2.4 实验：用单摆测量重力加速度(课件PPT)-【优化指导】2025-2026学年高中物理选择性必修第一册（教科版2019）

机械振动 第4节　实验：用单摆测量重力加速度 第二章 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 必备知识 自主学习 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 必备知识 自主学习 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 必备知识 自主学习 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 必备知识 自主学习 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 必备知识 自主学习 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 必备知识 自主学习 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 必备知识 自主学习 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 必备知识 自主学习 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 必备知识 自主学习 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 必备知识 自主学习 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 必备知识 自主学习 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 关键能力 互动探究 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 关键能力 互动探究 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 关键能力 互动探究 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 关键能力 互动探究 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 解 析 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 解 析 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 解 析 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 关键能力 互动探究 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 关键能力 互动探究 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 关键能力 互动探究 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 关键能力 互动探究 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 关键能力 互动探究 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 关键能力 互动探究 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 解 析 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 关键能力 互动探究 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 关键能力 互动探究 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 关键能力 互动探究 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 解 析 高中物理 选择性必修 第一册 J　 返回导航 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1．本实验系统误差主要来源于单摆模型本身，即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长等。只要注意了上面这些方面，就可以使系统误差减小到远小于偶然误差，达到忽略不计的程度。 2．本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量。因此，要注意测准时间(周期)，要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，即4、3、2、1、0、1、2、…在数至“0”时按下停表开始计时，不能多记或漏记振动次数。为了减小偶然误差，进行多次测量后取平均值。 3．本实验中长度(摆线长、摆球的直径)的测量，读数读到毫米位即可(使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米位)，时间的测量中，停表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可，停表读数不需要估读。 七、注意事项 1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。 2．摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小。 3．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 4．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动的时间t。 正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时30 s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1 m，当地重力加速度g取π2(m/s2)；根据以 上数据可得小球运动的周期T＝________________s；房顶到窗上沿的高度h＝________________m。 提示：3.0　3.0 探究点一______实验原理和数据处理 【例1】 (2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 (1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图甲所示，该示数为_______mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图乙所示，该示数为________________mm，则摆球的直径为________________mm。 (2)单摆实验的装置示意图如图丙所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角________________(选填“大于”或“小于”)5°。 (3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为_______cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为________________s，该小组测得的重力加速度大小为________________m/s2。(均保留3位有效数字，π2取9.870) 答案：(1)0.007(0.006～0.008均正确)　20.034(20.033～20.035均正确)　20.027(20.025～20.029均正确)　(2)大于　(3)82.5　1.82　9.83 (1)测量前测微螺杆与测砧相触时，题图甲的示数为d0＝0 mm＋0.7×0.01 mm＝0.007 mm 螺旋测微器读数是固定刻度读数(0.5 mm的整数倍)加可动刻度 (0.5 mm以下的小数)读数，题图乙中读数为d1＝20 mm＋3.4×0.01 mm＝20.034 mm 则摆球的直径为d＝d1－d0＝20.027 mm。 (2)角度盘的大小一定，即在规定的位置安装角度盘，测量的摆角准确，但将角度盘固定在规定位置上方，即角度盘到悬挂点的距离变短，同样的角度，摆线在刻度盘上扫过的弧长变短，故摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角大于5°。 (3)单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为l＝l0＋ eq \f(d,2) ＝81.50 cm＋ eq \f(2.002 7,2) cm＝82.5 cm；一次全振动单摆经过最低点两次，故此单摆的周期为T＝ eq \f(2t,N) ＝ eq \f(54.60,30) s＝1.82 s，由单摆的周期表达式T＝2π eq \r(\f(l,g)) 得，重力加速度g＝ eq \f(4π2l,T2) ≈9.83 m/s2。 [练1] 某同学在做“利用单摆测重力加速度”的实验中，先测得摆线长为97.50 cm，摆球直径为2.00 cm，然后用停表记录了单摆全振动50次所用的时间，如图所示，则： (1)该摆摆长为_________cm，停表所示读数为________________s。 (2)如果测得的g值偏小，可能的原因是(　　) A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了 C．开始计时时，停表过迟按下 D．实验中误将49次全振动记为50次 (3)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T，从而得出对应的l与T的数据，再以l为横坐标，T2为纵坐标，将所得数据连成直线如图所示，并求得该直线的斜率为k，则重力加速度g＝________________(用k表示)。 答案：(1)98.50　75.2　(2)B　(3) eq \f(4π2,k) 探究点二______实验创新设计 【例2】 某小组在做完“用单摆测量重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T＝2π eq \r(\f(Ic＋mr2,mgr)) ，式中Ic为由该摆决定的常量，m为摆的质量，g为重力加速度，r为转轴到刚性重杆重心C的距离。如图甲所示，实验时在杆上不同位置打上多个小孔，将其中一个小孔穿在光滑水平轴O上，使杆做简谐运动，测量并记录r和相应的运动周期T；然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验，实验数据见表，并测得摆的质量m＝0.5 kg。 　 r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64 (1)由实验数据得出图乙所示的拟合直线，图中纵轴表示________________。 (2)Ic的国际单位为________________，由拟合直线得到Ic的值为________________(保留到小数点后2位)。 (3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值________________(填“偏大”“偏小”或“不变”)。 答案：(1)T2r　(2)kg·m2　0.17　(3)不变 (1)由T＝2π eq \r(\f(Ic＋mr2,mgr)) ，可得T2r＝ eq \f(4π2Ic,mg) ＋ eq \f(4π2,g) r2，所以题图乙中纵轴表示T2r。 (2)Ic的单位与mr2单位一致，因为mr2的国际单位为kg·m2，所以Ic的国际单位为kg·m2；结合T2r＝ eq \f(4π2Ic,mg) ＋ eq \f(4π2,g) r2和题图乙中的截距和斜率，解得Ic的值约为0.17。 (3)重力加速度g的测量值是通过求斜率 eq \f(4π2,g) 得到的，与质量无关，所以若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值不变。 [练2] 将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个较小的角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度g。 (1)测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时，启动停表开始计时，同时数“1”，当摆球第二次通过最低点时数“2”，依此法往下数，当他数到“59”时停止计时，记下这段时间t，则该单摆的周期为(　　) A． eq \f(t,29) B． eq \f(t,29.5) C． eq \f(t,30) D． eq \f(t,59) (2)如果实验中所得到的T2－L关系图像如图乙所示，那么实际的图像应该是a、b、c中的________________。 (3)由图像可知，小筒的深度h＝________________m；当地重力加速度g＝________________m/s2。(π取3.14) 答案：(1)A　(2)a　(3)0.3　9.86 (1)这段时间t内单摆完成全振动的次数n＝ eq \f(59－1,2) ＝29(次)，则该单摆的周期为 eq \f(t,29) ，A正确。 (2)摆线在筒内部分的长度为h，由T＝2π eq \r(\f(L＋h,g)) 得，T2＝ eq \f(4π2,g) L＋ eq \f(4π2,g) h，则L＝0时，T2>0，可知T2－L的关系图像为a。 (3)将T2＝0，L＝－30 cm代入T2＝ eq \f(4π2,g) L＋ eq \f(4π2,g) h可得h＝30 cm＝0.3 m，将T2＝1.20 s2，L＝0，h＝0.3 m代入T2＝ eq \f(4π2,g) L＋ eq \f(4π2,g) h可求得g＝π2 m/s2≈9.86 m/s2。 1．关于“用单摆测量重力加速度”的实验，下列说法正确的是(　　) A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时 B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为 eq \f(t,100) C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大 D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小 单摆做简谐运动的条件是摆线偏离平衡位置的夹角小于5°，并从平衡位置开始计时，A错误；若摆球第一次过平衡位置时记为“0”，则周期T＝ eq \f(t,50) ，若摆球第一次过平衡位置时记为“1”，则周期T＝ eq \f(t,49.5) ，B错误；由T＝2π eq \r(\f(l,g)) 得g＝ eq \f(4π2l,T2) ，其中l为摆长，即悬线长加摆球半径，若代入悬线长加摆球直径，由公式知测得的g偏大，C正确；选择密度较大体积较小的摆球，才能够将摆球看成质点，减小空气阻力引起的误差，D错误。 2．根据单摆周期公式可以通过实验测量当地的重力加速度，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球，就做成了单摆。 (1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图所示，读数为______mm。 (2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有_____。 A．摆线要选择细些、伸缩性小些的，并且尽可能长一些 B．摆球尽量选择质量大些、体积小些的 C．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度 D．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时时间间隔Δt即为单摆周期T E．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝ eq \f(Δt,50) 答案：(1)18.6　(2)ABE (1)由题图游标卡尺可知，其示数为18 mm＋6×0.1 mm＝18.6 mm。 (2)为减小实验误差，摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽量长一些，A正确；为减小空气阻力对实验的影响，减小实验误差，摆球尽量选择质量大些、体积小些的，B正确；摆长一定的情况下，摆的振幅尽量小些，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置不能有太大的角度， C错误；为准确测量单摆周期，应从摆球经过平衡位置时开始计时，测出多个周期的时间，然后求出平均值作为周期，D错误；拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝ eq \f(Δt,50) ，可减小实验误差，E正确。 3．在用单摆测重力加速度的实验中： (1)为了比较准确地测量出当地的重力加速度值，应选用下列所给器材中的哪些？将所选用的器材的字母填在题后的横线上。 A．长1 m左右的细绳； B．长30 m左右的细绳； C．直径2 cm的铅球； D．直径2 cm的木球； E．停表； F．时钟； G．最小刻度是厘米的直尺； H．最小刻度是毫米的直尺。 所选择的器材是________________。 (2)实验时摆线偏离竖直线的要求是________________________，理由是__________________________________________________________ _________________________________________________________。 (3)某同学测出不同摆长时对应的周期T，作出T2－L图线，如图所示，再利用图线上任两点A、B的坐标(x1，y1)、(x2，y2)，可求得g＝_____________。若该同学测摆长时漏加了小球半径，而其他测量、计算均无误，也不考虑实验误差，则用上述方法算得的g值和真实值相比是________________(填“偏大”“偏小”或“不变”)的。 答案：(1)ACEH　(2)摆线与竖直方向的夹角不超过5°　只有在偏角不超过5°的情况下，单摆的周期公式T＝2π eq \r(\f(L,g)) 才成立　 (3)4π2· eq \f(x2－x1,y2－y1) 　不变 4．实验小组的同学们用如图所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)用L表示单摆的摆长，用T表示单摆的周期，重力加速度g＝________________。 (2)实验时除用到停表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的________________(填选项前的字母)。 A．长约1 m的细线 B．长约1 m的橡皮绳 C．直径约1 cm的均匀铁球 D．直径约10 cm的均匀木球 (3)选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，应采用图________________(填“甲”或“乙”)中所示的固定方式。 (4)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是_________(填选项前的字母)。 A．测出摆线长作为单摆的摆长 B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动 C．在摆球经过平衡位置时开始计时 D．用停表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期 (5)乙同学测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是________________(填选项前的字母)。 