第二章 分式与分式方程（知识清单）数学鲁教版五四制八年级上册

第二章 分式与分式方程 1、分式的概念 形如 的式子叫做分式，其中A，B是两个整式，且B中含有字母 2、分式有意义：分母不为 零 3、分式的值为零： 分式值为零时要求分子为零且分母不为零 4、分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 5、约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去，当分子，分母是多项式时，先因式分解，再约分 6、最简分式 分子和分母没有公因式 7、分式乘除法 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘，结果应化为最简分式或整式 8、分式的乘方 分子、分母分别乘方 9、通分 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分 异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称为最简公分母）作为它们的共同分母 10、分式的加减法 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算 11、分式方程 分母中含有未知数的方程 12、解分式方程 先将方程两边同乘一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母），约去分母，从而转化为整式方程，然后再解这个整式方程 解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就可以了。如果所得的是原方程的增根，应当舍去。 13、增根 在方程变形中如果产生了不适合原方程的根，那么我们称它为原方程的增根。 14、列分式方程解决实际问题的一般步骤 审、找、设、列、解、检、答 一、分式的辨析 1．下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的识别，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，根据定义求解即可. 【详解】解：A选项的分母是数字3，不含字母，属于整式； B选项的分母是字母，符合分式的定义； C选项是多项式，没有分母，属于整式； D选项的分母是数字7，不含字母，属于整式； 综上，只有B选项是分式； 故选：B． 2．下列各式中：，分式的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的式子即为分式，需逐一判断各式的分母是否含字母，即可作答． 【详解】解：分母为数字2，不含字母，是整式，不是分式； 分母为字母a，符合分式定义，是分式； 分母为，含字母x和y，是分式； 分母为数字2，不含字母，是整式，不是分式； 分母π为常数，不含字母，是整式，不是分式； 综上，分式共有2个， 故选：D． 3．有整式，2，，请在上述整式中选择你最喜欢的两个整式组成一个分式 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键． 依据分式定义（分母含字母的整式商式），从给定整式里，分别选含字母的整式作分母，其余整式作分子，组合出所有符合条件的分式． 【详解】解：分母为时： 分子为，分式为； 分子为，分式为． 分母为时： 分子为，分式为； 分子为，分式为． 分母为时，因是常数（不含字母），组成的、不是分式，舍去． 综上，所有分式为、、、． 故答案为：（答案不唯一）． 二、分式有（无）意义的辨析 4．函数中的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分母不能为零，确定自变量的取值范围． 【详解】解：函数中，分母为．因为分式的分母不能为零，所以．因此，自变量的取值范围是“所有实数，且不等于0”， 故选：D． 5．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件． 根据分母不为0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴． 故答案为：． 6．若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义即分母不为，由此计算即可，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 7．若分式无意义，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式无意义的条件是分母等于零． 根据分式无意义的条件可得，解方程即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 三、分式的取值问题 8．若分式的值为0，则的值是（   ） A．1 B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】此题考查分式值为零的条件，分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，因此，需解分子为0的方程，并验证此时分母是否非零． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且 ∴ 故选A． 9．若，那么的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程，由已知分式方程出发，通过交叉相乘转化为整式方程，解出x与y的关系式，进而求出结果． 【详解】解：， 交叉相乘得：， 将移到左边，合并同类项：， 两边同时除以2，得：， ， 故选：D． 10．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的运算，由题可得，然后代入分式化简解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．根据下表中的信息，请写出一个只含有字母且符合表中要求的分式 ．（写出一个即可） 分式 无意义 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式的值为零的条件，根据题意可得分式分子可以为，分式分母可以为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：根据题意可得，分式分子可以为，分式分母可以为， ∴符合表中要求的分式为， 故答案为：（答案不唯一）． 12．已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查分式无意义的条件，分式的值为零的条件，解题的关键是掌握：①分式无意义的条件：分式的分母等于零；②分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零．据此列式分别求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵当时，分式， 此时分式没有意义， ∴， 解得：， ∵当时，分式， 此时分式的值为， ∴且， 解得：，， ∴，， ∴． 故答案为：． 四、分式基本性质的应用 13．根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以或除以同一个非零整式，分式的值不变；将原分式的分子和分母同时乘以，即可变形为选项C的形式. 【详解】解：分子和分母同时乘以： ； 故选：C 14．下列分式中，与分式结果相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分子分母同乘以一个非零数，分式的值不变是解题关键．根据分式的性质将各选项变形比较即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 15．若，则M为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的分母的变化确定分子分母都乘以，从而可得答案. 【详解】解：∵，而， ∴， 故选：D 16．如果把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍 【答案】C 【分析】设，根据分式的性质，得，解答即可．本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质，正确计算是解题的关键． 【详解】解：设， 根据分式的性质，得，扩大为原来的3倍， 故选：C． 17．将分式中的同时扩大为原来的3倍，分式的值将（    ） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质．熟练掌握分式的性质是解题的关键． 将分式中的m、n同时扩大为原来的3倍，分别代入计算新分式，并与原分式比较即可得出结果． 【详解】解：原分式为，当m、n同时扩大3倍后，变为， 因此，新分式为， 这表明分式的值缩小为原来的， 故选D． 18．分式的值为，将，都扩大倍，则变化后分式的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式性质，将原分式中的变量扩大倍后，代入计算新分式的值，并与原值比较即可得到答案，熟记分式性质是解决问题的关键． 【详解】解：， 当和均扩大2倍时，新分式， 则变化后的分式值为， 故选：D． 五、分式的乘除法运算 19．下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义“分子与分母没有公因式的分式，即一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时这个分式就被称为最简分式”逐项判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式； B、，是最简分式； C、，不是最简分式； D、，不是最简分式． 故选：B． 20．化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的约分，解题关键是掌握分式的约分． 直接根据分式的约分法则进行约分． 【详解】解：， 故选：A． 21．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的除法运算，将除法转化为乘法并约分求解即可． 【详解】解：． 故选：B． 22．若运算的结果是整式，则“□”代表的式子可能是（   ） A． B． C．a D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的除法运算，将原分式除法运算转化为乘法，并分解因式后约分，根据结果为整式的条件确定“□”的表达式． 【详解】解： ， 要求结果为整式，分母中的a需被分子中的因子约掉．当“□”为时，分子为，分母为，约分后得．此时分母为常数3，不含字母，符合整式定义． 故选C． 23．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方和分式乘法，解题的关键是正确运用法则进行化简和计算．直接利用积的乘方运算法则化简，再利用分式乘法运算法则即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 24．若不是最简分式，则（   ）里的整式可以是 ．（写出1个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简分式，理解最简分式的特点（分式的分子与分母均为整式且分子和分母中不含1以外的公因数或公因式）是解题关键．根据最简分式的概念进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴不是最简分式， 故答案为：（答案不唯一） ． 25．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 26．化简： 的结果为 ． 【答案】 【分析】此题是分式的乘法运算．先把分子分母能因式分解的进行因式分解，再进行约分化简． 【详解】解： ． 故答案为：． 27．先化简，再求值：其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，除法变乘法，约分化简后，利用整体代入法进行计算即可．熟练掌握分式的乘除法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 六、分式的加减法 28．计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的性质，分式的加减运算法则是关键． 根据分式的混合运算计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：B ． 29．分式与的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求两个分式的最简公分母，两个分式的最简公分母通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，即可得解． 【详解】解：与的最简公分母是， 故答案为：． 30．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了同分母分式的加法，熟知运算法则是解题的关键． 直接相加即可． 【详解】解： 故答案为：． 31．化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的运算，熟练运用分式的运算法则是解题关键，根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】原式 故答案为：． 32．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加减运算，先通分，再计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 33．计算： ． 【答案】 【分析】根据分式的加减混合运算求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算从而完成求解． 七、解分式方程 34．解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程的解法，去分母转化为整式方程的过程．解分式方程的关键是确定最简公分母并去分母，方程两边同乘公分母，即可转化为整式方程． 【详解】解：原方程为， 将分母变形为，原方程可改写为：， 确定最简公分母为，两边同乘，得：． 故答案选：C． 35．关于x的分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解，按照求解步骤并验证解是解决本题的关键 ． 先将分式方程去分母变成整式方程，按照整式方程的求法求出未知的值，再验证即可 ． 【详解】解：分式方程为， 去分母：， 去括号：， 移项合并同类项：， 检验：当时，， 所以原方程的解为 ． 故答案为： ． 36．解方程． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以最简公分分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，当时，， 是分式方程的解． 37．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． （2）去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 38．下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，第一步， 去括号得，，第二步， 解得，．第三步， 检验：当时，，第四步， ∴是原方程的根，第五步． 任务： (1)小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是 ． 【答案】(1)一，去分母时3没有乘最简公分母； (2)正确过程见解析； (3)去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）观察小亮解分式方程的过程，找出出错的步骤，分析错误原因即可； （2）写出正确的解方程过程即可； （3）分析解分式方程产生增根的原因即可． 【详解】（1）解：小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误，错误的原因是去分母时3没有乘最简公分母； 故答案为：一，去分母时3没有乘最简公分母； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是增根，分式方程无解； （3）解：解分式方程产生增根的原因是去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 故答案为：去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 重难点01分式的取值问题 1．根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简及性质，掌握最简公分母不为零是解题的关键． 由分式的性质可知，，从而可得结论Ⅰ不对，由的值为整数且为整数，则，即可得出结论Ⅱ正确． 【详解】解：， 由化简过程可知，，， ， ； 由题意可知，若使的值为整数且为整数，则， ， 综上所述，． 所以，Ⅰ不对Ⅱ对． 故选：C． 2．若分式的值为正数，则x的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】此题考查分式的值、解不等式组等知识，根据分式的值为正数得到或，解不等式组即可． 【详解】解：由题意可知：或， 解得，或， 故本题答案为：或． 3．若一个三位数，各个数位上的数字均不为零，且满足各个数位的数字之和为4的倍数，称这样的数为“四方数”，如138，，所以138是“四方数”，如257，，14不是4的倍数，所以257不是“四方数”，若“四方数”，其中，交换M的百位与个位数字得到，记，若的值为整数，则满足条件的M的最大值为 ． 【答案】862 【分析】本题考查了整式及分式的相关知识的应用．理解新定义的意义，是解决本题的关键；难点是判断出满足条件的的各个数位上的数字．观察题目中所给等式和代数式均含有，根据，用和表示出，进而根据的值为整数及“四方数”需是4的倍数判断出各个数位上的数字即可判断出满足条件的M的最大值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵的值为整数， ∴为整数， ∵，， ∴为整数，是4的倍数， ∴最大可取8，最大可取6， ∴的值为2． ∴满足条件的的最大值为862． 故答案为：862． 4．阅读材料： 解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：无解，解②得： 所以原不等式的解集是 (1)请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集 ：________；：________；：________； (2)解分式不等式：． 【答案】(1)；或；或； (2) 【分析】（1）先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求分式不等式． （2）根据题意可得，原不等式变形为，即，把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求解即可． 【详解】（1）解：， 根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：，解②得：无解， 所以原不等式的解集是； ∴①或②， 解①得：，解②得：， 所以原不等式的解集是或； ， ∴①或②， 解①得：，解②得：， 所以原不等式的解集是或； 故答案为：；或；或； （2）解： ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴①或② 解①得：无解，解②得：， ∴原不等式的解集是． 5．一个各数位均不为0的三位自然数，满足，则称这个三位数为“双倍数”．例如：三位数147，因为，所以147是“双倍数”． (1)若，且，求这个“双倍数”M的值； (2)若是一个“双倍数”，且满足，是整数．求满足条件的W的最大值． 【答案】(1) (2)W的最大值是22 【分析】本题考查了新定义下的三位数问题、二元一次方程组的应用以及整数的性质．解题的关键是理解“双倍数"的定义，结合数位特征列出关系式，通过代数式化简和整数整除性分析求解，同时注意数位上数字的取值范围及整数除法的准确性． （1）根据"双倍数"定义和已知条件列出关于a、c 的方程组；解方程组得到a、c的值，确定三位数 M． （2）由"双倍数"定义和，用b表示a、c；根据数位数字范围确定b的可能取值；表示出M和W的表达式，结合W是整数的条件筛选b 的值；求出W的最大值． 【详解】（1）已知三位数是"双倍数"， ∵，且，． ∴联立方程组：，解得， 因此，“双倍数”． （2）∵，， ∴， ∴， 代入W的表达式：， 因为W是整数，所以能被14整除． ∵a、b、c是各数位上的数字（，且均不为0）， ∴，即，即，因此b的取值为，分别代入验证： 当b为奇数时，必为奇数，而分母14中包含因数2，此时W不是整数，排除； 当时，，不是整数，排除； 当时，，是整数，满足条件． 因此，符合条件的W的最大值为 22． 6．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或 (3)最小值为 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3）解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 重难点02分式乘除法的运算 7．已知有一组代数式满足（n为正整数）的数量关系，如：，我把满足这种数量关系的代数式称为“衍生式”，现有一组“衍生式”，其中，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】题目主要考查代数式的规律问题，乘法运算及加减运算，理解题意，找出规律是解题关键 通过计算前几项发现周期性，利用周期性简化计算即可 【详解】解：∵ ∴ 由此发现周期为6， ， ∴每6项乘积为1， ∴前24项为4个完整周期，乘积为， 第25项为， 故总乘积为， ∵余3， ∴， ∴， 故选：C 8．如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式；用墨水瓶的底面积表示出墨水的容积及空余部分的体积是解决本题的突破点． 第一个图形中下底面积为未知数，利用第一个图可得墨水的体积，利用第二个图可得空余部分的体积，进而可得玻璃瓶的容积，让求得的墨水的体积除以玻璃瓶容积即可． 【详解】解：设规则瓶体部分的底面积为．倒立放置时，空余部分的体积为，正立放置时，有墨水部分的体积是因此墨水的体积约占玻璃瓶容积的， 故选B． 9．已知有序代数式串：，对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：，，；第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：，，，；依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：，，，，； ②第次操作后得到的新代数式与第次操作后得到的新代数式相同； ③第次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查规律类探索、分式的除法，准确找出代数式串变化的规律是解题的关键．根据所给操作规则找出所得代数式串的变化规律，利用规律逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，第3次操作时，用第四个式子除以第三个式子得到新代数式，，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新代数式串： ，，，，，故①正确； 依次类推，第4次操作后得到新代数式串：，，，，，， 第5次操作后得到新代数式串：，，，，，，， 第6次操作后得到新代数式串：，，，，，，，， 第7次操作后得到新代数式串：，，，，，，，，， …… 观察可知，从第7次操作开始，第次操作与第次操作后得到的新代数式相同，因此第次操作得到的新代数式与第次、第次操作后得到的新代数式相同，与第次操作后得到的新代数式不同，故②错误； 观察可知，从第5次操作开始，新代数串按照，，，，，的顺序循环出现，且每个循环中代数式的乘积为， 第次操作后所得新代数式串中有个代数式，， 前个代数式的积为，第至第个代数式的积为， 第次操作后得到的代数式串之积为，故③正确， 综上所述，说法正确的有个， 故选：B． 10．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若为整数，且关于的分式是“友好分式”，则的值为 ． 【答案】6或 【分析】本题主要考查了分式的约分，因式分解，读懂题意是关键．根据题意对分母分解因式，从而可以求出相对应的a的值． 【详解】解：由题意可得可以分解因式，且a为整数， ∴，或， ∴ 当时，，符合题意； 当时，，可以约分，不符合题意； 当时，，不可以约分，符合题意； 当时，，不可以约分，符合题意； 由以上可得：的值是6或． 故答案为：6或． 11．给定一列分式：，，，，…（其中，），那么第n个分式是 ，这列分式中第n个分式除以第个分式的商是 ． 【答案】 ； 【分析】本题侧重考查知识分式的定义，掌握分式的化简是解题的关键．观察这组分式，可知分子为x的奇次幂，分母为乘以y的n次幂，据此得到第n个分式；用第二个分式除以第一个分式，第三个分数除以第二个分式，…，你能发现规律不难得到相除所得的商相等，至此问题便可迎刃而解了． 【详解】解：观察这组分式，可知分子为x的奇次幂，分母为乘以y的n次幂， ∴第n个分式为； ， ， …… 综上可知规律是：任意一个分式除以前面一个分式，商都为； 故这列分式中第n个分式除以第个分式的商是． 故答案为：；． 12．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)的可能整数值为． 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将各式进行正确地变形是解题的关键． （1）根据题干中的定义进行判断即可； （2）将原式变形后进行化简即可； （3）将原式变形后化为代分式，然后结合已知条件确定整数x的值即可． 【详解】（1）解：由题意可得为真分式， 故答案为：真分式； （2）； （3）， 当为整数时，也为整数， 可取得的整数值为，， 的可能整数值为． 13．某净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小亮进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ； (2)小亮共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 / / ①请将表格中方案的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ 【答案】(1) (2)①，；②方案的最终过滤效果最好 【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算， （1）根据水中的杂质含量为计算即可； （2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：， 第二次过滤后水中杂质含量为：， 故答案为：，； ②=． ∵， ∴，． ∴． ∴． 同理，可得． ∴． ∴方案C的最终过滤效果最好． 重难点03分式加减法的应用 14．若定义三个函数分别为：，，，下列结论：①的最小值为；②若为整数，则满足条件的整数的个数为个；③当时，．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】①由，可判断①； ②把化简得，然后根据为整数，为整数，可判断②； ③由得，然后把变形，可判断③． 【详解】解：①∵，， ∴ ， ∴的最小值为，故结论①正确； ②∵，， ∴， ∵为整数，为整数， ∴，，，，，，，， ∴，，，，，，，， ∵， ∴，，，，，，共个，故结论②正确； ③∵，，， ∴，即， ∴，即， ∴ ， 故结论③错误． 综上所述，正确结论为①和②，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查整式的加减，完全平方公式，分式的化简求值等知识点，掌握相应的运算法则是解题的关键． 15．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为．已知，并规定：，，下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数，都有成立 其中正确结论的个数有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题中规定发现并总结出一般规律是解题的关键． 根据题中规定，分别算出，发现并总结出一般规律，即可判断说法①； 根据题中规定，分别算出，发现并总结出一般规律，即可判断说法②； 根据题中规定，分别算出，，比较二者的结果，即可判断说法③； 综上，即可得出所有正确的说法． 【详解】， ，， ，， 由此，，……，这列数每4个循环一次，即． ①，，故①正确； ②，，， ，， 又，……，这列数每4个循环一次，即， ，……，这列数也是每4个循环一次，即． 又， ， ，故②不正确； ③， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，故③正确； 综上，正确结论为①③，共2个， 故选：B． 16．阅读材料：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，假分式可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ． 若假分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为 ；若一个三位数，十位数字是百位数字的两倍；另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同，若这个三位数的平方能被这个两位数整除，则所有满足条件的两位数的和为 ． 【答案】 24 120 【分析】本题考查分式的变形（假分式化为整式与真分式和的形式）以及数的整除相关知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先将假分式通过对分子变形，化为的形式。 因为假分式值为整数，所以为整数，由此确定是的因数，进而求出的所有可能整数值，最后求和。 设三位数百位数字为（ ），得出，两位数，并计算。 根据能被整除，分析出要能被$12a$整除。 对取值（、、、 ）进行分类讨论，确定满足条件的，最后求和。 【详解】 ， ∵假分式的值为整数， ∴为整数． ∴的值可以为、、、 ． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴这些整数的和为 ； 设三位数m的百位数字为，则其十位数字为，设个位数字为， ∴；两位数的十位数字是，个位数字是，则． ． ∵能被整除，，， ∴要能被整除． 当时，，时，能被12整除；时，能被12整除． 当时，，时，能被24整除． 当时，，时，能被36整除． 当时，，时，能被48整除． 满足条件的有12、24、36、48，它们的和为． 故答案为：24；120． 17．若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，；在此变化过程中，记（n为正整数） (1)当时，，求此时的值； (2)填空：化简并猜想___________，___________，___________；（用只含和的代数式表示） (3)当为整数时，求此时的值． 【答案】(1) (2)，，； (3) 【分析】本题考查绝对值运算、分式的化简求值，以及整数性质的综合应用，解题关键是通过递推关系逐步推导找出规律，结合相关运算规则求解表达式，并依据整数性质确定参数值． （1）依据题目给定的变换规则，依次求出、、关于的表达式，再将代入的表达式，得出的值． （2）先求得，，的值，得到规律，再将代入，利用绝对值与分式运算化简得到；最后把代入化简得出其表达式； （3）根据规律求出，，再计算并化简为 ，最后根据为整数，结合，确定的取值，从而求出的值． 【详解】（1）已知，， 将代入可得，， 把代入得． ∵， ∴， 解得． （2）， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴． 将代入得 ． 故答案为：，，； （3）由（2）知， ， ． ． ∵为整数， ∴能整除，即或． ∴或或或 ∵， ∴． 18．小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)小滨的说法正确，理由见解析 (2)（i）①②④；；（ii）有最小值，没有最大值 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）把所求分式变形为，再把第一个分式约分，再计算分式加法即可得到结论； （2）（i）把①变形为，再把第一个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；把②变形为，再把两个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；分别求出和时③的结果即可得到结论；把④中的两个分式通分化简即可得到结论；（ii）把通分得到，进一步得到；再证明，从而得到当时，有最小值，最小值为9，且无最大值，据此可得结论． 【详解】（1）解：小滨的说法正确，理由如下： ∵， ∴ ， ∴小滨的说法正确； （2）解：（i）①∵， ∴ ； ② ； ③当时，， 当时，， ∴的值不是定值； ④ ； ∴①②④是定值，③不是定值； 满足题意的式子可以为，证明如下： ； （ii） ； ， ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为9， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为； ∵无最大值， ∴无最小值，即没有最大值， ∴有最小值，没有最大值． 19．【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 【答案】（2），见解析；（3）不成立，正确的应该是；（4）当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回，见解析 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （2）根据作差法求解即可； （3）根据作差法求解即可； （4）分为当返回为顺水时，和当返回为逆水时，求出，即可求解． 【详解】解：（2），理由如下： ， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （3）不成立，正确的应该是． 理由如下：根据（2）可得， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （4）当返回为顺水时，，． ， ∵， ∴，即． 当返回为逆水时，，． ∵， ∴，即． 所以当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回． 20．【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差． （i）若，则；（ii）若，则；（iii）若，则； 【尝试应用】 （1）比较图中两个长方形周长的大小； （2）若，，且，试比较代数式与的大小， 【联系生活】 （3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度匀速跑，后半程以速度为速跑．乙同学前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，请问谁先到达终点？ 【答案】（1）第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长；（2）；（3）乙先到达终点． 【分析】（1）表示出两个长方形的周长，运用“作差法”即可比较大小； （2）运用“作差法”计算，综合运用完全平方公式，提公因式和公式法进行因式分解，最后得到根据，，得到，即可解答； （3）先计算甲同学所需时间：，乙同学所需时间为，再计算，根据，，得到，即可得到，从而解答． 【详解】（1）第一个长方形的周长为：， 第二个长方形的周长为：， ∵ ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长； （2）∵， ∴，， ∴ ， ∵，，， ∴， ∴； （3）甲同学所需时间：， 设乙同学所需时间为x，则， 解得：， 即乙同学所需时间为， ∵ ， ∵，，， ∴， ∴， ∴乙先到达终点． 【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，分式的加减，运用完全平方公式进行变形计算，因式分解，判断式子的正负，掌握“作差法”是解题的关键． 21．（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 【答案】（1）（2）（3）小莹的购货方式更合算，理由见解析 【分析】此题考查了作差法比较两个数的大小，多项式乘以多项式，整式加减运算、分式加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中的方法作差解答； （2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算判断； （3）先分别表示两人两次购买苹果的平均单价，再用作差法计算比较大小即可判断． 【详解】（1）∵， ∴，即 故答案为：； （2）， ， ． ， ， ，即． （3）小亮两次购买苹果共花费元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； 小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； ， m，n是正数，且， ， ， 小莹的购货方式更合算． 重难点04解分式方程 22．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，令，则可推出，再求出，则可解方程得到或，或，据此得到关于x的分式方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：令， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为：． 23．对于正数，规定．请解答下列问题． (1)计算：； (2)计算：； (3)探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值． 【答案】(1)1； (2)； (3)存在，时，题中等式成立． 【分析】本题主要考查了求代数式的值，分式的计算以及解分式方程； （1）根据题意，将和分别代入代数式，即可求解； （2）根据题意得出，进而根据平方差公式展开结合新定义，即可求解； （3）根据，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：由（1）可知，则 ； （3）解：由（1）可知，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得， 解得， 经检验，是方程的解， 由上可得，时，题中等式成立． 24．如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3． (1)已知：，，判断A与B是否互为“差离分式”．若是，求出差离值；若不是，请说明理由． (2)已知：，，若C与D互为“差离分式”，且差离值为，求E所代表的代数式． (3)已知：，（m，n为非零常数），若P与Q互为“差离分式”，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要查了分式的混合运算，解分式方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据异分母分式减法法则计算即可； （2）根据新定义，列出方程，即可求解； （3）根据题意可得，再由新定义，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴A与B是互为“差离分式”，差离值为2； （2）解：由题意可得：， 即， ∴， 即， ∴， 解得：； （3）解： ； ∵P与Q互为“差离分式”，， ∴， ∴， ∴． 25．已知关于x的分式方程只有一个实数解，求k值． 【答案】或或 【分析】本题主要考查分式方程，将方程两边同时乘以，整理得，当时，当时，分情况讨论即可． 【详解】解：将方程两边同时乘以． 得 整理得① 当时，有 ∴ 将代入① 中，得 ∴．经检验：是分式方程的解； 当时，有 ∴ 若是方程的增根， 则将代入①中 得 即时，①可化为 ∴ (是增根，舍去)． 故原分式方程只有一个实数解． 当是方程的增根， 则将代入①中， 求得． 即时，①可化为 ∴ (是增根，舍去) 故原分式方程只有一个实数解． 综上所述，当时，这个实数解为； 当时，这个实数解为； 当时，这个实数解为． 26．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （2）解：∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 重难点05分式根的讨论问题 27．已知关于的分式方程的解满足，且为整数，则符合条件的所有值的乘积为（  ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程、有理数的平方．首先解分式方程可得，再根据分式方程的解满足，可得的取值范围，再根据为整数，确定的值的情况，再根据的取值情况判断乘积的正负性． 【详解】解：解关于的分式方程， 去分母得：， 移项得：， 提公因式得：， 去括号、合并同类项得：， 整理得:， ， ， ， ， ， 又， 和， 和， 为整数且， 和， 中符合条件的值共有个负数和个正数， 符合条件的所有值的乘积为正数． 故选：A． 28．若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识点，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有2个奇数解，确定a的取值范围，再解分式方程，根据方程解是整数，求出a的可能取值，最后求出同时满足已知条件的a的值并求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为： ∵关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解， ∴这两个奇数解为1和3， ∴，解得： 解分式方程，解得：， ∵关于y的分式方程的解是整数， ∴是3的倍数，且，即， 又∵， ∴， ∴满足条件的所有整数的值之和为：2． 故答案为：2． 29．已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，根据分式方程的解的情况求参数，有理数的乘法运算，先解不等式组，根据不等式组解集的情况求出的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正整数求出整数的值，最后把所有满足条件的整数的值相乘即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， 解方程，得， ∵方程的解为正整数，， ∴或或， 又∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数的值为和， ∴所有满足条件的整数的积为， 故答案为：． 30．若关于x的不等式组有解，且使关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的值之和是 ． 【答案】10 【分析】根据不等式组有解确定a的取值范围，再根据分式方程的正整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 本题考查了不等式组的有解、分式方程的正整数解，解决本题的关键是根据不等式组的有解及分式方程的正整数解确定a的取值范围． 【详解】解：∵ ， 解不等式①得：， 解不等式②得， ∵不等式组有解， ∴， ∵， 去分母得：， 整理，得， ∵方程有正整数解， ∴，且a为正整数， 解得， ∴，，，，，， ∵是正整数， ∴符合题意的整数a的值为， ∵是增根， 此时， 解得，故舍去, ∴符合条件的所有整数a为，它们的和是， 故答案为：10． 31．若关于x的方程无解，则m的值为 ． 【答案】或22或 【分析】本题考查了分式方程的解法，无解的意义，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键，转换为整式方程，解方程即可． 【详解】解： ， 去分母，得， 整理，得， 当时，原方程有增根， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，方程无解，也符合题意． 故答案为：或22或． 32．若关于的一元一次不等式组无解，关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组无解的问题，分式方程的整数解，先由一元一次不等式组无解求出得取值范围，再求出分式方程的解，根据分式方程的解为整数求出满足条件的整数值，即可求解，由一元一次不等式组无解求出得取值范围以及根据分式方程的解的情况求出的值是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∵一元一次不等式组无解， ∴， ∴， 由方程得，， ∵分式方程的解为整数，且为整数， ∴或或或或或， ∴或或或或或， 又∵， ∴， ∴， ∴或或或或， ∴所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 33．已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 【答案】(1) (2)或时，分式方程无解； (3)满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把，代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：； （2）解：把代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当即时，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即，此时b不存在； Ⅱ.时，原分式方程无解， 即时， 此时； 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得， 解得：， ∵b为正整数，x为非负整数， ∴必为40的因数，， ∴或或或， 对应地，方程的解或2或12或32， 又为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取1或4或5， ∴满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 重难点06、分式方程的实际应用 34．电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量．下面说法不正确的是（   ） 温馨提示：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．与踏板上人的质量之间的函数关系式为：（） B．电压表显示的读数为6伏时，可变电阻电阻是10欧 C．电压表显示的读数为3伏时，对应测重人的质量为90千克 D．对应测重人的质量为105千克，电压表显示的读数为4伏 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 利用待定系数法即可求出与踏板上人的质量之间的函数关系式；根据，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，得到，求出欧；根据题意得到，求出，代入，求出千克；当时，，解得，设电压表显示的读数为伏，则可变电阻两端的电压为伏，得到，解得；即可得到答案． 【详解】解：将代入得， 解得， ， 故A选项不符合题意； 由题意可得，可变电阻两端的电压（伏）， ，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ， （欧）， 故B选项说法正确，不符合题意； 由题意可得，可变电阻两端的电压（伏）， ，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ， （欧）， 当时，， 解得（千克）， 故C选项说法不正确，符合题意； 当时，， 解得， 设电压表显示的读数为伏，则可变电阻两端的电压为伏， ，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ， 解得， 故D选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 35．综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 【答案】任务1：排球的单价为100元，篮球的单价为120元；任务2：购买篮球4个，购买排球12个；任务3：1 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． 任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍建立方程求解即可； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个，根据学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个建立方程组求解即可； 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个，根据题意可得，则可得，可求出一定是3的倍数，设（k为正整数），则，即，解之即可得到答案． 【详解】解：任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：排球的单价为100元，篮球的单价为120元； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个， 由题意得，， 解得， 答：购买篮球4个，购买排球12个． 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个， ，则第二次购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是个， ∴第二次购买的篮球中使用抵扣券的数量是个， ∴， ∴ ∴， ∵一定是正整数， ∴一定是3的倍数， 设（k为正整数）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 当时，， 当时，，此时不符合题意； 随着k的继续增大，的结果只会越来越小，即的结果只会越来越大， ∵当时，，此时， ∴当时， ， ∴只有，满足题意， 答：排球中使用抵扣券的数量为1． 36．某公司为了提高工作效率购买了A，B两种型号的机器人，A型机器人单价比B型机器人单价多2000元．用700000元购买A型机器人和用600000元购买B型机器人的数量相同． (1)求A型、B型机器人的单价分别是多少元？ (2)公司准备购买A型和B型机器人共40台．购买B型机器人的数量不超过A型机器人的数量3倍，且商家给出了两种型号机器人均打八折的优惠，问购买A型和B型机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)14000；12000 (2)10；30；400000 【分析】（1）设A型机器人模型单价是元，B型机器人模型单价是元，根据：用700000元购买A型机器人模型和用600000元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解； （2）设购买A型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和w关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值 【详解】（1）解：设A型机器人模型单价是元，B型机器人模型单价是 元． 根据题意， ，解这个方程， 解得， 经检验是原方程的根． （元） 答：A型机器人模型单价是14000元，B型机器人模型单价是12000元． （2）设购买A型机器人模型 台，购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费 元， 由题意得： ，解得 ． ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ 随 的增大而增大． ∴当 时，取得最小值，此时 （台）； 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是400000元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键． 37．为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，这种“五星琵琶”中果比大果每千克进价少4元，小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？ (2)小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高50％，大果在进价的基础上每千克加价4a元进行销售，一周后，中果还剩20％，大果还剩40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，小李准备降价促销：中果每千克降价a元，大果每千克降价5元进行销售．预计除了10千克中果和2千克大果损坏不能售出外，其余全部售出．若总计获利不少于5980元，求a的最小值． 【答案】(1)中果每千克进价元，则大果每千克进价为元； (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设中果每千克进价元，则大果每千克进价为元，根据小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍．然后列分式方程即可求解． （2）分阶段求出总收入=元、总成本元，根据总利润=总收入−总成本元，依题意列不等式即可作答． 【详解】（1）解：设中果每千克进价元，则大果每千克进价为元，依题意： ∴， 解并检验得：， 大果每千克进价为元， 答：中果每千克进价元，则大果每千克进价为元； （2）解：已知中果购进（千克），大果购进 （千克），总成本 （元）． 第一阶段销售： 中果售价比进价高，售价（ 元/千克）． 售出量 （千克），收入 （元）． 大果在进价基础上加价元，售价元/千克．售出量（千克），收入元． 剩余：中果（ 千克），大果 （千克）． 第二阶段促销（降价销售）： 中果每千克降价 元，新售价 )元/千克． 剩余千克中，损坏千克不能售出，可售量为（千克），收入 元． 大果每千克降价 元，新售价 元/千克． 剩余千克中，损坏千克不能售出，可售量千克，收入 元． 总收入)元， 总利润=总收入−总成本元， 由要求总利润不少于 5980 元，得：，解得 ， 因此，，最小值为 ． 38．某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）； ① 转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前； ② 转运板进311，托起车，载车出311； ③ 转运板载车滑行至316前； ④ 转运板进316，放车，空载出316，停在316前； ⑤ 升降台垂直送车至一层，系统完成取车． 停车位 301 … 停车位 311 … 升降台 316 … 留空 321 … 停车位 330 转运板滑行区                             转运板滑行区 如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍． (1)若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度； （说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计） (2)在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率． 【答案】(1)转运板载车时的滑行速度为0.6m/s (2)P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝ 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和列举法求概率，掌握列方程或不等式解决实际问题和概率公式是解题的关键． （1）设转运板载车时的滑行速度为x m/s，则升降台升降速度为0.5x m/s，由“升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前”列出方程即可求解； （2）根据（1）的结论，设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，由“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”列出不等式求出a，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：设转运板载车时的滑行速度为x m/s，则升降台升降速度为0.5x m/s， 依据题意可知，车位421与401相距m，且每层的层高为6 m， 可列方程：， 解得：x＝0.6 ，                                              经检验，原分式方程的解为x＝0.6，且符合题意． 答：转运板载车时的滑行速度为0.6m/s． （2）解：设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车， 则． 解得：． 因为a是正整数，所以． 因此，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，该车只能停放在316左右两旁一共4个车位上，也即该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上共有28种可能性相等的结果，而停放在满足条件“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”的停车位上的结果有4种，所以P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝． 68 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 分式与分式方程 1、分式的概念 形如 的式子叫做分式，其中A，B是两个 ，且 中含有字母 2、分式有意义：分母不为 3、分式的值为零： 分式值为零时要求 且 4、分式的基本性质 分式的分子与分母都 同一个不等于零的 ，分式的值不变 5、约分 把一个分式的分子和分母的 约去，当分子，分母是多项式时，先 ，再约分 6、最简分式 分子和分母没有 7、分式乘除法 两个分式相乘，把分子相乘的积作为 ，把分母相乘的积作为 ；两个分式相除，把除式的 后再与被除式相乘，结果应化为最简分式或整式 8、分式的乘方 分子、分母分别 9、通分 根据分式的 ，异分母的分式可以化为 分式，这一过程称为分式的通分 异分母分式通分时，通常取 （简称为 ）作为它们的共同分母 10、分式的加减法 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先 ，化为 ，然后再按 法则进行计算 11、分式方程 分母中含有 的方程 12、解分式方程 先将方程两边同乘一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母），约去分母，从而转化为整式方程，然后再解这个整式方程 解分式方程可能产生 ，所以解分式方程必须 。通常只需检验所得的根是否使 就可以了。如果所得的是原方程的增根， 。 13、增根 在方程变形中如果产生了不适合原方程的根，那么我们称它为原方程的增根。 14、列分式方程解决实际问题的一般步骤 一、分式的辨析 1．下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式中：，分式的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．有整式，2，，请在上述整式中选择你最喜欢的两个整式组成一个分式 ． 二、分式有（无）意义的辨析 4．函数中的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 5．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 6．若分式有意义，则的取值范围是 ． 7．若分式无意义，则 ． 三、分式的取值问题 8．若分式的值为0，则的值是（   ） A．1 B． C．0 D．3 9．若，那么的值是（    ） A． B． C．2 D．4 10．若，则的值为 ． 11．根据下表中的信息，请写出一个只含有字母且符合表中要求的分式 ．（写出一个即可） 分式 无意义 12．已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为，则代数式 ． 四、分式基本性质的应用 13．根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 14．下列分式中，与分式结果相等的是（   ） A． B． C． D． 15．若，则M为（   ） A． B． C． D． 16．如果把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍 17．将分式中的同时扩大为原来的3倍，分式的值将（    ） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 18．分式的值为，将，都扩大倍，则变化后分式的值为（ ） A． B． C． D． 五、分式的乘除法运算 19．下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 20．化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 21．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 22．若运算的结果是整式，则“□”代表的式子可能是（   ） A． B． C．a D． 23．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 24．若不是最简分式，则（   ）里的整式可以是 ．（写出1个即可） 25．计算： ． 26．化简： 的结果为 ． 27．先化简，再求值：其中． 六、分式的加减法 28．计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 29．分式与的最简公分母是 ． 30．计算： ． 31．化简的结果为 ． 32．计算的结果是 ． 33．计算： ． 七、解分式方程 34．解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（   ） A． B． C． D． 35．关于x的分式方程的解为 ． 36．解方程． 37．解方程： (1) (2) 38．下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，第一步， 去括号得，，第二步， 解得，．第三步， 检验：当时，，第四步， ∴是原方程的根，第五步． 任务： (1)小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是 ． 重难点01分式的取值问题 1．根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 2．若分式的值为正数，则x的取值范围为 ． 3．若一个三位数，各个数位上的数字均不为零，且满足各个数位的数字之和为4的倍数，称这样的数为“四方数”，如138，，所以138是“四方数”，如257，，14不是4的倍数，所以257不是“四方数”，若“四方数”，其中，交换M的百位与个位数字得到，记，若的值为整数，则满足条件的M的最大值为 ． 4．阅读材料： 解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：无解，解②得： 所以原不等式的解集是 (1)请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集 ：________；：________；：________； (2)解分式不等式：． 5．一个各数位均不为0的三位自然数，满足，则称这个三位数为“双倍数”．例如：三位数147，因为，所以147是“双倍数”． (1)若，且，求这个“双倍数”M的值； (2)若是一个“双倍数”，且满足，是整数．求满足条件的W的最大值． 6．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 重难点02分式乘除法的运算 7．已知有一组代数式满足（n为正整数）的数量关系，如：，我把满足这种数量关系的代数式称为“衍生式”，现有一组“衍生式”，其中，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（    ） A． B． C． D． 9．已知有序代数式串：，对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：，，；第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：，，，；依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：，，，，； ②第次操作后得到的新代数式与第次操作后得到的新代数式相同； ③第次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 10．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若为整数，且关于的分式是“友好分式”，则的值为 ． 11．给定一列分式：，，，，…（其中，），那么第n个分式是 ，这列分式中第n个分式除以第个分式的商是 ． 12．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 13．某净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小亮进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ； (2)小亮共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 / / ①请将表格中方案的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ 重难点03分式加减法的应用 14．若定义三个函数分别为：，，，下列结论：①的最小值为；②若为整数，则满足条件的整数的个数为个；③当时，．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 15．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为．已知，并规定：，，下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数，都有成立 其中正确结论的个数有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 16．阅读材料：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，假分式可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ． 若假分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为 ；若一个三位数，十位数字是百位数字的两倍；另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同，若这个三位数的平方能被这个两位数整除，则所有满足条件的两位数的和为 ． 17．若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，；在此变化过程中，记（n为正整数） (1)当时，，求此时的值； (2)填空：化简并猜想___________，___________，___________；（用只含和的代数式表示） (3)当为整数时，求此时的值． 18．小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 19．【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 20．【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差． （i）若，则；（ii）若，则；（iii）若，则； 【尝试应用】 （1）比较图中两个长方形周长的大小； （2）若，，且，试比较代数式与的大小， 【联系生活】 （3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度匀速跑，后半程以速度为速跑．乙同学前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，请问谁先到达终点？ 21．（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 重难点04解分式方程 22．方程的解是 ． 23．对于正数，规定．请解答下列问题． (1)计算：； (2)计算：； (3)探究是否存在正数使得成立，若存在，请求 24．如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3． (1)已知：，，判断A与B是否互为“差离分式”．若是，求出差离值；若不是，请说明理由． (2)已知：，，若C与D互为“差离分式”，且差离值为，求E所代表的代数式． (3)已知：，（m，n为非零常数），若P与Q互为“差离分式”，求的值． 25．已知关于x的分式方程只有一个实数解，求k值． 26．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 重难点05分式根的讨论问题 27．已知关于的分式方程的解满足，且为整数，则符合条件的所有值的乘积为（  ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 28．若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 29．已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为 ． 30．若关于x的不等式组有解，且使关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的值之和是 ． 31．若关于x的方程无解，则m的值为 ． 32．若关于的一元一次不等式组无解，关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 33．已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 重难点06、分式方程的实际应用 34．电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量．下面说法不正确的是（   ） 温馨提示：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．与踏板上人的质量之间的函数关系式为：（） B．电压表显示的读数为6伏时，可变电阻电阻是10欧 C．电压表显示的读数为3伏时，对应测重人的质量为90千克 D．对应测重人的质量为105千克，电压表显示的读数为4伏 35．综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 36．某公司为了提高工作效率购买了A，B两种型号的机器人，A型机器人单价比B型机器人单价多2000元．用700000元购买A型机器人和用600000元购买B型机器人的数量相同． (1)求A型、B型机器人的单价分别是多少元？ (2)公司准备购买A型和B型机器人共40台．购买B型机器人的数量不超过A型机器人的数量3倍，且商家给出了两种型号机器人均打八折的优惠，问购买A型和B型机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 37．为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，这种“五星琵琶”中果比大果每千克进价少4元，小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？ (2)小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高50％，大果在进价的基础上每千克加价4a元进行销售，一周后，中果还剩20％，大果还剩40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，小李准备降价促销：中果每千克降价a元，大果每千克降价5元进行销售．预计除了10千克中果和2千克大果损坏不能售出外，其余全部售出．若总计获利不少于5980元，求a的最小值． 38．某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）； ① 转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前； ② 转运板进311，托起车，载车出311； ③ 转运板载车滑行至316前； ④ 转运板进316，放车，空载出316，停在316前； ⑤ 升降台垂直送车至一层，系统完成取车． 停车位 301 … 停车位 311 … 升降台 316 … 留空 321 … 停车位 330 转运板滑行区                             转运板滑行区 如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍． (1)若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度； （说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计） (2)在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率． 16 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$