专题02 方差（专项训练）数学鲁教版五四制八年级上册

专题02 方差 题型一、求方差 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）题目：“已知5个数据a，b，c，d，e的平均数为6，求这5个数据的方差．”在计算时小方的式子为：，小程的式子为：则小方，小程所列的式子（　　） A．小方正确，小程错误 B．小方错误，小程正确 C．都正确 D．都错误 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）甲、乙两名射击运动员次射击训练成绩的条形统计图如图所示．设甲、乙两名射击运动员这次射击成绩的方差分别是，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）某“中学生暑假环保小组”随机收集了班里部分同学一周内使用环保方便袋的数量，得到了这组数据的方差，关于这组数据的描述，不正确的是（   ） A．众数是2 B．中位数是4 C．样本容量是5 D．平均数是3.2 4．（2025八年级下·全国·专题练习）某组数据的方差，则该组数据的总和是 5．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）某学习小组6个成员某次数学测验的分数如下：80，79，76，x，78，81，若该组数据平均数为79，则该组数据的方差是 ． 6．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图是甲、乙两名同学6次射击成绩的折线统计图，甲、乙两入射击成绩的方差 ． 7．（24-25八年级下·广东阳江·期末）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，此时这组成绩 （单位：）的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则 （填“>”“=”或“<”）． 8．（2025·浙江温州·三模）甲、乙两名同学要参加知识竞赛，已知竞赛共100道题，每题1分，满分为100分．两位同学各模拟了十次，将成绩绘制成如下的统计图和统计表： 甲、乙成绩统计表 平均成绩/分 中位数/分 方差/分 甲 96 a      乙 96 96 b (1)求a、b的值； (2)若将每题1分改为每题分，其余不变，则甲这10次成绩的方差将______填“变大”、“变小”或“不变” 题型二、已知方差求未知数据 9．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）圆圆在计算一组数据的方差时，列出了算式：．关于这组数据，下列说法错误的是（　　） ①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④样本容量是3． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 10．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）八年级某班准备从甲、乙两位同学中选一人参加学校跳绳比赛．通过多次测试统计，他们的平均成绩都是每分钟180个，方差分别是：．最终选择了更稳定的甲参加比赛，则可能是（    ） A． B． C． D．3 11．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（   ） A．4 B．3 C． D． 12．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如果用公式计算一组数据的方差，那么数据，，，…，的和是（   ） A．268 B．240 C．90 D．43 13．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）小宇在计算某组样本的方差时，列式为：，则该组样本的样本容量是 ，平均数是 ． 14．（2025·北京石景山·二模）某药物研究小组对甲、乙两组各6位病人服用某种药物后的康复时间（单位：天）进行了调查，记录如下： 甲组：10，11，12，13，14，15 乙组：12，13，14，16，15， 若甲、乙两组病人康复时间的方差相同，则符合条件的的值可以为 ．（写出一个即可） 15．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3，另一组数据，，，，的平均数与方差的和为 ． 16．（2025·江苏常州·二模）在打靶演习中需要射击5次，某训练者知道前4次的成绩(单位：环)为：7，9，8，6．要使这5次成绩的方差小于前4次成绩的方差，第5次射击成绩可以是 环． 17．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）已知一组数据，，，6，3，1的中位数为1，求该组数据的方差． 题型三、各种统计量的综合判定 18．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）一俱乐部的篮球队有名队员，统计所有队员的年龄制成如下统计表，表格不小心被某同学用水打湿了，看不清岁和岁队员的具体人数： 年龄（岁） 岁 岁 岁 岁 岁 人数（个） 下列统计量中，不受影响的是（   ） A．中位数，方差 B．众数，方差 C．中位数，众数 D．平均数，中位数 19．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）给出一组数据：a，b，c，c，，将这组数据改变为，b，c，c，后，比较这两组数据，统计量一定发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 20．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法正确的是（   ） A．平均数是3 B．中位数是4 C．标准差是 D．方差是3 21．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）小文同学将学校歌咏比赛中九位评委的打分经过整理分析后，制成如下表格：如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（   ） 平均数 众数 中位数 方差 8.6 8.1 8.3 0.15 A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 22．（24-25八年级下·福建泉州·期末）体育测试结束后，班主任委托小明，对本组位同学的体育成绩按从高到低进行统计：“，，，，，，■”时，不小心将最后一个数据污染了，则“■”无论为何值都不影响这组数据的（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 23．（24-25八年级上·广西百色·期末）为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续6天的最高气温，结果如下（单位：）：，，，2，，3．若这组数据的中位数是，则下列结论正确的是（   ） A．平均数是 B．极差是8 C．方差是9 D．以上均不符合 24．（2025·黑龙江大庆·二模）菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：32，33，31，29，31；改变这组年龄数据某1个数字的值后，新数据的下列统计量，与原数据相比，一定发生变化的是（ ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．极差 25．（2025·浙江丽水·二模）测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（   ）． A．方差 B．中位数 C．标准差 D．平均数 题型四、利用方差进行决策 26．（24-25九年级下·福建泉州·期中）在最近几次选拔赛中，甲、乙、丙、丁4名跳高运动员的平均成绩都是，方差分别是，，，，如果要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，你认为最应该派去参加比赛的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 27．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，其方差分别为和，则（   ） A．， B．， C．， D．， 28．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图是甲乙两位同学在参加体育中考前的5次体能测试成绩折线统计图，则下列说法正确的是（   ） A．甲成绩比较稳定，且平均成绩较低 B．乙成绩比较稳定，且平均成绩较低 C．甲成绩比较稳定，且平均成绩较高 D．乙成绩比较稳定，且平均成绩较高 29．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）甲和乙两人进行射击比赛，两人各射击10次，成绩如下表（单位：环）．经计算，发现两人平均成绩都是7环，则本次比赛甲乙两人发挥更稳定的是 ． 甲 10 10 10 8 7 7 7 5 4 2 乙 9 8 8 7 7 7 7 6 6 5 30．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）甲、乙两人5次射击的成绩分别如下（单位：环），甲：；乙：．则在这次射击中成绩稳定的是 ． 31．（2025·山西太原·二模）随着国民经济的飞速发展，中国物流行业保持较快增长速度，物流体系不断完善，行业运行日益成熟和规范．某单位需要运输一批货物，有甲、乙两家物流公司可供选择，该单位收集了10位客户对两家物流公司“服务质量的评价”得分（满分10分），绘制了如图所示的折线统计图，则“服务质量的评价”更为稳定的是 ．（填“甲”或“乙”） 32．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，如果要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选 参赛． 甲 乙 丙 丁 平均数（） 195 190 195 190 方差 33．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，八（1）班、八（2）班各选取五名选手参赛．已知八（1）班比赛成绩的平均数为8，方差是，八（2）班参赛选手成绩（单位：分）依次为：5、9、7、10、9．请你计算八（2）班比赛成绩的方差，并从方差的角度分析哪个班级成绩更稳定． 题型五、有关标准差、极差的辨析和应用 34．（24-25八年级下·山东菏泽·开学考试）若样本，的平均数为12，方差为4，则对于样本，下列结论正确的是（   ）． A．平均数为12，标准差为2 B．平均数为12，标准差为4 C．平均数为27，标准差为2 D．平均数为27，标准差为4 35．（2025·贵州遵义·模拟预测）九年级中10名男生身高数据为（单位：厘米）：175、170、175、178、169、180、174、173、175、180．上数据中的众数、极差、中位数分别为________． A．175、11、175 B．180、11、175 C．175、11、180 D．180、169、175 36．（2025·广东深圳·三模）一组数据：，这组数据的众数和极差分别是（   ） A． B． C． D． 37．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）一组数据：12，5，3，0，，6的极差为 ． 38．（24-25八年级下·浙江·期中）计算数据3，4，5，6，7的标准差为 ． 39．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）数据12，13，14，16，x，已知平均数是14，则这组数据的标准差为 ． 40．（24-25八年级上·山东东营·期中）已知2，3，5，m，n五个数据的方差是4，那么3，4，6，，五个数据的标准差是 ． 41．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）某班级开展“好书伴成长”的读书活动，班主任老师统计了月该班同学每月课外阅读数量，绘制了如图所示的折线统计图，则月每月课外阅读数量的最大值比最小值多 本． 42．（2025·吉林·二模）为了解“吉单”和“良玉”两个品种玉米的长势，农业科技人员随机抽取“吉单”和“良玉”两个品种的玉米棒各20个，测量棒长（单位：cm）、棒直径（单位：cm），分别计算棒长与棒直径的比值（长直比），绘制复合折线图如下： 根据复合折线图回答下列问题： (1)计算“吉单”品种玉米棒的长直比最大值与最小值的差． (2)在抽取的两个品种的玉米棒中，长直比更稳定品种是______． (3)现有一个长为19.6cm，直径为5.6cm的玉米棒，请判断这个玉米棒更可能来自于“吉单”、“良玉”中的哪种玉米？为什么？ 题型六、利用统计图对数据进行分析、决策 43．（24-25八年级下·山东临沂·期末）某中学准备从预赛的甲、乙两名学生中选出一名参加市里举办的比赛，10位评委老师对这两名学生的表现进行了打分（最高分为10分），同时结合学生意见，进行了学生民主测评． a．评委老师打分折线统计图： b．甲、乙两名学生成绩统计表： 评委老师打分中位数 评委老师打分众数 评委老师打分总分 民主测评总分 甲 8 82 92 乙 9 88 89 (1)__________，__________，________（选填“>”“=”或“<”）． (2)按评委老师打分总分与民主测评总分7：3的权重比，计算甲、乙两名学生的综合得分． (3)根据以上数据，应该选择哪名学生去参加比赛？请说明理由（写出两条即可）． 44．（24-25八年级下·甘肃甘南·期末）小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有、两所学校适合，小明收集了这两所学校过去周周六上午的预约人数： 学校：，，，，，，，，， 学校：（如图） (1)补全下列表格 学校 平均数 众数 中位数 方差 (2)根据上述材料分析，小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由． 学校 平均数 众数 中位数 方差 45．（23-24八年级下·河南新乡·期末）为迎接中考体育测试．本学期九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（分） 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式．计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： (1)的值是　　　　； (2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由； (3)如果甲再测试次，第六次模拟测试成绩为分，与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差　　　．（填“变大”“变小”或“不变”） 46．（24-25八年级下·山东滨州·期末）今年是“五卅运动”100周年，某校为了让学生了解“五卅运动”，对七、八年级开展了关于“五卅运动”的知识竞答活动，满分共100分．从中分别随机抽取了10名学生的成绩（成绩均为整数，单位：分）进行整理分析，成绩如下： 七年级 98 99 93 93 80 95 90 90 93 99 八年级 90 92 100 98 99 98 91 89 98 95 根据以上数据，分析得到以下统计量： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 七年级 93 b 93 28.8 八年级 96.5 15.4 根据以上信息，回答下列问题： (1)___________，___________，___________； (2)抽取的八年级学生中，有一位同学测试成绩为95分，他的成绩在这10个人中处于______（填“中上”“中等”或“中下”）水平； (3)根据上表中的统计量，你认为哪个年级的总体成绩较好？说明理由（至少从两个角度进行分析）． 47．（24-25八年级下·广东汕头·期末）某中学为了提高学生对优秀传统文化的认知，组织七、八年级学生开展了一次“非遗文化”知识竞赛，并从中各抽取25名学生的竞赛成绩进行整理分析．竞赛成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分分别记为10分，9分，8分，7分，绘制的统计图、表如下． 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 a 9 八年级 8 b (1)根据以上信息直接写出________，________．并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； (2)请你分析在这两个年级中，成绩更稳定的是哪个年级？并说明理由； (3)若该校七年级有400人，八年级有500人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人． 48．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）学校要进行普法宣传比赛，某班选出甲、乙两名学生参加法制知识大比拼（满分100分），并对10次成绩进行整理分析，得到如下图表信息： 平均数/分 众数/分 中位数/分 甲成绩 85.5 80 n 乙成绩 85.5 m 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______． (2)甲、乙两名学生成绩的方差分别为，请判断______（填“>”“<”或“=”）． (3)根据（1），（2）两题的结果和折线统计图，你认为选择哪个同学参赛最合适？请说明理由． 49．（2025·山西吕梁·模拟预测）国家安全是民族复兴的根基，社会稳定是国家强盛的前提．必须坚定不移贯彻总体国家安全观，把维护国家安全贯穿党和国家工作各方面全过程，确保国家安全和社会稳定．近日，某中学举行了国家安全知识测试，测试结束后，老师从七、八年级各随机抽取了10名学生的测试成绩（百分制），数据整理、描述和分析如下： （成绩得分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．）． 七年级10名学生的成绩：96.86．96.86，99.96．90.100，89.82． 八年级10名学生的成绩在组中的数据：94，90，93． 七、八年级抽取学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 93 众数 100 方差 34.6 34.5 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_____，_____，_____． (2)该校七、八年级共1200人参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩优秀的学生人数． (3)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“国家安全知识”的掌握较好？请说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）． 50．（24-25九年级下·安徽芜湖·阶段练习）年月日，中国“春节”申遗成功．中国春节文化源远流长，全国各地衍生出纷繁多样的春节习俗．某校为了解学生对春节文化的了解情况，举办了春节文化知识竞赛，现从该校八、九年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：，，，，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名学生竞赛成绩在组的数据是，，，，，，． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校七年级有名学生，八年级有名学生，九年级有名学生，七年级学生成绩达优秀等级的有，估计全校学生都参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 51．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）小赵、小钱、小孙、小李四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字一定含有1的是（　　） A．小赵选出四个数字的方差等于4.25 B．小钱选出四个数字的中位数是4 C．小孙选出四个数字的平均数等于4 D．小李选出四个数字的极差等于4 52．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）下列说法正确的是（   ） A．数据1，2，2，4，4，6的众数是4 B．有一组数据：a，b，c，d（）．将这组数据改变为：，b，c，．则改变前后的两组数据的平均数相等，中位数相等，方差相等； C．已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为2．则； D．已知一组数据，，…，的平均数为1，方差为，若在这组数据中加入另一个数据，重新计算，平均数无变化，则这10个数据的方差为2． 53．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（单位，个）如图所示，有下列四个结论：①乙的成绩的波动程度比甲的大；②乙的最好成绩比甲的最好成绩好；③甲、乙两人成绩的平均数相同；④甲、乙两人成绩的中位数不同，其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 54．（2023九年级·广西柳州·专题练习）五个互不相等的正偶数，，，，的平均数和中位数都是，且六个数，，，，，的众数是6，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数，，，，的方差为 . 55．（2023·江苏宿迁·二模）若非负数a，b，c满足，则数据a，b，c的方差的最大值是 ． 56．（2025·北京·一模）某校“节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．教师评委打分： 85，86，88，90，90，91，92，94 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分4组：第1组，第2组，第3组，第4组） c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 90 学生评委 93 根据以上信息，回答下列问题： ①教师评委打分的众数 ，的值位于学生评委打分数据分组的第 组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为，则 （填“＞”“＝”或“＜”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 90 92 90 89 91 乙 90． 91 89 90 91 丙 92 89 91 91 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中（为整数）的值为 ． 57．（23-24九年级上·河南郑州·期末）从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革、为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度（满分10分）        b．信息识别准确度（满分10分）      c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 项目 统计量 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 b 5.6 乙 7.65 a 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中______，_____；观察统计图得：_____（填“”“”或“”）； (2)若某市共有20.4万人使用甲款软件，请估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； (3)综合上表中的统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）． 58．（2025·山东聊城·一模）为落实全国教育大会上提出的“要树立健康第一”的教育理念，某市启动中考体育改革，将体育成绩纳入中考总分，包括．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分共分（其中运动参与满分分，主要有平时体育课、课间体育活动等；运动技能满分分，主要是自主选择一项田径、球类等项目进行测试掌握基本技能即为满分；体质健康测试满分分，包括体重指数、肺活量、跑步、立定跳远等项目；统一体能测试满分分，包括跑步，引体向上（男）仰卧起坐（女）等项目）． 某中学数学兴趣小组对本校八年级学生的体育测试情况进行统计调查，从该校所有八年级学生中随机抽出部分学生的体育测试成绩，将所得的数据进行收集、整理、描述． 下面给出了部分信息： 信息一：每名学生的四项得分之和作为总分，总分用表示，将总分数据分成如下四组：第组：，第组：，第组：，第组：，以下是总分的频数直方图和扇形统计图的部分信息． 结合信息一解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全，________，第4组所对应的圆心角的度数是________； （2）所抽取的这些学生的中位数位于第________组； （3）该校八年级共有名学生，请估计体育总分不低于分的学生有多少名？ 信息二： 抽取的学生在．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分的平均数和方差如下表： 运动参与 运动技能测试 体质健康测试 统一体能测试 平均分 方差 （4）请结合以上信息分析，影响一个学生体育总分的主要是哪些部分的成绩？并就如何提升学生体育成绩，提出至少两条合理化建议． 试卷第46页，共49页 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方差 题型一、求方差 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）题目：“已知5个数据a，b，c，d，e的平均数为6，求这5个数据的方差．”在计算时小方的式子为：，小程的式子为：则小方，小程所列的式子（　　） A．小方正确，小程错误 B．小方错误，小程正确 C．都正确 D．都错误 【答案】B 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式．根据方差的定义和计算公式计算即可． 【详解】解：小方的式子中缺少的项，错误； ， ， 小程的式子为：， 小程的式子正确； 故选：B． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）甲、乙两名射击运动员次射击训练成绩的条形统计图如图所示．设甲、乙两名射击运动员这次射击成绩的方差分别是，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据所给的条形统计图求出甲、乙的平均成绩，再利用方差的公式进行计算，即可求出答案． 【详解】解：由图可知甲的成绩的平均数是：， 乙的成绩的平均数是：， 甲的方差， 乙的方差， ∵， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）某“中学生暑假环保小组”随机收集了班里部分同学一周内使用环保方便袋的数量，得到了这组数据的方差，关于这组数据的描述，不正确的是（   ） A．众数是2 B．中位数是4 C．样本容量是5 D．平均数是3.2 【答案】B 【分析】本题考查了众数、中位数、方差、平均数，理解以上知识点是解题的关键． 根据方差公式中的各个数据点确定原始数据，进而计算众数、中位数、样本容量和平均数，逐一验证． 【详解】解：A：数据中出现的次数最多，众数为，正确，故该选项不合题意； B：将数据从小到大排列为、、、、，中位数为，错误，故该选项符合题意； C：由方差公式中的各项可知，数据为、、、、，共个数据，样本容量是，正确，故该选项不合题意； D：由方差公式知，平均数为，正确，故该选项不合题意． 故选：B． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）某组数据的方差，则该组数据的总和是 【答案】 【分析】本题考查了方差的定义，解题关键是对方差公式的理解．根据方差的求解公式可知这组数的平均数以及这组数的个数，据此即可作答． 【详解】解：， 平均数是，这组数的个数为， 则该组数据的总和是：， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）某学习小组6个成员某次数学测验的分数如下：80，79，76，x，78，81，若该组数据平均数为79，则该组数据的方差是 ． 【答案】 【分析】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以所有数据的个数．方差的公式． 根据平均数确定出后，再根据方差的公式计算方差即可． 【详解】解：由平均数的公式得：， 解得， 则方差为． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图是甲、乙两名同学6次射击成绩的折线统计图，甲、乙两入射击成绩的方差 ． 【答案】> 【分析】本题主要考查方差，根据方差计算公式分别求出甲、乙两入射击成绩的方差，再进行比较即可． 【详解】解：甲的射击成绩的平均数为（环） ； 乙的射击成绩的平均数为（环） ； ∵， ∴， 故答案为：> 7．（24-25八年级下·广东阳江·期末）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，此时这组成绩 （单位：）的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则 （填“>”“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查了方差和算术平均数．根据算术平均数和方差的定义解答即可．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：由题意可得，前9次标枪的平均数和10次投掷标枪的平均数相同，均为， ∵第10次投掷标枪的落点恰好在线上， ∴第10次投投掷结束后这组成绩更靠近平均数，数据波动越小，数据越稳定，则方差更小， ∴． 故答案为：． 8．（2025·浙江温州·三模）甲、乙两名同学要参加知识竞赛，已知竞赛共100道题，每题1分，满分为100分．两位同学各模拟了十次，将成绩绘制成如下的统计图和统计表： 甲、乙成绩统计表 平均成绩/分 中位数/分 方差/分 甲 96 a      乙 96 96 b (1)求a、b的值； (2)若将每题1分改为每题分，其余不变，则甲这10次成绩的方差将______填“变大”、“变小”或“不变” 【答案】(1)； (2)变小 【分析】本题考查了中位数，方差等，掌握数据分析能力是解题的关键． （1）将甲的分数从小到大排列，求出a；根据方差计算公式可得b； （2）当数据同时加或减相同的数，方差不变；当数据同时乘或除相同的数，方差乘或除该数的平方． 【详解】（1）解：甲的分数为：91，92，95，94，95，97，98，99，99，100， 从小到大排列为：91，92，94，95，95，97，98，99，99，100， 分， 乙的分数为：94，95，96，95，96，98，97，96，97，96， 分 （2）解：∵分数， 方差， 甲的方差将变小， 故答案为：变小． 题型二、已知方差求未知数据 9．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）圆圆在计算一组数据的方差时，列出了算式：．关于这组数据，下列说法错误的是（　　） ①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④样本容量是3． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查方差，中位数，众数，平均数的定义以及总体、个体、样本、样本容量，根据已知的方差计算公式得出这组数据为2、4、5、5，再根据中位数，众数，平均数的概念求解即可． 【详解】解：由题意可知：这组数据为2、4、5、5， ∴平均数为，故①正确； ∴中位数为，故②错误； ∵5出现的次数最多， ∴众数为5，故③正确； 共有4个数，样本容量是4，故④错误； 综上所述，错误的有②④． 故选：D． 10．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）八年级某班准备从甲、乙两位同学中选一人参加学校跳绳比赛．通过多次测试统计，他们的平均成绩都是每分钟180个，方差分别是：．最终选择了更稳定的甲参加比赛，则可能是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了方差的意义． 根据方差越小，成绩越稳定判断即可． 【详解】解：∵，甲更稳定， ∴， 只有D符合， 故选：D． 11．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查方差及平均数的计算公式，根据方差及平均数计算公式解答即可． 【详解】解：由题意知，这组数据为2、2、3、3、3、3、4、4、4、8， ， 故选C． 12．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如果用公式计算一组数据的方差，那么数据，，，…，的和是（   ） A．268 B．240 C．90 D．43 【答案】B 【分析】本题主要考查了方差与平均数的计算公式，熟记公式是解题关键． 先根据方差的计算公式可得这组数据的平均数，再利用平均数的计算公式即可得． 【详解】解：由题意得：这组数据的平均数为6， 则， 解得：， ∴ 故选：B． 13．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）小宇在计算某组样本的方差时，列式为：，则该组样本的样本容量是 ，平均数是 ． 【答案】 4 6 【分析】本题考查了样本容量和平均数，通过方差公式的结构直接得出样本容量和平均数，需明确样本容量是数据的个数，平均数则是方差计算中统一减去的数值． 【详解】解：方差公式中的求和项：共有4个数据项， 分别为，每个数据点对应一个样本， 样本容量为4， 方差公式中的每个数据点均减去同一个数（即平均数）， 根据公式，每个数据点被减去的数为6， 平均数． 故答案为：4，6． 14．（2025·北京石景山·二模）某药物研究小组对甲、乙两组各6位病人服用某种药物后的康复时间（单位：天）进行了调查，记录如下： 甲组：10，11，12，13，14，15 乙组：12，13，14，16，15， 若甲、乙两组病人康复时间的方差相同，则符合条件的的值可以为 ．（写出一个即可） 【答案】11或17（写出一个即可） 【分析】本题考查方差公式，法一，利用方差的定义结合甲组和乙组除了外，每个数据之间的特征求解即可，法二，根据方差公式列方程求出a的值即可． 【详解】解：法一，∵甲组的每个数据之间相差，而乙组除了外，每个数据之间也是相差， 又∵甲、乙两组病人康复时间的方差相同， ∴乙组按照顺序排列：a、12、13、14、15、16或者12、13、14、15、16、a，两组数据都是连续的相差只有1， ∴或者； 法二，甲组：， ∴， 乙组：， ∴， 解得或， 故答案为：或（写出一个即可））． 15．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3，另一组数据，，，，的平均数与方差的和为 ． 【答案】17 【分析】本题考查平均数和方差的计算，掌握求平均数和方差的公式是解题关键．根据题意可得出，，再根据平均数公式和方差公式求出另一组数据的方差和平均数，即可求解． 【详解】解：∵这组数据的平均数是4， ∴， ∴， ∴ 另一组数据的平均数 ； ∵这组数据的方差为3， ∴， ∴另一组数据的方差 ， ∴另一组数据，，，，的平均数与方差的和． 16．（2025·江苏常州·二模）在打靶演习中需要射击5次，某训练者知道前4次的成绩(单位：环)为：7，9，8，6．要使这5次成绩的方差小于前4次成绩的方差，第5次射击成绩可以是 环． 【答案】7（答案不唯一） 【分析】本题考查的是求解一组数据的方差，方差的含义，先求解前4次的成绩的方差，再根据5次成绩的方差小于前4次成绩的方差，计算增加一次成绩后的方差即可得到答案． 【详解】解：这射击员知道前4次的成绩为：7，9，8，6． 此时平均数为：， 此时方差为： 当第5次射击成绩为时， ∴五次平均数为， ∴， 当第5次射击成绩为时， ∴此时平均数为； ， ∴当第5次射击成绩为或环时，满足条件． 故答案为：7（答案不唯一）． 17．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）已知一组数据，，，6，3，1的中位数为1，求该组数据的方差． 【答案】9 【分析】本题考查了方差和中位数，根据题意得，求出即可求解． 掌握方差的求解公式是解题关键. 【详解】由题意得， ∴. ， ， ∴该组数据的方差为9. 题型三、各种统计量的综合判定 18．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）一俱乐部的篮球队有名队员，统计所有队员的年龄制成如下统计表，表格不小心被某同学用水打湿了，看不清岁和岁队员的具体人数： 年龄（岁） 岁 岁 岁 岁 岁 人数（个） 下列统计量中，不受影响的是（   ） A．中位数，方差 B．众数，方差 C．中位数，众数 D．平均数，中位数 【答案】C 【分析】本题考查了中位数，众数，平均数和方差，根据中位数、众数、平均数和方差的定义即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵共有名队员， ∴岁和岁的队员有名， ∴众数一定是岁， ∵数据由小到大排列，中位数为第和第名队员年龄的平均数， ∴中位数为岁， 当岁和岁队员的人数变化时，平均数和方差会发生变化， ∴不受影响的是中位数，众数， 故选：． 19．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）给出一组数据：a，b，c，c，，将这组数据改变为，b，c，c，后，比较这两组数据，统计量一定发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【答案】C 【分析】本题主要考查方差、众数、中位数和平均数的定义，比较两组数据的统计量，逐一分析平均数、中位数、众数、方差的变化情况即可求解． 【详解】平均数：原数据总和为，改变后总和为 ，总和不变，故平均数不变，选项A不符合题意； 中位数：原数据按升序排列为a，b，c，c，，中位数为第三个数 ；改变后数据为，b，c，c，，仍按升序排列，中位数仍为第三个数 ，故中位数不变，选项B不符合题意； 众数：原数据众数为出现次数最多的 （两次）；改变后数据仍有两个 ，其他数各出现一次，众数仍为 ，选项D不符合题意； 方差：方差反映数据与平均数的偏离程度，虽然平均数不变，但 变为 ， 变为 ，两者离平均数的距离均增加2，偏离程度与之前相比已改变，因此，方差必然变化，选项C符合题意； 故选：C． 20．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法正确的是（   ） A．平均数是3 B．中位数是4 C．标准差是 D．方差是3 【答案】A 【分析】本题考查样本数据的平均数、中位数、标准差和方差的计算，根据定义逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解： A：平均数为，正确； B：将数据从小到大排列为1，2，3，4，5，中位数为中间的数3，而非4，错误； C：方差计算为，标准差为，而非，错误； D：由上述计算，方差为2，而非3，错误． 故选：A． 21．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）小文同学将学校歌咏比赛中九位评委的打分经过整理分析后，制成如下表格：如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（   ） 平均数 众数 中位数 方差 8.6 8.1 8.3 0.15 A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查平均数，众数，中位数和方差，掌握它们的定义是解题的关键． 去掉最高分和最低分后，数据个数由9变为7，平均数、众数、方差均可能受极端值影响而变化，而中位数因中间位置不变，故保持不变． 【详解】解：A．原平均数是所有数据之和除以9，去掉两个数据后，总和改变，且新平均数为剩余7个数据之和除以7，可能变化，排除A； B．原众数为出现次数最多的数，若去掉的数中包含众数，则剩余数据中众数可能改变，排除B； C．原数据排序后，第5个数为中位数（8.3），去掉最高和最低分后，剩余7个数据的中位数为第4个数，仍为原数据的第5个数（即8.3），故中位数不变，C正确； D．方差依赖平均数，若平均数变化，方差必然变化，排除D． 故选：C． 22．（24-25八年级下·福建泉州·期末）体育测试结束后，班主任委托小明，对本组位同学的体育成绩按从高到低进行统计：“，，，，，，■”时，不小心将最后一个数据污染了，则“■”无论为何值都不影响这组数据的（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数以及方差的定义，掌握相关知识是解题的关键．需要确定当最后一个数据被污染时，哪个统计量（平均数、中位数、众数、方差）不受影响，通过逐一分析各统计量的计算方式和数据变化的影响，可得出结论． 【详解】解：A、平均数：所有数据之和除以个数，最后一个数据被污染后，总和会改变，因此平均数必然受影响，故该选项不符合题意； B、中位数：由题意得，数据按从高到低排列，所以■不大于30，故无论■取何值，中位数始终为第四位的数据（即34），故该选项符合题意； C、众数：出现次数最多的数，原始数据中出现两次，若■为30，则众数为和，若■为其他数，则众数为，因此众数可能受影响，故该选项不符合题意； D、方差：反映数据波动程度，每个数据变化均会影响方差，故该选项不符合题意； 故选：B． 23．（24-25八年级上·广西百色·期末）为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续6天的最高气温，结果如下（单位：）：，，，2，，3．若这组数据的中位数是，则下列结论正确的是（   ） A．平均数是 B．极差是8 C．方差是9 D．以上均不符合 【答案】C 【分析】本题考查中位数，平均数，极差，方差，熟练掌握均数、极差、方差的计算公式是解题的关键． 根据中位数为确定未知数x的值，再逐一计算各统计量，即可求解． 【详解】解：将数据从小到大排列，中位数为第三、第四个数的平均值． ∵中位数为，则第三、第四个数之和为． ∴ ∴ 当时，数据为、、、、2、3， ∴平均数为； 这组数据最大值为3，最小值为，极差为 ：； 方差为： 故选项A、B、D都错误，选项C正确． 故选：C． 24．（2025·黑龙江大庆·二模）菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：32，33，31，29，31；改变这组年龄数据某1个数字的值后，新数据的下列统计量，与原数据相比，一定发生变化的是（ ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．