课时梯级训练(15) 变化率问题(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(15)　变化率问题 1．在函数y＝x2图象上取一点(1，1)及附近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则为 (　　) A．4Δx＋2(Δx)2 B．4＋2Δx C．Δx＋2 D．4＋Δx C　解析：Δy＝(1＋Δx)2－1＝(Δx)2＋2Δx， ∴＝Δx＋2. 2．若某运动物体的位移s与时间t的关系为s＝t2－c，其在区间[1, m]上的平均速度为4，则m等于 (　　) A． B．3 C．5 D．16 B　解析：因为＝＝＝m＋1＝4，所以m＝3. 3．(2024·合肥第一中学高二期末)若质点A运动的位移S(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系是S(t)＝－(t≥1)，那么该质点在t＝3 s时的瞬时速度和从t＝1 s到t＝3 s这两秒内的平均速度分别为 (　　) A．－， B．， C．，－ D．， D　解析：＝＝＝， 所以 ＝ ＝.即该质点在t＝3 s时的瞬时速度为； 从t＝1 s到t＝3 s这两秒内的平均速度为＝＝. 4．(多选)甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示．下列四种说法正确的有 (　　) A．前四年该产品产量增长速度越来越快 B．前四年该产品产量增长速度越来越慢 C．第四年后该产品停止生产 D．第四年后该产品年产量保持不变 BD　解析：设产量与时间的函数关系为y＝f(x)，由题图可知f(4)－f(3)＜f(3)－f(2)＜f(2)－f(1)，则前四年该产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确；由题图可知，从第四年开始产品产量不发生变化，且f(4)≠0，故C错误，D正确．故选BD. 5．(多选)如图所示是物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是 (　　) A．在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 B．在0到t0范围内甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在t0到t1范围内甲的平均速度等于乙的平均速度 BC　解析：在0到t0范围内甲、乙的平均速度均为＝，所以A错误，B正确；在t0到t1范围内甲的平均速度为，乙的平均速度为，很明显>，所以C正确，D错误． 6．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其初速度为________，其在t＝________时的瞬时速度为1. 答案：0　　解析：平均速度为＝＝7t，当t趋向于0时，平均速度为0，即初速度为0.根据瞬时速度的定义，知v＝ ＝ ＝14t，所以当v＝1时，t＝. 7．若曲线y＝2x2－4x＋p与y＝1相切，则p＝________． 答案：3　解析：由题意得k＝ ＝ ＝4x－4＝0，解得x＝1，所以切点为(1, 1)，所以2－4＋p＝1，所以p＝3. 8．某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝cos t，t∈[0，].分别求s(t)在区间[0，]和[，]上的平均速度． 解：物体在区间[0，]上的平均速度为1＝＝＝. 物体在区间[，]上的平均速度为2＝＝＝－. 9．已知函数f(x)＝－x2＋x图象上两点A(2，f(2))，B(2＋Δx, f(2＋Δx))(Δx＞0). (1)若割线AB的斜率不大于－1，求Δx的范围； (2)求函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的斜率． 解：(1)由题意得，割线AB的斜率为 ＝＝ ＝＝－3－Δx. 由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2. 又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞). (2)由(1)知函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2, f(2))处切线的斜率为k＝ ＝ (－3－Δx)＝－3. 10．已知某物体的运动方程是s＝＋t，则当t＝3时，该物体的瞬时速度是 (　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C　解析：Δs＝[＋(3＋Δt)]－(＋3)＝(Δt)3＋(Δt)2＋4Δt，＝(Δt)2＋Δt＋4， 所以当t＝3时，Δt趋于0时，该物体的瞬时速度v＝ ＝[(Δt)2＋Δt＋4]＝4. 11．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气．在某室内，空气中微生物密度(c)随开窗通风换气时间(t)的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是 (　　) A．[5，10] B．[15，20] C．[25，30] D．[30，35] B　解析：如图，令t＝5，t＝10，t＝15，t＝20，t＝25，t＝30，t＝35，所对应的点分别为A，B，C，D，E，F，G.由图可知0>kAB>kCD，0>kEF>kCD，0>kFG>kCD， 所以[15，20]内空气中微生物密度变化的平均速度最快．故选B. 12．过曲线y＝f(x)＝上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作割线，则当Δx＝0.5时割线的斜率为________，在点(2，－2)处的切线斜率为________． 答案：　1　解析：割线的斜率k＝＝ ＝＝2(－)＝. ＝ ＝ ＝ ＝1，故切线斜率为1. 13．在抛物线y＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？ 解：y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x. 设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0， 则y′|x＝x0＝2x0＝4，解得x0＝2， 所以y0＝x＝4，即P(2，4)，经检验，符合题意． 设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0， 则y′|x＝x1＝2x1＝－，解得x1＝－， 所以y1＝x＝，即Q(－，)，经检验，符合题意． 故抛物线y＝x2在点(2，4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点(－，)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0. 14．求过点(－1，0)且与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程． 解：设切点为(x0, x＋x0＋1)，则切线的斜率为 k＝ ＝2x0＋1. 又∵k＝＝， ∴2x0＋1＝， 解得x0＝0或x0＝－2. 当x0＝0时，切线斜率k＝1， 过点(－1, 0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0； 当x0＝－2时，切线斜率k＝－3， 过点(－1, 0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)， 即3x＋y＋3＝0. 综上，所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0. 15．已知某公交车在起步后8秒内路程x(t)(单位：m)与时间t(单位：s)满足x(t)＝，若公交车的瞬时速度未发生突变，则b＝________，公交车在这8秒内的平均速度为________m/s. 答案：－18　　解析：第3秒前公交车的瞬时速度为 ＝ ＝ (12－2Δt)＝12 m/s；第3秒后公交车的瞬时速度为 ＝ ＝k，已知公交车P第3秒前后的瞬时速度保持一致，所以k＝12， 而路程关于时间的函数图象为一条连续不断的曲线，所以18＝3k＋b，解得b＝－18. 公交车在8秒内的总路程为12×8－18＝78 m，所以平均速度为＝(m/s). 学科网（北京）股份有限公司 $$