A．开始摆动时振幅较小 B．开始计时时，过早按下停表 C．测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间 (6)丙同学画出了单摆做简谐运动时的振动图像如图丙所示，则摆线偏离竖直方向的最大摆角的正弦值约为________________(结果保留1位有效数字)。 丙 答案：(1) eq \f(4π2L,T2) 　(2)AC　(3)乙　(4)BC　(5)C　(6)0.04 (1)由单摆的周期公式T＝2π eq \r(\f(L,g)) 得g＝ eq \f(4π2L,T2) 。 (2)为减小误差应保持摆线的长度不变，A正确，B错误；为减小误差，摆球密度要大，体积要小，C正确，D错误。 (3)悬点要固定，则为题图乙。 (4)摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，A错误；应把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动，B正确；应在摆球经过平衡位置时开始计时，C正确；把停表记录摆球一次全振动的时间作为周期，误差较大，应采用累积法测量周期，D错误。 (5)由T＝2π eq \r(\f(L,g)) 得g＝ eq \f(4π2L,T2) 。振幅大小与g无关，A错误；开始计时时，过早按下停表，所测周期偏大，则所测g偏小，B错误；测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间，则所测周期偏小，则所测g偏大，C正确。 (6)由题图丙可知周期为2 s，由T＝2π eq \r(\f(L,g)) 得L＝ eq \f(T2g,4π2) ＝ eq \f(4×9.8,4×3.142) m≈1 m，振幅为4 cm＝0.04 m，则sin θ≈ eq \f(0.04,1) ＝0.04。 5．某同学在用单摆测量重力加速度的实验中进行了如下的操作： (1)用游标卡尺测量摆球的直径如图甲所示，可读出摆球的直径为____________cm。把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长l。 (2)用停表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为1，单摆每经过最低点计一次数，当数到n＝60时停表的示数如图乙所示，该单摆的周期是T＝________________s(结果保留3位有效数字)。 (3)测量出多组周期T、摆长l的数值后，画出T2－l图线如图丙所示，此图线斜率的物理意义是________________。 A．g B． eq \f(1,g) C． eq \f(4π2,g) D． eq \f(g,4π2) (4)在(3)中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原点，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小_______。 A．偏大 B． 偏小 C．不变 D．都有可能 答案：(1)2.06　(2)2.29　(3)C　(4)C (1)摆球的直径为d＝20 mm＋6× eq \f(1,10) mm＝20.6 mm＝2.06 cm。 (2)停表的读数为t＝60 s＋7.5 s＝67.5 s，根据题意有t＝ eq \f(60－1,2) T＝ eq \f(59,2) T，所以周期T＝ eq \f(2t,59) ≈2.29 s。 (3)根据单摆的周期公式T＝2π eq \r(\f(l,g)) ，可得T2＝ eq \f(4π2,g) l，所以T2－l图线的斜率k＝ eq \f(4π2,g) ，C正确。 (4)因为 eq \f(T2,l) ＝ eq \f(4π2,g) ＝k(常数)，所以 eq \f(ΔT2,Δl) ＝ eq \f(4π2,g) ＝k。若误将摆线长当作摆长，画出的直线将不通过原点，但图线的斜率仍然满足 eq \f(T12－T22,l1－l2) ＝ eq \f(4π2,g) ＝k，所以由图线的斜率得到的重力加速度不变。 6．(1)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________________。若已知摆球直径为 2.00 cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是________________m。若测定了40次全振动的时间为75.2 s，计算可得单摆周期是________________ s。 (2)为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上(如图乙)，即图中用“·”表示的点。 ①单摆做简谐运动应满足的条件是_________________。 ②根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝________________ m/s2。(保留2位有效数字) 答案：(1) eq \f(4π2l,T2) 　0.875 0　1.88　(2)①摆线偏离平衡位置的夹角小于5°　②图见解析　9.9 (1)由T＝2π eq \r(\f(l,g)) 可知g＝ eq \f(4π2l,T2) 。由题图甲可知，摆长l＝(88.50－1.00)cm＝87.50 cm＝0.875 0 m，单摆周期T＝ eq \f(t,40) ＝1.88 s。 (2)①单摆做简谐运动应满足的条件是摆线偏离平衡位置的夹角小于5°。 ②T2和l的关系图线如图所示，直线斜率k＝ eq \f(ΔT2,Δl) ≈4.0 s2/m，由g＝ eq \f(4π2Δl,ΔT2) ＝ eq \f(4π2,k) ，可得g≈9.9 m/s2。 7．在“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验中，摆球在垂直纸面的平面内摆动，如图甲所示，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻。光敏电阻(光照时电阻比较小)与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图乙所示，则该单摆的振动周期为____________________。若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将________________(填“变大”“不变”或“变小”)。 　 答案：2t0　变大 单摆在一个周期内两次经过平衡位置，每次经过平衡位置，单摆会挡住细激光束，从R－t图线可知周期为2t0。摆长等于摆线的长度加上小球的半径，根据单摆的周期公式T＝2π eq \r(\f(l,g)) 知，摆长变大，周期变大。 $$