极差 【答案】C 【分析】本题考查了众数、中位数、极差和平均数，根据众数、中位数、极差和平均数定义即可求解，掌握众数、中位数、极差和平均数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵中位数、众数、极差只与一组数据中的部分数据有关系， ∴中位数、众数、极差不一定发生变化， 平均数与每个数据有关系， ∴平均数一定发生变化， 故选：C． 25．（2025·浙江丽水·二模）测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（   ）． A．方差 B．中位数 C．标准差 D．平均数 【答案】B 【分析】本题考查求平均数，中位数，方差和标准差，根据平均数受极端值影响，方差受平均数的影响，标准差是方差的算术平方根，受方差影响，中位数与数据个数和排序有关，进行判断即可． 【详解】解：∵平均数受极端值影响，方差受平均数的影响，标准差是方差的算术平方根，受方差影响， ∴当将最高成绩写得更高了时，平均数，方差，标准差均会受到影响， ∵中位数与数据个数和排序有关，当将最高成绩写得更高了时，数据个数不变，排序不变， ∴中位数不受影响； 故选B． 题型四、利用方差进行决策 26．（24-25九年级下·福建泉州·期中）在最近几次选拔赛中，甲、乙、丙、丁4名跳高运动员的平均成绩都是，方差分别是，，，，如果要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，你认为最应该派去参加比赛的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了根据方差做决策，解题的关键是掌握方差越小越稳定，据此即可解答． 【详解】解：已知甲、乙、丙、丁四人的方差分别为 ，，，，方差越小表示发挥越稳定， 直接比较可得：， 因此丁的方差最小，成绩最稳定，应选择丁参加比赛， 故选：D． 27．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，其方差分别为和，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查方差．从图形中可以看出样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，由图可知A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，得到结论． 【详解】解：样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，显然， 由图可知A中数据波动程度较大，B中数据较稳定， ∴， 故选：A． 28．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图是甲乙两位同学在参加体育中考前的5次体能测试成绩折线统计图，则下列说法正确的是（   ） A．甲成绩比较稳定，且平均成绩较低 B．乙成绩比较稳定，且平均成绩较低 C．甲成绩比较稳定，且平均成绩较高 D．乙成绩比较稳定，且平均成绩较高 【答案】B 【分析】本题考查了方差与平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．平均数是所有数据的和除以数据的个数． 根据方差、平均数的意义结合图形即可求解． 【详解】解：由题可得，乙同学五次成绩的波动幅度较小，而甲同学五次成绩的波动幅度较大， ， 乙成绩比较稳定； 乙同学五次成绩只有第4次高于甲同学，且第4次两位同学的成绩差小于第5次两位同学的成绩差， 乙平均成绩较低． 故选：B． 29．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）甲和乙两人进行射击比赛，两人各射击10次，成绩如下表（单位：环）．经计算，发现两人平均成绩都是7环，则本次比赛甲乙两人发挥更稳定的是 ． 甲 10 10 10 8 7 7 7 5 4 2 乙 9 8 8 7 7 7 7 6 6 5 【答案】乙 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据表格数据计算两组数据的方差，比较两组数据的方差，方差小者更稳定． 【详解】解：由表格数据可知， 甲的方差为：， 乙的方差为：， ， 因此乙发挥更稳定． 故答案为：乙． 30．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）甲、乙两人5次射击的成绩分别如下（单位：环），甲：；乙：．则在这次射击中成绩稳定的是 ． 【答案】乙 【分析】本题考查求方差并用方差判定稳定性，掌握求方差的方法是解题的关键． 先求出甲乙的方差，再判定即可． 【详解】甲的平均成绩：， 甲的方差：； 乙的平均成绩：， 乙的方差：； ∵，即乙的方差较小， ∴这次射击中成绩稳定的是乙， 故答案为：乙． 31．（2025·山西太原·二模）随着国民经济的飞速发展，中国物流行业保持较快增长速度，物流体系不断完善，行业运行日益成熟和规范．某单位需要运输一批货物，有甲、乙两家物流公司可供选择，该单位收集了10位客户对两家物流公司“服务质量的评价”得分（满分10分），绘制了如图所示的折线统计图，则“服务质量的评价”更为稳定的是 ．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】本题考查的是从折线统计图中获取信息，方差或极差的含义，根据折线统计图可得甲的服务质量得分分布于，乙的服务质量得分分布于，从而可得答案. 【详解】解：由题意可得： 甲：7，8，6，8，7，5，8，6，8，7；乙：4，8，10，6，9，5，7，5，9，6． 甲的服务质量得分分布于，乙的服务质量得分分布于，从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定． ∴甲的稳定性更好． 32．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，如果要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选 参赛． 甲 乙 丙 丁 平均数（） 195 190 195 190 方差 【答案】甲 【分析】根据题意得到甲的方差最小，且平均数最高； 根据方差的意义即可得到结论． 本题主要考查方差的知识，熟练掌握方差越小，越稳定是解题的关键； 【详解】解：根据题意，要选择成绩好且发挥稳定的运动员，应选择平均数较大且方差较小的． 由表中数据可知，甲、丙平均数较高，为；乙、丁平均数较低，为， 故应从甲、丙中选择． 在甲和丙中，甲的方差4.5小于丙的方差7.4，说明甲的发挥更稳定． 综上，应该选择甲． 故答案为：甲． 33．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，八（1）班、八（2）班各选取五名选手参赛．已知八（1）班比赛成绩的平均数为8，方差是，八（2）班参赛选手成绩（单位：分）依次为：5、9、7、10、9．请你计算八（2）班比赛成绩的方差，并从方差的角度分析哪个班级成绩更稳定． 【答案】，八（1）班比赛成绩更稳定 【分析】本题考查求方差，方差的意义．根据方差公式求出方差，再根据方差越小，数据的波动更小更稳定即可解答． 【详解】解：八（2）班比赛成绩的平均数为， 方差为， ∵， ∴八（1）班比赛成绩更稳定． 题型五、有关标准差、极差的辨析和应用 34．（24-25八年级下·山东菏泽·开学考试）若样本，的平均数为12，方差为4，则对于样本，下列结论正确的是（   ）． A．平均数为12，标准差为2 B．平均数为12，标准差为4 C．平均数为27，标准差为2 D．平均数为27，标准差为4 【答案】D 【分析】本题考查求平均数和标准差，根据平均数和方差的变化规律：一组数据的平均数为，方差为，则：的平均数为，方差为，以及标准差为方差的算术平方根，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，的平均数为：，方差为：， ∴标准差为：； 故选D． 35．（2025·贵州遵义·模拟预测）九年级中10名男生身高数据为（单位：厘米）：175、170、175、178、169、180、174、173、175、180．上数据中的众数、极差、中位数分别为________． A．175、11、175 B．180、11、175 C．175、11、180 D．180、169、175 【答案】A 【分析】本题考查了中位数、极差、众数的概念，出现次数最多的数为众数，用最大值减去最小值得出的数即为极差，先把数据排序，位于中间位置的数分别是175、175，再求出它们的平均数，即为中位数． 【详解】解：依题意，数据175出现次数为3次，且出现次数最多， 故众数是175； 这组数据的最小值为169，这组数据的最大值为180， ∴极差， 先把数据从小到大排序，得169、170、173、174、175、175、175、178、180、180． 则排在中间位置的数分别是175、175， ∴中位数是， 故选：A． 36．（2025·广东深圳·三模）一组数据：，这组数据的众数和极差分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了众数和极差，根据众数和极差的定义解答即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵数据中，出现的次数最多，最大数据是，最小数据是， ∴这组数据的众数为，极差为， 故选：． 37．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）一组数据：12，5，3，0，，6的极差为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了数据的极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，掌握求极差的方法是解题的关键．由题意得，这组数据的最大值为12，最小值为，两者相减即可求出极差． 【详解】解：， ∴这组数据的极差为14． 故答案为：14． 38．（24-25八年级下·浙江·期中）计算数据3，4，5，6，7的标准差为 ． 【答案】 【分析】本题考查标准差的计算，熟练掌握计算标准差的步骤是解题的关键．先算出平均数，再根据方差公式计算方差，求出其算术平方根即为标准差． 【详解】解：数据3，4，5，6，7的平均数为， 方差， 标准差． 故答案为：． 39．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）数据12，13，14，16，x，已知平均数是14，则这组数据的标准差为 ． 【答案】 【分析】本题考查求标准差，根据平均数求出的值，根据标准差的计算公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 40．（24-25八年级上·山东东营·期中）已知2，3，5，m，n五个数据的方差是4，那么3，4，6，，五个数据的标准差是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加1所以波动不会变，方差不变，即数据的波动情况不变．