空间向量与立体几何：已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练-2026届高三数学一轮复习

空间向量与立体几何：已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练 空间向量与立体几何：已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练 考点一 已知线线角求其他量 1．（24-25高三上·江西·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面平面. (1)证明：平面平面PAB. (2)若，，且异面直线PD与BC所成角的正切值为，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值. 2．（24-25高二上·河南平顶山·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，且在线段上． (1)若E是的中点，试证明：∥平面； (2)若异面直线与所成的角为，求四棱锥的侧视图的面积． 3．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在四棱锥中，已知棱两两垂直，长度分别为1，2，2，若，且向量与夹角的余弦值为. (1)求实数值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 4．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）在三棱柱中，平面平面，，，，. (1)证明：平面； (2)若异面直线所成角的余弦值为，求BC. 5．（23-24高二上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，平面，. (1)求二面角的正弦值； (2)在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离. 6．（2024·广西贺州·一模）某几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分），其中均与底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，E为弧的中点． (1)证明：平面． (2)直线与所成角的余弦值为． （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求二面角的余弦值． 7．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面PAD，． (1)证明：平面ABCD； (2)若底面ABCD是正方形，，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成的角为60°． （ⅰ）求的长度； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面所成角的正弦值的取值范围． 8．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 考点二 已知线面角求其他量 1．（2025·云南·模拟预测）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 2．（2025·江西萍乡·三模）已知四棱锥中，二面角为直二面角，，，M为棱上一点. (1)证明：； (2)若M为中点，求二面角的正弦值； (3)若平面，点N在平面上，若直线与平面所成角为，求的最小值. 3．（2025·四川乐山·三模）如图，直五棱柱中，四边形为正方形，，二面角的平面角为，为中点. (1)当时，证明：平面； (2)当直线与平面所成的角为时，求的值. 4．（24-25高二下·广西贵港·期中）如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 5．（24-25高二下·江苏·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，是棱的中点，且平面，点是棱上的一点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 6．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)证明：平面ACF； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求平面AFM与平面夹角的余弦值；若不存在，请说明理由. 7．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的外接球的体积； (3)线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 8．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）如图，在三棱锥中，，，点在棱上（不与端点重合），直线与平面所成角的正弦值为． (1)求异面直线，所成角的正弦值； (2)求的值． 考点三 已知面面角求其他量 1．（2025·山东泰安·模拟预测）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为的中点，点在线段上，且. (1)若，求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 2．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，. (1)证明：平面平面； (2)若点在平面内的投影为的重心，且直线CP与平面ABCD所成角为. （i）求四棱锥的体积； （ii）若点M为棱CP上的动点（不包括端点），当平面和平面所成角的正弦值为时，求的值. 3．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在底面为正方形的四棱台中，已知，，，. (1)证明：平面； (2)点在棱上，当二面角的正弦值为时，求. 4．（24-25高二下·福建龙岩·期末）如图，在三棱锥中，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求. 5．（24-25高二下·浙江嘉兴·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，，点满足，点是线段的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为时，求四棱锥的体积． 6．（24-25高二下·河南周口·期末）如图（1），在菱形中，，，是以为斜边的等腰直角三角形．将沿直线折起，落到的位置，此时，如图（2）． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)设为线段上的点，平面与平面的夹角为，若，求的值． 7．（24-25高二下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． (1)用几何法证明：平面； (2)当点Q为棱的中点时，求 ①四棱锥的体积； ②直线与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 8．（24-25高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 考点四 已知空间距离求其他量 1．（24-25高二下·安徽淮南·期中）如图，在四棱锥中．底面为矩形，侧棱底面，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若，且点到平面的距离为，求的值． 2．（24-25高二下·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上运动，当点到平面的距离为时，求的长度． 3．（24-25高二下·上海宝山·期末）如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，点是平面上的点. (1)若点是的中点，证明：与、共面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； (3)若点满足，且点到平面的距离为，试确定点的位置，使得与平面所成的角取得最大值. 4．（24-25高二下·湖南·期末）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（24-25高二下·广东广州·期末）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形． (1)若是的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值 (3)若点到平面的距离为，求的长． 6．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点． (1)若，证明：． (2)设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值． 7．（24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为直角梯形，，，与相交于点，点满足，且. (1)求证：平面； (2)求的长度； (3)若点到平面的距离为，求与平面所成角的正弦值. 8．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，平面平面， M为棱PC的中点. (1)证明：平面； (2)若 （i）求二面角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$空间向量与立体几何：已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练 空间向量与立体几何：已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练 考点一 已知线线角求其他量 1．（24-25高三上·江西·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面平面.    (1)证明：平面平面PAB. (2)若，，且异面直线PD与BC所成角的正切值为，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）底面，平面，， ，，平面，平面， 平面PAD，平面平面，平面， ，平面， 又平面平面平面PAB. （2），直线PD与直线BC所成的角为， 底面，平面， ，即， 设，则， 以为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，    设平面PCD的法向量为，则， 取，则，得， 易知平面PAB的一个法向量为， 则， 故平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为. 2．（24-25高二上·河南平顶山·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，且在线段上． (1)若E是的中点，试证明：∥平面； (2)若异面直线与所成的角为，求四棱锥的侧视图的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证法一：在四棱锥中，取的中点F，连接， 因为E是的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形，则， 而平面平面， 平面． 证法二：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为，则，所以，即 取，得到平面的法向量为． 所以，而平面，则平面． （2）同（1）法二建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 则 由已知异面直线与成角，所以， 又， 所以，解得，即， 所以侧视图的面积为． 3．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在四棱锥中，已知棱两两垂直，长度分别为1，2，2，若，且向量与夹角的余弦值为. (1)求实数值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）依题意，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，由，得，则，而， 而，显然，解得. （2）由（1）得，，设平面的法向量， 则，令，得，又， 于是， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）令平面的法向量，则，令，得， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 4．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）在三棱柱中，平面平面，，，，. (1)证明：平面； (2)若异面直线所成角的余弦值为，求BC. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）因为平面平面，交线为， ，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以平面， 又，所以平面； （2）取的中点，连接，因为，所以⊥， 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面， 取的中点，连接，则， 因为，所以⊥， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以，故， 设，则，设， 由得， 解得，故， ， 因为异面直线所成角的余弦值为， 所以， 解得，故. 5．（23-24高二上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，平面，. (1)求二面角的正弦值； (2)在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 所以， 则. 设平面的法向量， 则，取得， 设平面的法向量， 则，取得， 设二面角的大小为，则 ， 所以. （2）设，则 . 因为异面直线与所成角的大小为， 所以，解得或（舍去）. 此时， 所以点到平面的距离. 6．（2024·广西贺州·一模）某几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分），其中均与底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，E为弧的中点． (1)证明：平面． (2)直线与所成角的余弦值为． （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）设上下底面圆的圆心分别为，连接，在底面内过点作， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 由，得， 则，显然，即， 而点不在直线，于是，又平面，平面， 所以平面. （2）（i）由（1）知，，则， 由直线与所成角的余弦值为，得，解得， 则，而，设平面的法向量， 则，令，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （ii）由（i）知，平面的法向量，， 设平面的法向量，则，令，得， 于是，显然二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 7．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面PAD，． (1)证明：平面ABCD； (2)若底面ABCD是正方形，，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成的角为60°． （ⅰ）求的长度； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）因为平面，平面PAD， 所以， 又因为平面ABCD，平面ABCD，， 所以平面ABCD． （2）（i）由（1）可知平面ABCD，所以AB，AD，AP两两垂直， 故以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意可得， 所以， 设， 则， 因为异面直线AF与PB所成角为60°， 所以， 解得，所以． （ⅱ）设， 则， ， 设平面AEF的法向量为，则，即， 取，得， 因为，所以，即，解得， 所似所以 因为M在线段PB上，所以， 则， 设平面MAD的法向量，则即 取，得， 设EG与平面MAD所成角为， 则， 由于，所以，所以 即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为 8．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）取中点为，连接，， ，， ，， 又，、平面， 平面，又平面， ． （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，易知，，两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， ， 设直线与平面所成角为，则，又， 直线与平面所成角的余弦值为. （3）以为原点，以为轴，为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 为等腰三角形，， ，则，，， 设，则，则，， 故， 或（舍），又， ． 考点二 已知线面角求其他量 1．（2025·云南·模拟预测）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）取中点，连接，， 为的中点，，， 又∵，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面； （2）取中点，连接， 由，点为中点，可得 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为直线与平面所成的角为 ，                ，又， 如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ， ，设平面的一个法向量，， 则，取，则， 平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成锐二面角为， ， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 2．（2025·江西萍乡·三模）已知四棱锥中，二面角为直二面角，，，M为棱上一点. (1)证明：； (2)若M为中点，求二面角的正弦值； (3)若平面，点N在平面上，若直线与平面所成角为，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）由，得，二面角为直二面角，即平面平面， 而平面平面，平面，故平面. 因为平面，所以，又， ，平面，，故平面， 又平面，故. （2）过点S作于点O，连接，由，得. 又，故四边形为平行四边形， 因为，所以，即，故，，两两垂直， 以O为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 故，，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，故为平面的一个法向量， 设平面的法向量的，则 令，则，，故为平面的一个法向量， 则，二面角的正弦值为. （3）若平面，平面，平面平面，则， 由（2）知，故M与O点重合，因为N在平面上， 设，p，，，则， 因为，，，则，， 设平面的法向量，则， 令，则，，故为平面的一个法向量， 故，整理得， 又，故， 由，故， 当且仅当时等号成立，取得最小值为. 3．（2025·四川乐山·三模）如图，直五棱柱中，四边形为正方形，，二面角的平面角为，为中点. (1)当时，证明：平面； (2)当直线与平面所成的角为时，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）因为为直五棱柱，所以平面， 又平面，所以，， 由，得，所以. 因为为的中点，在中，由勾股定理得. 因为，，， 所以，故， 又，，平面， 所以平面. （2）如图，易知，，两两垂直，以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系， 因为平面，平面，所以，， 所以为二面角的平面角，所以， 则，，，， 故，. 设平面的法向量为， 由得 取，得，故. 又， ， 即， 化简可得. 解得得（舍去）. 4．（24-25高二下·广西贵港·期中）如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【详解】（1）依题意可得为圆的一条直径，则． 因为平面，平面，所以， 又，所以平面， 所以平面． （2）取线段的中点，连接，． 在中，，． 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则． 因为平面，平面， 所以平面． （3）过点作圆柱的母线，则平面，所以，，互相垂直． 以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，，则，，，，所以，． 设为平面的法向量， 所以令，则． 易知直线的一个方向向量为． 记直线与平面所成的角为， 则， 结合，解得，，所以． 5．（24-25高二下·江苏·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，是棱的中点，且平面，点是棱上的一点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【详解】（1）取的中点，连接. 因为，所以. 在中，，是的中点， 所以. 在中，，所以. 所以，又， 所以平面，又平面，所以. 在中，因为，为的中点，所以. 又平面，所以平面. 又平面，所以. 而，平面，所以平面. （2）由（1）知，，所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 那么，，. 由（1）知平面，而平面，所以. 所以. 所以. 设平面与平面的法向量分别为. 所以，. 即：，. 令，则；. 所以平面与平面的法向量分别为. 所以. 所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）设，因为，， 所以，设平面的法向量为， 则，令，则. 所以平面的法向量为.而 所以. 化简得，解得或者 根据相似可得，所以或者. 所以或者. 6．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)证明：平面ACF； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求平面AFM与平面夹角的余弦值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以C为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 于是，， ，， 而和AF是平面ACF内两条相交直线， 所以平面ACF. （2）设点存在，，， ， 设平面法向量为，则， 取，得， 设与平面所成角为，， 由，解得， 即为中点，坐标为， ，设面AFM法向量， 则，取，得， 设平面AFM与平面的夹角为，则， 所以平面AFM与平面夹角的余弦值. 7．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的外接球的体积； (3)线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在为靠近的处或中点，满足要求. 【详解】（1）若是的中点，连接，又为中点，则，， 由且，所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 平面，平面，则平面； （2）由平面，即平面，平面，则 由，，则， 且都在平面内， 所以平面，易知是长宽高分别为的长方体的一部分， 所以为长方体的体对角线，且与该长方体的外接球重合，故， 所以外接球半径，则外接球的体积为； （3）构建如上图示的空间直角坐标系，则且， 所以， 若是平面的一个法向量，则，取，则， 由与平面所成角为，则， 所以，可得，可得或， 综上，存在为靠近的处或中点时，与平面所成角为. 8．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）如图，在三棱锥中，，，点在棱上（不与端点重合），直线与平面所成角的正弦值为． (1)求异面直线，所成角的正弦值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)或 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为，所以，， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以异面直线，所成角的正弦值为． （2）如图，因为，易知，则， 取的中点，连接，易知，又平面，易知两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，过点作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题设，易得，，则，，，， 则，，设，， 则，故， 设平面的法向量为，则， 令，则，设直线与平面所成角为， 则， 解得或， 所以使得直线与平面所成角的正弦值为， 则点位于棱上靠近点或点的四等分点处， 所以或. 考点三 已知面面角求其他量 1．（2025·山东泰安·模拟预测）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为的中点，点在线段上，且. (1)若，求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 连接，，为线段的中点. 为的中点，， 底面，底面，所以， 底面为正方形，. ，面，面，平面， ，平面. （2） 由题意，两两垂直，以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 则，，，， 所以，， 为的中点，，， ，， 设平面的法向量为，则，即， 令，得， 易得平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 化简得，解得或， 点在线段上，，. 2．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，. (1)证明：平面平面； (2)若点在平面内的投影为的重心，且直线CP与平面ABCD所成角为. （i）求四棱锥的体积； （ii）若点M为棱CP上的动点（不包括端点），当平面和平面所成角的正弦值为时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii） 【详解】（1）证明：连接交与点，连接.因为为菱形，所以. 为中点，且，所以. 又因为，平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. （2）（i）过P作于点H， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面PAC， 所以平面ABCD， 因为点在平面内的投影为的重心，所以即为的重心，且， 为直线与平面所成角，即，故， 底面是边长为的菱形，，故均为等边三角形， 故，所以，所以. 故菱形的面积为， 所以四棱锥的体积. （ii）以OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过O点作平面ABCD的垂线作为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，. 设，故. 设平面的一个法向量为， ，， 则，取，则. 设平面的一个法向量为， ，， 则，取，则， 设平面和平面所成角为， 则， 因为，所以.所以， 化简得，解得，所以. 3．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在底面为正方形的四棱台中，已知，，，.    (1)证明：平面； (2)点在棱上，当二面角的正弦值为时，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，交于点，连接，.    由题意得，且，，为中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以.① 在和中，，，是公共边， 故，故有， 又是中点，所以. 结合①可得. 又， 且，面，故平面. （2）在梯形中，取中点，连接，则， 易证四边形是矩形，故，. 在中，由勾股定理得，故. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，设，， 则， 由（1）知平面，故， 又，故，又，且， 面，故平面， 故可取为平面的一个法向量. 设为平面的法向量， 则，即，可取. 设二面角的大小为，则，故， 所以， 整理得，解得或（舍），故. 4．（24-25高二下·福建龙岩·期末）如图，在三棱锥中，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面，平面， ∴平面平面. （2）过在平面内作， 以为原点，以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图 ∵，，∴， ∴，，，∵为中点，∴， 设，， 设平面的法向量为， ∴， 令，，，即， 由（1）知平面，∴为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， ∴， 解得或， 由（1）知，当为中点即时，∴平面， 又∵二面角的余弦值为，∴二面角为锐角， ∴∴，∴， ∴，∴. 5．（24-25高二下·浙江嘉兴·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，，点满足，点是线段的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为时，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 连结，在中，，，， 由余弦定理，即， 此时，， 又平面平面，平面平面， 平面，平面． （2）解法1：如图建系， 以为原点，，方向为轴，垂直于平面向上方向为轴， 设，则， ，由得，即， 由，得，， 设是平面的法向量， ， 取，得， 平面的法向量为，二面角的大小为， 则，解得， ， ． 解法2：过点作，交的延长线于，连接， 平面平面，平面平面， 平面，平面， ，，， 平面，平面，又， 平面，平面，， 如图所示，以方向为轴，垂直于平面方向为轴建系， 设， 则，， ，，得，， 由，得， 设是平面的法向量， ， 取，得， 平面的法向量为，二面角的大小为， 则，解得， ， ． 解法3：过点作，交的延长线于，连接， ，，， 平面，平面，又， 平面，平面，， 由平面平面，平面平面，平面， 平面， 因为，所以为线段上靠近点的三等分点， 设线段上靠近点的三等分点为，连，， 则，平面，平面，所以， 在中，，，， 四边形是矩形，， 在中，，，， 因为，即， 解得：，所以，所以， 平面，平面，， 平面，平面，， 是二面角的平面角的补角，即， 为等腰直角三角形 ，，从而， ， ． 6．（24-25高二下·河南周口·期末）如图（1），在菱形中，，，是以为斜边的等腰直角三角形．将沿直线折起，落到的位置，此时，如图（2）． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)设为线段上的点，平面与平面的夹角为，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【详解】（1）取的中点，连接、、，如下图所示： 因为是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点，故， 因为四边形为菱形，且，故为等边三角形， 因为为的中点，则， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，因此，. （2）因为是边长为的等边三角形，为的中点，所以， 且， 因为是以为直角的等腰直角三角形，故，， 由余弦定理可得， 因为，故， 过点在平面内作，垂足为点，如图所示： 因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，故平面， 因为，。 因此. （3）因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设平面的一个法向量为，，， 所以，取，可得， 设，其中， 则， ，设平面的一个法向量为， 则， 取，可得， 所以， 整理可得，即， 因为，解得或. 故当时，或. 7．（24-25高二下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． (1)用几何法证明：平面； (2)当点Q为棱的中点时，求 ①四棱锥的体积； ②直线与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②； (3). 【详解】（1）在四棱锥中，由， 得，，则， 又，且平面，所以平面. （2）①在四边形中，，则，而， 则梯形的面积，由点Q为棱的中点， 得点Q到平面的距离为，所以四棱锥的体积. ②由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由为棱的中点，得， ，设平面的法向量， 则，取，得，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）知， 设，则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量为，由，令，得， 由二面角的余弦值为，得， 即，整理得，解得， 所以． 8．（24-25高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）由于平面平面，平面平面， 且平面， 平面， 平面，． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以到平面的距离． （3）令，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 于是，， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时． 考点四 已知空间距离求其他量 1．（24-25高二下·安徽淮南·期中）如图，在四棱锥中．底面为矩形，侧棱底面，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若，且点到平面的距离为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)． 【详解】（1）如图，连结，交于点，连结， 因为点是的中点，底面为矩形， 所以点是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）如图，以向量为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，， 则，， 设平面的法向量， 则，令，，， 所以平面的法向量， 且平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. （3）由（2）可得，，，， ，，平面的法向量， 故， 设点与平面的距离为， 则，解得． 2．（24-25高二下·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上运动，当点到平面的距离为时，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：连接交于点，连接，如图1所示， 因为底面是矩形，所以是的中点， 因为是的中点，所以在中， 是中位线，所以， 因为平面平面， 所以平面； （2）如图2，因为底面，所以，， 又在矩形中，，所以两两垂直．以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为是的中点，所以 所以， 设平面的法向量为，则 ，即， 令，则，所以， ， 设直线与平面所成的角为， 则， ， ， 所以 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）由（2）知平面的一个法向量为， 设，， 则，又， 则，所以， ， 设点到平面的距离为， 则，得， 解得或（舍去）， 又，故， 所以的长度为． 3．（24-25高二下·上海宝山·期末）如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，点是平面上的点. (1)若点是的中点，证明：与、共面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； (3)若点满足，且点到平面的距离为，试确定点的位置，使得与平面所成的角取得最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)时，与平面所成的角取得最大值. 【详解】（1）因为且， ， 所以， 因此与共面； （2）以点为坐标原点，所成直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量是 则， 设平面与平面所成的锐二面角为，则， 所以平面与平面所成的余弦值为； （3），， 从而点到平面的距离为， 由可化简得，， 设与平面所成角为， 则， 令，则 ，（当时取等号）， 所以， 因为时，严格增， 所以当时，与平面所成的角取得最大值， 此时，即时， 与平面所成的角取得最大值. 4．（24-25高二下·湖南·期末）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)． (3)存在， 【详解】（1）    如图，连接交于点O，连接， 则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，建立空间直角坐标系，    则，，，，，，． 故，，， 设平面的法向量为， 则取． 设直线与平面所成角为, 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）存在点E，理由如下： 设，其中， 所以，， 设平面ADE的法向量为， 则取． 且， 则点到平面ADE的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时． 5．（24-25高二下·广东广州·期末）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形． (1)若是的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值 (3)若点到平面的距离为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：设，交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以是中点， 又因为是的中点，所以在中，， 因为平面，平面， 所以平面． （2）因为直线垂直于梯形所在的平面，，平面，， 所以，，两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示坐标系， 由题意可知，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，则， 取可得平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以， 故直线与平面所成角的余弦值为． （3）在（2）所建空间直角坐标系中， 设， 由（2）可知平面的一个法向量， 所以点到平面的距离，解得， 又因为，所以， 即的长为． 6．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点． (1)若，证明：． (2)设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)或 【详解】（1）连接BD，， 因为，底面ABCD为矩形， 所以底面ABCD为正方形，所以， 在直四棱柱中，底面ABCD，则， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以． （2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则，，，，， 则，，, 设平面的法向量为， 则 令，得, 由，， 所以， 所以点F到平面的距离， 解得或． 7．（24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为直角梯形，，，与相交于点，点满足，且. (1)求证：平面； (2)求的长度； (3)若点到平面的距离为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为底面为直角梯形，且，所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 过点可以作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面. （2）由（1）可知平面，平面，所以， 在梯形中，由∥,得， 所以， 所以∥， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以， 可得， 又因为，所以，即. （3）以为坐标原点，，，方向分别为轴，轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设， ，，，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则， 点到平面的距离为，解得， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 设与平面所成角为， 则，即与平面所成角的正弦值为. 8．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，平面平面， M为棱PC的中点. (1)证明：平面； (2)若 （i）求二面角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【详解】（1）取PD的中点N， 连接AN， MN， 如图所示： 为棱PC的中点， 四边形ABMN是平行四边形， 又平面， 平面，   平面. （2） 平面平面， 平面平面， 平面， 平面， 又平面ABCD， 又 以点D为坐标原点， 所在直线分别为轴建立直角坐标系，如图， 则 为棱PC的中点， （i） 设平面的一个法向量为 则 令 则 平面的一个法向量为 根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为， 所以二面角的正弦值为. （ii） 假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设 则 由（i）知平面的一个法向量为 点Q到平面的距离是 2 学科网（北京）股份有限公司 $$