第二章 不等式（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 基础模块上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章不等式的考点梳理卷，主要梳理和考查了不等式的基本概念、不等式的性质、一元二次不等式解法、含绝对值不等式等常见考点。 第二章 不等式 目录 考点一 实数的大小与作差比较法 1 考点二 利用不等式的基本性质推断、证明数（式）的大小关系 2 考点三 用不等式表示数集 2 考点四 不等式组解集 2 考点五 用区间表示的数集进行交并补运算 3 考点六 一元二次不等式解法 3 考点七 含参数不等式解法 4 考点八 不等式有关的恒成立问题 4 考点九 实际问题中的一元二次不等式 4 考点十 含绝对值的不等式 5 考点十一 含参数、变量的绝对值不等式 5 考点一 实数的大小与作差比较法 1．若实数a≠1,比较a+2与的大小。 2. 设x≠0,那么与x4+x2+1的大小关系是（） A. >x4+x2+1 B. <x4+x2+1 C.=x4+x2+1 D. 不能确定 考点二 利用不等式的基本性质推断、证明数（式）的大小关系 3. 设a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论正确的是（ ） A. a+c>b+d B. a-c>b-d C. ac>bd D. > 4. 与a>b等价的不等式是（ ） A. |a|>|b| B. a2>b2 C. >1 D. a3>b3 考点三 用不等式表示数集 5. 以下哪个不等式表示数集[−3,5)？ A.−3≤x<5 B. −3<x≤5 C. x≤−3 或 x>5 D. −3≤x≤5 6. 不等式≥0的解集是 考点四 不等式组解集 7. 不等式组的解集为（ ） A. (2,3] B. [2,3) C. (−∞,3] D. [3,+∞) 8. 不等式组的解集为（ ） A. (−1,2] B. [−2,−1) C. (1,2]​ D. [−2,2] 考点五 用区间表示的数集进行交并补运算 9. 设全集为R，集合A=(-4,3],集合B=(0,5),求A∩B. 10. 设全集为R，已知集合A=(−∞，6),集合B=(6,+∞),求∁A∩∁B. 考点六 一元二次不等式解法 11. 求一元二次不等式x2-5x<0的解集. 12.求-2x2+3x-1≤0的解集. 考点七 含参数不等式解法 13.不等式x2+mx-n<0的解集为x∈(4,5),求关于x的不等式nx2+mx-1>0的解集. 14.解关于x的不等式：x2-(a+)x+1<0(a≠0). 考点八 不等式有关的恒成立问题 15. 若对于所有实数 x，不等式 x2+2x+a>0 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A. a≥1 B. a>1 C. a≤1​ D. a<1 16. 已知关于x的不等式ax2+2ax+2>0在R上恒成立，求实数a的取值范围. 考点九 实际问题中的一元二次不等式 17. 某旅店有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张，若要使该旅店每晚的收入超过15000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？ 18. 已知两条直角边的和等于12cm，当这个直角三角形的面积最大时，两条直角边的长各为多少？此时最大面积是多少？ 考点十 含绝对值的不等式 19.求解绝对值不等式5|x|-3>0的解集. 20. 用区间表示不等式|x2+3x-8|<10的解集为 。 考点十一 含参数、变量的绝对值不等式 21.设A={x||x-a|≤2},B={x|x2-2x-8≥0},且A∩B=∅，求实数a的取值范围. 22.已知不等式|x+b|≤c的解集为{x|-4≤x≤6},求b,c的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章不等式的考点梳理卷，主要梳理和考查了不等式的基本概念、不等式的性质、一元二次不等式解法、含绝对值不等式等常见考点。 第二章 不等式 目录 考点一 实数的大小与作差比较法 1 考点二 利用不等式的基本性质推断、证明数（式）的大小关系 2 考点三 用不等式表示数集 3 考点四 不等式组解集 4 考点五 用区间表示的数集进行交并补运算 5 考点六 一元二次不等式解法 5 考点七 含参数不等式解法 6 考点九 实际问题中的一元二次不等式 7 考点十 含绝对值的不等式 8 考点十一 含参数、变量的绝对值不等式 9 考点一 实数的大小与作差比较法 1．若实数a≠1,比较a+2与的大小。 【答案】a<1时，a+2<；a>1时，a+2>； 【分析】本题主要考查两个式子比较大小，一般用作差法，步骤为：作差—变形—判断差的符号—结论，常用方法为分解因式、配方等。 【详解】作差比较：因为a+2-==，当1-a>0时，即a<1时，<0，所以a+2<；当1-a<0时，即a>1时，>0,所以a+2>。 2. 设x≠0,那么与x4+x2+1的大小关系是（） A. >x4+x2+1 B. <x4+x2+1 C.=x4+x2+1 D. 不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查两个式子比较大小，一般用作差法，步骤为：作差—变形—判断差的符号—结论，常用方法为分解因式、配方等。 【详解】作差比较：因为-（x4+x2+1）=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2，因为x≠0,所以x2>0恒成立。所以A选项正确。 故选：A． 考点二 利用不等式的基本性质推断、证明数（式）的大小关系 3. 设a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论正确的是（ ） A. a+c>b+d B. a-c>b-d C. ac>bd D. > 【答案】A 【分析】本题主要考查利用不等式的基本性质推断、证明数（式）的大小关系，本题是不等式的基本性质4，即同向不等式的可加性。 【详解】对于A选项，因为a,b,c,d∈R,且a>b,c>d，由性质1，得a+c>b+c,b+c>b+d,由性质3得，a+c>b+d.所以A选项正确； 对于B选项，因为a,b,c,d∈R,且a>b,c>d，由性质1,2，得a-c>b-c,c-b>d-b⇒b-c<b-d, a- c与b-d无法比较大小，选项B错误； 对于C选项，因为a,b,c,d∈R,但未说明a,b,c,d的正负性，则不能比较ac与bd的大小，选项C错误； 选项D同选项C一样，无法比较，选项D错误。 故选：A． 4. 与a>b等价的不等式是（ ） A. |a|>|b| B. a2>b2 C. >1 D. a3>b3 【答案】D 【分析】本题主要考查利用不等式的基本性质推断、证明数（式）的大小关系,可以通过举例子方式做选择题 【详解】对于选项A：题目只说a>b，未说明a,b的正负性，那么a<0,b<0，如a=-1，b=-2，则|a|<|b|,故选项A错误； 对于选项B：题目只说a>b，未说明a,b的正负性，那么a<0,b<0，如a=-1，b=-2,则a2<b2,，故选项B错误； 对于选项C：题目只说a>b，未说明a,b的正负性，那么a>0,b<0,如a=1，b=-1，则<1故选项C错误； 对于选项D：因为a>b,不论a,b的正负性如何，不影响 a3>b3，故选项D正确. 故选：D． 考点三 用不等式表示数集 5. 以下哪个不等式表示数集[−3,5)？（ ） A.−3≤x<5 B. −3<x≤5 C. x≤−3 或 x>5 D. −3≤x≤5 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式表示数集，区间开闭表示的意义。 【详解】方括号 [ 表示包含端点−3，圆括号 ) 表示不包含端点5。因此，正确不等式是 −3≤x<5。故选项A正确。 故选：A． 6.  不等式≥0的解集是 【答案】{x|x≤2或x>3} 【分析】本题主要考查对不等式表示数集的理解，利用因式解不等式，最后求解 【详解】解不等式≥0，得(x-2)(x-3)≥0,得x≤2或x>3，所以解集为{x|x≤2或x>3} 考点四 不等式组解集 7. 