先设原数据的平均数为，即可得出新数据的平均数，再求出原来的方差，和现在的方差，进而得出标准差． 【详解】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了1，则平均数变为， 则原来的方差， 现在的方差 ， 所以方差不变，标准差为2． 故答案为：2． 41．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）某班级开展“好书伴成长”的读书活动，班主任老师统计了月该班同学每月课外阅读数量，绘制了如图所示的折线统计图，则月每月课外阅读数量的最大值比最小值多 本． 【答案】55 【分析】本题考查了折线统计图，利用数形结合的方法是解题的关键．从折线图中找出最大值和最小值，再作差即可． 【详解】解：月每月课外阅读数量的最大值比最小值多：本， 故答案为：． 42．（2025·吉林·二模）为了解“吉单”和“良玉”两个品种玉米的长势，农业科技人员随机抽取“吉单”和“良玉”两个品种的玉米棒各20个，测量棒长（单位：cm）、棒直径（单位：cm），分别计算棒长与棒直径的比值（长直比），绘制复合折线图如下： 根据复合折线图回答下列问题： (1)计算“吉单”品种玉米棒的长直比最大值与最小值的差． (2)在抽取的两个品种的玉米棒中，长直比更稳定品种是______． (3)现有一个长为19.6cm，直径为5.6cm的玉米棒，请判断这个玉米棒更可能来自于“吉单”、“良玉”中的哪种玉米？为什么？ 【答案】(1)0.7cm (2)良玉 (3)吉单”，理由见解析 【分析】本题考查了数据的波动，平均数等知识，理解数据的波动、平均数的意义等知识，并结合图象正确应用是解题关键． （1）用“吉单”品种玉米棒的长直比最大值减去最小值即可求解； （2）由折线统计图可得“吉单”玉米的波动更大，即可得到长直比更稳定品种是“良玉”； （3）先求出长为19.6cm，直径为5.6cm的玉米棒长直比为3.5，结合图象即可求解． 【详解】（1）解： ． 答：“吉单”品种玉米棒的长直比的最大值与最小值的差为0.7cm． （2）解：由折线统计图可得“吉单”玉米的波动更大， 所以长直比更稳定品种是“良玉”． 故答案为：良玉 （3）解：． 答：因为“吉单”品种玉米的长直比更趋近于3.5，所以这个玉米棒更可能来自于“吉单”品种玉米． 题型六、利用统计图对数据进行分析、决策 43．（24-25八年级下·山东临沂·期末）某中学准备从预赛的甲、乙两名学生中选出一名参加市里举办的比赛，10位评委老师对这两名学生的表现进行了打分（最高分为10分），同时结合学生意见，进行了学生民主测评． a．评委老师打分折线统计图： b．甲、乙两名学生成绩统计表： 评委老师打分中位数 评委老师打分众数 评委老师打分总分 民主测评总分 甲 8 82 92 乙 9 88 89 (1)__________，__________，________（选填“>”“=”或“<”）． (2)按评委老师打分总分与民主测评总分7：3的权重比，计算甲、乙两名学生的综合得分． (3)根据以上数据，应该选择哪名学生去参加比赛？请说明理由（写出两条即可）． 【答案】(1)7，9，＞ (2)甲的综合得分85，乙的综合得分88.3 (3)选择乙参加比赛，理由见解析 【分析】（1）根据中位数、众数的定义即可求出中位数、众数，再根据方差的定义和计算方法得出甲、乙得分的方差即可； （2）根据加权平均数的计算方法分别计算甲、乙两位同学的得分即可； （3）根据中位数、方差，综合得分确定人选即可． 【详解】（1）由折线统计图可知，甲同学的得分为：7，10，7，9，7，9，8，7，8，10，乙同学的得分为：9，9，8，10，9，9，9，8，9，8， 甲同学得分出现次数最多的是7分，共出现4次，因此甲同学得分的众数是7分，即； 将乙同学的得分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为（分），即乙同学得分的中位数； 根据折线统计图可直观得出乙同学得分比较稳定，也就是乙同学得分的方差较小，即， 故答案为：7，9，＞； （2）解：甲的综合得分： 乙的综合得分： 答：甲的综合得分85，乙的综合得分88.3． （3）解：选择乙参加比赛．从中位数看，乙的中位数大于甲的中位数．从方差看，乙的方差小于甲的方差，表明乙的表现更稳定．从综合得分看，乙的综合得分更高，故选择乙参加比赛． 【点睛】本题考查中位数、众数，加权平均数、方差以及折线统计图，掌握中位数、众数、加权平均数以及方差的计算方法是正确解答的关键． 44．（24-25八年级下·甘肃甘南·期末）小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有、两所学校适合，小明收集了这两所学校过去周周六上午的预约人数： 学校：，，，，，，，，， 学校：（如图） (1)补全下列表格 学校 平均数 众数 中位数 方差 (2)根据上述材料分析，小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由． 【答案】(1)；； (2)不唯一，理由见解析 【分析】本题考查求中位数和众数，利用方差判断稳定性，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）根据中位数和众数的确定方法，进行求解即可； （2）根据方差判断稳定性，进行判断即可． 【详解】（1）解：①数据排序后，排在中间两位的数据为，故中位数为：； ②数据中出现次数最多的是，故众数为； ③数据排序后，排在中间两位的数据为，，故中位数为：； 填表如下： 学校 平均数 众数 中位数 方差 （2）不唯一，如：小明爸爸应该预约学校A，理由如下： 学校A的方差小，预约人数相对稳定，大概率会有位置更好的场地进行锻炼． 45．（23-24八年级下·河南新乡·期末）为迎接中考体育测试．本学期九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（分） 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式．计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： (1)的值是　　　　； (2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由； (3)如果甲再测试次，第六次模拟测试成绩为分，与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差　　　．（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】(1) (2)乙的体育成绩更好，理由见解析 (3)变小 【分析】本题考查平均数、方差， （1）根据乙同学的方差计算过程可以确定五次测试成绩，根据甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同列方程可得的值； （2）利用方差作比较可得结论； （3）求出甲次模拟测试成绩的方差，然后与前次模拟测试成绩的方差作比较即可； 解题的关键是牢记方差和平均数定义及计算公式． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， 故答案为：； （2）乙的体育成绩更好，理由： ∵， ∴， ∵，，即两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定， ∴乙的体育成绩更好； （3）∵甲第六次模拟测试成绩为分， 又∵甲前次模拟测试成绩的平均成绩为分， ∴甲次模拟测试成绩的平均成绩为：， 则甲次模拟测试成绩的方差为： ， ∵， ∴与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差变小． 故答案为：变小． 46．（24-25八年级下·山东滨州·期末）今年是“五卅运动”100周年，某校为了让学生了解“五卅运动”，对七、八年级开展了关于“五卅运动”的知识竞答活动，满分共100分．从中分别随机抽取了10名学生的成绩（成绩均为整数，单位：分）进行整理分析，成绩如下： 七年级 98 99 93 93 80 95 90 90 93 99 八年级 90 92 100 98 99 98 91 89 98 95 根据以上数据，分析得到以下统计量： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 七年级 93 b 93 28.8 八年级 96.5 15.4 根据以上信息，回答下列问题： (1)___________，___________，___________； (2)抽取的八年级学生中，有一位同学测试成绩为95分，他的成绩在这10个人中处于______（填“中上”“中等”或“中下”）水平； (3)根据上表中的统计量，你认为哪个年级的总体成绩较好？说明理由（至少从两个角度进行分析）． 【答案】(1)95，93，98 (2)中下 (3)八年级的总体成绩较好，理由见解析 【分析】本题主要考查调查与统计的知识，掌握平均数，中位数，众数的计算，根据调查数据作决策的方法是解题的关键． （1）根据平均数，中位数，众数的计算方法即可求解； （2）根据中位数的判定方法即可求解； （3）根据平均数，中位数，众数，方差的性质进行判定即可求解． 【详解】（1）解：八年级成绩的平均数， 八年级成绩出现次数最多的是， ∴， 七年级成绩从小到大排序为：80，90，90，93，93，93，95，98，99，99， ∴中位数为第5，6位同学成绩的中位数， 故答案为：95，93，98； （2）解：∵八年级的中位数是，一位同学测试成绩为95分， ∴该同学的成绩在这10个人中处于中下， 故答案为：中下； （3）解：八年级的总体成绩较好，理由如下， 七年级的成绩平均数为分，八年级的成绩平均数为95分， 七年级的成绩中位数为分，八年级的成绩中位数为分， 七年级的成绩众数为分，八年级的成绩众数数为分， 七年级的成绩方差为分，八年级的成绩方差为分， ∴八年级的总体成绩较好． 47．（24-25八年级下·广东汕头·期末）某中学为了提高学生对优秀传统文化的认知，组织七、八年级学生开展了一次“非遗文化”知识竞赛，并从中各抽取25名学生的竞赛成绩进行整理分析．竞赛成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分分别记为10分，9分，8分，7分，绘制的统计图、表如下． 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 a 9 八年级 8 b (1)根据以上信息直接写出________，________．并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； (2)请你分析在这两个年级中，成绩更稳定的是哪个年级？并说明理由； (3)若该校七年级有400人，八年级有500人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人． 【答案】(1)9，10 (2)七年级成绩更稳定，理由见解析 (3)估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有528人 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图． （1）根据中位数和众数的定义即可求出a、b的值，求出七年级成绩C等级人数，补全统计图即可； （2）根据方差判断即可； （3）分别用七、八年级的人数乘以优秀率相加即可． 【详解】（1）解：七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分， ， 八年级A等级人数最多， ， 七年级成绩C等级人数为：（人）， 七年级竞赛成绩统计图补充完整如下： 故答案为：9，10； （2）解：七年级成绩更稳定， 理由：七年级的方差小于八年级的方差，所以七年级成绩较稳定； （3）解：（人）， 答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有528人． 48．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）学校要进行普法宣传比赛，某班选出甲、乙两名学生参加法制知识大比拼（满分100分），并对10次成绩进行整理分析，得到如下图表信息： 平均数/分 众数/分 中位数/分 甲成绩 85.5 80 n 乙成绩 85.5 m 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______． (2)甲、乙两名学生成绩的方差分别为，请判断______（填“>”“<”或“=”）． (3)根据（1），（2）两题的结果和折线统计图，你认为选择哪个同学参赛最合适？请说明理由． 【答案】(1)85；87 (2) (3)选甲：甲的中位数为87，乙的中位数是86，所以10次成绩中间分数甲比乙高且甲最高分是99，潜力大． 选乙：平均分一样．乙的众数高于甲，且乙的方差小于甲，成绩更加稳定． 【分析】本题考查了中位数、众数、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据众数和中位数的定义解答即可； （2）根据方差的意义解答即可； （3）根据中位数，众数、方差和平均数的定义解答即可． 【详解】（1）解：在乙的10次成绩中，85出现的次数最多，故众数； 把甲的10次成绩从小到大排列，排在第5和第6个数分别是86，88，故中位数， 故答案为：85；87； （2）解：由折线统计图可知，甲的10次成绩的波比乙大， 所以 故答案为：； （3）解：选甲：甲的中位数为87，乙的中位数是86，所以10次成绩中间分数甲比乙高且甲最高分是99，潜力大； 选乙：平均分一样，乙的众数高于甲，且乙的方差小于甲，成绩更加稳定．（答案不唯一）． 49．（2025·山西吕梁·模拟预测）国家安全是民族复兴的根基，社会稳定是国家强盛的前提．必须坚定不移贯彻总体国家安全观，把维护国家安全贯穿党和国家工作各方面全过程，确保国家安全和社会稳定．近日，某中学举行了国家安全知识测试，测试结束后，老师从七、八年级各随机抽取了10名学生的测试成绩（百分制），数据整理、描述和分析如下： （成绩得分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．）． 七年级10名学生的成绩：96.86．96.86，99.96．90.100，89.82． 八年级10名学生的成绩在组中的数据：94，90，93． 七、八年级抽取学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 93 众数 100 方差 34.6 34.5 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_____，_____，_____． (2)该校七、八年级共1200人参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩优秀的学生人数． (3)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“国家安全知识”的掌握较好？请说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）． 【答案】(1)10；96；93.5 (2)参加此次测试活动成绩优秀的学生人数约为780 (3)八年级学生对“国家安全知识”的掌握较好，见解析 【分析】此题考查了方差，众数、中位数以及用样本估计总体： （1）用1减去其它组的百分比求出B组的百分比，即可求出a的值，再根据中位数和众数的定义求出b、c的值即可； （2） 用总人数乘以样本中C、D等级人数占被调查人数的比例即可； （3）可从众数、方差角度分析求解． 【详解】（1）由题意得． 七年级成绩中得分为96分的有3人，人数最多， 七年级的众数． 把八年级的10名学生成绩从低到高排列，组内有人， 组内有人， 组内有3人，分别为90分，93分，94分， 组内有人， 处在第5名和第6名的得分分别为93分，94分， 八年级的中位数． （2）． 答：参加此次测试活动成绩优秀的学生人数约为780． （3）八年级学生对“国家安全知识”的掌握较好． 理由：①八年级测试成绩的众数大于七年级测试成绩的众数． ②八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，即八年级学生的成绩比七年级学生的成绩更稳定． 50．（24-25九年级下·安徽芜湖·阶段练习）年月日，中国“春节”申遗成功．中国春节文化源远流长，全国各地衍生出纷繁多样的春节习俗．某校为了解学生对春节文化的了解情况，举办了春节文化知识竞赛，现从该校八、九年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：，，，，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名学生竞赛成绩在组的数据是，，，，，，． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校七年级有名学生，八年级有名学生，九年级有名学生，七年级学生成绩达优秀等级的有，估计全校学生都参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】(1)；；； (2)九年级学生的成绩更好，理由见解析； (3)共有人． 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可知根据八年级学生成绩为的人数最多，所以八年级成绩的众数是，九年级学生的成绩从大到小排列第和名的成绩分别为和，所以可知九年级的中位数为；根据九年级名学生竞赛成绩在组的数据共有个，可以求出； 根据八年级学生与九年级学生的平均分相等，九年级学生的众数比八年级学生的众数高，且九年级学生的方差小，说明九年级学生的成绩波动较小，成绩稳定； 用样本估计总体，分别求出七年级、八年级、九年级达到优秀的人数，三数之和即为该校七、八、九年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的人数． 【详解】（1）解：八年级名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是， ； 从扇形统计图可知，九年级学生达到的人数有人， 九年级名学生竞赛成绩从大到小排列，第名和第名的成绩分别是和， 九年级名学生竞赛成绩的中位数是； 九年级名学生竞赛成绩在组的数据是，，，，，，， ， ； 故答案为：；；； （2）解：九年级学生的成绩更好， 理由如下： 两个年级的平均成绩相同，九年级学生成绩的众数和中位数都比八年级学生的高； 九年级学生成绩的方差比八年级学生成绩的方差小，说明九年级学生的成绩更稳定， 九年级学生的成绩更好； （3）解：八年级名学生的竞赛成绩达到优秀的人数有人，占抽查总人数的， 估计八年级学生成绩达到优秀的有人， 从扇形统计图中可知：九年级学生成绩达到优秀的占， 估计九年级学生成绩达到优秀的有人， 七年级有名学生，成绩达优秀等级的有， 七年级学生成绩达到优秀的有人， 估计全校学生都参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有人． 【点睛】本题主要考查了统计表、扇形统计图、平均数、中位数、众数、方差、用样本估计总体．平均数、中位数、众数反映的是一组数据的集中趋势，方差反映的是一组数据的波动大小，方差越小说明这组数据的波动越小． 51．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）小赵、小钱、小孙、小李四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字一定含有1的是（　　） A．小赵选出四个数字的方差等于4.25 B．小钱选出四个数字的中位数是4 C．小孙选出四个数字的平均数等于4 D．小李选出四个数字的极差等于4 【答案】A 【分析】本题考查了方差，算术平均数，极差的定义，根据方差，平均数，极差的定义逐一判断即可．掌握相关的知识是解题的关键． 【详解】解：A、假设选出的数据没有1，则选出的数据为2，3，5，6时，方差最大， 此时，方差为，不符合条件， 当数据为1，2，5，6时，，， 故得出符合条件的方差的话，选中的数字必须得有1，故该选项符合题意； B、当该同学选出的四个数字为2，3，5，6时，中位数为，符合条件，但其中没有1，故该选项不符合题意； C、当该同学选出的四个数字为2，3，5，6时，，符合条件，但其中没有1，故该选项不符合题意； D、当选出的数据为2，4，5，6或2，3，4，6时，极差也是4，符合条件，但其中没有1，故该选项不符合题意． 故选：A． 52．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）下列说法正确的是（   ） A．数据1，2，2，4，4，6的众数是4 B．有一组数据：a，b，c，d（）．将这组数据改变为：，b，c，．则改变前后的两组数据的平均数相等，中位数相等，方差相等； C．已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为2．则； D．已知一组数据，，…，的平均数为1，方差为，若在这组数据中加入另一个数据，重新计算，平均数无变化，则这10个数据的方差为2． 【答案】C 【分析】本题考查了平均数、中位数与方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．逐一分析各选项的正确性，结合统计量的定义和公式进行判断． 【详解】解：A、数据1，2，2，4，4，6中，2和4均出现2次，其余数出现1次，故众数为2和4（双众数），选项A仅提到4，选项A错误； B、原数据平均数为，改变后总和为，平均数不变，中位数原为，改变后数据排序为，中位数仍为，方差方面，原方差为（为平均数），改变后为，展开后新增项导致方差变化，故方差不等，选项B错误； C、由平均数的定义得，由方差公式，整理后得，选项C正确； D、原数据总和为9，加入后总和为10，平均数仍为1，原方差，即，新方差为，不等于2，选项D错误． 故选：C． 53．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（单位，个）如图所示，有下列四个结论：①乙的成绩的波动程度比甲的大；②乙的最好成绩比甲的最好成绩好；③甲、乙两人成绩的平均数相同；④甲、乙两人成绩的中位数不同，其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了根据方差判断数据的稳定性、平均数和中位数，理解并从图中获取信息，根据信息求出中位数、平均数和方差是解题的关键．根据图分别求出甲和乙的平均数、中位数和方差再逐一判断即可． 【详解】解：甲同学的成绩依次是：7，8，8，8，9， 则平均数为：，中位数为：8，方差为：， 乙同学的成绩依次是：6，7，8，9，10， 则平均数为：，中位数为：8，方差为：， ∵， ∴乙的成绩比甲波动大，故①正确； ∵， ∴乙的最好成绩比甲好，故②正确； ∵甲同学成绩的平均数为：8，乙同学成绩的平均数也为：8， ∴甲、乙二人成绩的平均数相同，故③正确； ∵甲同学成绩的中位数为：8，乙同学成绩的中位数也为：8， ∴④错误， 故选：B． 54．（2023九年级·广西柳州·专题练习）五个互不相等的正偶数，，，，的平均数和中位数都是，且六个数，，，，，的众数是6，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数，，，，的方差为 . 【答案】8 【分析】本题考查数据的数字特征及应用，熟练掌握平均数与方差的计算方法是解题的关键，根据题意得到，再根据，，，，是五个互不相等的正偶数，且，，，，，的众数是6，可得到，进而推算出，，，，对应的五个互不相等的正偶数所对应的数，利用方差的计算公式即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，的平均数是， ∴, ∵，，，，，的平均数还是， ∴, ∴, ∵，，，，是五个互不相等的正偶数，且，，，，，的众数是6， ∴, ∴，，，，对应的五个互不相等的正偶数分别是：2、4、6、8、10， ∴，，，，的方差为：． 故答案为：8． 55．（2023·江苏宿迁·二模）若非负数a，b，c满足，则数据a，b，c的方差的最大值是 ． 【答案】8 【分析】先求出的平均数，计算方差，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴数据a，b，c的平均数为， 设数据a，b，c的方差为S， ， 非负数，，满足 ，即， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了平均数和方差的计算公式，根据已知条件推出是解题关键． 56．（2025·北京·一模）某校“节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．教师评委打分： 85，86，88，90，90，91，92，94 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分4组：第1组，第2组，第3组，第4组） c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 90 学生评委 93 根据以上信息，回答下列问题： ①教师评委打分的众数 ，的值位于学生评委打分数据分组的第 组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为，则 （填“＞”“＝”或“＜”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 90 92 90 89 91 乙 90． 91 89 90 91 丙 92 89 91 91 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中（为整数）的值为 ． 【答案】(1)①90,3② (2)甲，89 【分析】本题主要考查了条形统计图，众数，中位数，平均数，方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是解题的关键． （1）①利用众数，中位数的概念计算即可；②利用平均数的公式计算即可； （2）根据题目要求，求出甲和乙的平均数，然后确定丙的平均数为，进而分两种情况分别求出方差进行比较即可． 【详解】（1）解：①评委打分出出现次数最多的数据是90， （分）； 学生评分数据共50个，中位数是第25位和26位数据的平均数， 第1组有4个数据，第2组有12个数据，第3组有28个数据， 所以第25位和26位数据在第3组， 即的值位于学生评委打分数据分组的第3组， 故答案为：90,3； ②，， 故答案为：； （2）解：（分） （分） ∴， 所以甲排在乙的前面， 由于丙中间，， 所以， 解得， ， ①当时， ， ， 此时，，， 所以丙排在乙的后面，不符合题意； ②当时，， 此时，，， 所以甲排在丙的前面，丙排在乙的前面，符合题意； 综上，． 故答案为：甲，． 57．（23-24九年级上·河南郑州·期末）从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革、为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度（满分10分）        b．信息识别准确度（满分10分）      c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 项目 统计量 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 b 5.6 乙 7.65 a 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中______，_____；观察统计图得：_____（填“”“”或“”）； (2)若某市共有20.4万人使用甲款软件，请估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； (3)综合上表中的统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）． 【答案】(1)，， (2) (3)甲，理由见解析 【分析】（1）根据中位数、众数与方差的定义即可求解； （2）用样本估计总体即可； （3）根据平均数和方差的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：共个数据，乙组数据第个、第个数据分别为、， 中位数， 甲组数据中出现的次数最多， 众数， 由信息识别准确度的折线图可知：， 故答案为：，，； （2）解：（人）， 估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数约为人； （3）解：甲款软件使用效果更好（答案不唯一），理由如下： 信息识别准确度得分的平均数甲高于乙，而且甲的方差小于乙的方差， 甲更稳定， 甲款软件使用效果更好． 【点睛】本题主要考查了中位数，众数，平均数，方差，用样本估计总体等知识点，能根据中位数、众数、平均数、方差的意义对题目进行分析是解题的关键． 58．（2025·山东聊城·一模）为落实全国教育大会上提出的“要树立健康第一”的教育理念，某市启动中考体育改革，将体育成绩纳入中考总分，包括．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分共分（其中运动参与满分分，主要有平时体育课、课间体育活动等；运动技能满分分，主要是自主选择一项田径、球类等项目进行测试掌握基本技能即为满分；体质健康测试满分分，包括体重指数、肺活量、跑步、立定跳远等项目；统一体能测试满分分，包括跑步，引体向上（男）仰卧起坐（女）等项目）． 某中学数学兴趣小组对本校八年级学生的体育测试情况进行统计调查，从该校所有八年级学生中随机抽出部分学生的体育测试成绩，将所得的数据进行收集、整理、描述． 下面给出了部分信息： 信息一：每名学生的四项得分之和作为总分，总分用表示，将总分数据分成如下四组：第组：，第组：，第组：，第组：，以下是总分的频数直方图和扇形统计图的部分信息． 结合信息一解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全，________，第4组所对应的圆心角的度数是________； （2）所抽取的这些学生的中位数位于第________组； （3）该校八年级共有名学生，请估计体育总分不低于分的学生有多少名？ 信息二： 抽取的学生在．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分的平均数和方差如下表： 运动参与 运动技能测试 体质健康测试 统一体能测试 平均分 方差 （4）请结合以上信息分析，影响一个学生体育总分的主要是哪些部分的成绩？并就如何提升学生体育成绩，提出至少两条合理化建议． 【答案】（1）；； （2）； （3）人； （4）见解析． 【分析】从条形统计图可知：第组、组、组人数之和为，从扇形统计图中可知：第组、组、组人数之和占总人数的百分比为，利用人数除以对应的分率可以求出抽查的总人数，用总人数乘以扇形统计图中第组人数所占的百分比求出第组的人数，根据第组的人数补全统计图即可；是第组人数占总人数的百分比，根据第组的人数和总人数计算即可；根据第的人数和总人数求出第组的人数占总人数的百分比，利用百分比求出扇形统计图中第组的圆心角即可； 共抽查了学生，根据中位数的定义可知：中位数是第、名成绩的平均数，从条形统计图中可知：第、名位于第组，所以抽取的这些学生的中位数位于第组； 利用样本估计总体，根据抽查的名学生中体育成绩不低于分的人数所占的百分比代表全校所有学生成绩不低于分人数的百分比，计算即可； 从表格中可知、两项所占的权重较大，所以为了提高学生的体育成绩，应重点从、两项中提高成绩． 【详解】解：从条形统计图可知：第组、组、组人数之和为， 从扇形统计图中可知：第组、组、组人数之和占总人数的， 抽取的总人数为：（人） 第组的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 第组有人，占比为：， ∴， 第组有人， 第组占抽查总人数的， 扇形统计图中第组对应的圆心角的度数为：， 故答案为，； 总共抽查了人， 中位数是第、名成绩的平均数， 第1组和第2组总人数是24人， 从条形统计图中可知：第、名位于第组， 抽取的这些学生的中位数位于第组； 从条形统计图中可知：抽查的学生中体育总分不低于分的学生， 利用样本估计总体可得：全校体育成绩不低于分的学生总人数为人； 、两项权重较大，是影响体育总分的主要因素． 建议：保持合理饮食习惯，保证体重指表在健康范围内； 加强锻炼增强肺活量； 加强跑步上定跳远、引体向上、仰卧起坐等项目的训练．（合理即可） 【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的综合运用、用样本代替总体、求扇形统计图的圆心角度数、中位数，解决本题的关键是综合运用扇形统计图与条形统计图，根据已知的信息求出未知的信息． 试卷第46页，共49页 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $$