立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质专项训练-2026届高三数学一轮复习

立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质专项训练 立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质专项训练 考点一 线面垂直的判定 1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，已知四棱锥中，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，，O为AD中点，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为． (1)证明平面PBO； (2)求点P到平面ABCD的距离； (3)求二面角的余弦值． 2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面． (1)求证：平面； (2)记的中点为G，求二面角的大小． 3．（2024·山东威海·二模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 4．（24-25高二下·海南·阶段练习）如图，在直四棱柱中，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 5．（24-25高一下·湖北荆州·期末）如图所示，在四棱锥中，已知，，底面，平面平面. (1)求点到平面的距离； (2)证明：平面； (3)若，求二面角的余弦值. 6．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，且，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 7．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，四边形是菱形，，平面平面，且. (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离． 8．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求平面与平面夹角的正弦值． 考点二 线面垂直的性质 1．（24-25高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 3．（2025·广东梅州·一模）如图，在三棱锥中，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若，，用平面α将三棱锥分为两部分，求截面面积的最大值． 4．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，正方形ABCD中，边长为a，E为中点，F是边上的动点，将，分别沿着折起，使A，B两点重合于点S. (1)求证：； (2)当F是边BC的中点时，将，，分别沿着折起，使A，B，C三点重合于点S，求三棱锥的外接球的表面积； (3)，若，设直线与平面所成角为，求的最大值. 5．（2025·山西·三模）如图，在三棱柱中，所有的棱长均相等，是的中点，在上底面的投影为的重心． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 6．（2025·甘肃白银·三模）如图，在五面体中，底面为等边三角形，底面，，，，，分别是，的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 7．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，平行六面体中，，为棱上一点，且，为的中点. (1)证明：； (2)若，当直线与平面所成的角的余弦值为，且二面角的平面角为锐角时，求三棱锥的体积. 8．（2025·山东聊城·模拟预测）如图，在四面体中，，记二面角为分别为的中点. (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 考点三 面面垂直的判定 1．（24-25高一下·山东威海·期末）如图，在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，二面角的大小为，求． 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，平面，，，点为线段上的三等分点. (1)证明：平面平面. (2)求二面角的余弦值. 3．（24-25高三上·山东·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，,，点在棱上，且. (1)求证:平面平面; (2)求平面与平面所成角的大小. 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰祶形，，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值． 5．（2025·河南许昌·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，为等边三角形，直线PA与平面ABCD所成角的大小为，点E是棱PB上的一点（不包含端点）. (1)求证：平面平面PBD； (2)若二面角的余弦值为，求线段PE的长. 6．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，． (1)求证：平面平面． (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 7．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且 (1)证明：平面平面； (2)求二面角所成平面角的余弦值． 8．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图（一），四边形是梯形，，，，，C为线段的中点，且交于点.四边形沿翻折，如图（二）所示，线段的中点为G，M是线段上一点，且C，D，M，G四点共面. (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 考点四 面面垂直的性质 1．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面为的中点，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设为的中点，求平面与平面的夹角余弦值. 2．（2025·江西新余·模拟预测）在棱柱中，，，，，E，G分别为线段，的中点，F为直线与直线的交点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 3．（2025·海南·模拟预测）如图，在四棱柱中，底面ABCD为矩形，平面平面，，，O，E分别为CD，的中点． (1)证明：平面ABCD； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 4．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，已知，平面平面，，，，点为梯形内（包括边界）一个动点，且平面． (1)求点的轨迹长度； (2)当线段最短时，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 5．（2025·安徽·三模）如图，矩形中，，为边的中点，现将沿翻折至，得四棱锥，且平面平面，点为线段上一动点，且． (1)求证：； (2)当时，若点关于平面的对称点为，求直线与平面所成角的正弦值． 6．（24-25高三下·重庆·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，. (1)证明：是等腰三角形. (2)若平面平面，求点A到平面的距离. 7．（2025·安徽合肥·三模）如图，三棱锥中，，，，平面平面，是中点，且满足. (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 8．（2025·天津·一模）在直角梯形中，已知，，，，.将沿对角线折起，记折起后点的位置为且使平面平面. (1)求三棱锥的体积； (2)求平面与平面所成夹角的大小. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质专项训练 立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质专项训练 考点一 线面垂直的判定 1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，已知四棱锥中，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，，O为AD中点，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为．    (1)证明平面PBO； (2)求点P到平面ABCD的距离； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）连接PO，BO，BD，如图， 因是边长为2的正三角形，则， 在菱形ABCD中，，则为正三角形， 所以，又，平面， 则平面. （2）由（1）知，，， 则是二面角的平面角，， 由平面，平面， 则平面平面，过P作的延长线于H， 因为平面平面，平面， 因此平面， 而在正中，，则， 又，则， 所以点P到平面的距离是. （3）由（1）知，是正三角形，则， 取PB中点E，连OE，由（2）知，， 则，，， 取PC中点F，连EF，AE，DF，则有，且， 又平面，平面，则， 即有，又，则， 从而得为二面角的平面角， 在梯形中，， 中，， ， 所以二面角的余弦值是.      2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面． (1)求证：平面； (2)记的中点为G，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）证明：因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为， 所以，则为直角三角形，故， 又因为平面， 所以平面． （2）由（1）平面，又平面，则， 以A为原点，所在直线为x轴，过A且与平行的直线为y轴， 所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， 设平面的法向量为， ， 则，即， 所以可取平面的法向量可取， 易知，平面的法向量可取， 所以， 所以锐二面角的大小为． 3．（2024·山东威海·二模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）设中点为，连接，因为为等边三角形，故， 由题意，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 由平面，故， 又M为的中点，为等边三角形，则， 因为，平面，所以平面. （2） 由（1）知平面，平面，故， 连接，，则， 即四边形为平行四边形，故，所以， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成角为θ，，则. 4．（24-25高二下·海南·阶段练习）如图，在直四棱柱中，．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意可得底面四边形ABCD为等腰梯形， 取AD中点记为E，连接CE， 因为 所以即四边形ABCE为平行四边形， 所以 由于所以又， 所以即， 因为为直四棱柱， 所以平面平面，平面平面，平面, 所以平面，即平面；    （2）以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系：    因为由(1)知， 所以， 所以 设是平面的一个法向量， 则令，则， 所以， , 所以直线与平面所成角的正弦值为. 5．（24-25高一下·湖北荆州·期末）如图所示，在四棱锥中，已知，，底面，平面平面. (1)求点到平面的距离； (2)证明：平面； (3)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【详解】（1）过点作于，垂足为点， 由平面平面，平面，平面平面，，得平面，则线段即为点到平面的距离， 由底面，平面，得，即为直角三角形， 在中，，，，， 故点到平面的距离为； （2）由（1）可知平面，又平面，得， 由底面，平面，得， 由，，、平面，，得平面； （3）作于，连接， 由底面，、平面，得，， 由，，、平面，，得平面，又平面，得， 则即为二面角的平面角. 由，，得，， 在Rt中，，. 故二面角的余弦值为. 6．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，且，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）因为平面，平面，则， 因为，即， 因为，平面，平面， 故平面. （2）法一：平面，， 以点D为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，， 所以、、、、， ，，，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 法二：因为， 所以， 又， 而，所以， 故，即D到平面距离为. 依题意，计算可得，在中，，，， 由余弦定理，得， 因为，所以， 又， 设为点D到交线的距离，则， 设平面与平面的夹角为， 所以，所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 7．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，四边形是菱形，，平面平面，且.    (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）    连接，如图所示，因为四边形是菱形，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又，所以，又，所以， 又，平面， 所以平面． （2）因为平面，又平面，所以， 所以． 在中，由余弦定理得，所以， 又，易得， 所以，所以， 所以． 因为平面平面，所以平面， 所以． 设点B到平面的距离为，所以，即， 解得，即点B到平面的距离为． 8．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【详解】（1）设，为中点， 是以为斜边的等腰直角三角形， 取的中点，底面是等腰梯形，. 连接 ， 在中，， 在中，. ， ，且平面， 平面； （2） 如图，建系，则 ， 设直线与所成角为， （3）设平面的法向量是 ，即，令，解得 设平面的法向量是 ，即令，解得 设平面与平面夹角为 故面与平面夹角正弦值为. 考点二 线面垂直的性质 1．（24-25高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）由于平面平面，平面平面， 且平面， 平面， 平面，． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以到平面的距离． （3）令，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 于是，， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时． 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）证明：连接，    因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，则， 因为在直三棱柱中，，所以四边形为正方形， 所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，则． （2）因为直三棱柱中，， 所以，，两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为，则， 令可得． 设与平面所成角为， 所以， 即与平面成角的正弦值为， 所以与平面成角的余弦值为． 3．（2025·广东梅州·一模）如图，在三棱锥中，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若，，用平面α将三棱锥分为两部分，求截面面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：如图所示，取中点，连接，   因为，，可得且， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：作交于H，连接，， 由（1）平面，平面所以平面平面， 因为平面平面，且平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 又因为，所以， 因为，可得 又因为，所以 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）解：如图所示，设平面平面，平面平面，平面平面，平面平面， 因为，且平面，所以， 同理可证，，，即， 由（1）知，所以，所以截面为矩形， 设，其中，则， 所以矩形的面积， 当且仅当，即时，等号成立，所以截面面积的最大值为. 4．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，正方形ABCD中，边长为a，E为中点，F是边上的动点，将，分别沿着折起，使A，B两点重合于点S. (1)求证：； (2)当F是边BC的中点时，将，，分别沿着折起，使A，B，C三点重合于点S，求三棱锥的外接球的表面积； (3)，若，设直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【详解】（1）在正方形ABCD中,, 所以翻折后，又平面， 所以平面，又平面，所以. （2）在正方形ABCD中，，翻折后， 又，所以两两垂直， 三棱锥可放入以为边的长方体中， 所以长方体体对角线就是其外接球直径，长度为 ， 即外接球半径，表面积 三棱锥SDEF的外接球的表面积. （3）设，设点到平面的距离为， 则， ，， 则， ， 又由（1）知平面，所以， ，解得， 又直线与平面所成角为， 所以， 又因为，当，即时取等， 所以在单调递减，即， 则， 所以的最大值为. 5．（2025·山西·三模）如图，在三棱柱中，所有的棱长均相等，是的中点，在上底面的投影为的重心． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在上底面的投影为的重心． 平面，平面，， ，， 是等边三角形，是的中点，故， ，平面，平面，平面， 又因为平面，. （2）解法一：延长交于点，如图所示， 由（1）知平面，故为平面与平面的夹角， ，， 设棱长为1，则，为重心，，，， 平面与平面的夹角的正弦值为. 解法二：设，有，，，可求得， 由，，可得， 又由平面，以为坐标原点， ，，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 有，，，，， 可得，， 设平面的一个法向量为， 有，取，，，可得， 又由平面的一个法向量为，有，，， 有， 故平面与平面的夹角的正弦值为． 6．（2025·甘肃白银·三模）如图，在五面体中，底面为等边三角形，底面，，，，，分别是，的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）因为等边三角形，是的中点，则， 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 因平面，则. （2）取线段的中点，以、过点O和平行的直线为轴，建立空间直角坐标系， 因底面，，则底面， 因，， 则， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，， 令，则，， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 7．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，平行六面体中，，为棱上一点，且，为的中点. (1)证明：； (2)若，当直线与平面所成的角的余弦值为，且二面角的平面角为锐角时，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接，， ， ， 分别为，的中点，   ，而，则， 又且都在平面内， ∴平面， 平面， . （2）如图，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，过与平面垂直的直线向上的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，为到平面的距离，， ，， 设平面的法向量， 则， 即，    取，则，即， 又，∴，(*) 设直线与平面所成的角为，， 解得或， 当时，平面的法向量为， 则平面与平面垂直，此时二面角的平面角为直角，∴舍去, ∴，代入(*)可得， ∴. 8．（2025·山东聊城·模拟预测）如图，在四面体中，，记二面角为分别为的中点. (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取中点，连接，又分别为的中点， 则，因为， 所以，又平面， 所以平面，又平面，所以. （2）由（1）知是二面角的平面角，所以. 如图，以为原点，分别为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系， 则，， 所以， 设平面的法向量为，则，即，可取， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 考点三 面面垂直的判定 1．（24-25高一下·山东威海·期末）如图，在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，二面角的大小为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为、分别为、的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面．- （2）因为，为的中点，所以， 因为，，所以， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （3）因为，，所以为二面角的平面角，则， 由题意知，，， 在中，由余弦定理得， 所以，可得， 在直角中，， 又因为，，，所以，所以， 即，因为为的中点，所以． 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，平面，，，点为线段上的三等分点.    (1)证明：平面平面. (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为四棱锥中，底面是边长为3的菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 由，平面，得平面， 又平面， 所以平面平面； （2）连接，取的中点，连接，因为，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设为平面的一个法向量，则 ，令，则， ， 设为平面的一个法向量，则 ，令，则， ， 所以， 所以二面角的余弦值为.    3．（24-25高三上·山东·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，,，点在棱上，且. (1)求证:平面平面; (2)求平面与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）因为，所以， 所以，即. 因为，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为平面，所以平面. 连接，交于，连接，易得，， 所以，又因为，所以，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）取的中点G，连接，则平面， 因为，所以，因为，所以. 因为，所以四边形为正方形， 所以，又因.平面，则平面， 因为平面，所以，故为平面与平面所成角， 因为，所以，故， 平面与平面所成角. 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰祶形，，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点为，连接， 由是边长为2的等边三角形，是以的等腰三角形， 所以，，， 所以，，所以， 所以平面平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 当点是内一动点，且，则点在以为直径的圆上， 当线段的长最小时，点在与圆的交点处，所以， 所以， 设直线与直线所成角为， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 5．（2025·河南许昌·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，为等边三角形，直线PA与平面ABCD所成角的大小为，点E是棱PB上的一点（不包含端点）. (1)求证：平面平面PBD； (2)若二面角的余弦值为，求线段PE的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在四棱锥中，取BD的中点O，连接AO，PO， 由，得，由为等边三角形，得， 又，平面POA，则平面POA， 又平面ABCD，则平面平面ABCD，又平面平面， 因此直线PA在平面ABCD的射影在直线AO上，直线PA与平面ABCD所成角为，则， 由，，得是正三角形，且，， 由为等边三角形，得，在中，， 则，即，又，平面ABCD，则平面ABCD， 又平面ABCD，于是，在中，，易知， 由余弦定理得， 因此，即，又，平面PBD，则平面PBD. 又平面ECD，所以平面平面PBD. （2）由（1）知，直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面PCD的法向量为，则，取，得， 设，则， 设平面ECD的法向量为，则， 取，得，又二面角的余弦值为， 因此，整理得，则（负值舍）， 从而，所以线段PE的长为. 6．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，． (1)求证：平面平面． (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1），，． ，且，平面，， 平面． 平面， 平面平面． （2）设平面与平面的夹角为，的中点为，的中点为． 由，，知平面， 又，，故以为原点， ，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，． 易知平面的一个法向量为， ，， 设平面的法向量为，因此，取， 故． 7．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且 (1)证明：平面平面； (2)求二面角所成平面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）证明：因为四边形为直角梯形，且，故， 又，故，而，，平面， 所以平面，而平面，所以， 而，，平面，由梯形知，必定相交， 故平面，而平面， 故平面平面； （2）连接，在平面中过作，垂足为， 由（1）可得平面，而平面，故， 而，，故，而， 所以， 因为，所以， 在平面中，过作，交延长线于点，连接， 则，故，且， 取的中点为，连接，由可得， 因为平面，故， 而，，平面， 故平面，而平面，故， 而，，平面，故平面， 故到平面的距离为，且， 而，平面，平面， 故平面，故到平面的距离即为到平面的距离为， 设二面角的平面角为，则， 由图可知为钝角，故． 8．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图（一），四边形是梯形，，，，，C为线段的中点，且交于点.四边形沿翻折，如图（二）所示，线段的中点为G，M是线段上一点，且C，D，M，G四点共面. (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在图（一）中，，，则，即，. 在图（二）中，都在平面内，则平面， 由平面，则， 由，G为的中点，则， 都在平面内， 所以平面，又平面， 平面平面. （2） ，则，则，又，. 以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，. ，，. 设，则，由（1）知. ，可得，， 设平面的法向量为，则， ，取，则，又， ，即所求线面角正弦值为. 考点四 面面垂直的性质 1．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面为的中点，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设为的中点，求平面与平面的夹角余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）在中，∵，P为的中点，∴， ∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴. （2）在直角梯形中，∵，，P为中点， ∴，且，则四边形为平行四边形， ∵，∴， 由（1）可知，平面，故以P为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ∴，，， 设平面的一个法向量， 由，取，得， 所以为平面的一个法向量； 设直线与平面所成角为， 则． ∴直线与平面所成角的正弦值为； （3）∵，，，平面， ∴平面，即为平面的一个法向量， ∵M为的中点， ∴点M的坐标为，而，， 设平面的一个法向量为， 由， 取，， 所以为平面的一个法向量． ∴． ∴平面与平面的夹角余弦值为． 2．（2025·江西新余·模拟预测）在棱柱中，，，，，E，G分别为线段，的中点，F为直线与直线的交点．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：设O是线段的中点，连接AO，，∵，∴， ∵，，，∴， ∵棱柱，∴四边形与四边形都为平行四边形， ∴E，F分别为线段，的中点，∴， ∵G为线段的中点，， ∴，，， ∴，， ∵面，∴， ∴，又，∴．    （2）连接，由（1）知，， ，，， ，，， 以O为坐标原点，以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， ∴平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为θ，， ∴直线与平面所成角的正弦值为．    3．（2025·海南·模拟预测）如图，在四棱柱中，底面ABCD为矩形，平面平面，，，O，E分别为CD，的中点． (1)证明：平面ABCD； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）如图，连接．因为，所以， 又，所以是等边三角形. 因为是的中点，所以． 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. （2）如图，取的中点，连接，由已知可得两两互相垂直． 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以． 设平面的法向量为， 则，令，得． 易知是平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 4．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，已知，平面平面，，，，点为梯形内（包括边界）一个动点，且平面． (1)求点的轨迹长度； (2)当线段最短时，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）因为平面平面，，平面平面， 平面，故平面， 而，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因点为梯形内（包括边界）一个动点，可设，则， 又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因平面，则， 故，即， 取，则，取，则， 故的轨迹长度为. （2）取的中点为，连接，，由（1）可得的轨迹为. 又由（1）可得平面，而平面， 故，因，若线段最短，则最短，此时有， 而，故点为的中点，故， 设平面的法向量为，而，， 故，故可取， 因直线与平面所成角的正弦值为， 而，则得， 故，故或， 易得平面，则点到平面的距离为或， 又，， 故到直线的距离为， 易得，故， 故三棱锥的体积为或者为. 5．（2025·安徽·三模）如图，矩形中，，为边的中点，现将沿翻折至，得四棱锥，且平面平面，点为线段上一动点，且． (1)求证：； (2)当时，若点关于平面的对称点为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）证明：连接，由，得， 由，得， 所以， 所以，即， 由平面平面平面，平面平面， 得平面， 又平面，所以， 又平面， 所以平面，且平面， 所以． （2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为，，， 则令，则， 平面的一个法向量为， 由题可知， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 6．（24-25高三下·重庆·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，. (1)证明：是等腰三角形. (2)若平面平面，求点A到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设O为的中点，连接，因为， ，所以， 所以，即， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 在中，为的中点， 所以，即是等腰三角形； （2）以O为坐标原点，所在直线为x轴， 过O与平行的直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面的法向量为， 则有取，则， 设平面的法向量为，则有， 取，则， 因为平面平面，所以， 解得（舍去）， 所以，所以， 所以， 所以，所以是等腰直角三角形， 取的中点E，连接，则， 又因为平面平面，平面平面，所以平面， 所以的长为点A到平面的距离，因为， 所以点A到平面的距离为. 7．（2025·安徽合肥·三模）如图，三棱锥中，，，，平面平面，是中点，且满足. (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，因为，是中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 且面，， 所以面，又因为面，所以， 由，又，，得； （2）由（1）知，，，两两垂直，建立如图坐标系， 则，，，， 所以，，， 设，分别是面和面的法向量，二面角记为， 由，令，得， 得是面的一个法向量， 由，令，得， 得是面的一个法向量， 所以，所以， 故二面角的正弦值为. 8．（2025·天津·一模）在直角梯形中，已知，，，，.将沿对角线折起，记折起后点的位置为且使平面平面.    (1)求三棱锥的体积； (2)求平面与平面所成夹角的大小. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，则，因为平面平面，平面， 平面平面，所以平面， 在直角梯形中，易知，，， 所以三棱锥的体积. （2）取的中点为，连接，易知两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图：    则，，，， 取，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则，解得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$