不等式组的解集为（ ） A. (2,3] B. [2,3) C. (−∞,3] D. [3,+∞) 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式组的解法，以及用区间表示解集。 【详解】解第一个不等式，2x−5≤1⇒2x≤6⇒x≤3；解第二个不等式，3x+2>8⇒3x>6⇒x>2，取交集，得 2<x≤3，即区间 (2,3]，故选项A正确。 故选：A． 8. 不等式组的解集为（ ） A. (−1,2] B. [−2,−1) C. (1,2]​ D. [−2,2] 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式组的解法，分别求解每个不等式，再求交集，先因式分解或求根，再结合抛物线图像确定解集。 【详解】解第一个不等式（二次不等式）：x2−4≤0⇒(x−2)(x+2)≤0⇒−2≤x≤2；解第二个不等式：x+1>0⇒x>−1，取交集，得 −1<x≤2，即区间 (−1,2]。故选项A正确。 故选：A． 考点五 用区间表示的数集进行交并补运算 9. 设全集为R，集合A=(-4,3],集合B=(0,5),求A∩B 【答案】(0,3] 【分析】本题主要考查用区间表示的数集进行交集运算，先画数轴图，结合数轴得出结论3 0 5 -4 【详解】 集合A与集合B的数轴表示如图所示，由图得，A∩B=(0,3] 10. 设全集为R，已知集合A=(−∞，6),集合B=(6,+∞),求∁A∩∁B. 【答案】∁A∩∁B={6} 【分析】本题主要考查用区间表示的数集进行交并补运算，重点考察交集∩（两个集合共有的元素）补集∁（相对于R，用“全集减去区间”表示，注意端点取反）. 【详解】 6 集合A与集合B的数轴如图所示，因为全集为R，所以先求集合A的补集，∁A=[6,+∞)，集合B的补集，∁B=(−∞,6]，再求二者的交集，所以∁A∩∁B={6}。 考点六 一元二次不等式解法 11. 求一元二次不等式x2-5x<0的解集 【答案】{x|0<x<5} 【分析】本题主要考查一元二次不等式的解法，利用因式分解法，比较容易求出解集 【详解】x2-5x<0⇔x(x-5)<0⇔，或解得，或，即0<x<5或x∈∅，所以不等式x2-5x<0的解集为{x|0<x<5}。 12. 求-2x2+3x-1≤0的解集 【答案】(-∞,]∪[1,+∞) 【分析】本题主要考查一元二次不等式的解法，首先看二次项系数是否为正，若为负，先变为正数，若对应方程有实数根，先利用因式分解法或者配方法求解。 【详解】将不等式两边同时乘以-1，原式可化为2x2-3x+1≥0，方程2x2-3x+1=0⇔(x-1)(2x-1)=0，解为x1=，x2=1，所以不等式-2x2+3x-1≤0的解集为(-∞,]∪[1,+∞)。 考点七 含参数不等式解法 13.不等式x2+mx-n<0的解集为x∈(4,5),求关于x的不等式nx2+mx-1>0的解集 【答案】(-，-) 【分析】本题主要考查已知一元二次不等式的解集，根据不等式的解集的端点就是相应方程的根，利用韦达定理求待定系数 【详解】由题意可知方程x2+mx-n=0的两根为x1=4，x2=5，由韦达定理得4+5=-m,4×5=-n,所以m=-9,n=-20,所以nx2+mx-1>0化为-20x2-9x-1>0，即20x2+9x+1<0,即(4x+1)(5x+1)<0,解得-<x<-，所以不等式nx2+mx-1>0的解集为(-，-)。 14.解关于x的不等式：x2-(a+)x+1<0(a≠0). 【答案】 ∅或者{x|a<x<}或者{x|<x<a} 【分析】本题主要考查含参数不等式解法，首先定号，对二次项系数分类，大于零还是小于零，其次，求根，求相应方程的根，最后定解，根据情况写出不等式的解 【详解】原不等式化为(x-a)(x-)<0，①a=1或a=-1时，原不等式的解集为∅；②当0<a<1或a<-1时，a<，原不等式的解集为{x|a<x<}；③当a>1或-1<a<0时，a>，原不等式的解集为{x|<x<a}. 考点八 不等式有关的恒成立问题 15. 若对于所有实数 x，不等式 x2+2x+a>0 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A. a≥1 B. a>1 C. a≤1​ D. a<1 【答案】B 【分析】本题主要考查基本不等式有关的恒成立问题，二次不等式恒成立：开口向上且Δ<0时，ax2+bx+c>0对所有x成立。 