第十五讲 全等三角形中的九种几何模型（9个知识点9大典例）暑假预习讲义2025-2026学年八年级上册数学人教版

2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（9个知识点9大典例） 第十五讲 全等三角形中的九种几何模型 知识点梳理 知识点1 全等三角形的常用模型 模型一：平移模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平移模型 沿同一直线平移的两个三角形重合 ①加(减)共线部分，得到一组对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等 模型二：翻折(轴对称)模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 翻折(轴对称)模型 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合 ①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等； ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等 模型三：手拉手模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形 加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等 模型四：半角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 半角模型 有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍分关系 转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形 延长一边，构造全等三角形，从而得到线段之间的数量关系 模型五：一线三等角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 一线三等角 模型 左图，两个三角形有一条边共线 ； 右图，同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等 模型六：雨伞模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 雨伞模型 通过延长线段与直线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移 AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足为点D，延长BD交AC于点C，证明△ABD≌△ACD，得到AB＝AC，BD＝CD 模型八：平行线中点模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平行线中点模型 平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移 如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的中点，延长PO交CD于点Q，证明△POE≌△QOF 模型九：婆罗摩笈多模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 向外作双等腰直角三角形（知中点，证垂直） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点 方法：倍长中线AF 结论：AF⊥DE，DE＝2AF 向外作双等腰直角三角形（知垂直，证中点） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF 结论：G是DE的中点，BC＝2AG 向内作双等腰直角三角形（知中点，证垂） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点 方法：倍长中线AF 结论：AF⊥DE，DE＝2AF 向内作双等腰直角三角形（知垂直，证中点） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF 结论：G是DE的中点，BC＝2AG 典例精讲 【模型1 平移模型】 【例1】如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，．判断与的位置关系，并说明理由． 针对训练1 1.如图，已知：，，． (1)求证： (2)若，求的长． 2.（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． （2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）    3. 如图，将沿射线方向平移得到，连接交于点． (1)求证： ； (2)若，，求的取值范围． 【模型2 翻折(轴对称)模型】 【例2】．如图，，． （1）求证：； （2）若，则__________°． 针对训练2 1．如图，已知线段AC、BD相交于点E，连接AB、DC、BC，AE＝DE，∠A＝∠D．求证：△ABE≌△DCE； 2．如图，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：∠B＝∠C； （2）若∠A＝40°，∠BEC＝70°，求∠C的度数． 3．如图，在中，，点，点分别在边上，满足，连接. （1）求证：. （2）若，求的度数. 【模型3 手拉手模型】 【例3】．如图，在等腰RtΔABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上一点，连结AD，过点A作 AD的垂线，过点B作BC的垂线，两条垂线交于点E。 （1）证明： ΔAEB≌ΔADC； （2）若CD=3BD=3，求 AD 的长。 针对训练3 1．如图，已知，，点D在边上，相交于点O．， （1）求证：； （2）若，求的度数． 2．如图，AB⊥CD于点D，E为CD上一点，连结AE，BC，AE=BC，DE=BD （1）求证：△ADE≌△CDB： （2）若AD=6，BD=2，求CE的长， 3．如图， ，点 在 上． （1）求证： ； （2）若 平分 ，求 的度数． 【模型4 半角模型】 【例4】．阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质． （1）【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． （2）【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是　 　． （3）【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （4）【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为　 　海里． 针对训练4 1．如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC和CD上，且∠EAF＝45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法。小明为了解决线段EF，BE，DF之间的关系，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解决了这个问题。 （1）请直接写出线段EF，BE，DF之间的关系. （2）如图3，等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，AB=AD，点E，F在边BD上，且∠EAF=45°，请写出EF，BE，DF之间的关系，并说明理由. 2．阅读下面材料： 我遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． 请回答：在图2中，的度数是______． 参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，若，，求的长度． （2）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当______时，线段 有最大值，并求出的最大值． 【模型5 一线三等角模型】 【例5】．如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，可以证明，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： （1）如图2，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，C的坐标为，则点B的坐标为_______； （2）如图3，在平面直角坐标系中，等腰，与y轴交点D，点C的坐标为，A点的坐标为，求点B的坐标． （3）如图4，等腰，，当点C在x轴正半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点D，请直接写出a，m，n之间的关系． 针对训练5 1．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（模型呈现） （1）如图，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到　 　，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （2）（模型应用） 如图，，连接，且于点与直线交于点．求证：点是的中点； （3）（深入探究） 如图，已知四边形和为正方形，的面积为的面积为，则有　 　（填“>、、”） 2．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ （1）如图1，，．猜想，，之间的关系：　 　 （2）如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 3．模型的发现： 如图 （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°， AB=AC， 直线l经过点A，且B、C两点在直线l的同侧， BD⊥直线l， CE⊥直线l，垂足分别为点D，E. 请直接写出DE、BD和CE的数量关系． （2）模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若B， C两点在直线l的异侧， 请说明DE、BD和CE的关系，并证明． （3）模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即∠BAC=∠1=∠2=a，其中90°＜a＜180°，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明DE、BD和CE的关系 ，并证明． 【模型6 雨伞模型】 【例6】．如图，已知平分，点为上一点，连接，． （1）请从①，②中任选一个作为条件，使得结论“”成立，并证明； （2）在（1）的条件下，若，，求的度数． 针对训练6 1．如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离． （1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由． （2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数． 2．图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN，CM＝CN． （1）求证：PC垂直平分MN； （2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值． 3．我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能沿着伞柄滑动. （1）证明：. （2）若伞圈滑动到，用直尺和圆规作出两条伞骨的位置. （3）若时，当由正三角形变成直角三角形的过程中，伞圈滑动的距离是多少？ 【模型7 角平分线模型】 【例7】．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为E，，则　 　． 针对训练7 1．如图，在中，，于点，，点在上，． （1）求证：平分； （2）求证：． 2．如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，则的面积是　 　． 3．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． （1）求证：平分． （2）求证：平分． （3）若，，，，求的面积． 【模型8 平行线中点模型】 【例8】如图， 中，是的中点，过点的直线交于，交的平行线于点，，交于点，连接、． （1）求证：； （2）请你判断与的大小关系，并说明理由． 针对训练8 1． 已知（如图），在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AB于点E，连接EF． （1）求证：BG＝CF． （2）试判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由． 2．数学实践活动课中，老师布置了“测量小口瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定（点O是的中点），现测得C，D之间的距离为，求小口瓶底部的内径的长度． 3．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连． （1）求证： （2）若，求的度数． 【模型9 婆罗摩笈多模型】 【例9】．已知两个共一个顶点的等腰直角三角形ABC、等腰直角三角形CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M 是AF 的中点，连接MB，ME. （1）如图①，当CB 与CE 在同一直线上时，求证：MB∥CF. （2）如图①，若CB=a，CE=2a，求BM，ME 的长. （3）如图②，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME. 针对训练9 1．如图①，为等腰直角三角形，，点D、点E分别为、的中点． （1）请任意写出两对相等的边________，________； （2）若绕点C顺时针旋转，连接，，求证：． 2．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①的度数为 ； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（9个知识点9大典例） 第十五讲 全等三角形中的九种几何模型（解析版） 知识点梳理 知识点1 全等三角形的常用模型 模型一：平移模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平移模型 沿同一直线平移的两个三角形重合 ①加(减)共线部分，得到一组对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等 模型二：翻折(轴对称)模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 翻折(轴对称)模型 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合 ①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等； ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等 模型三：手拉手模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形 加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等 模型四：半角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 半角模型 有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍分关系 转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形 延长一边，构造全等三角形，从而得到线段之间的数量关系 模型五：一线三等角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 一线三等角 模型 左图，两个三角形有一条边共线 ； 右图，同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等 模型六：雨伞模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 雨伞模型 通过延长线段与直线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移 AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足为点D，延长BD交AC于点C，证明△ABD≌△ACD，得到AB＝AC，BD＝CD 模型八：平行线中点模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平行线中点模型 平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移 如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的中点，延长PO交CD于点Q，证明△POE≌△QOF 模型九：婆罗摩笈多模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 向外作双等腰直角三角形（知中点，证垂直） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点 方法：倍长中线AF 结论：AF⊥DE，DE＝2AF 向外作双等腰直角三角形（知垂直，证中点） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF 结论：G是DE的中点，BC＝2AG 向内作双等腰直角三角形（知中点，证垂） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点 方法：倍长中线AF 结论：AF⊥DE，DE＝2AF 向内作双等腰直角三角形（知垂直，证中点） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF 结论：G是DE的中点，BC＝2AG 典例精讲 【模型1 平移模型】 【例1】如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据平行线的性质得出，根据等式的性质得出，根据证明，得出，然后根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】解： 理由：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 针对训练1 1.如图，已知：，，． (1)求证： (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由平行线的性质得到，再证明，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 2.（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． （2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）    【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【分析】（1）由可得，于是；由平行线的性质可得，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明； （2）如图3，由可得，于是；由两直线平行内错角相等可得，于是可得两角的补角，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）解：仍成立． 理由如下（如题图3）： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，线段的和差，掌握全等三角形“边角边”的判定条件是解题关键． 3. 如图，将沿射线方向平移得到，连接交于点． (1)求证： ； (2)若，，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据∠A=∠FCD，∠AFC=∠CFD，即可证明； （2）在中，利用三边关系求出BD的取值范围即可解决问题． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ． （2）解： ， ， 在中，，， ， ， ． 【点睛】本题考查平移变换、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件解决问题，属于中考常考题型． 【模型2 翻折(轴对称)模型】 【例2】．如图，，． （1）求证：； （2）若，则__________°． 【答案】（1）证明：在和中， ， （2） 【解析】【解答】（2）解：，， ， 由（1）知， ， 故答案为：20． 【分析】（1）直接利用得到两三角形全等即可； （2）根据三角形内角和定理得到的度数，再根据全等三角形的对应角相等解答即可． （1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， 故答案为：20． 针对训练2 1．如图，已知线段AC、BD相交于点E，连接AB、DC、BC，AE＝DE，∠A＝∠D．求证：△ABE≌△DCE； 【答案】证明：在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（ASA）． 【解析】【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案. 2．如图，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：∠B＝∠C； （2）若∠A＝40°，∠BEC＝70°，求∠C的度数． 【答案】（1）证明：∵ AD＝AE，BD＝CE ， ∴AD+BD=AE+CE，即AB=AC， 在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠B=∠C. （2）解：∵∠BEC是△ABE的外角， ∴∠A+∠B=∠BEC， ∵ ∠A＝40°，∠BEC＝70°， ∴∠B=30°. ∵∠B=∠C， ∴∠C的度数为30°． 【解析】【分析】（1）利用SAS证明△ABE≌△ACD，即可得到∠B=∠C； （2）利用三角形外角性质可得∠B的度数，从而可得∠C的度数. 3．如图，在中，，点，点分别在边上，满足，连接. （1）求证：. （2）若，求的度数. 【答案】（1）证明：因为， 所以，所以 （2）因为，所以， 因为，所以， 所以，因为， 所以， 所以，所以 【解析】【分析】（1）由“SAS”证明出，即可解答； （2）根据等腰三角形的性质“等边对等角”得出，再由全等三角形的性质得“”最后根据三角形的内角和为180°，即可解出∠A. 【模型3 手拉手模型】 【例3】．如图，在等腰RtΔABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上一点，连结AD，过点A作 AD的垂线，过点B作BC的垂线，两条垂线交于点E。 （1）证明： ΔAEB≌ΔADC； （2）若CD=3BD=3，求 AD 的长。 【答案】（1）证明： ∵AB = AC， ∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠C =45°， ∵BE⊥BC， AD⊥AE， ∴∠EAD=∠EBD=90°=∠BAC， ∴∠ABE=∠ACB=45° E ， ∠BAE=∠CAD， ∴△AEB≌△ADC(ASA)； （2）解：如图， 过点A作AF⊥BC B于F， ∵CD=3BD=3， ∴BD=1， ∴BC=4， ∵AB=AC， ∠BAC=90°， AF⊥BC， ∴BF=AF=2， ∴DF =1， ∴AD= (负值舍去)。 【解析】【分析】(1)由ASA可证△AEB≌△ADC； (2)由等腰直角三角形的性质可得BF=AF =2，由勾股定理可求解. 针对训练3 1．如图，已知，，点D在边上，相交于点O．， （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴ 又∵，， ∴ （2）解：由（1）知， ∴ ∴ ∵ ∴． 【解析】【分析】（1）根据平角概念和三角形形的内角和定理证得．即可利用AAS证明结论； （2）根据全等三角形的性质可得再根据等腰三角形的性质，即可求解． （1）证明一：∵，且， ∴ 又∵， ∴ 证明二：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 即 又∵ ∴ （2）解：由（1）知， ∴ ∴ ∵ ∴． 2．如图，AB⊥CD于点D，E为CD上一点，连结AE，BC，AE=BC，DE=BD （1）求证：△ADE≌△CDB： （2）若AD=6，BD=2，求CE的长， 【答案】（1）证明：AB⊥CD， ∠ADE=∠BDC=90° AE=BC，DE=BD， ∴△ADE≌△CDB(HL) （2）解：∵△ADE≌△CDB， ∴AD=CD=6， ∵DE=BD=2， ∴CE=CD-DE=6-2=4 【解析】【分析】(1)根据 得 和 都是直角三角形，然后可依据“HL”判定 和 全等； (2)根据全等三角形的性质得 进而根据 即可得出答案. 3．如图， ，点 在 上． （1）求证： ； （2）若 平分 ，求 的度数． 【答案】（1）证明：∵∠BAE=∠CAD， ∴∠BAE+∠EAC= ∠CAD + Z∠EAC， ∴∠BAC= ∠EAD， 在△BAC和△EAD中， ， ∴△BAC≌△EAD(SAS) （2）解：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE= ∠CAE = 42°， ∵∠BAE=∠CAD， ∴∠CAD=∠BAE= ∠CAE = 42°， ∵△BAC≌△EAD， ∴AC=AD，∠ACB= ∠D， ∴∠ACB=∠D=∠ACD， ∵∠ACD + ∠D + ∠CAD =180°， ∠ACD + ∠ACB +∠BCE=180°， ∴∠BCE= ∠CAD =42° 【解析】【分析】(1)根据SAS即可证明△BAC≌△EAD； (2)由角平分线的定义得∠BAE=∠CAE，由全等三角形的性质得AC=AD，∠ACB=∠D，从而得∠ACB=∠D=∠ACD，进而可求出 BCE=∠CAD 的度数. 【模型4 半角模型】 【例4】．阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质． （1）【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． （2）【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是　 　． （3）【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （4）【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为　 　海里． 【答案】（1）解：，理由如下， 如图所示， ∵，， ∴将绕点逆时针旋转得，与重合， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） （3）解：仍然成立，理由如下， 如图所示，延长至点，使得， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴； （4）210 【解析】【解答】解：（2）根据题意，，延长至点， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （4）如图所示，连接，过点作轴于点， 根据题意可得，，，，， ∴在中，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时， ∴（海里），（海里）， 如图所示，延长至点，使得，则， 在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴此时两舰艇之间的距离为海里， 故答案为：． 【分析】（1）把绕点逆时针旋转得，与重合，证明点共线，再根据SAS证，由全等的性质可得，由此即可求证； （2）根据作图证明，再根据SAS证即可； （3）证明方法与（2）的证明方法相同； （4）连接，过点作轴于点，证明，，据此即可求解． 针对训练4 1．如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC和CD上，且∠EAF＝45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法。小明为了解决线段EF，BE，DF之间的关系，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解决了这个问题。 （1）请直接写出线段EF，BE，DF之间的关系. （2）如图3，等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，AB=AD，点E，F在边BD上，且∠EAF=45°，请写出EF，BE，DF之间的关系，并说明理由. 【答案】（1）解：BE+DF=EF （2）解：BE2+DF2=EF2，理由如下： 将△ABE绕点A逆时针时针旋转90°得△ADG 则BE=DG，AE=AG，∠B=∠ADG=45° ∵∠BAD=90°，∠EAF=45° ∴∠BAE+∠FAD=∠DAG+∠FAD=45° ∴∠GAF=∠EAF 又∵AF=AF ∴△AFE≌△AFG（SAS） ∴FG=EF ∵∠FDG=∠ADG+∠ADB=45°+45°=90° ∴FG2=FD2+DG2 ∴BE2+DF2=EF2. 【解析】【解答】解：（1）BE+DF=EF，理由如下： ∵△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG ∴DF=BG，AF=AG，∠DAF=∠BAG ∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90° ∴∠DAF+∠BAE=∠BAG+∠BAE=∠GAE=45° ∴∠GAE=∠EAF 又∵AE=AE ∴△AGE≌△AFE（SAS） ∴EF=EG=GB+BE=DF+BE ∴BE+DF=EF； 【分析】（1）在以正方形或等腰直角三角形为背景的几何题中，利用旋转使两条相等的边重合是常见解决问题的方法，本题利用旋转巧妙地将BE+DF转化为线段GE，再利用全等证得GE等于EF； （2）将△ABE绕点A逆时针时针旋转90°得△ADG，用SAS证明△AFE≌△AFG，得FG=EF，可求出∠FDG=90°，利用勾股定理列出三边的等量关系，然后根据等量代换，得到BE2+DF2=EF2. 2．阅读下面材料： 我遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． 请回答：在图2中，的度数是______． 参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，若，，求的长度． （2）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当______时，线段 有最大值，并求出的最大值． 【答案】；（1）；（2） ，CD最大值为 【模型5 一线三等角模型】 【例5】．如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，可以证明，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： （1）如图2，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，C的坐标为，则点B的坐标为_______； （2）如图3，在平面直角坐标系中，等腰，与y轴交点D，点C的坐标为，A点的坐标为，求点B的坐标． （3）如图4，等腰，，当点C在x轴正半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点D，请直接写出a，m，n之间的关系． 【答案】（1）解：过点B作交直线于点D，如图， ∴∠BDC=90°， ∴∠DBC+∠BCD=90°， ∵∠AOC=90°， ∴∠BDC=∠AOC， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCD+∠ACO=90°， ∴∠ACO=∠DBC， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点A坐标为，C的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 故答案为：； （2）解：过点B作轴交y轴于点E，如图， ∵∠AOC=∠ACB=90°， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∵， ∴， ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴， ∴ ∴， ∴点B的坐标； （3）解：过点B作轴交x轴于点E，如图， 则， ∵点在y轴正半轴上运动，点在第四象限， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）过点B作交直线于点D，利用“一线三垂直”全等三角形模型可证明，从而得，结合点A、C的坐标得，根据即可求得点B坐标； （2）过点B作轴交y轴于点E，同理利用“一线三垂直”全等三角形模型可证明，结合点A、C的坐标得根据即可求得点B坐标； （3）过点B作轴交x轴于点E，则，根据点坐标得，，同理可证，，则，结合即可求得关系式． （1）解：过点B作交直线于点D，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵点A坐标为，C的坐标为， ∴， ∴， 则点B的坐标为， 故答案为：； （2）解：过点B作交于点E，如图， ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 则， 那么，点B的坐标； （3）解：过点B作交于点E，如图， 则， ∵点在y轴正半轴上运动，点在第四象限， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵， ∴， 则． 针对训练5 1．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（模型呈现） （1）如图，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到　 　，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （2）（模型应用） 如图，，连接，且于点与直线交于点．求证：点是的中点； （3）（深入探究） 如图，已知四边形和为正方形，的面积为的面积为，则有　 　（填“>、、”） 【答案】（1） （2）证明：分别过点和点作于点，于点，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可知， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴，即点是的中点； （3）= 【解析】【解答】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （3），理由如下： 如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于 ∵四边形与四边形都是正方形 ∴，， ∵，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 同理可以证明， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， 故答案为：＝ 【分析】（1）根据三角形全等的性质即可求解； （2）分别过点和点作于点，于点，先根据题意得到，，进而运用三角形全等的判定证明即可得到，同理可知，再结合题意运用三角形全等的判定与性质即可求解； （3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于，先根据正方形的性质得到，，，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质即可得到，进而即可求解。 2．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ （1）如图1，，．猜想，，之间的关系：　 　 （2）如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： ∵，， ， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴， ∴（1）中结论仍然成立； （3）解：7 【解析】【解答】解：（1）猜想：DE=AD+BE． 理由：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC=∠ACB=90°=∠CEB， ∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE， 在△ADC与△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴CE=AD，CD=BE， ∴DE=CE+CD=AD+BE． 故答案为：DE=AD+BE； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据直角三角形中两锐角互余，可得出∠ACD=∠CBE，再根据全等三角形的性质与判定可得CD=BE，CE=AD，即可得出答案； （2）先根据三角形内角和与补角的性质可得∠CAD=∠BCE，再根据全等三角形的性质与判定可得CD=BE，CE=AD，由此可得出答案； （3）先根据三角形外角性质可得∠AED=∠FDB，再根据全等三角形的性质与判定可得AE=BD，AD=BF，由此可得AB=AE+BF，代入数值即可得出答案. 3．模型的发现： 如图 （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°， AB=AC， 直线l经过点A，且B、C两点在直线l的同侧， BD⊥直线l， CE⊥直线l，垂足分别为点D，E. 请直接写出DE、BD和CE的数量关系． （2）模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若B， C两点在直线l的异侧， 请说明DE、BD和CE的关系，并证明． （3）模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即∠BAC=∠1=∠2=a，其中90°＜a＜180°，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明DE、BD和CE的关系 ，并证明． 【答案】（1）解：DE＝BD+CE， 理由如下：∵∠DAC＝∠AEC+∠ACE，∠BAC＝∠AEC＝90°， ∴∠DAB＝∠ECA， 在△DAB和△ECA中， ， ∴△DAB≌△ECA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE； （2）解：BD＝DE+CE， 证明如下：∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵CE⊥直线l， ∴∠ACE+∠CAE＝90°， ∴∠BAD＝∠ACE， 在△BAD和△ACE中， ， ∴△BAD≌△ACE（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴BD＝AE＝AD+DE＝DE+CE； （3）解：（1）的结论成立， 理由如下：∵∠DAC＝∠2+∠ACE，∠BAC＝∠2， ∴∠DAB＝∠ECA， 在△DAB和△ECA中， ， ∴△DAB≌△ECA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE． 【解析】【分析】(1)利用AAS证明△DAB≌△ECA，由三角形全等的性质即可得出AE＝BD，AD＝CE，再根据图中线段的关系即可得出结论； (2)通过证明△BAD≌△ACE得到AE＝BD，AD＝CE，进一步得到BD＝AE＝AD+DE＝DE+CE，即可求解； （3）通过证明△DAB≌△ECA得到AE＝BD，AD＝CE，进一步得到DE＝AD+AE＝BD+CE. 【模型6 雨伞模型】 【例6】．如图，已知平分，点为上一点，连接，． （1）请从①，②中任选一个作为条件，使得结论“”成立，并证明； （2）在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】（1）解：两个条件任选一个均可证明， 选择条件①． 平分， ， 在和中 ， ． 选择条件②． 平分， ， 在和中 ， ； （2）解：，平分， ， ， ， ， ． 【解析】【分析】（1）选择①，根据，运用得到；选择②，可得，根据得到即可解题； （2）根据角平分线的定义得到，然后根据（1）中结论得到，然后再根据三角形外角的性质得到，最后根据解题即可． （1）解：两个条件任选一个均可证明， 选择条件①． 平分， ， 在和中 ， ． 选择条件②． 平分， ， 在和中 ， ； （2）解：，平分， ， ， ， ， ． 针对训练6 1．如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离． （1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由． （2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数． 【答案】（1）解：相等．理由如下： ∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则即可求出答案. （2）根据角平分线性质可得，则，再根据全等三角形性质即可求出答案. 2．图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN，CM＝CN． （1）求证：PC垂直平分MN； （2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值． 【答案】（1）证明：在△CMP和△CNP中， ， ∴△CMP≌△CNP（SSS）， ∴∠MPB＝∠NPB， ∵PM＝PN， ∴△PMN是等腰三角形， ∴PB⊥MN，BM＝BN， ∴PC垂直平分MN； （2）解：∵CN＝PN＝60cm， ∴当伞收紧时，点P与点A重合， ∴AC＝CN+PN＝120cm， 当∠CPN＝60°时， ∵CN＝PN， ∴△CPN是等边三角形， ∴PC＝PN＝60cm， ∴AP＝AC﹣PC＝60cm 【解析】【分析】（1）先用SSS证明△CMP≌△CNP得出∠MPB＝∠NPB，又根据等腰三角形的三线合一的性质可得结论； （2）由示意图可知 当伞收紧时，点P与点A重合 ，有AC＝CN+PN，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可得△CPN是等边三角形，根据等边三角形的三边相等得PC＝PN＝60cm，最后根据AP＝AC-PC计算即可. 3．我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能沿着伞柄滑动. （1）证明：. （2）若伞圈滑动到，用直尺和圆规作出两条伞骨的位置. （3）若时，当由正三角形变成直角三角形的过程中，伞圈滑动的距离是多少？ 【答案】（1）证明：平分， ， 在和中， ， ； （2）解：根据题意：两条伞骨的位置如图所示， （3）解：由（1）得， ， ，为正三角形， cm， 当为直角三角形时，此时结合AE=AF=DE=DF=24， 此时△ADF为等腰直角三角形，故在Rt△ADF中， ∴， ∴当由正三角形变成直角三角形的过程中，伞圈滑动的距离是()cm. 【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠EAD=∠FAD，由已知条件可知AE=AF，然后根据全等三角形的判定定理进行证明； （2） 以A为圆心，AD1为半径画弧，以D为圆心，D到AB的距离为半径画弧，进而可得两条伞骨AB、AC的位置； （3）根据全等三角形的性质可得AE=AF，由等边三角形的性质可得AD=DF=AD=24cm，保持AF=DF，变成等腰直角三角形时，可求得变化后AD的长，进而得出结论. 20．如图是雨伞开闭过程中某时刻的截面图，伞骨 AB=AC，支撑杆OE=OF，AB=2AE，AC=2AF.当 O 沿 AD 滑动时，雨伞开闭。雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD 有何关系?请说明理由。 【答案】解：∠BAD=∠CAD， 理由：∵AB=AC，AB=2AE，AC=2AF，∴AE=AF， 在△AEO 和△AFO 中， ∴△AEO≌△AFO(SSS)，∴∠BAD=∠CAD. 【解析】【分析】根据题意，直接利用全等三角形的判定方法得出△AEO≌△AFO（SSS），进而得出答案． 【模型7 角平分线模型】 【例7】．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为E，，则　 　． 【答案】3 【解析】【解答】解：∵是的角平分线，，， ∴， 又∵直角中，， ∴， ∴． 故答案为：3． 【分析】 根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，再根据所对的直角边等于斜边的一半可得，最后根据线段的和差BC=CD+BD即可求解． 针对训练7 1．如图，在中，，于点，，点在上，． （1）求证：平分； （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵，∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵平分，∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】（）根据，，可以得到，然后利用AAS得到，即可得到，然后根据角平分线的判定定理解题即可； （）先得到，即可得到，进而得到，再得到，解题即可. （1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，则的面积是　 　． 【答案】 3．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． （1）求证：平分． （2）求证：平分． （3）若，，，，求的面积． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）证明：如图，过点作于点，于点， 由（1）可得：是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分； （3）解：设， 由（2）可得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 【解析】【分析】（1）由邻补角定义得∠FAD=80°，由直角三角形的两个锐角互余得∠FAE=40°，由角的和差关系得∠DAE=∠FAE=40°，从而根据角平分线定义可得结论； （2）过点E作于点G，于点H，由角平分线的上的点到角两边的距离相等可得EF=EG，EF=EH，则EG=EH，然后由到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上即可得出结论； （3）设EG=x，则EG=EF=EH=x，由S△ACD=S△ADE+S△CDE建立方程，解方程即可求出x的值，从而得到EF的长，然后利用三角形的面积公式列式计算可得△ABE的面积. （1）证明：， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）证明：如图，过点作于点，于点， 由（1）可得：是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分； （3）解：设， 由（2）可得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 【模型8 平行线中点模型】 【例8】如图， 中，是的中点，过点的直线交于，交的平行线于点，，交于点，连接、． （1）求证：； （2）请你判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：， ． 为的中点， ， 又， 在与中， ． ． （2）解：． ， ，． 又， （垂直平分线上的点到线段端点的距离相等）． 在中，， 即． 【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得出，根据题意得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等得出，，根据垂直平分线上的点到线段端点的距离相等得出，根据三角形的两边之和大于第三边即可得出． （1）证明：， ． 为的中点， 又， 在与中， ． ． （2）证明：． ， ，． 又， （垂直平分线到线段端点的距离相等）． 在中，， 即． 针对训练8 1． 已知（如图），在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AB于点E，连接EF． （1）求证：BG＝CF． （2）试判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵BG∥AC， ∴∠DBG＝∠DCF． ∵D为BC的中点， ∴BD＝CD 在△BGD与△CFD中，， ∴△BGD≌△CFD（ASA）． ∴BG＝CF． （2）解：BE+CF＞EF． 连接EG， ∵△BGD≌△CFD， ∴GD＝FD，BG＝CF． 又∵DE⊥FG， ∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）． ∴在△EBG中，BE+BG＞EG， 即BE+CF＞EF． 【解析】【分析】（1）根据BG∥AC，得出∠DBG=∠DCF，再由D为BC中点，得到BD=CD，最后根据ASA证明△BGD≌△CFD，得出BG=CF。 （2）根据△BGD≌△CF得到GD＝FD，BG＝CF，再由垂直平分线到线段端点的距离相等得到EG＝EF，最后根据在△EBG中三边关系即可得到BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF。 2．数学实践活动课中，老师布置了“测量小口瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定（点O是的中点），现测得C，D之间的距离为，求小口瓶底部的内径的长度． 【答案】解：点是、的中点， ，， 在和中， ， ， ． 即小口圆柱形瓶底部的内径的长度为 【解析】【分析】先根据中点得到，，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到． 3．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连． （1）求证： （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：为中点， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ； ． 【解析】【分析】（1）由已知条件得到，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定：内错角相等，两直线平行即可得出答案； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理和为，再利用角度得和差运算可得到答案. （1）证明：为中点， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 【模型9 婆罗摩笈多模型】 【例9】．已知两个共一个顶点的等腰直角三角形ABC、等腰直角三角形CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M 是AF 的中点，连接MB，ME. （1）如图①，当CB 与CE 在同一直线上时，求证：MB∥CF. （2）如图①，若CB=a，CE=2a，求BM，ME 的长. （3）如图②，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME. 【答案】（1）证明：延长BM交EF于点D， ∵∠ABE=∠ABC=∠CEF=90°， ∴AB//EF ∴∠DFM=∠BAM，且AM=MF，∠AMB=∠DMF ∴△ABM≌△FDM(ASA) ∴AB=DF，BM=DM ∵在等腰直角△ABC和等腰直角△CEF中， AB=BC，EC=EF，∠FCE=45° ∴DF=AB=BC ∴EC-BC=EF-DF， ∴BE=DE，且∠BED=90°， ∴∠EBD=45°=∠FCE ∴BM//CF （2）证明：由(1)可知：AB=BC=DF，BM=DM ∵CB=a，CE=2a， ∴BE=DE=a，且∠CEF=90° ∴△BDE是等腰直角三角形，，且BM=DM， ∴ （3）证明：延长AB交CE于点D，连接DF，延长FE与CB交于点G，连接AG， ∵△ABC是等腰直角三角形 ∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°， ∵∠ECB=45° ∴∠BDC=45°=∠ECB=∠CAB ∴BD=BC，AC=CD ∵AB=BD，点M为AF中点， ∴ 同理可得：CF=CG， 在△ACG与△DCF中， ∴△ACG≌△DCF(SAS)， ∴DF=AG， ∴BM=ME 【解析】【分析】(1)由“ASA”可证△ABM≌△FDM，可得AB=DF可得BE=DE，可得∠EBD=45°=∠FCE，可得结论； (2)由题意可得BE=DE=a，可得△BDE是等腰直角三角形，，由等腰直角三角形的性质可求BM、ME的长； (3)延长AB交CE于点D，连接DF，延长FE与CB交于点G，连接AG，推出BM、ME是两条中位线：，；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而得出结论. 针对训练9 1．如图①，为等腰直角三角形，，点D、点E分别为、的中点． （1）请任意写出两对相等的边________，________； （2）若绕点C顺时针旋转，连接，，求证：． 【答案】（1）， （2）证明：由（1）可得：，，，∴， ∴， ∴， ∴ 【解析】【解答】（1）解：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点D、点E分别为、的中点， ∴，， ∴； 故答案为：，； 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质写出相等的线段即可； （2）根据得到即可解题． （1）解：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点D、点E分别为、的中点， ∴，， ∴； （2）证明：由（1）可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①的度数为 ； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 【答案】（1）3； （2）解：与为偏等积三角形， ． ， ． ， ， ，， ， ， ， ． 为正整数， ， ． （3）①180； ②，理由如下：延长至G，使，连接，如图所示： ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴ 【解析】【解答】解：（1）如图，连接 当时，， 与不全等， 与为偏等积三角形， 故答案为：． （3）①∵， ∴． 故答案为：180°； 【分析】（1）根据“ 偏等积三角形 ”的定义可得当为的中点时，满足条件，然后解题即可； （2）由与为偏等积三角形，可得，再得到，可可得到，，然后根据三角形三边关系得到，利用为正整数，解题即可； （3）①根据周角的定义解题即可； ②延长至，使，连接，则可得到，即可得到，然后推理得到， 再根据全等三角形的对应边相等得到解题即可． 学科网（北京）股份有限公司 $$