精品解析：河南省2025年普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试教育类数学试题

河南省2025年普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试 教育类数学 考生注意：所有答案都要写在答题卡上，写在试题卷上无效 一、选择题（每小题2分，共30分.每小题中只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 若集合，则 （ ） A. B. C D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交且过圆心 D. 相交且不过圆心 4. 下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ） A. B. C D. 5. 下列四个函数中，是奇函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的定义域是（ ） A. B. C D. 7. 若是第四象限角，且， 则（ ） A B. C. D. 8. 已知等比数列的首项，则公比（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 9. 过点且与y 轴垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 10. 已知分段函数：，下列说法正确是（ ） A. B. C. D. 11. 已知两点，则线段的中点坐标是（ ） A. B. C. D. 12. 已知某圆柱底面半径为3cm，高为5cm，则该圆柱的体积是（ ） A. B. C. D. 13. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 14. 若复数，则（ ） A. B. C. 7 D. 1 15. 若从4盆绿萝和6盆百合花中任选5盆植物，则下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 5盆都是绿萝 B. 5盆都是百合花 C. 至少有1盆是绿萝 D. 至少有1盆是百合花 二、填空题（每小题3分，共30分） 16. 已知函数 ，则 ________ 17. 函数的定义域是 _________ 18. 计算：______________ 19. 若函数的最小值为0，则 _________ 20. 在各项均为正数的等比数列中，， 则此数列的前4项和_________________ 21. 在平面直角坐标系中，直线与直线相交，则和的交点坐标是_________ 22. _______． 23. 已知向量， 则________ 24. 抛物线的准线方程是__________. 25. 复数，则 _______ 三、解答题（6小题，共40分） 26. 已知是函数的最小正周期，求 的值. 27. 已知等差数列的前n 项和为， 且. （1）求的通项公式； （2）求的前7项和. 28. 已知点是角α终边上的一点，计算： 29. 从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取2个不同的数，不考虑顺序. （1）求共有多少种抽取结果； （2）求取出的这两个数的乘积为偶数的概率. 30. 如图：在平行六面体中，底面ABCD是正方形，E、 F 分别为和的中点，已知. （1）证明：平面; （2）求线段的长. 31. 某居民小区内有一圆形草坪，居民们要在该草坪内栽种一排月季花 带，要求：月季花带在一条直线上，且必须保证此月季花带在圆形草坪中的长度最长.现已知草坪边缘的圆形曲线方程是月季花带所在直线的倾斜角是.如图：以正东方向为x 轴正向，正北方向为y 轴正向，建立平面直角坐标系. 若不考虑月季花带的宽度，求此月季花带所在的直线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省2025年普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试 教育类数学 考生注意：所有答案都要写在答题卡上，写在试题卷上无效 一、选择题（每小题2分，共30分.每小题中只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 若集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义即可得解. 【详解】集合， 则， 故选： 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据含绝对值不等式的基本解法，即可求解. 【详解】不等式可化为， 即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 3. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交且过圆心 D. 相交且不过圆心 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合圆的标准方程，先求得圆的圆心坐标和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系，即可判断求解. 【详解】因为圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交且不过圆心. 故选：D. 4. 下列四组函数中，表示同一个函数一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相同函数的定义逐项判断即可得解. 【详解】选项，两个函数定义域相同都是，对应法则也相同， 所以两个函数为同一函数，故符合题意； 选项，函数，定义域为，函数，定义域为，两个函数定义域相同，但是对应法则不同， 所以两个函数不为同一个函数，故不符合题意； 选项，函数，定义域为，函数，定义域为，两个函数定义域不同，所以不是同一个函数，故不符合题意； 选项，函数，定义域为，函数，定义域为， 两个函数定义域不同，所以不是同一个函数，故不符合题意， 故选：. 5. 下列四个函数中，是奇函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，以及正弦函数、指数函数、幂函数的单调性逐一分析判断. 【详解】选项A， 的定义域为，时，函数单调递减，不符合， 选项B，的定义域为，在定义域上单调递增，，函数是奇函数，符合， 选项C，的定义域为，，不是奇函数，不符合， 选项D，的定义域为，时，函数单调递减，不符合， 故选：B. 6. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据真数大于零及二次根式的性质列出不等式即可得解. 【详解】函数， 则，解得， 所以定义域， 故选：. 7. 若是第四象限角，且， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数的平方关系和象限角的三角函数的正负，即可求解. 【详解】因为是第四象限角，则， 又，所以. 故选：B. 8. 已知等比数列的首项，则公比（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式即可得解. 【详解】等比数列的首项， 则，解得， 故选：. 9. 过点且与y 轴垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直于轴的直线方程的特点即可得解. 【详解】与轴垂直的直线是水平直线，其方程形式为， 过点且与 轴垂直的直线方程是， 故选：. 10. 已知分段函数：，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数解析式即可得解. 【详解】分段函数：， 因为，则， 故选：. 11. 