课时梯级训练(14) 数学归纳法(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(14)　数学归纳法 1．用数学归纳法证明：1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是 (　　) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 C　解析：当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3. 2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时，由n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的项是 (　　) A．2k＋1 B．2k＋2 C．(2k＋1)＋(2k＋2) D．(k＋1)＋(k＋2)＋…＋2k C　解析： 因为要证明的等式左边是连续正整数，所以由n＝k到n＝k＋1，等式左边增加了[1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)]－(1＋2＋3＋…＋2k)＝(2k＋1)＋(2k＋2). 3．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋ (　　) A． B．π C． D．2π B　解析： 由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. 4．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是 (　　) A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确 B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确 C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确 D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*) B　解析： 因为n为正奇数，根据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确． 5．(多选)(2025·上海高二随堂练习)已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝(n为正整数)，利用数列的递推公式猜想数列{an}的通项公式为an＝.下面是用数学归纳法的证明过程： (1)当n＝1时，a1＝1满足an＝，命题成立； (2)假设n＝k(k为正整数)时命题成立，即ak＝成立，则当n＝k＋1时，由an＋1＝得＝＝＋1，即{}是以＝1为首项，1为公差的等差数列，所以＝n，即an＝，所以ak＋1＝，命题也成立． 由(1)(2)知an＝. 判断以下评述： (　　) A．猜想正确，推理(1)正确 B．猜想不正确 C．猜想正确，推理(1)(2)都正确 D．猜想正确，推理(2)不正确 AD　解析：由递推公式为通项公式知命题正确，推理(1)正确，故A正确；推理(2)不正确，错在证明n＝k＋1时，没用假设n＝k时的结论，即ak＋1＝＝＝，所以D正确． 6．用数学归纳法证明42n+1＋3n+2能被13整除，其中n∈N*，则当n＝k＋1时式子应当整理成________________． 答案：42k+1·13＋3·(42k+1＋3k+2)　解析：当n＝k＋1时，42(k+1)+1＋3k+3＝42k+1·42＋3k+2·3－42k+1·3＋42k+1·3＝42k+1·13＋3·(42k+1＋3k+2). 7．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n-1n2＝(－1)n-1·(n∈N*). 证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k-1k2＝(－1)k-1·. 当n＝k＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k-1k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k-1·＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k(k＋1)·[(k＋1)－] ＝(－1)k·. ∴当n＝k＋1时，等式也成立， 根据(1)(2)可知，对于任何n∈N*等式恒成立． 8．已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝0. (1)计算a2，a3，a4的值，并猜想an的表达式； (2)请用数学归纳法证明你在(1)中的猜想． (1)解：a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.由此猜想an＝(n∈N*). (2)证明：①当n＝1时，a1＝0，结论成立． ②假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时结论成立，即ak＝. 当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝， ∴当n＝k＋1时结论成立． 由①②知，对于任意的n∈N*，an＝恒成立． 9．(2024·辽宁沈阳高二期中)平面上n个圆最多把平面分成an个区域，通过归纳推理猜测an的表达式，再利用数学归纳法证明．用数学归纳法证明的过程中，当n＝k＋1时，需证ak＋1＝ak＋ (　　) A．k＋1 B．k2－k＋2 C．k(k＋1) D．2k D　解析：1个圆把平面分成2个区域，2个圆最多把平面分成2＋1×2个区域，3个圆最多把平面分成2＋1×2＋2×2个区域，依此类推，可得n个圆最多把平面分成2＋1×2＋2×2＋…＋(n－1)×2＝n×(n－1)＋2个区域，归纳得an＝n2－n＋2， 假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即ak＝k2－k＋2，则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋2k. 10．用数学归纳法证明34n+1＋52n+1(n∈N)能被8整除，当n＝k＋1时，34(k+1)+1＋52(k+1)+1应变形为__________________． 答案：81×(34k+1＋52k+1)－56×52k+1(或25×(34k+1＋52k+1)＋56×34k+1)　解析：34(k+1)+1＋52(k+1)+1＝34k+5＋52k+3 ＝81×34k+1＋25×52k+1＝81×34k+1＋81×52k+1－56×52k+1 ＝81×(34k+1＋52k+1)－56×52k+1. 11．用数学归纳法证明对一切n∈N*，1＋＋＋…＋≥. 证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋≥， 则当n＝k＋1时，要证1＋＋＋…＋＋≥， 只需证＋≥. 因为－[＋] ＝－ ＝ ＝≤0， 所以＋≥， 即1＋＋＋…＋＋≥， 所以当n＝k＋1时不等式成立． 由(1)(2)知，不等式对一切n∈N*都成立． 12．已知函数f(x)＝x－x2，设0＜a1＜，an＋1＝f(an)，n∈N*，求证：an＜. 证明：(1)当n＝1时，0＜a1＜，显然结论成立． 因为当x∈(0，)时，0＜f(x)≤， 所以0＜a2＝f(a1)≤＜. 故当n＝2时，原不等式也成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时， 不等式0＜ak＜成立． 因为f(x)＝x－x2图象的对称轴为直线x＝， 所以当x∈(0，]时，f(x)为增函数． 所以由0＜ak＜≤，得0＜f(ak)＜f(). 于是，0＜ak＋1＝f(ak)＜－·＋－＝－＜. 所以当n＝k＋1时，原不等式也成立． 根据(1)(2)知，对任意n∈N*，不等式an＜恒成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$