明：四边形和四边形都是菱形， ，，，． 点在边的延长线上，， ，， ，， ． 在和中， ，，， ． （2）如图，作于点，则． ， ，． ， 四边形是矩形， ． ，， 是等边三角形， ． ， ， ． ，， ，，， ，， ． 19．（8分）（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1． (1)画出以为对角线的正方形，点E、F在小正方形的顶点上； (2)画以为底边的等腰，点M在小正方形的顶点上，且的面积为7.5，连接，请直接写出长． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析， 【分析】本题考查在网格中作图，勾股定理，正方形的判定，等腰三角形的性质． （1）根据对角线相等且互相垂直平分是四边形是正方形，即可求解； （2）取格点，使得即可求解，再由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：如图，正方形为所求． 根据题意，得， 取格点E，F，使得，且与互相垂直平分， 根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形可得四边形是所求正方形． （2）解：如图，为所求． ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵边上的高为3 ∴， ∴为所求． ∴． 20．（8分）（24-25九年级上·全国·期中）如图，中，，，将绕点按顺时针方向旋转角得到，且，连接相交于点． (1)求证：； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由旋转可得，，，，即得，即可证明，得到，再根据可得，，即可得，最后根据角的和差关系即可求证； （）由得，即得为等腰直角三角形，得到，可得，同理，即得四边形为菱形，得到，设与交于点，可得，利用三角函数可得，最后根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：由旋转可得，，，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， 设与交于点，如图， ∵， ∴平分， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，菱形的面积，掌握以上知识点是解题的关键． 21．（10分）（24-25八年级下·湖南湘西·期末）在正方形中，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，为点关于直线的对称点，． (1)求的大小（用含的式子表示）； (2)用等式表示线段、和之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，连接，若，，是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据对称的性质得到，，根据正方形，等边对等角可得，由此即可求解； （2）如图所示，过点作于点，可证，，即是等腰直角三角形，由勾股定理，线段的和差计算即可求解； （3）根据题意得到，点是线段的中点，则，过点作，且，则四边形是平行四边形，，当点三点共线时，取得最小值，，过点作于点，作延长线于点，四边形是矩形，，可证是等腰直角三角形，则矩形是正方形，，，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵为点关于直线的对称点，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 整理得，； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， 如图所示， ∵对称， ∴垂直平分，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是线段的中点，则， 过点作，且，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， 过点作于点，作延长线于点， ∴四边形是矩形，， ∵是正方形的对角线， ∴， ∵，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，则点是中点， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，对称的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形、矩形、正方形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 22．（10分）（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当 时，四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 【答案】(1) (2)存在，，或， (3) 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质，即可解答； （2）分点P在点Q的左侧和右侧两种讨论，利用菱形的判定与性质及勾股定理即可求得答案； （3）连结，过点O作直线的对称点E，连结，先证明四边形是平行四边形，得到，，然后证明，再根据两点之间线段最短，可得到点P在上时，取最小值，求出此最小值，由此即可求得答案． 【详解】（1）解：，点D是的中点， ，， 四边形为矩形， ， 由已知，，则， 若四边形是平行四边形， 则， ， ， 故答案为：； （2）解：存在；理由如下： 当点P在点Q的左侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， Q点的坐标为， 当点P在点Q的右侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， ， 综上所述，在线段上存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形，且，或，． （3）解：连结，过点O作直线的对称点E，连结，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 点O和点E关于直线的对称， 垂直平分， ， ， 当点P在上时，取最小值，此时， 即当点P在上时，四边形周长的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，线段和的最值问题等知识，平移线段是解题的关键． 23．（12分）（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，正方形中，已知，对角线与交于点O，点E为射线上的一个动点不与点B重合，点M为线段的中点．现将线段绕点M顺时针旋转得到线段，连结，．    (1)若点M在线段OD上且，求线段OF及EF的长． (2)当点E在线段OB上运动时，请判断的形状，并说明理由． (3)在点E的运动过程中，当时，求线段BE的长． 【答案】(1)； (2)的形状是等腰直角三角形，见解析 (3)线段BE的长为或 【分析】（1）利用正方形的性质得到，，，，利用等腰直角三角形的性质得到，利用线段的中点的意义，等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可得出结论； （2）连接，利用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质得到，利用线段的垂直平分线的性质得到，则；利用正方形的性质和三角形的内角和定理求得，则结论可得； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点E在线段上时，设，则，，利用勾股定理列出方程解答即可；②当点E在线段的延长线上时，设，则，，利用勾股定理列出方程解答即可． 【详解】（1）解：四边形为正方形， ，，，， ， ， 点M为线段的中点， ， ， ，， ， ； （2）解：的形状是等腰直角三角形，理由如下： 连接，如图，    为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点M为线段的中点，， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ，， ， 的形状是等腰直角三角形； （3）解：①在点E的运动过程中，当时，如图，    设，则， ，M为线段的中点， ， ， ， ， ， （负数不合题意，舍去）， ， ； ②在点E的运动过程中，当时，如图，    设，则， ，M为线段的中点， ， ， ， ， ， （负数不合题意，舍去）， ， ； 综上，线段BE的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，线段的垂直平分线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论的思想方法，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 24．（12分）（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，．       (1)如图1，若，，，求四边形的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，且，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、矩形的判定及性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，会作出适当的辅助线灵活构造全等三角形是解题的关键． （1）通过已知条件，易求，，根据勾股定理得，，利用梯形面积公式即可求解； （2）过点作于点，作于点，易证：，得，，再证明四边形是矩形，进而证明为等腰直角三角形，即可证得； （3）在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，，先证，得，得出点轨迹为过中点，与夹角为的直线上，作点关于的对称点，当取最小值时，，，三点共线，由勾股定理可得，最小值为． 【详解】（1）解：，， ， 四边形为矩形， ， ， 又， ． 在中，，，， 根据勾股定理得，， ， ； （2），理由如下： 如图所示，过点作于点，作于点． ，， ， ，， ，， ， ， ，． 点为线段的中点， ． ， 四边形是矩形， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）如图所示，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，， ，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点轨迹为如图过中点，与夹角为的直线上， 如图所示，作点关于的对称点， ， 当取最小值时，，，三点共线，最小值为， 延长交直线于点，连接， ， ， ， ， ，， 由勾股定理可得，最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$