【详解】二次函数 x2+2x+a开口向上（1>0）,要使其恒大于0，需判别式Δ<0,Δ=22−4×1×a=4−4a<0⇒a>1.当 a=1时，不等式为 x2+2x+1=(x+1)2≥0，不满足严格大于0，故 a>1。 故选B. 16. 已知关于x的不等式ax2+2ax+2>0在R上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】[0,2) 【分析】本题主要考查不等式恒成立问题，由不等式恒成立，求参数范围 【详解】分类讨论:当a=0时，2>0恒成立，符合题意；当a≠0时，要使ax2+2ax+2>0在R上恒成立，需满足，解得0<a<2，故a的取值范围是[0,2)。 考点九 实际问题中的一元二次不等式 17. 某旅店有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张，若要使该旅店每晚的收入超过15000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？ 【答案】每个床位的出租价格应定在(100,150)区间内。 【分析】本题主要考查实际问题中的一元二次不等式，结合不等式与方程因式分解法解决实际问题。 【详解】假设租金提高10的x倍，则收入超过15000表示为(50+10x)(200-10x)>15000,化简为(x-5)(x-10)<0,解得5<x<10,所以，出租价格提高到50-100之间，即出租价格控制在(100,150),旅店每晚的收入超过15000元。答：每个床位的出租价格应定在(100,150)区间内。 18. 已知两条直角边的和等于12cm，当这个直角三角形的面积最大时，两条直角边的长各为多少？此时最大面积是多少？ 【答案】两条直角边的长皆为6cm时，直角三角形的面积最大，最大面积为18cm2. 【分析】本题主要考查实际问题中的一元二次不等式，结合不等式与极值验证，基本不等式为≥，解决实际问题。 【详解】设直角三角形的两条直角边的长分别为a,b,面积为S，则a+b=12,a>0,b>0, 于是S=ab≤()2=()2=18.当且仅当a=b=6(cm)时，Smax=18(cm2).答：两条直角边的长皆为6cm时，直角三角形的面积最大，最大面积为18cm2. 考点十 含绝对值的不等式 19. 求解绝对值不等式5|x|-3>0的解集. 【答案】(-∞,-)∪(,+∞) 【分析】本题主要考查含绝对值的不等式的解法，去绝对值后，要注意异号问题。 【详解】由不等式5|x|-3>0,得5|x|>3,即|x|>，所以如图可知，原不等式的解集为(-∞,-)∪(,+∞). 20. 用区间表示不等式|x2+3x-8|<10的解集为 。 【答案】(-6,-2)∪(-1,3) 【分析】本题主要考查含绝对值的不等式的解法，本题去掉绝对值后，变成两个一元二次不等式，求解后，需注意结果取并集。 【详解】原不等式等价于-10<x2+3x-8<10,即⇒⇒,数轴图如图所示，所以原不等式的解集为(-6,-2)∪(-1,3) 考点十一 含参数、变量的绝对值不等式 21.设A={x||x-a|≤2},B={x|x2-2x-8≥0},且A∩B=∅，求实数a的取值范围. 【答案】0<a<2. 【分析】本题主要考查含参数绝对值的不等式和一元二次不等式的解法及集合之间的关系【详解】因为|x-a|≤2，所以-2≤x-a≤2,所以a-2≤x≤a+2,所以A={x|a-2≤x≤a+2}. 因为x2-2x-8≥0，所以(x-4)(x+2)≥0,所以x≤-2或x≥4,所以B={x|x≤-2或x≥4}. 又因为A∩B=∅，画出数轴，表示A,B,如图所示，所以a-2>-2且a+2<4,所以a>0且a<2,即0<a<2. 22.已知不等式|x+b|≤c的解集为{x|-4≤x≤6},求b,c的值. 【答案】b=-1,c=5 【分析】本题主要考查含参数的绝对值不等式与解集的关系，本题中解集的范围就是不等式的两个式子的值，求解即可知晓参数值。 【详解】|x+b|≤c⇒-c≤x+b≤c⇒-b-c≤x≤c-b,由题意可知，，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$