精品解析：四川省广安电力职业技术学校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

2025年春季学期（高教版） 23级期末考试数学试题 答题提醒：将答案写在答题卡对应区域，考试结束后只交答题卡. 一．单项选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分） 1. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 2. 下列说法正确的是（ ） ①两个单位向量一定是相等向量 ②零向量与任一向量共线 ③若向量，，则 ④两个平行向量的模可以不同 A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①④ 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，，与的夹角为30°，则（ ） A. 5 B. C. 3 D. 5. 已知点，，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 8 9. P是椭圆上一点，,是该椭圆的两个焦点，且，则（    ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 10. 已知双曲线的方程，则双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 12. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 13. 已知、是两条不同直线，、、是三个不同平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 14. 如图所示，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（　　） A. B. C. D. 15. 正方体中，二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 16. 若抛物线上一点P到y轴的距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为________ 17. 若，则________，________ 18. 已知，则________ 19. 已知，则等于_________________. 20. 已知双曲线的方程为，则渐近线方程为________ 21. 方程表示椭圆，则的取值范围为________ 三、解答题（本大题共5小题，第22题12分，第23～25题每题13分，第26题15分，共66分） 22. 已知向量，，求： （1） （2）求、； （3）若，且，求m的值． 23. 求下列图形的标准方程： （1）已知椭圆的焦距为，离心率为，求椭圆的标准方程； （2）已知抛物线关于y轴对称，且过点，求抛物线的标准方程． 24. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，分别是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 25. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，侧面为正三角形，且侧面底面. （1）求证：； （2）求三棱锥的体积. 26. 已知双曲线的一个顶点为，渐近线方程为． （1）求双曲线C的标准方程； （2）设点为双曲线C上的一个点，求点A到双曲线C右焦点的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期（高教版） 23级期末考试数学试题 答题提醒：将答案写在答题卡对应区域，考试结束后只交答题卡. 一．单项选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分） 1. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】利用常用数集的定义，结合充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】若是自然数，则一定为整数， 所以“”能推出“”， 若是整数，则不一定为自然数， 所以“”不能推出“”， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2. 下列说法正确的是（ ） ①两个单位向量一定是相等向量 ②零向量与任一向量共线 ③若向量，，则 ④两个平行向量的模可以不同 A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据单位向量的概念，向量模的定义，以及向量共线的性质，即可求解. 【详解】①错误：单位向量模长均为 1，但方向可不同，而相等向量需方向相同且模长相等，故两个单位向量不一定是相等向量， ②正确：零向量与任一向量共线， ③错误：若为零向量，与可以是任意不共线的向量，此时且，但与不一定共线， ④正确：平行向量只要求方向相同或相反，与模长无关，因此模长可以不同， 故正确的说法为②④. 故选：B. 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的运算法则，对每个选项逐一进行分析. 【详解】选项A， ，错误， 选项B，，错误， 选项C，，错误， 选项D，，正确. 故选：D. 4. 已知向量，满足，，与的夹角为30°，则（ ） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量内积的定义求解即可. 【详解】因为，，与的夹角为， 则， 故选：B. 5. 已知点，，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量坐标与端点坐标的关系求解. 【详解】因为点，， 设点的坐标为则, 所以，解得， 所以点的坐标为， 故选：C. 6. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 7. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量内积的坐标表示即可求解. 【详解】向量，，则， 故选：B. 8. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据两向量平行的充要条件是对应坐标成比例，即可求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得， 故选：A. 9. P是椭圆上一点，,是该椭圆的两个焦点，且，则（    ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先转化成椭圆的标准方程，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】对椭圆方程，转化成标准方程得， 所以椭圆长半轴的长为， 由椭圆的定义可得， 又， 故， 故选：A. 10. 已知双曲线的方程，则双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线方程得到，结合焦点在轴上，即可求解. 【详解】因为双曲线的方程，则焦点在轴上， 所以，即， 故双曲线的焦点坐标. 故选：A. 11. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程，即可求解. 【详解】由抛物线方程可知，，即， 抛物线的焦点在轴负半轴上，开口方向向下， 所以抛物线的准线方程为， 故选：C 12. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据和公式即可求出离心率. 【详解】设双曲线的长轴长为，短轴长为，焦距为． 由双曲线的标准方程得， 所以， 所以该双曲线的离心率． 故选：A. 13. 已知、是两条不同直线，、、是三个不同平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面和平面与平面的关系逐个分析即可. 【详解】A，若，，则可能相交，平行或异面，故A错误， B，若，，则可能平行或相交，故B错误， C，若，，则可能平行或相交，故C错误， D，根据线面垂直的性质可知，若，，则，故D正确， 故选：D. 14. 如图所示，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构建等边三角形，由线线平行得到异面直线所成角. 【详解】如图所示，连接，． ∵为等边三角形，∴， 又∵，所以异面直线与所成角为. ∴异面直线与所成角的大小为. 故选：B. 15. 正方体中，二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方体的结构特征与二面角的定义得到所求角为，从而得解. 【详解】在正方体中，平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 显然是等腰直角三角形，则， 所以二面角的大小为. 故选：B. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 16. 若抛物线上一点P到y轴的距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为________ 【答案】16 【解析】 【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点坐标和准线方程，依题意得到点的横坐标，再结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】抛物线，则，即， 抛物线开口方向向左，所以焦点的坐标为，准线方程为， 则点到轴的距离为，故点的横坐标， 所以点到焦点的距离等于到准线的距离，即， 故答案为： 17. 若，则________，________ 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】根据复数相等的条件：实部和虚部分别相等，求解即可. 【详解】由可得： ，解得：， 故答案为：；. 18. 已知，则________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据共轭复数的概念，得到，结合复数的代数运算法则，即可求解. 【详解】因为复数 ，则， 所以， 故答案为： 19. 已知，则等于_________________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量的数量积与向量模长的关系求解. 【详解】因为，向量的模长是非负的， 所以， 故答案为：. 20. 已知双曲线的方程为，则渐近线方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】先将双曲线方程化为标准形式，再根据双曲线的标准方程求渐近线方程. 【详解】双曲线的方程化为标准式为， 即双曲线焦点在轴上，， 即渐近线的方程为， 故答案为： 21. 方程表示椭圆，则的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程的定义，列出不等式组即可求解. 【详解】方程表示椭圆， 则，且， 解得，且， 即. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，第22题12分，第23～25题每题13分，第26题15分，共66分） 22. 已知向量，，求： （1） （2）求、； （3）若，且，求m的值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示，即可求解. （2）根据向量模的定义，即可求解. （3）根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【小问1详解】 因为向量，， 所以 【小问2详解】 ， ， 【小问3详解】 因为，，， 所以，得到. 23. 求下列图形的标准方程： （1）已知椭圆的焦距为，离心率为，求椭圆的标准方程； （2）已知抛物线关于y轴对称，且过点，求抛物线的标准方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的焦距和离心率得到，再结合椭圆焦点位置与方程特征，即可求解. （2）根据抛物线的对称轴和经过点坐标，分析抛物线的特征，设定方程，代入点坐标，即可求解. 【小问1详解】 因为椭圆的焦距为，则，即， 又离心率为，即，得到， 由得，所以， 当椭圆焦点在轴时，椭圆方程为， 当椭圆焦点在轴时，椭圆方程为， 【小问2详解】 因为抛物线关于轴对称，故抛物线焦点在轴上， 又抛物线过点，所以抛物线开口方向向下，焦点在轴负轴， 设抛物线方程，， 代入，则，解得， 故抛物线方程为. 24. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，分别是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）线面平行判定定理证明即可； （2）先证线面平行，再证面面平行即可. 【小问1详解】 ∵分别是的中点， ∴ 又∵平面,平面, ∴平面. 【小问2详解】 ∵四边形为正方形，且分别为，边的中点，， 又∵面，面， ∴面， 由（1）知，平面， 且,平面,平面, ∴平面平面 25. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，侧面为正三角形，且侧面底面. （1）求证：； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）1 【解析】 【分析】（1）由题可判断线面垂直即可得结果； （2）由几何关系可知此棱锥的体积. 【小问1详解】 解：∵侧面为正三角形，底面为菱形，过点作于点， 连接，另外，由已知条件可得，即面和面均 为等腰三角形，∴知，，∵，平面， 且与交于点，∴平面，∵平面，∴； 【小问2详解】 ∵侧面为正三角形，取中点，连接，∴， ∵侧面底面，平面，∴平面， ，， . 26. 已知双曲线的一个顶点为，渐近线方程为． （1）求双曲线C的标准方程； （2）设点为双曲线C上的一个点，求点A到双曲线C右焦点的距离． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程和顶点坐标即可解得. （2）将点代入双曲线求得参数的值，再根据两点间的距离公式即可解得. 【小问1详解】 由双曲线C的一个顶点为，可知． 又由渐近线方程为， 可知， 即， 故双曲线C的标准方程为． 【小问2详解】 由点在双曲线C上，可知， 解得． 双曲线C的半焦距， 则右焦点的坐标为． 点A到双曲线C右焦点的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $