精品解析：广东省揭阳市揭西县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年广东省揭阳市揭西县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，以下四个图标中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 11 4. 若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（ ） A. 2 B. －1 C. 0 D. 0或2 5. 下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（    ） A 有一个锐角小于 B. 每一个锐角都小于 C. 有一个锐角大于 D. 每一个锐角都大于 7. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点E，交边于点D，若的长为9cm，的长为6cm，则的长为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 9. 关于x的分式方程无解，则m的值为（    ） A. 3 B. 2 C. 或 D. 10. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围是（　　） A. x＞3 B. x＜3 C. x＜1 D. x＞1 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11 分解因式：______． 12. 如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是_________边形． 13. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______． 14. 如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为_____． 15. 如图，将等边三角形沿射线BC向右平移一定的距离得到若，，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 17. 先化简，再求值：，其中 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2． 19 如图，等腰三角形中，． （1）在线段上求作点D，使得点D到和的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，连接，若，求的度数． 20. 如图，在中，，，以线段为边在上方作等边，点F是线段中点，连接． （1）若，求的长； （2）求证：四边形是平行四边形． 21. 如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式 原式 例如：求代数式的最小值． 原式，当时，有最小值，最小值是 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：______求代数式的最小值为______； （2）若，当______时，y有最______值填“大”或“小”，这个值是______； （3）当a，b，c分别为的三边长，且满足时，求的周长． 22. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． （1）求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 23. 如图1，四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接和． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，将沿直线翻折点E刚好落在线段中点F处，延长与的延长线相交于点H，并且和交于点G，试求线段之间的数量关系． （3）如图3，将沿直线翻折，点E刚好落在线段上的点F处，若，，且，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省揭阳市揭西县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，以下四个图标中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】图形平移前后的大小，形状都不变化，据此判断即可． 【详解】解：A、不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； B、不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； C、不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； D、能看作由“基本图案”经过平移得到，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了平移的性质，熟练掌握图形平移前后的大小，形状都不变化，只是位置变化是解题的关键． 2. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项错误； B、∵，∴，故该选项错误； C、∵，∴，故该选项正确； D、∵，∴，故该选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 3. 一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①当3为底时，其它两边都为6，②当3为腰时，其它两边为3和6，再结合三角形的三边关系作答即可． 【详解】解：①当3底时，其它两边都为6， 由，则3、6、6可以构成三角形，此时三角形的周长为15； ②当3为腰时， 其它两边为3和6， ∵， ∴不能构成三角形，故舍去， ∴这个等腰三角形的周长为15． 故选B． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义、三角形的三边关系的应用等知识点，分类讨论是解本题的关键． 4. 若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（ ） A. 2 B. －1 C. 0 D. 0或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，正确掌握定义是解决此题的关键．由一元一次不等式未知数x的次数为1且系数不为0，求出的值即可． 【详解】一元一次不等式未知数x的次数为1， ， 解得：或， 一元一次不等式未知数x的系数不为0， ， 解得：， 综上，a的值为0． 故选：C． 5. 下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，进行判断即可． 【详解】解：A、C、D选项中等号右侧均为多项式，不符合题意； A中等号右侧为最简整式的乘积的形式，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键在于熟练掌握因式分解的定义． 6. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（    ） A. 有一个锐角小于 B. 每一个锐角都小于 C. 有一个锐角大于 D. 每一个锐角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，直角三角形的两个锐角互余，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的第一步是假设原命题的结论不成立．原命题为“至少有一个锐角不大于”，其反面是“所有锐角都大于”． 【详解】解：原命题结论是“至少有一个锐角不大于”，即存在一个锐角小于或等于． 反证法需假设结论的反面成立，即“两个锐角都大于”．此时，两个锐角的和将超过，与直角三角形中两锐角之和为矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．选项中对应“每一个锐角都大于”的是D． 故选：D． 7. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集，得到关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组解集为， ∴， ∴； 故选C． 8. 如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点E，交边于点D，若的长为9cm，的长为6cm，则的长为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据，得到答案． 【详解】解：∵是边上的垂直平分线，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 9. 关于x的分式方程无解，则m的值为（    ） A. 3 B. 2 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程，接着根据分式方程无解的情况有两种：1. 化简后的整式方程无解；2. 解为增根（使分母为零）．需分别分析这两种情况对应的m值．注意分两种情况分类讨论是解题的关键． 【详解】解：由， 得， 两边同乘 （注意 ），得： ， ∴， ∴， 解得 ． 情况一：整式方程无解 当 （即 ）时，方程变 ，显然无解，此时 ； 情况二：解为增根 若解 是增根（即 ），代入得： ， ， ， 此时解 使分母为零，原方程无解，此时 ． 综上，当 或 时，方程无解． 故选：C． 10. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围是（　　） A. x＞3 B. x＜3 C. x＜1 D. x＞1 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式kx+b＜x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围求解即可 【详解】解：由函数图象可知不等式kx+b＜x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围， ∴当kx+b＜x时，x的取值范围是， 故选A． 【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 12. 如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是_________边形． 【答案】五 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，先求出这个多边形的每一个外角都是，再根据多项式外角和为360度即可求出答案． 【详解】解：∵一个多边形的每一个内角都是， ∴这个多边形的每一个外角都是， ∴这个多边形的边数是， ∴这个多边形是五边形， 故答案为：五． 13. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B的坐标． 【详解】解：∵点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为，即． 故答案为：． 14. 如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先由含30°角的直角三角形的性质,得出BC,再由三角形的中位线定理得出DE即可. 【详解】因为，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， 所以， , 因为，DE是中位线， 所以，. 故答案为2 【点睛】本题考核知识点：直角三角形，三角形中位线. 解题关键点：熟记直角三角形性质，三角形中位线性质. 15. 如图，将等边三角形沿射线BC向右平移一定的距离得到若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平移的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 过点G作，垂足为H，先证是等边三角形，再利用勾股定理和三角形的面积公式，结合等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点G作，垂足为H， ，， ∴， 是等边三角形， ∴， 由平移得：， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中，， 的面积， 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集在数轴上的表示见解析． 【解析】 【分析】先求得不等式组中各不等式的解集，然后找出各解集的公共部分即可． 【详解】解不等式①，得 ． 解不等式②，得 ． 不等式组的解集为 ． 不等式组的解集在数轴上表示如图所示． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键在于找到不等式组中各不等式解集的公共部分． 17. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】 ． 当时，原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用中心对称的性质，分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）利用旋转变换的性质，分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作. （2）如图，△A2B2C2即为所求作. 【点睛】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，正确作出图形是解题的关键. 19. 如图，等腰三角形中，． （1）在线段上求作点D，使得点D到和的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，连接，若，求的度数． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线，以点为圆心，以任意长为半径画弧，与、相交于两点，再以这两点为圆心，以大于两点的长度为半径画弧，交于一点，连接此点与点，交于点；根据全等三角形的判定与性质，即可证明点D到两边的距离相等； （2）根据等边对等角，得出，，再根据三角形外角的性质，得出，再根据角平分线的定义，得出， 进而得出， 再根据等量代换，得出，设，则，进而得出，再根据三角形的内角和定理，得出，解出即可得出答案． 【小问1详解】 解：点即为所求， 证明：过点作于点，与点， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中， ， 即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图—角平分线、全等三角形的判定与性质、等边对等角、三角形外角的性质、三角形内角和定理、解一元一次方程，解本题的关键在正确得出点． 20. 如图，在中，，，以线段为边在上方作等边，点F是线段的中点，连接． （1）若，求的长； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）设，则，然后根据勾股定理求出x的值即可求解； （2）由等边三角形性质得出，，得出，然后证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设 在中，，， ∴ ∴ ∴ 解得，（舍去） ∴ ∴ ∵是等边三角形 ∴ 【小问2详解】 ∵是等边三角形 ∴， ∵点F是线段AD的中点 ∴ 在中，， ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴四边形是平行四边形 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明是本题的关键． 21. 如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式 原式 例如：求代数式的最小值． 原式，当时，有最小值，最小值是 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：______求代数式的最小值为______； （2）若，当______时，y有最______值填“大”或“小”，这个值是______； （3）当a，b，c分别为的三边长，且满足时，求的周长． 【答案】（1）； （2）1；大； （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是运用因式分解进行解答． （1）按照配方法将式子进行因式分解；用配方法将式子写成一个完全平方公式和一个常数的和，据此可得该式子有最小值． （2）将y进行因式分解，求出该式子有最大值，求出结果即可； （3）将题中式子进行因式分解，得到三个完全平方公式的和为0，根据完全平方公式的非负性，求出三条边，然后求出周长． 【小问1详解】 解： ； ， ， 当时，有最小值，最小值是， 故答案为：；； 【小问2详解】 ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值是， 故答案为：1；大；． 【小问3详解】 ， 即， 即， 所以，，， 所以，，， ∴， 答：的周长是． 22. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． （1）求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 【答案】（1）种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． （2）购进了种机器人个，种机器人个；最大利润万元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数最值问题等知识点，理解题意合理列出方程是解题的关键． （1）设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，利用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍的关系列出分式方程求解即可； （2）先运算出和的售价，设购买的数量为个，则的数量为个，列出不等式方程组求出的取值范围，再通过利润的表达式分析出方案即可． 【小问1详解】 解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元， 由题意可得： 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴种机器人的价格为（万）， 答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． 【小问2详解】 解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元， 设购买的数量为个，则的数量为个， ∴由题意可得：， 解得：， ∴， ∵利润， ∵ ∴当越小时，利润最大， 把代入可得：， ∴最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个． 答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． 23. 如图1，四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接和． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，将沿直线翻折点E刚好落在线段的中点F处，延长与的延长线相交于点H，并且和交于点G，试求线段之间的数量关系． （3）如图3，将沿直线翻折，点E刚好落在线段上的点F处，若，，且，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）根据平行四边形性质可得进而得到，再根据四边形是平行四边形和翻折性质可得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）如图3中，过点作于点．求出，可得结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵F是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由翻折性质可得： 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【小问3详解】 解：解：如图中，过点作于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，， 由翻折变换的性质可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $