22.3.1 实际问题与一元二次方程（几何最值）课件 2025-2026学年 人教版九年级上册数学

第22章 二次函数 22.3.1 实际问题与一元二次方程（几何最值） 1 问题思考 如图, 以40𝑚/𝑠的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时, 球的飞行路线将是一条抛物线, 如果不考虑空气的阻力, 球的飞行高度ℎ(单位: 𝑚)与飞行时间𝑡(单位: 𝑠)之间具有关系: ℎ＝20𝑡−5𝑡2. 球飞行多少时间高度最高？最高高度是多少？ t h 分析: 这个函数的图象是一条抛物线的一部分, 抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点. 也就是说, 当t取顶点的横坐标时, 这个函数有最大值. 2 问题思考 如何求出二次函数h＝20t－5t2的顶点坐标? 将二次函数配成顶点式 直接使用顶点坐标公式 配方得h＝－5(t－2)2＋20, ∴顶点坐标为______， 当t＝__时, h有最__值___. (2,20) 2 20 大 ＝＝2, ＝＝20, ∴顶点坐标为______， 当t＝__时, h有最__值___. (2,20) 2 20 大 如图, 以40𝑚/𝑠的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时, 球的飞行路线将是一条抛物线, 如果不考虑空气的阻力, 球的飞行高度ℎ(单位: 𝑚)与飞行时间𝑡(单位: 𝑠)之间具有关系: ℎ＝20𝑡−5𝑡2. 3 问题思考 如图, 以40𝑚/𝑠的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时, 球的飞行路线将是一条抛物线, 如果不考虑空气的阻力, 球的飞行高度ℎ(单位: 𝑚)与飞行时间𝑡(单位: 𝑠)之间具有关系: ℎ＝20𝑡−5𝑡2. 球飞行多少时间高度最高？最高高度是多少？ 解:由题意得h＝－5t2＋20t, 配方得h＝－5(t－2)2＋20, 当t＝2时, hmax＝20 ∴当飞行时间为2𝑠, 飞行高度最高, 最高为20𝑚. 解:由题意得h＝－5t2＋20t, ∴当t＝＝＝2时, h有最大值＝＝20, ∴当飞行时间为2𝑠, 飞行高度最高, 最高为20𝑚. 4 归纳总结 一般地, 当a>0(a<0)时, 抛物线 y=ax2+bx+c的顶点是最低(高)点, 也就是说, 当时, 二次函数有最小(大)值. 球飞行多少时间高度最高？最高高度是多少？ 解:由题意得h＝－5t2＋20t, 配方得h＝－5(t－2)2＋20, 当t＝2时, hmax＝20 ∴当飞行时间为2𝑠, 飞行高度最高, 最高为20𝑚. 解:由题意得h＝－5t2＋20t, ∴当t＝＝＝2时, h有最大值＝＝20, ∴当飞行时间为2𝑠, 飞行高度最高, 最高为20𝑚. 5 典例精析 例1.用总长为60m的篱笆围成矩形场地, 矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化. (1) 矩形的面积计算公式为________; (2) 题目中60m的篱笆表示的是矩形的_____; (3) 若其中一条边为l, 则它的邻边为______; (4) 矩形的面积S＝_______________; (5) 当l是多少时, 场地的面积S最大? 长×宽 周长 l S 30－l l(30－l) (0<l<30) 6 典例精析 例1.用总长为60m的篱笆围成矩形场地, 矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化. 当l是多少时, 场地的面积S最大? l S 解:由题意得S＝l(30－l)(0<l<30), 配方得S＝－(l－15)2＋225, 当l＝15时, Smax＝225, ∴当l是15m时, 场地的面积S最大, 最大面积为225m2. 思考: 你能用公式法求出最值吗? 7 小试锋芒 练习1.如图, 一块矩形土地ABCD由篱笆围着, 并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开, 已知篱笆的总长为300m(篱笆的厚度忽略不计), 当AB＝_____m时, 矩形土地ABCD的面积最大. 50 8 小试锋芒 练习2.某学校为美化学校环境, 打造绿色校园, 决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园, 用一道篱笆把花园分为A, B两块(如图).花园里种满牡丹和芍药, 学校已定购篱笆120米. (1)设计一个使花园面积最大的方案, 并求出其最大面积; (2)在花园面积最大的条件下, A, B两块内分别种植牡丹和芍药, 每平方米种植2株, 已知牡丹每株售价25元, 芍药每株售价15元.学校计划购买费用不超过5万元, 最多可以购买多少株牡丹? 答案:(1) 垂直于墙长20m,平行于墙长60m, 最大面积1200m2; (2) 最多购买牡丹1400株. A B 9 典例精析 例2.一块三角形材料如图所示, ∠A＝30°, ∠B＝90°, AC＝12.用这块材料剪出一个矩形DEBF,点D,E,F分别在边AC,AB,BC上,若AD的长为x,矩形DEBF的面积为y. (1) 在直角△ABC中, BC＝___,AB＝______; (2) 矩形的边DE＝_____,DF＝__________; (3) 当AD的长是多少时,剪出的矩形面积最大? 6 6 x x 解:由题意得y＝ x(x)(0<x<12), 配方得, 当x＝6时, ymax＝9, ∴当AD为6时, 矩形面积最大, 最大面积为9. 10 小试锋芒 练习3.如图, 在△ABC中, ∠C＝90°, AB＝10cm, BC＝8cm, 点P从点A出发, 沿AC向点C以1cm/s的速度运动, 同时点Q从点C出发, 沿CB向点B以2cm/s的速度运动, 当点Q运动到点B时, 点P, Q同时停止运动.在运动过程中, 四边形PABQ的面积最小为( ). A. 19cm2 B. 16cm2 C. 15cm2 D. 12cm2 C 11 小试锋芒 练习4.如图, 正方形ABCD的边长为8, E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点, 且AE＝BF＝CG＝DH. (1)思考四边形EFGH的形状为___________; (2)设BE＝x, 四边形EFGH的面积为S, 请直接写出S与x的数解析式, 并求出S的最小值. 答案:(1) 正方形; (2) 当x＝4时, S有最小值32. 12 谢 谢 观 看 13 $$