已知两点，则线段的中点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合线段的中点坐标公式，即可求解. 【详解】因为点， 所以线段的中点坐标是，即. 故选：D. 12. 已知某圆柱底面半径为3cm，高为5cm，则该圆柱的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆柱的体积公式，即可求解. 【详解】因为圆柱底面半径为cm，高为cm， 则圆柱的体积为. 故选：C. 13. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合向量夹角的计算，即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 14. 若复数，则（ ） A. B. C. 7 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先求得复数z的共轭复数，结合复数的乘法运算，即可求解. 【详解】因为复数，所以， 所以. 故选：C. 15. 若从4盆绿萝和6盆百合花中任选5盆植物，则下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 5盆都是绿萝 B. 5盆都是百合花 C. 至少有1盆是绿萝 D. 至少有1盆是百合花 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件的概念逐项分析即可. 【详解】已知从4盆绿萝和6盆百合花中任选5盆植物， 5盆都是绿萝，为不可能事件不是必然事件，故A错误， 5盆都是百合花，为随机事件不是必然事件，故B错误， 至少有1盆是绿萝，为随机事件不是必然事件，故C错误， 至少有1盆是百合花为必然事件，故D正确， 故选：D. 二、填空题（每小题3分，共30分） 16. 已知函数 ，则 ________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，即可代入求得函数值. 【详解】因为函数， 所以， 所以. 故答案为：. 17. 函数的定义域是 _________ 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不零，且算术平方根底数为非负，建立不等式即可求解. 【详解】要使函数有意义， 则，解得且， 所以定义域为， 故答案为：. 18. 计算：______________ 【答案】3 【解析】 【分析】根据对数和指数幂的运算法则，即可求解. 【详解】， 故答案为：3 19. 若函数的最小值为0，则 _________ 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的值域，结合题意列出方程即可得解. 【详解】因为，函数， 所以当时，函数有最小值， 即最小值为，解得， 故答案为：. 20. 在各项均为正数的等比数列中，， 则此数列的前4项和_________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比，代入等比数列的求和公式即可得解. 【详解】为各项均为正数的等比数列，所以公比， 因为，则， 又，所以，则， 故答案为：. 21. 在平面直角坐标系中，直线与直线相交，则和的交点坐标是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将两直线方程组成方程组，即可求得交点坐标. 【详解】由题意，得， 两式相减得，解得， 所以， 所以直线和的交点坐标是. 故答案为：. 22. _______． 【答案】 【解析】 【分析】由二倍角公式即可得解. 【详解】. 故答案为:. 23. 已知向量， 则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量， 所以. 故答案为： 24. 抛物线的准线方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线标准方程求准线方程的方法即可得解. 【详解】由抛物线的标准方程可知，抛物线的焦点在轴的正半轴上， 且，所以，， 所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 25. 复数，则 _______ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式即可得解. 【详解】复数，则， 故答案为：. 三、解答题（6小题，共40分） 26. 已知是函数的最小正周期，求 的值. 【答案】 【解析】 【分析】根据最小正周期公式求出的值，得到函数解析式，即可得解. 【详解】函数的最小正周期为， 则，解得， 所以函数， 则. 27. 已知等差数列的前n 项和为， 且. （1）求的通项公式； （2）求的前7项和. 【答案】（1） （2）147 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合等差数列中，先求得公差和首项，继而求得通项公式； （2）根据题意，结合等差数列的前n项和公式，代入即可求解. 【小问1详解】 因为等差数列中，， 所以公差，首项， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）得，等差数列中，首项，公差， 所以. 28. 已知点是角α终边上的一点，计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数值的定义，结合终边上点的坐标，求得角α的正弦值、余弦值和正切值，结合三角函数的诱导公式，即可代入求解. 【详解】因为点是角α终边上的一点， 所以， 即. 29. 从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取2个不同的数，不考虑顺序. （1）求共有多少种抽取结果； （2）求取出的这两个数的乘积为偶数的概率. 【答案】（1）种 （2） 【解析】 【分析】（）根据题意结合组合数的计算即可得解. （）根据题意算出抽取的这两个数中至少有一个为偶数的抽取结果的种数，结合古典概型公式即可得解. 【小问1详解】 从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取2个不同的数，不考虑顺序， 则有种抽取结果. 【小问2详解】 由（）可知，从个数中随机抽取两个数的基本事件总数为， 取出的这两个数的乘积为偶数，则抽取的这两个数中至少有一个为偶数， 则抽取两个数都是奇数的抽取结果有种， 所以抽取的这两个数中至少有一个为偶数的抽取结果有种， 则取出的这两个数的乘积为偶数的概率为. 30. 如图：在平行六面体中，底面ABCD是正方形，E、 F 分别为和的中点，已知. （1）证明：平面; （2）求线段的长. 【答案】（1）证明过程见详解. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合线面平行的判定定理即可得解. （）根据中位线的性质即可得解. 小问1详解】 E、 F 分别为和的中点， 所以为的中位线，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为为的中位线， 所以， 底面ABCD是正方形，，则， 所以. 31. 某居民小区内有一圆形草坪，居民们要在该草坪内栽种一排月季花 带，要求：月季花带在一条直线上，且必须保证此月季花带在圆形草坪中的长度最长.现已知草坪边缘的圆形曲线方程是月季花带所在直线的倾斜角是.如图：以正东方向为x 轴正向，正北方向为y 轴正向，建立平面直角坐标系. 若不考虑月季花带的宽度，求此月季花带所在的直线方程. 【答案】 【解析】 【分析】先将圆方程化为标准式确定圆心，再结合直线倾斜角求直线方程. 【详解】圆形曲线方程是可化为， 即圆心坐标为，半径为， 圆内长度最长的直线是直径，即直线需过圆心， 直线的倾斜角是，即直线的倾斜角为， 即直线方程为，化为一般式为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$