课时梯级训练(13) 数列求和(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(13)　数列求和 1．数列{an}的通项公式为an＝.若该数列的前k项之和等于9，则k＝ (　　) A．80 B．81 C．79 D．82 B　解析：an＝＝－，故Sn＝.令Sk＝＝9，解得k＝81.故选B. 2．已知Tn为数列的前n项和．若m>T10＋1 013恒成立，则整数m的最小值为 (　　) A．1 026 B．1 025 C．1 024 D．1 023 C　解析：∵＝1＋()n，∴Tn＝n＋1－， ∴T10＋1 013＝11－＋1 013＝1 024－.又m>T10＋1 013，∴整数m的最小值为1 024. 3．(2025·青岛高二检测)已知数列{an}满足an＋2＝且a1＝2，a2＝1，则S20＝ (　　) A．1 023 B．1 124 C．2 146 D．2 145 C　解析：根据递推公式可知：数列的奇数项依次为2，22，23，…，为等比数列； 数列的偶数项为1，3，5，…，为等差数列． 所以S20＝10×1＋×2＋＝100＋211－2＝2 146. 4．已知数列：1，2，3，…，(n＋)，…，则其前n项和Sn关于n的表达式为________． 答案：Sn＝－＋1　解析：由题意可得Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(＋＋…＋)＝＋＝－＋1. 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S4＝16，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设数列{an}的公差为d. ∵a2＝3，S4＝16，∴a1＋d＝3，4a1＋6d＝16， 解得a1＝1，d＝2. ∴an＝2n－1. (2)由题意知，bn＝＝(－)， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝. 6．(2025·贵港高二月考)已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1，且a1＝1. (1)若bn＝an＋n＋1，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求{an}的前n项和Sn. (1)证明：因为an＋1＝3an＋2n＋1，且bn＝an＋n＋1， 所以＝＝＝3. 又因为b1＝a1＋1＋1＝3，所以数列{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列． (2)解：由(1)可得，an＋n＋1＝3n，即an＝3n－n－1， 则Sn＝31＋32＋…＋3n－(2＋3＋…＋n＋1)＝－＝. 7．(2025·天津高二阶段练习)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a3n＝3an＋2. (1)求数列{an}的通项公式及数列{an}的前n项和Sn； (2)设bn＝(－1)na，求数列{bn}的前2n项和T2n. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 由a3n＝3an＋2，得a3＝3a1＋2. 依题意，即 解得所以an＝2n－1. 故Sn＝＝＝n2. (2)由(1)得，bn＝(－1)na＝(－1)n(2n－1)2， T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ＝－12＋32－52＋72－…＋(－1)2n-1(4n－3)2＋(－1)2n(4n－1)2 ＝2[1＋3＋5＋7＋…＋(4n－3)＋(4n－1)]＝2×＝8n2. 8．(2025·莱芜高二期末)已知等差数列{an}满足a1＝1，a7＝2a3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2n+1an}的前n项和Tn. 解：(1)设{an}的公差为d，则 解得d＝，所以{an}的通项公式为an＝，n∈N*. (2)由(1)知an＝，n∈N*，得2n+1an＝(n＋1)×2n， 所以Tn＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋n·2n-1＋(n＋1)2n①， 2Tn＝2×22＋3×23＋4×24＋…＋n·2n＋(n＋1)2n+1②， 由①－②得：－Tn＝4＋22＋23＋24＋…＋2n－(n＋1)2n+1＝－n·2n+1 ， 所以Tn＝n·2n+1. 9．(2025·三晋卓越联盟高二检测)在数列{an}中，记Δan＝an＋1－an，若{Δan}为等差数列，则称{an}为二阶等差数列． (1)若an＝2n2－n＋3，判断{an}是否为二阶等差数列？并说明理由． (2)已知二阶等差数列{an}满足a1＝1，a2＝2，a3＝4. ①求数列{an}的通项公式； ②若bn＝，记{bn}的前n项和为Sn，证明：≤Sn<1. (1)解：因为an＝2n2－n＋3，所以Δan＝an＋1－an＝2(n＋1)2－(n＋1)＋3－(2n2－n＋3)＝4n＋1. 令cn＝4n＋1，则cn＋1－cn＝4(n＋1)＋1－(4n＋1)＝4， 所以{cn}，即{Δan}为等差数列， 所以{an}为二阶等差数列． (2)①解：因为{an}为二阶等差数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，所以Δa1＝a2－a1＝1，Δa2＝a3－a2＝2，所以{Δan}的公差为Δa2－Δa1＝1， 所以Δan＝Δa1＋(n－1)×1＝1＋n－1＝n，即an＋1－an＝n， 所以a2－a1＝1， a3－a2＝2， a4－a3＝3， … an－an－1＝n－1(n≥2)， 将以上(n－1)个式子左、右分别相加，得an－a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝(n≥2)， 所以an＝＋1， 又a1＝1，满足上式， 所以an＝＋1＝. ②证明：由(1)得an＝＋1， 所以bn＝＝＝. 因为bn＝>0，所以{Sn}为递增数列， 所以Sn≥S1＝b1＝； 又＝(－)×＝－， 所以Sn＝(－)＋(－)＋…＋[－]＝－＋－＋…＋－＝－＝1－. 因为>0，所以Sn<1， 所以≤Sn<1. 学科网（北京）股份有限公司 $$